16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录

1.均匀分布 (1)

2.正态分布（高斯分布） (2)

3.指数分布 (2)

4.Beta 分布（分布） (2)

5.Gamma分布 (3)

6.倒Gamma分布 (4)

7.威布尔分布 (Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布 ) (5)

8.Pareto 分布 (6)

9.Cauchy分布（柯西分布、柯西 - 洛伦兹分布） (7)

10.2.........................................................................

7分布（卡方分布）

11.

t分布 (8)

12.

F分布 (9)

13.二项分布 (10)

14.泊松分布（Poisson分布） (10)

15.对数正态分布

(11)

1.均匀分布

均匀分布 X ~ U (a,b) 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

f (x)

1

b a

a b

E(X)

2

(b a)2

Var ( X )

12

2.正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作X ~ N ( ,2 ) 。正态分布为方差已知的正态分布

N( , 2) 的参数的共轭先验分布。

1( x )2

e 22

f ( x)

2

E(X)

2

Var ( X )

3.指数分布

指数分布 X ~ Exp( ) 是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0 为尺度参数。指数分布的无记忆性：P X s t | X s P{ X t} 。

f ( x)e x , x 0

E(X )

1

Var( X )1 2

4. Beta 分布（分布）

Beta 分布记为X ~ Be(a, b)，其中 Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数

可凸也可凹。如果二项分布B( n, p) 中的参数p的先验分布取 Beta (a,b) ，实验数据（事件 A 发生 y 次，非事件 A 发生 n-y 次），则 p 的后验分布Beta( a y, b n y) ，即 Beta 分布为二项分布B(n, p)的参数 p 的共轭先验分布。

( x)0 t x 1e t dt

f ( x)(a b)x a1 (1x)b 1

(a)(b)

E(X )

a

a b

Var ( X )ab

b) 2 ( a b1)

( a

5. Gamma分布

Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

问题是“要等到 n 个随机事件都发生，需要经历多久时间” ，记为X ~ Ga (a,b)。其中a 0 为形状参数，b 0 为尺度参数。Gamma分布为指数分布Exp( ) 的参数、Poisson分布P( )的参数的共轭先验分布。

a

f ( x)

b

x a 1e bx , x0 ( a)

E(X)

a

b

Var ( X )a

b2

6. 倒 Gamma分布

倒 Gamma 分布记为X ~ IGa (a, b)。若随机变量 X ~ Ga(a, b) ，则1

~ IGa (a, b) 。其中 a0 为形状参数， b0 为尺度参数。倒Gamma 分布为指X

数分布 Exp( ) 的参数1

、均值已知的正态分布 N (,2) 的参数 2 的共轭先验分

布。

f (x)b a x ( a 1)e bx , x0

(a)

E(X )

b

a1

Var ( X )

b2

,a2 (a1)2 ( a2)

7.威布尔分布 (Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布 )

威布尔分布记为 X ~ W (m,) 。其中 m0 为形状参数，0 为尺度参数。当 m1，它是指数分布； m 2时，是 Rayleigh distribution （瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。

m 1x m

m x

e, x 0

f (x)

E(X )

1

1

m

2

2

Var ( X )2

1 11

m m

8. Pareto 分布

Pareto 分布记为X ~ Pa(a, b)。其中b0 为门限参数， a0 为尺度参数。Pareto分布是一种厚尾分布。 Pareto 分布为均匀分布U (0,) 的参数的共轭先验分布。

a a1

b

, x b

f ( x)

b

x

E(X)ab, a1

a 1

ab2

Var ( X )

(a1)2(a 2), a 2

9.Cauchy分布（柯西分布、柯西 - 洛伦兹分布）

Cauchy 分布记为X ~ Ca(a,b)。其中a为位置参数，b0 为尺度参数。中位数 Mode( X ) a ，期望、方差都不存在。如果X1, X 2,, X n是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数X1, X2,, X n/ n 服从同样的柯西分布。标准柯西分布 Ca(0,1) 是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。

1b

f ( x)

2(x a)2

b

10. 2 分布（卡方分布）

n

设 X1 , X 2 , , X n是来自N (0,1)的样本，则称统计量2X i2服从自由度为

i 1

n 的 2 分布，记为 2 ~2 ( n) 。

1n 1 x

f ( x)n x 2 e 2 , x 0

n

2 2

2

E( X ) n

Var ( X )2n