角平分线的性质优质课优秀课件
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角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册
第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途 径，写出证明过程.
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
A
由 18此0°”，的你思又路能∴在吗受△？到∠P什DPDO么O和启=△发∠P？EPEO你O中能=，发90现°.证明“三角形内D角和P 等于C
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
∴PD = PE
O
E
B
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路 与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
O
S 实际问题
A
B
几何问题
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、 OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路
与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC， 截取OP=2.5cm ，P即为所求.
O
D
E
A
P
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
学习目标 01 会用尺规作一个角的平分线；
02 探索并证明角的平分线的性质，掌握角的 平分线的判定；
03 会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
回顾旧知
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
角平分线的性质(时)(公开课)精品通用课件
角平分线的性质(时)( 公开课)精品通用课 件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的应用 • 角平分线的证明方法 • 角平分线的拓展知识
01
角平分线的定义与 性质
角平分线的定义
角平分线：从一个角的顶点出发 ，将该角平分为两个相等的角的
详细描述
首先，根据题目条件，构造两条平行线。然后，利用平行线的性质，证明两条平行线被一条横截线所 截得的同位角相等。最后，根据角的平分线性质，证明角平分线的存在。
01
角平分线的拓展知 识
角平分线的性质定理的推论
01
02
03
推论一
角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等。
推论二
角的内部到角的两边距离 相等的点在这个角的平分 线上。
角平分线与垂直平分线交于一点，这一点是角的顶点关于角平分线 的对称点。
与三角形内心的关系
角平分线与三角形内心重合，内心是三角形三个内角的角平分线的 交点。
感谢观看
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
01
角平分线的应用
角平分线在几何图形中的应用
角平分线在等腰三角形中的应用
角平分线与等腰三角形的高、中线重合，可以利用这一性质证明等腰三角形的 相关性质。
角平分线在直角三角形中的应用
在直角三角形中，角平分线与斜边上的中线相等，可以利用这一性质证明相关 性质或解决相关问题。
角平分线在三角形中的应用
角平分线的定理
定理
定理
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的应用 • 角平分线的证明方法 • 角平分线的拓展知识
01
角平分线的定义与 性质
角平分线的定义
角平分线：从一个角的顶点出发 ，将该角平分为两个相等的角的
详细描述
首先，根据题目条件，构造两条平行线。然后，利用平行线的性质，证明两条平行线被一条横截线所 截得的同位角相等。最后，根据角的平分线性质，证明角平分线的存在。
01
角平分线的拓展知 识
角平分线的性质定理的推论
01
02
03
推论一
角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等。
推论二
角的内部到角的两边距离 相等的点在这个角的平分 线上。
角平分线与垂直平分线交于一点，这一点是角的顶点关于角平分线 的对称点。
与三角形内心的关系
角平分线与三角形内心重合，内心是三角形三个内角的角平分线的 交点。
感谢观看
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
01
角平分线的应用
角平分线在几何图形中的应用
角平分线在等腰三角形中的应用
角平分线与等腰三角形的高、中线重合，可以利用这一性质证明等腰三角形的 相关性质。
角平分线在直角三角形中的应用
在直角三角形中，角平分线与斜边上的中线相等，可以利用这一性质证明相关 性质或解决相关问题。
角平分线在三角形中的应用
角平分线的定理
定理
定理
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
《角的平分线的性质》PPT优质课件
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
《角平分线的性质》PPT优秀课件
现？
B 由此，你能得到什么结论？
M在ABiblioteka 上另取一点Q,试一试，D 你能得出同样的结论吗？ P
A
N
C
角平分线上的点，到这个角的两边的 距离相等。
M性质主要B用于证已 线知 ，：P为AADD为上B任A意C角一平点分， 明两线段相等，使 PM AB, PN AC, A 用平的分前线提，P 是关D有 键角 是试的 图说明：PM=PN 中是N否有“垂直”。
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情境引入
天泉农副产品集散基地M位于李庄A、 王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位 置到三条公路AB、AC、BC的距离
相等。你能在图中 ABC 内部画出
M的位置吗？
C
A
B
动动手 画一画
请同学们拿出一张纸，在纸
上任意画出一个角 BAC ,
把它剪下并对折，使角的两
边重合，然后展开铺平，你
有什么发现？
B
（1）思考：角是轴对称图形吗？
否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠BAC的
随 练习
A
12
一 填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴(_角____D_平__C___分=__D__线_E____上____的__点___到__角__的__两___边__的__距_C__离__相__等D_____) B
初中数学《角平分线的性质》优质课件
M
B
D P
N C
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
M
B
（1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； A
D P
（3）PM⊥AB PN⊥AC
符号语言：
N C
∵AD平分∠BAC ，PM⊥AB ， PN⊥AC
∴PM=PN
作用：判断线段相等的依据.
练习一：判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE .
(×)
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
PE=PF.
A
D
O
O
PC
E B
（1题）
A D
PC
E B
（2题）
(× )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到 OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( √ )
B
A
D
C
结论： 角是轴对称图形，角的平分线所在的
直线是它的对称轴.
活动二：探索角平分线的第一个性质
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，
通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分
别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什
么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N C
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD上任意一点，
PM⊥AB，PN⊥AC.求证：PM=PN
角的平分线的性质PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第3页
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB平分线上．
证实: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB平分线上
第4页
归纳 到角两边距离相等点在角平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB平分线上．
角平分线上点到角两边距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB平分线上 ∴ QD＝QE
第5页
练一练
1.如图, △ABC角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA距离相等
复习回顾
1、会用尺规作角平分线.
2、角平分线性质:
角平分线上点到角两边距离相等
用数学语言表述：
∵ OC是∠AOB平分线
PD⊥OA，PE⊥OB
O
∴ PD＝PE
A D
1
P
2
C
E B
第2页
思索
反过来，到一个角两边距离相等点是否一定在 这个角平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB平分线上．
求证：点F在∠DAE平分线上． 证实：过点F作FG⊥AE于G，
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE平分线上，
G
FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
M
又∵点F在∠CBD平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
H
∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB平分线上．
证实: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB平分线上
第4页
归纳 到角两边距离相等点在角平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB平分线上．
角平分线上点到角两边距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB平分线上 ∴ QD＝QE
第5页
练一练
1.如图, △ABC角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA距离相等
复习回顾
1、会用尺规作角平分线.
2、角平分线性质:
角平分线上点到角两边距离相等
用数学语言表述：
∵ OC是∠AOB平分线
PD⊥OA，PE⊥OB
O
∴ PD＝PE
A D
1
P
2
C
E B
第2页
思索
反过来，到一个角两边距离相等点是否一定在 这个角平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB平分线上．
求证：点F在∠DAE平分线上． 证实：过点F作FG⊥AE于G，
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE平分线上，
G
FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
M
又∵点F在∠CBD平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
H
∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE平分线上
角平分线的性质教学课件
解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
《角的平分线的性质》PPT课件
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A E
D
B
-
C 19
再见
-
20
∴PD=PE
A
D
C P·
O
E B
-
17
A E
C
B
D
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，
AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3
㎝，求BE的长。
-
18
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
-
4
活 动 3 根据角平分仪的制作原理怎样作
一个角的平分线？（不用角平分仪或
量角器）
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
-
5
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
-
7
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
-
8
活 动 5 探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
《角平分线的性质》课件
在解决பைடு நூலகம்际问题中的应用
实际应用
在建筑设计、工程绘图等领域， 角平分线性质可以帮助确定物体 的位置和方向，从而保证设计的 准确性和施工的顺利进行。
案例分析
在设计桥梁、建筑或管道时，可 以利用角平分线性质来确定结构 的支撑点或固定点，以确保结构 的稳定性和安全性。
在数学竞赛中的应用
竞赛题特点
数学竞赛中常常出现与角平分线性质相关的题目，这类题目 通常涉及多个知识点，需要学生具备较高的逻辑思维和推理 能力。
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用符号“∟”表 示角平分线。
例如，若射线OA是∠AOB的角平分线 ，则标记为“OA∟∠AOB”。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
角平分线定理：对于三角形中的角平分线 ，它所对的边与该角的对边之比等于其他 两边之比。即，在△ABC中，若AD是 ∠BAC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
在其他领域的应用
农业灌溉
在农田灌溉中，可以利用 角平分线性质优化灌溉管 道和水渠的布局，提高灌 溉效率。
航空导航
在航空导航中，可以利用 角平分线性质确定航向和 飞行高度，确保航行安全 。
军事战略部署
在军事战略部署中，可以 利用角平分线性质优化部 队的驻扎和部署，提高作 战效率。
THANKS
感谢观看
在道路规划中的应用
01
02
03
道路交叉口设计
利用角平分线性质，合理 规划道路交叉口的位置和 形状，提高交通流畅度和 安全性。
道路指示牌设置
根据角平分线性质，合理 设置道路指示牌的位置， 确保驾驶员能够清晰地获 取指示信息。
道路排水设计
在道路规划中，可以利用 角平分线性质优化排水系 统的布局，提高道路的排 水性能。
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
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角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
角平分线的性质优质课ppt课件
角的平分线的性质
（第1课时）
新人教版 八年级 上册
1
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
2
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
C
B
N
O
4
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
5
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
变题2：如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C ＝90°，DE⊥AB于E，BC=8， A BD=5，求DE.
C
F C
E DB
E DB
9
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
A
E B
F
D
C
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（第1课时）
新人教版 八年级 上册
1
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
2
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
C
B
N
O
4
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
5
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
变题2：如图，△ABC中， AD是∠BAC的平分线， ∠C ＝90°，DE⊥AB于E，BC=8， A BD=5，求DE.
C
F C
E DB
E DB
9
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
A
E B
F
D
C
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八年级数学12.3《角平分线的性质》(共23张PPT)优秀课件
二、重点难点
学生学好数学的信心. 到角两边的距离的正确理解；
2、掌握角平分线性质定理的运用 。
关键:通过情景问题的设计,引导
活动1 给出一个纸片做的角,不利用工具,能不能找出
这个角的角平分线呢? 〔对折〕
再翻开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、 A 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
C
∴∠CAD=∠CAB〔全等三角形的 E 对应边相等〕
∴AC平分∠DAB〔角平分线的定义〕
B C
根据角平分仪的制作原 理怎样作一个角∠EAF 的平分线？〔不用角平
分仪或量角器〕
A
D
E
B
作法:１.以A为圆心,适当长为半径作弧, AE于点B,交AF于点D；
２.分别以B、D为圆心,大于线段BD 一 半 的 长 为 半 径 作 弧 , 两 弧 在 ∠ EAF 的内部交于点Ｃ；
1、如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶 D 点，AB和AD沿着角的两边放下， 过点A、C画一条射线AE，AE就是 角平分线，你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB〔〕
D
B
DC=BC〔〕
CA=CA〔公共边〕
∴ △ACD≌ △ACB〔SSS〕
３.作射线AC。
A
DF
二 角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是角平分线OC上 的任意一点
1.操作测量：取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA , PE⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长。将三次数据填入下表：
A
D
CD PE
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题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ， PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
4.实践与应用
判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OAO， PF⊥OB，则PE=PF. （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上 的一点，E、F分别在OA、OB上，则
E B
F
D
C
Back
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF.
A
∴ PD=PE=PF.
D
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
N PM
B
E FC
（1）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的 两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂 线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？ （2）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB， DF ⊥ AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC. （3）如图，CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，垂足分别为DE，BE， CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝ ∠2
C
B
N
O
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等
时，平分角的仪器两边相等，从几
· 何作图角度怎么画？BC=DC，从 B
几何作图角度怎么画？
·D
C·
角平分线的画法：
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB 于N． （２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部交于C． A
（3）作射线OC，
M
则射线OC即为所求
角平分线的性质优质课优秀 课件
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
PE=PF.
A E
P
FB
图1
A
E
P
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上
O
图2F B
任取一点P，若P到OA的距离为3cm，
A
则P到OB的距离边为3cm.
E
P
O 图3 B
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它
的角平分线，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F.求证：EB=FC.
E
B
A
F
D
C
变题1：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平
分线， ∠C＝90°， DE⊥AB于E，F 在AC
上，且BD=DF，求证：CF=EB.
A
变题2：如图，△ABC中， AD 是∠BAC的平分线， ∠C＝ 90°，DE⊥AB于E，BC=8， BD=5，求DE.
F
E
A
CD B
E CD B
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
4.实践与应用
判断正误，并说明理由： （1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OAO， PF⊥OB，则PE=PF. （2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上 的一点，E、F分别在OA、OB上，则
E B
F
D
C
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证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF.
A
∴ PD=PE=PF.
D
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
N PM
B
E FC
（1）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的 两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂 线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？ （2）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB， DF ⊥ AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC. （3）如图，CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，垂足分别为DE，BE， CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝ ∠2
C
B
N
O
A
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
M
求证：OC平分∠AOB.
C
证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC， OC=OC，
B
N
O
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等
时，平分角的仪器两边相等，从几
· 何作图角度怎么画？BC=DC，从 B
几何作图角度怎么画？
·D
C·
角平分线的画法：
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB 于N． （２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部交于C． A
（3）作射线OC，
M
则射线OC即为所求
角平分线的性质优质课优秀 课件
要研究角的平分线的性质我们必须
A·
会画角的平分线，工人师傅常用如
图所示的简易平分角的仪器来画角
· 的平分线. 将A点放在角的顶点处，B
AB和AD沿角的两边放下，过AC画
·D
一条射线AE，AE即为∠BAD的平 分线.
C·
E
A·
把简易平分角的仪器放在角的两边
PE=PF.
A E
P
FB
图1
A
E
P
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上
O
图2F B
任取一点P，若P到OA的距离为3cm，
A
则P到OB的距离边为3cm.
E
P
O 图3 B
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它
的角平分线，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E，F.求证：EB=FC.
E
B
A
F
D
C
变题1：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平
分线， ∠C＝90°， DE⊥AB于E，F 在AC
上，且BD=DF，求证：CF=EB.
A
变题2：如图，△ABC中， AD 是∠BAC的平分线， ∠C＝ 90°，DE⊥AB于E，BC=8， BD=5，求DE.
F
E
A
CD B
E CD B
例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点 P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.