【数学建模】层次分析法步骤

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数学建模——层次分析法

在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然，的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。一般地，如果一个正互反阵
A
满足（8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。由于连续的依赖于 aii ，则比 n 大的越多，的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由如下：
重，景色次之，居住条件再次。问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素

数学建模(层次分析法(AHP法)

层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。

层次分析模型(数学建模)

第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定要由确定C1,… , Cn对O的权向量确定的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互反矩阵A 是正单根，正互反矩阵的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w，对应正特征向量， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数，正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。特征向量是正向量。定理2 定理2 n阶正互反阵的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。为一致阵的充要条件。是为一致阵的充要条件一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归选择旅游地” 选择旅游地纳 • 将决策问题分为个层次：目标层，准则层，将决策问题分为3个层次目标层O，准则层C，个层次：方案层P；每层有若干元素，方案层；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

层次分析法的具体步骤

层次分析法的具体步骤(1)建立层次结构模型如上所述，家纺纺织产业实施循环经济评价指标体系可被分为四层，最上层为最高层(目标层)，即纺织企业循环经济各个方面的综合水平；第二层为准则层，即相互独立、分别隶属于总系统层的子系统；第三层为指数层，是对准则层的进一步细分和阐述；最底层为指标层，该层隶属于准则层，是对纺织企、Ek循环经济各个方面具体的评价指标。

在层次分析法巾多采用三层分析，即目标层、准则层和指标层。

(2)构造比较判断矩阵根据层次结构模型，通过对某层次中各元素的相对重要性做出比较判断，即对于上一层次某一推则而言，在其下一层次中所有与之相关的元素中依次两两比较，从而得出逐层进行判断评分，进而构成两两判断矩阵，如表6—2所示。

如A1，A2，…，久，在考虑相对上一层准则H：前提下构造判断矩阵H‘—A。

具体的做法是：先将矩阵左侧的指标A1依次与矩阵上边一排所列的指标Al—A。

相对于目标Hf做两两比较，比较结果按AHP法设计的范围标度(表6—3)对它的重要性给予量化，并相应填入矩阵第一行；接着依次用左列指标A2，A3，…，A4重复进行上述比较，以完成矩阵的第二行至第n行。

对于每个准则层以及每个准则下的指标群，进行同样过程，这样也就形成了多级比较判断矩阵。

AHP采用这种标度方法，不仅能克服一些指标和指标子系统无标度情况下无法测量、统计等困难，而且这种标度法有特定的科学依据，这主要表现为：第一。

实验心理学有关研究表明，人们对不同程度刺激的感觉区别，最佳的区别个数为7土2，若取其最大的极限，恰好是9个。

也就是说，人们对某个事物的属性同时进行比较，要使其前后的判断基本保持一致，最多只能对9个不向事物向时进行比较判断。

按照人们惯用的相邻标度差为1的离散标度值确定法，对1—9种事物进行比较判别时，其比例标度恰好为[1，9]间的整数。

第二，人们在估计事物问区别时，习惯采用五种判断表述：相等、较强、强、4硼、绝对强。

若需要更高精度，还可在这五种相邻判断之间做出比较，这样共有9个等级。

层次分析法(AHP)建模

新余高等专科学校数学建模教练组 2005-
6
Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
新余高等专科学校数学建模教练组 (设计制作: syllen
权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1

层次分析法-数学建模

层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。

这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。

层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。

二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。

也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。

把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。

用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。

〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。

主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。

层次分析法的操作流程

层次分析法的操作流程
层次分析法的操作流程主要包括以下四个步骤：
1.建立递阶层次结构模型：首先，明确决策的目标，然后将决策的目标、
考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层。

最高层是决策的目的、要解决的问题，通常只有一个因素；最低层是决策时的备选方案或对象层；中间层是考虑的因
素、决策的准则，可以有一个或多个层次。

当准则过多时，应进一步分解出子准则层。

这样，就形成了一个递阶层次结构模型。

2.构造判断矩阵：从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响）
上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。

这一步是为了确定各因素之间的相对重要性。

3.层次单排序及一致性检验：对于每一个成对比较阵，计算其最大特征根
及对应特征向量，然后利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率进行一致性检验。

若检验通过，则特征向量（归一化后）即为权向量；
若不通过，则需重新构造成对比较阵。

这一步的目的是确定各因素或方案的权重。

4.层次总排序及一致性检验：在完成各层次单排序的基础上，计算各层元
素对系统目标的合成权重，并进行总排序。

最后，对排序结果进行一致性检验。

这一步是为了得出各备选方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。

层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法，它将决策者的经验判断与定量分析结合起来，能够有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

在操作过程中，需要注意保持层次结构的清晰和逻辑连贯，同时确保判断矩阵的一致性和准确性。

【数学建模】1.层次分析法

【数学建模】1.层次分析法1.解决问题的类型⾸先，提出⼀个⽅法考虑的应该是他对应解决什么类型的问题，对于层次分析法来说，它是⽤来解决确定评价指标、形成评价体系的评价类问题.解决评价类问题需要考虑的三个问题1.评价⽬标是什么2.为了达到这种⽬标有⼏种可以选择的⽅案3.评价的准则是什么2.层次分析法的步骤第⼀步建⽴系统的递阶层次结构.注：如果⽤到了层次分析法，层次结构图要放在建模论⽂中.层次结构图可以⽤PPT的SmartArt⽣成层次结构图可以⽤专业软件：亿图图⽰⽣成第⼆步构造判断矩阵对于判断矩阵来说很重要的⼀点就是确定各个指标的权重，那么下⾯就来说⼀说怎么确定权重3.权重的确定（1）⾸先填写判断矩阵把评价准则（景⾊、花费、居住、饮⾷、交通）和可选择的⽅案（苏杭、北戴河、桂林）做成判断矩阵（制表）我们采⽤填写判断矩阵的⽅法确定权重，参考如图总的判断表格判断矩阵判断指标然后需要对总的判断表格中的评价准则和针对不同准则⽅案之间的差异重新制表写判断表格。

对⾓线均为1评价准则的判断矩阵针对不同准则⽅案之间的差异值得注意的⼀点，填写完判断矩阵后我们要判断矩阵是否为⼀致矩阵⼀致矩阵特点：各⾏（各列）成倍数关系注：判断矩阵中的元素只能是1-9和他们的倒数.（2）其次进⾏⼀致性检验⼀致性检验：检查我们构造的判断矩阵和⼀致矩阵是否有太⼤的差别。

检验的具体原理这⾥就不详细的叙述了，下⾯就直接讲⼀致性检验的步骤了注：matlab中可以进⾏特征值计算，如果特征值为虚数，那么就⽐较特征值的模长.如果得到的判断矩阵符合⼀致性检验，那么我们就可以计算⼀致矩阵的权重了。

（3）再次⼀致矩阵权重的计算有三种⽅法：算术平均法、⼏何平均法、特征值法。

通常采⽤特征值法计算权重如果⼀个矩阵是⼀致矩阵那么采⽤特征值法计算权重的⽅法为那么对于通过⼀致性检验的矩阵来说，也可以采⽤这种⽅法最后汇总权重，计算得分得到的表格(4)CR>0.1的修正上⾯说的都是判断矩阵经过⼀致性检验的步骤，那如果没有经过⼀致性检验呢，这就需要我们对判断矩阵进⾏修正调整的原则就是：往⼀致矩阵调整就OK了，⼀致矩阵隔⾏成倍数关系4.层次分析法的局限性5.模型拓展6.例⼦7.附录优先选择知⽹（万⽅、百度学术、⾕歌学术等平台）搜索⽂献。

数学建模-层次分析法

三、判断矩阵的一致性
定义1:设如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研究周期 C5
财政支持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；

层次分析法步骤

层次分析法步骤一、准备阶段1、定义分析目标。

泛化层次分析法是一种比较主观的方法，用于评估潜在变量或多个变量之间的关系。

在这种情况下，需要确定分析的目标，也就是对变量之间的关系进行分析，了解情况的发展趋势、分析变量的稳定性或不稳定性等。

2、选择分析变量。

分析变量是用来衡量指标的变量，可以为定性变量或定量变量，而且根据研究需要精选变量数量。

3、数据收集。

利用特定的数据收集工具收集相关信息，以便对变量进行分析。

二、建模阶段1、构建层次结构。

首先，要明确需要分析的参数，并将参数归类成不同的层次。

这将是建模和构建层次结构的基础。

2、选择比较参数。

选择可以产生有效的结果的参数作为比较参数，以估算不同层次之间或相同层次之间变量的重要程度。

3、定量化变量并建立模型。

将变量定量化，并根据层次结构和参数选择建立模型，以获得有意义的结果。

三、结果分析阶段1、模型结果检查。

在建模阶段产生的模型结果中，需要检查模型结果。

检查是要确定模型的准确性，检查模型是否满足该分析的要求。

2、变量重要性重要性是指分析中衡量变量重要性的指标，是指由变量的框架和公式组成的模型的可靠性和准确性。

3、层次分析。

层次分析旨在定量的相关变量之间的层次结构的优先关系和重要性。

4、数据可视化。

为了更加清楚地描述结果，需要图形表示，比如柱状图、折线图或饼型图等进行数据可视化。

五、结论根据层次分析法的结果，可以总结出变量的重要性，分析变量的层次之间的关系，用图表的形式表示数据的可视化，更加清楚地为研究者提供了一种量化测量变量之间关系的方法。

数学建模(层次分析法(AHP法))

判断矩阵元素a 判断矩阵元素 ij的标度方法
标度 1 3 5 7 9 2 ， 4 ， 6， 8 倒数含义表示两个因素相比，表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要上述两相邻判断的中值
层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一、问题的提出日常生活中有许多决策问题。日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。某一种方案。例1 某人准备选购一台电冰箱他对市场上的6 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解选取一些中间指标进行考察。例如电冰指标进行考察后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等外界信誉、售后服务等。
目标层
O(选择旅游地选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性要比较各准则对目标的重要性
Ci :Cj ⇒aij
选择 C1 旅 C2 游 C 3 地
C4 C5 C1
层次分析法(AHP法层次分析法(AHP法)
Analytic Hierarchy Process

层次分析模型简介及例题

数学建模中的层次分析法
层次分析法简介
• 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪 70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。
• 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
w1 w2
w1
wn
w2
wn
w n
wn
成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
w1
w1
w1
w2
w2
w2
A
w1
w2
w1
wn
w2
wn
的正互反阵A称一致阵，如
wn
wn
wn
w1
w2
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
• 相应的综合评价公式是
• Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 • 如果用同样的分制来给作品的三个指
标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。
例2. 选择旅游地
如何在3个目的)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
2
1
7
5
5
A~成对比较阵
旅 A 1/ 4 1/ 7
游地
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
1 2
1/ 2 1
1/ 3
1
A是正互反阵

数学建模中的层次分析法

数学建模中的层次分析法
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层次分析法简介
• 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。
• 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致性检验
第18页，共45页。
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
的权向量为 w (2 ) (w 1 (2 ), ,w n (2 ))T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
0.455
0.429 0.429 0.142
0.634 0.192 0.174
0.264
0.167 0.167 0.667
0.476 0.054 0.098
0.109
第22页，共45页。
（4）组合一致性检验
0.264 0.476
CI(3) 0.0030.0010 0.00500.0540.00176
w1,w2, … wn是权重系数，其满足：
wi0 ,
n
wi 1
i1
第4页，共45页。
对权重系数的量化过程
（1）成对比较
从 x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：
xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。

数学建模层次分析法

层次分析法(AHP法)
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景基本步骤应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的成对比较阵
方案层对C2(费用)的成对比较阵
…Cn

数学建模——层次分析法

用matlab求层次分析法的特征向量，特征值，检验一致性的程序：clc,clearA=input('A=');n=length(A(1,:))lambdamax=max(eig(A))CI=(lambdamax-n)/(n-1)i=1:n;M=[prod(A,2)];M1=M.^(1/n);W=(M1./sum(M1))'if n==1;RI=0.00elseif n==2;RI=0.00elseif n==3;RI=0.58elseif n==4;RI=0.90elseif n==5;RI=1.12elseif n==6;RI=1.24elseif n==7;RI=1.32elseif n==8;RI=1.41elseif n==9;RI=1.45endCR=CI/RI层次分析法（The Analytic Hierarchy Process ，简记AHP）是美国著名的运筹学家T ．L ．Satty 等人在２０世纪７０年代提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。

它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。

它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。

这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题，提供一种简便的决策方法。

尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。

应用层次分析法分析问题时，首先要把问题层次化。

根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。

并最终把系统分析归结为最底层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。