初中数学反比例函数知识点整理

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反比例函数知识点整理

一、 反比例函数的概念

1、解析式：()0≠=

k x k

y 其他形式：①k xy =②1-=kx y 例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3

x

y =

（2）x y 2-=（3）xy ＝21（4）25+=x y （5）x y 23-=（6）31+=x y

例2.当m 取什么值时，函数2

3)2(m x m y --=是反比例函数？ 例3．函数2

2

)12(--=m

x m y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限，

m 的值是_____ 例4．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；

当x ＝2时，y ＝5

（1） 求y 与x 的函数关系式（2）当x ＝－2时，求函数y 的值 2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy =

例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )

x y A 2.=

2

.B y x =-x y C 21.=x

y D 21.-

= 例3.如果点（3，－4）在反比例函数k

y x =的图象上，那么下列各点中，在此图象上的

是（）A .（3,4） B . （－2，－6） C .（－2，6） D .（－3，－4）

例4.如果反比例函数x

k

y =的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（）

A ．第一、三象限

B ．第二、四象限

C ．第一、二象限

D ．第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识

0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小；

0

例1.已知反比例函数y a x a =--()226

当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式

例2．已知反比例函数x

k y 1

2+=

的图象在每个象限内函数值y 随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式 2、面积问题（1）三角形面积：k S AOB 2

1

=∆ 例1.如图，过反比例函数x

y 1

=

（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD

的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（）

（A ）S 1＞S 2（B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2（D ）大小关系不能确定 例2.如图，点P 是反比例函数1

y

x

=

的图象上任一点，PA 垂直在x 轴，垂足为A ，设OAP ∆的面积为S ，则S 的值为

例3．直线OA 与反比例函数的图象在第一象限交于A 点，AB ⊥x 轴于

点B ，若△OAB 的面积为2，则k ＝. 例4．如图，若点A 在反比例函数(0)k

y k x

=≠的图象上，

AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =．

例5．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点

12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数的()2

0y x x

=

≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，

并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为.

例6．如图，A 、B 是函数2

y x

=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（） A ．2S =B ．4S =C ．24S <

（2）矩形面积：k

=OBAC

S 矩形

例1．如图，P 是反比例函数(0)k

y k x

=

<图象上的一点，由P 分别 p

y

A

x

O

第4题

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向x 轴和y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则k=。

例2．如图，已知点C 为反比例函数6

y x

=-上的一点，过点C 向坐标轴引垂线，垂足

分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为．

例3．如图，点A 、B 是双曲线3

y x

=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=．

例4、如图，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （3

20-

，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．

例5.两个反比例函数y=

k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示，点P 在y=k

x

的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=1

x

的图像于点

B ，当点P 在y=k

x

的图像上运动时，以下结论：

① △ODB 与△OCA 的面积相等；

② ②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等

④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 3.利用图像比较大小问题 （1）比较点的坐标大小

例1．已知点（－1，y 1）、（2，y 2）、（π，y 3）在双曲线x

k y 1

2

+-

=上，则下列关系式正确的是（）（A ）y 1＞y 2＞y 3（B ）y 1＞y 3＞y 2（C ）y 2＞y 1＞y 3（D ）y 3＞y 1＞y 2 例2．已知三点111()P x y ，，222()P x y ，，3(1

2)P -，都在反比例函数k

y x =

的图象上，

若

10x <，20x >，则下列式子正确的是（）

A ．1

20y y << B ．120y y <>D ．120y y >> 例3．反比例函数x

y 2

-=，当x ＝－2时，y ＝；当x ＜－2时；y 的取值范围是；当x

＞－2时；y 的取值范围是 例4.点A (2，1)在反比例函数y k

x

=

的图像上，1﹤x ﹤4时，y 的取值范围是. 例5．A (1x ，1y )、B (2x ，2y )在函数1

2y x

=的图象上，1x 、2x 满足_时，1y ＞2y . 例6．在反比例函数12m

y x

-=

的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（） A 、0m < B 、0m > C 、12m < D 、1

2

m >

例7、已知反比例函数)0(<=k x

k

y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，

则21y y -的值是（）A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、不能确定

（2）比较函数值大小

例1．如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2=

m

x

的图象，观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围

例2．如图,一次函数ｙ=ｘ－1与反比例函数ｙ=的图像交于点A (2,1),B (－1,－2),

则使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范围是（） A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1 三、 反比例函数与一次函数的综合题 （1） 在同一坐标系中的图像问题 例1．一次函数y kx k =-与反比例函数k

y x

=

在同一直角坐标系内的大致图象是（