2016人教版第24章圆的知识点5

A
O B
A
A
B
C
B
C
O
O
C
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图1
图2
图3
五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设⊙O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，则直线和圆的位置关系如下表：
位置 关系
图形
定义
性质及判定
相离
rO
d
l
直线与圆没有公共点
d r 直线 l 与⊙O 相离
相切
r
O
d
l
直线与圆有唯一公共点，直线叫 做圆的切线，公共点叫做切点
点在圆内
rP O
点在圆的内部
d r 点 P 在⊙O 的内部.
2．过已知点作圆 ⑴经过点 A 的圆：以点 A 以外的任意一点 O 为圆心，以 OA 的长为半径，即可作出过点 A 的圆，这样的圆有无数 个． ⑵经过两点 A、B 的圆：以线段 AB 中垂线上任意一点 O 作为圆心，以 OA 的长为半径，即可作出过点 A、B 的圆， 这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点 A、B、C 共线时，过三点的圆不存在；若 A、B、C 三点不共线时，圆心是线段 AB 与 BC 的中垂线的交点，而这个交点 O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
2 ，5 2 ，7 2 ． 六．点与圆的位置关系
1．点与圆的位置有三种： ⑴点在圆外 d r ；⑵点在圆上 d r ；⑶点在圆内 d r . 如下表所示：
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
r
P
点在圆的外部
d r 点 P 在⊙O 的外部.
O
点在圆上
r
P
O
点在圆周上
d r 点 P 在⊙O 的圆周上.
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个， 这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图 1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点 处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图 2）；钝角三角形外接圆的圆心在 它的外部（如图 3）.
d r 直线 l 与⊙O 相切
相交
r dO l
直线与圆有两个公共点，直线叫 做圆的割线
d r 直线 l 与⊙O 相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系 公共点个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 公共点名称 直线名称
相交 2
d r 交点 割线
二． 同圆、同心圆、等圆 1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆．
三．弦和弧 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的 2 倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 »AB ，读作弧 AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于 半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
内切
r O1 O2
R
两个圆有唯一公共点，并且除 了这个公共点之外，一个圆上 d R r 两圆内切 的点都在另一个圆的内部．
内含
R r O1 O2
两个圆没有公共点，并且一个 圆上的点都在另一个圆的内 部，两圆同心是两圆内含的一 种特例．
0d Rr 两 圆 内含
说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种 情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
五．垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三： ⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧． 以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造 RT △ ，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目： 1．平面内有一点到圆上的最大距离是 6，最小距离是 2，求该圆的半径 2．（08 郴州）已知在⊙O 中，半径 r 5 ，AB ，CD 是两条平行弦，且 AB 8，CD 6 ，则弦 AC 的长为__________． 解：
七．正多边形与圆
1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 2. 正多边形的相关概念：
⑴ 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． ⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． ⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ⑷ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3. 正多边形的性质： ⑴正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正 n 边形共有 n 条通过正 n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．
这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．
六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
设⊙O1、⊙O2 的半径分别为 R、r （其中 R r ），两圆圆心距为 d ，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
r O1
相切 1
d r 切点 切线
相离 0
d r — —
四．切线的性质及判定 1. 切线的性质： 定理：圆的切线垂
直于过切点的半径． 推论 1：经过圆心
且垂直于切线的直线必经过切点．
推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2. 切线的判定
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3. 切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
五．三角形内切圆
1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，
四．与圆有关的角及相关定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为 360 等份，每一份的弧对应1 的圆心角，我们也称这样的弧为1 的弧．圆 心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． 4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对 的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量分别相等．
R O2
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外 d R r 两圆外离 部．
外切
r
R
O1
O2
两个圆有唯一公共点，并且除 了这个公共点之外，每个圆上 d R r 两圆外切 的点都在另一个圆的外部．
相交
O1
R O2
两个圆有两个公共点．
Rrd Rr 两 圆相交
⑷过 n n ≥ 4 个点的圆：只可以作 0 个或1 个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
4．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的 外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
八、圆中计算的相关公式
设⊙O 的半径为 R ， n 圆心角所对弧长为 l ，
1. 弧长公式： l nπR 180
2.
扇形面积公式：
S扇形

n 360
πR 2

1 lR 2
3. 圆柱体表面积公式： S 2πR2 2πRh
4. 圆锥体表面积公式： S πR2 πRl （ l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
圆知识点总结
一． 圆的定义 1．在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫圆．这个固定的端点 O 叫 做圆心，线段 OA 叫做半径．以 O 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆 O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．