2016人教版第24章圆的知识点5

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人教版九年级上册第24章：圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：➢平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

➢平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8、直线与圆的位置关系。

d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。

29、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。

则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。

人教版九年级数学上册第24章《圆》知识小结与复习

A
A.140°B.135°C.130°D.125°
DF
∠BOC＝90°+ 1∠A 2
R
E
BM
Q
O
G
P
NC
3、边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为( )
A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶5
4.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则 △ABC的外接圆半径为。内切圆半径____ 5. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是______, ____
O1
AM
O
B
如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点 ⊙p从A开始折线A—B—C—D以4cm/秒的速度移动,点⊙Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点⊙P, ⊙Q分别从A,C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t（秒）如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t 为何值时, ⊙P和⊙Q外切？
(2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_1____; (3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=_7___;
A
D
8
F
4
o
B
6E
C
1 S △ABC= 2 C △ABC·r内
2.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的
弦长相等.则 ∠BOC=__D__.
3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为 6cm,则另一个圆的半径为_____.
4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是______.

人教版九年级数学第24章圆的有关性质知识点精讲精练(含答案)

第二十四章圆的有关性质知识点思维导图能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力【实战篇】知识点一：圆的有关概念 1. 圆的定义（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合. 2. 圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O ”. 3. 圆具有的特性（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角A形都是等腰三角形.4. 圆的有关概念【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC==【答案】【巩固】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC ＝65°，那么∠OCA 的度数是（） A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°2. 如图，在⊙O 中，下列说法不正确的是（） A. AB 是⊙O 的直径B. 有5条弦C. AD 和BD 都是劣弧，ABD 是优弧D. CO 是圆O 的半径【巩固答案】 1. A 2.B知识点二：垂直于弦的直径CB DAABBA1. 圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，CD ⊥AB 于点M ，∴AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD ＝BD .3. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，AM ＝BM （AB 不是直径），∴CD ⊥AB ，AC ＝BC ，AD ＝BD .【例2】如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为（） A. 8B. 10C.34D. 54【例2】【解析】连接OB ，根据垂径定理求出BD ＝12BC ＝4，已知半径OB ＝5，在Rt △OBD中，由勾股定理求出OD3，所以AD ＝8，在Rt △ABD 中，再由勾股定理求出AB.【答案】D 【巩固】1. 下列说法不正确的是（）A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形B. 圆有无数条对称轴C. 圆的每一条直径都是它的对称轴D. 圆的对称中心是它的圆心2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为（） A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【巩固答案】 1. C 2. A知识点三：弧、弦、圆心角 1. 圆的旋转对称性圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 2. 圆心角的定义顶点在圆心的角叫做圆心角.如图：∠AOB 是AB 所对的圆心角，AB 是∠AOB 所对的弧. 注意：一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 弧、弦、圆心角之间的关系A【例3】如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ＝CD . 求证：AC ＝BD .【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB ＝CD 得到AB ＝CD ，进而AB ＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝BD ，所以AC ＝BD . 【答案】证明：∵AB ＝CD ∴AB ＝CD ，∴AB＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝BD ， ∴AC ＝BD . 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝∠COD ，那么AC 和BD 的大小关系是（）A. AC ＞BDB. AC ＜BDC. AC ＝BDD. 无法确定D2. 如图，C 是⊙O 上的点，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD ＝CE ，则AC 与BC 的关系是（）A. AC ＝BCB. AC ＞BCC. AC ＜BCD. 不能确定【巩固答案】 1. C 2. A知识点四：圆周角 1. 圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 圆周角和圆心角的区别和联系3. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图，∠ACB ＝21∠AOB .4. 圆周角定理的推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；（2）90°的圆周角所对的弦是直径. 5. “五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【例4】如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（） A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD ，根据圆周角定理的推论可知，∠A ＝∠BCD ＝40°，又由AB 为⊙O 的直径知∠ADB ＝90°，所以∠ABD ＝90°－∠A ＝50°. 故选B.【答案】B 【巩固】1. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠OAB ＝54°，则∠C 的度数为（） A. 54°B. 46°C. 36°D. 27°BAAB2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，BC＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝___________.【巩固答案】1.C2.70°知识点五：圆内接多边形1.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝130°，则∠DCE的度数为（）A. 45°B. 50°C. 65°D. 75°【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A ＝12∠BOD ＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD ＝180°－∠A ＝115°，则∠DCE ＝180°－∠BCD ＝65°. 故选C. 【答案】C 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，P 为劣弧AB 上的一点，则∠APB 的度数是_____________.2. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C ＝∠D. 问AB 与CD 有怎样的位置关系，请说明理由.【巩固答案】 1. 120° 2. 解：AB ∥CDB理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD.。

人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质

在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD，则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为：一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.

第24章圆知识点

第24章圆知识点1、圆的有关性质：（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（2）垂径定理：如果过圆心的线垂直弦，那么平分弦和平分弦所对的两条弧。

推论：如果过圆心的线平分弦（这里的弦不能是直径），那么线垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

（注意：在求弦长、半径、弦心距的长度时，垂径定理经常要结合勾股定理。

）（3）两条弦相等⇔两条弧相等⇔两个圆心角相等⇔两个圆周角相等（4）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。

②半圆或直径所对的圆周角是直角。

③90°的圆周角所对的弦是直径。

④圆内接四边形的对角互补。

（注意：运用圆周角定理及其推论的关键是找到这些角所对的弧）2、点和圆的位置关系：①点在圆内⇔d<r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆外⇔d>r。

3、三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；内心是三条角平分线的交点。

4、直线和圆的位置关系：①相交⇔d<r；②相切⇔d=r；③相离⇔d>r。

5、证明一条直线是圆的切线的方法：有两种情况（1）直线和圆有公共点：先连接公共点和圆心，再证明直线垂直半径。

（2）直线和圆没有公共点：先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段等于半径。

6、圆的切线的性质：先连接圆心和切点，然后得到切线垂直半径。

7、切线长定理：。

8、与圆有关的计算公式：（1）正多边形的中心角= ；（2）正多边形的每一个内角= ；（3）正多边形的周长= ；（4）正多边形的面积= ；（5）弧长= ；（6）扇形的面积= = ；（7）圆锥的侧面积= （8）圆锥的全面积= ；（9）圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的圆心角= ；（10）圆柱的侧面积= 。

9、圆中常用的辅助线：（1）有弦：一般都作弦心距，再结合垂径定理和勾股定理；（2）遇直径想直角，遇直角想直径；（3）连接圆心和切点。

10、圆中有“三多”：（1）直角多（直径所对的圆周角、切线引出的直角）；（2）等腰三角形多（可得等边对等角（即两条半径所对的两个底角相等））；（3）相等的角多（同弧或等弧所对的圆心角相等、圆周角相等，等边对等角）。

第24章圆知识完整归纳

24章圆知识点一：圆的定义1、圆可以看作是的集合。

2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

知识点二：圆的相关概念1. 叫做弦，2. 叫做直径。

3. 的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

的弧（用三个点表示）叫优弧；的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。

半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

知识点三：圆的对称性圆是轴对称图形，都是圆的对称轴。

知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：。

注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分弦所对的.知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中，所对的弦相等，所对的弧也相等。

2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等所对的相等。

知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于的一半。

2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的相等。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 . 知识点七：圆内接多边形圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角 .知识点八：三角形的外接圆1.经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

2.三角形外接圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做这个三角形的外心，（1）三角形的外心到三角形的距离相等，等于外接圆的半径。

（2）一个三角形有且只有个外接圆，而一个圆却有个内接三角形。

（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形；钝角三角形的外心在三角形；直角三角形的外心是。

九年级人教版24章圆知识点

第二十四章圆1圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O ，另一个端点A所叫做圆。

其固定的端点O叫做，线段OA叫做。

圆既是图形，又是图形，任何一条都是圆的对称轴。

2.圆弧和弦：连接圆上的线段叫做。

经过圆心的弦叫做。

弦的取值范围：；圆上的部分叫做，简称。

大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。

以A、B为端点的劣弧记作，读作；等圆：能够的两个圆叫做；同圆或等圆的相等；等弧：在中，能够的弧叫做。

3.垂径定理：垂直于弦的直径，并且；几何语言：如图垂径定理的推论：平分弦（）的直径，并且平分两条弧。

几何语言：如图4.圆心角和圆周角：顶点在上的角叫做圆心角。

顶点在，并且两边都与圆的角叫做圆周角。

圆心角定理：在，相等的圆心角相等，也相等。

几何语言：如图推论：①在，如果相等，那么它们，。

几何语言：如图②在，如果相等，那么它们，。

几何语言：如图圆周角定理：一条弧所对的等于它所对的的一半。

∠几何语言如图：∵∴∠=∠=12推论：①同弧或等弧所对的相等。

如图：∵∴∠=∠②半圆（）所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是直径。

几何语言：如图几何语言：如图5.圆内接多边形：如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做；这个圆叫做这个。

圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的。

几何语言：6.点和圆的位置关系：设圆O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有①圆内：点P在圆<=>②圆上：点P在圆<=>③圆外：点P在圆<=>圆的确定：①和；②不在的三个点确定一个圆。

7.反证法：假设命题的不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。

8.三角形外接圆，内切圆经过三角形的三个可以作一个圆，这个圆叫做三角形的，其圆心叫做三角形的。

三角形的外心到三角形的的距离相等。

与三角形各边都的圆叫做这个三角形的，其圆心叫做三角形的。

三角形的内心到三角形的的距离相等。

新人教版数学第24章圆复习知识点归纳

1、直线和圆相交 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
r ●O d ┐
相切
d r;<
d r;=
d r.>
r ●O
d
┐ 相离
切线的判定定理 • 定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
D
A
（１）定义（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r （３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
面积s=πr2
． r
O
1
或
S
=
lr
2
4.圆柱的展开图:
A
D
h
B
C
r
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
5.圆锥的展开图:
l h
r S侧 =πr l S全=πr l + π r2
l 侧面
底面
谢谢！
三角形三边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形三内角角平分形各边的距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
●O
●O
┐
B
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
A ●O
B
C
怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径. ∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径
∴CD⊥OA.
●O
C
D
A
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

人教版九年级上第二十四章圆知识归纳

第二十四章圆知识归纳24.1 圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O 表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d 表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r 表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或r=二分之d 。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C 表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积.用字母S 表示。

S=πr 2一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

周长计算公式 1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：d=cπ4、圆周长的一半:21周长(曲线) 5、半圆的长：21周长+直径面积计算公式： 1、已知半径：S=πr 22、已知直径：S=π（2d ）2 3、已知周长：S=π(π2c )224.2 点、直线、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系 (d为点到圆心的距离，r为半径)①点在圆内点到圆心的距离小于半径②点在圆上点到圆心的距离等于半径③点在圆外点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)

【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
九年级数学第24章圆

人教版九年级数学上册第二十四章圆全章总复习及知识梳理

第二十四章圆
旋转对称、中心对称、轴对称
对称性
垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径的弦”的条件) 基本性质弧、弦、圆心角关系定理及其推论前提条件：在同圆或等圆中
圆周角定理及其推论
第二十四章圆
正多边形与圆
等分圆周
有关计算
第二十四章圆
位置关系切线的性质直线与圆的位置关系切线的判定切线的作用
且OM=3, 则⊙O的半径为( C ).
A．10 B． 8 C． 5 D．2
第二十四章圆
分析
第二十四章圆
相关题2 如图24-Z-4, 已知AB是⊙O的直径, 且AB=12.
弦CD⊥AB于点M, 且M是半径OB的中点, 则弦CD的长是
6 3 结果保留根号). ______(
第二十四章圆
解析
【要点指导】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半, 在解有关圆的问题时常常借助这个定理
进行角度转化.
第二十四章圆
例 1 如图24-Z-1, 某珠宝店有一圆形货柜, 为了
增加珠宝的光彩, 在其圆形边缘上的点A处安装了
一台小灯, 它所发出的光线形成的最大张角是65°.
为了使整个货柜里的珠宝都能被灯光照射到, 最少需在圆形边缘上安装这样的小灯( A．3台 B． 4台 C．5台
A
)．
D．6台
第二十四章圆
分析 ∵∠A=65°,
∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°.
∵360°÷130°≈2.8, ∴至少要安装3台这样的小灯. 故选A.
第二十四章圆
相关题1
如图24-Z-2, B, C是⊙A上的两点, AB的垂直平分
线与⊙A交于E, F两点,与线段AC交于点D．若∠BFC=20°, 则

人教版第24章圆的知识点与典型例题

圆知识点总结一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作»AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径．4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径2．（08郴州）已知在Or=，AB CD⊙中，半径5，，==AB CD，是两条平行弦，且86则弦AC的长为__________．六．点与圆的位置关系1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r>；⑵点在圆上⇔d r=；⑶点在圆内⇔d r<.2．过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线⑷过n()4三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．五．三角形内切圆 1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴ 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． ⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ⑷ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法九年级数学第二十四章——圆（一）—— 圆中的有关概念和性质一、知识点回顾：1.确定一个圆有两要素，一是，二是，圆心确定、半径确定；2.圆既是对称图形，又是对称图形；它的对称中心是，对称轴是，有条对称轴。

第24章《圆》章节知识点复习专题

第24章《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2（补充）、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；A图1外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

第二十四章圆知识点

第二十四章圆24.1 圆1.圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．2.与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．3.圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．4.垂直于弦的直径（1）垂径定理（7-1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理可以理解为：①垂直弦②直径（过圆心）③平分弦④平分劣弧⑤平分优弧“知二推三”.5.圆心角、弧、弦的关系（7-2）（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．6.圆周角（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（7-3）推论1：在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．7.圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．(7-4)②圆内接四边形的对边和相等．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．24.2 点、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质定理（7-5）①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，得垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（7-6）（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（7-7）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．9.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．10.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．11.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．12.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．24.3正多边形和圆1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．24.4 弧长和扇形面积1.弧长的计算（1）圆周长公式：C=2πR（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．2.扇形面积计算（1）圆面积公式：S=π（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．3.圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl（5）圆锥的体积=×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．4.圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积=底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积=底面积×高．。

人教版九年级数学第24章圆的有关计算知识点精讲精练(含答案)

第二十四章圆的有关计算【导航篇】知识点一：点和圆、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系分三种（设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d）:注意：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.2. 确定一个圆的条件（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.注意：“确定”是“有且只有”的意思，（2）中不能忽略“不在同一条直线上”这个前提条件，过在同一条直线上的三个点不能作圆.3. 三角形的外接圆（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.注意：一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.（2）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.（3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.（4）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.4. 反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法. 反证法是一种间接证明命题的方法.5. 直线和圆的位置关系【例1】如图，已知正方形ABCD 中，AB ＝2，以点A 为圆心画圆，半径为r . 当点D 在⊙A 内且点C 在⊙A 外时，r 的取值范围是____________.【例1】【解析】连接AC ，∵正方形ABCD 中，AB ＝2，∴AC＝，AD ＝2，以点A为圆心画圆，要使点D 在⊙A 内，则r ＞AD ，即r ＞2，要使点C 在⊙A 外，则r ＜AC ，即r ＜A 的半径r 的取值范围是2＜r ＜.【答案】2＜r ＜【巩固】1. 圆的直径为10 cm ，若点P 到圆心O 的距离是d ，则（） A. 当d ＝8 cm 时，点P 在⊙O 内 B. 当d ＝10 cm 时，点P 在⊙O 上 C. 当d ＝5 cm 时，点P 在⊙O 上 D. 当d ＝6 cm 时，点P 在⊙O 内2. 已知⊙O 的直径为12 cm ，圆心到直线l 的距离5 cm ，则直线l 与⊙O 的公共点的个数为（）A. 2B. 1C. 0D. 不确定3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ＝5，D 是AB 的中点，则它的外接圆的直径DCBAABCD为_____________.【巩固答案】 1. C 2. A 3. 10知识点二：切线的判定和性质1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. 2. 切线的判定方法（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（2）数量法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，过点B 作BD ⊥CD ，垂足为点D ，连接BC ，BC 平分∠ABD . 求证：CD 为⊙O 的切线.【例2】【解析】证明切线的方法：①当已知直线与圆有公共点时，连接圆心和这个公共点，即连半径，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线与圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，CDAB本题利用方法①证明即可，因为半径OC已连接，所以只要证明OC⊥CD，利用等腰三角形的性质、平行线的性质和判定即可得证.【答案】证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠OCD＋∠CDB＝180°，∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠OCD＝180°－∠CDB＝180°－90°＝90°.即OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD为⊙O的切线.【巩固】1.下列说法中，不正确的是（）A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线D. 垂直于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA 的度数为（）A. 76°B. 56°C. 54°D. 52°A1.D2.A知识点三：切线长定理和三角形的内切圆1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.5.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.【例3】如图，P A、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是（）A.P A＝PBB. ∠BPD＝∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD【例3】【解析】因为P A、PB为⊙O的切线，由切线长定理可知P A＝PB，∠BPD＝∠APD，所以A、B选项成立；在等腰三角形ABP中，根据等腰三角形的性质得到AB⊥PD，所以C选项成立，只有当AD∥PB，BD∥P A时，AB平分PD，所以D选项不一定成立. 故选D.【答案】D【巩固】1.如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P＝60°，P A＝2，那么AB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 80°AIB C 【巩固答案】1.B2.D知识点四：正多边形和圆1.正多边形及有关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.（2）圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.（3）与正多边形有关的概念（4）正多边形的对称性所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，n 为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2. 正多边形的有关计算（1）正n 边形的每个内角都等于()nn ︒⋅-1802.（2）正n 边形的每个中心角都等于n ︒360.（3）正n 边形的每个外角都等于n︒360.（4）设正n 边形的半径为R ，边长为a ，边心距为r ，则：①半径、边长、边心距的关系为2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a r R ；②周长l ＝na ； ③面积lr n ar S 2121=⋅=. 【例4】如图，边长为12 cm 的圆内接正三角形的边心距是_________cm.【例4】【解析】如图，作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，∴BH ＝CH ＝6 cm ，∵∠ABC ＝60°，∴∠OBH ＝30°. 设OH ＝x cm ，∴OB ＝2x cm ，在Rt △OBH 中，由勾股定理得x 2＋62＝(2x )2，解得x＝即OH＝cm.【答案】【巩固】1. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接OC 、OD ，则∠COD 的大小是（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，若⊙O 的半径是2，则正方形的边长是__________.【巩固答案】 1. C 2. 2知识点五：弧长和扇形面积1. 弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180Rn l π=. 2. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 3. 扇形面积公式（1）已知半径R 和n °的圆心角，则3602R n S π=扇形. （2）已知弧长l 和半径R ，则lR S 21=扇形. 4. 与圆锥有关的概念（1）圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线. （3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 5. 圆锥的侧面积和全面积如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ，因此rl l r S S ππ=⨯⨯==221扇形侧，()r l r r rl S S S +=+=+=πππ2底侧全.【例5】如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 是菱形，则图中阴影部分的面积为（） A.3232-π B. 332-π C. 3234-π D. 334-π【例5】【解析】由题意可知，阴影部分的面积是由两个面积相等的弓形面积组成，弓形面积可以看成是扇形OBC 的面积和三角形OBC 的面积的差，因为四边形OABC 是菱形，所以OC ＝BC ，又OB ＝OC ，所以△OBC 是等边三角形，所以S =阴影()2=OBC OBC S S ∆-扇形2602142236023ππ⎛⋅-⨯=- ⎝故选C.【答案】C 【巩固】r1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为（） A. π32 B. π34 C. π2 D. π382. 如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB ＝a ，则图中阴影部分的面积是（）A.26a π B. 2436a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π C . 243a D . 2433a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π【巩固答案】1. D2. B。

第二十四章圆复习【复习课件】九年级数学上册单元复习(人教版)

【注意】(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
知识梳理考点2 与圆有关的概念 11.三角形的内切圆内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心. 【注意】(1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
知识梳理考点8 与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
课堂检测
1.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2 r . (3)圆锥的侧面积为 lr .
(4)圆锥的全面积为 lr r2 .
知识梳理
考点9 与圆有关的计算
5.圆内接正多边形的计算
360
(1)正n边形的中心角为 n
半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的
·
三个点确定一个圆.
知识梳理考点2 与圆有关的概念 9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
知识梳理
考点9 与圆有关的计算
1.弧长公式 n R
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=__1_8_0__. 2.扇形面积公式

人教版九年级上册第24章《圆》小结与复习

[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
侵权必究
要点梳理 2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧
A
D
O
侵权必究
BM
C
考点精讲方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
侵权必究
考点精讲已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
2 的面积等于___3____．
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
圆的概念
圆是中心对称图形
圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的
圆的性质
对称轴圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
与圆有关的位置关系
直线与圆的位置的关系
或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
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要点梳理 3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.