应用数学课件自学考试大纲

应用数学课程自学考试大纲

课程代码：01042

使用教材：《微积分》（第三版） 赵树嫄 主编 中国人民大学出版社 2007年 课程性质和学习目的：

本大纲供应用数学课程使用。

考核知识点及考核要求：

第一章 函数

第一节 集合

了解：集合的概念、集合的关系和运算。

第二节 实数集

掌握：区间、邻域的概念。

第三节 函数关系

掌握：函数的概念，函数的定义域、表达式及函数值。

第四节 分段函数

掌握：掌握分段函数的定义域、函数值的概念以及分段函数的图像的做法

第五节 建立函数关系的例题

了解：函数关系在实际生活中的应用。

第六节 函数的几种简单的性质

掌握：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

第七节 反函数与复合函数

掌握：函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=之间的关系（定义域、值域、图象），以及单调函数的反函数。函数的四则运算与复合。

重点掌握：复合函数的复合过程。

第八节 初等函数

了解：初等函数的概念。

掌握：基本初等函数的简单性质及其图象。

第二章极限与连续

第一节数列的极限

了解：极限的概念（对极限定义中“ε-N”、“ε-δ”、“ε-M”的描述不作要求），能根据极限概念了解函数的变化趋势。

第二节函数的极限

重点掌握：函数在一点处的左极限与右极限，以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

第三节变量的极限

了解：变量极限的定义、有界变量的定义。

第四节无穷大量与无穷小量

掌握：无穷小量、无穷大量的概念

重点掌握：无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

第五节极限的运算法则

掌握：极限的四则运算法则。

第六节两个重要的极限

重点掌握：用两个重要极限求极限的方法。

第七节利用等价无穷小量代换求极限

重点掌握:利用等价无穷小量做代换的方法。

第八节函数的连续性

了解：函数在一点连续与极限存在之间的关系、在闭区间上连续函数的性质。掌握：函数在一点连续与间断的概念、初等函数在其定义区间上连续性，并会利用函数连续性求极限。

重点掌握：判断简单函数（含分段函数）在一点处连续的方法、求函数的间断点及确定其类型。

第三章导数与微分

第一节引出导数概念的例题

了解：导数概念的两个例题。

第二节 导数的概念

了解：可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

重点掌握：导数的概念及其几何意义。

第三节 导数的基本公式与运算法则

掌握：隐函数的求导法与对数求导法、曲线的切线方程和法线方程的求法。 重点掌握：导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。

第四节 高阶导数

了解：高阶导数的概念，函数的二阶导数。

第五节 微分

了解：微分的概念、可微与可导的关系，函数的微分。

掌握：微分运算法则。

第四章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

了解：罗尔定理、拉格朗日中值定理（知道它们的条件、结论）。

第二节 洛必达法则 重点掌握：用洛必达法则求“00”、“∞∞

”“0·∞”、“∞－∞”、“1∞”、“00和“∞0”型未定式的极限方法。

第三节 函数的增减性

重点掌握：利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

第四节 函数的极值

掌握：函数极值的概念。

第五节 最大值与最小值，极值的应用问题 重点掌握：求函数的极值、最大值与最小值的方法，以及简单的应用问题。

第六节 曲线的凹向与拐点

重点掌握：判定曲线的凹凸性的条件，并会求曲线的拐点。

第七节 函数图形的作法

了解：函数图形的作法、曲线渐近线的求法。

第五章不定积分

第一节不定积分的概念

掌握：原函数与不定积分的概念及其关系。

第二节不定积分的性质

重点掌握：不定积分的性质。

第三节基本积分公式

重点掌握：不定积分的基本公式。

第四节换元积分法

掌握：第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

重点掌握：不定积分第一换元法。

第五节分部积分法

掌握：分部积分公式，利用分部积分法计算积分。

第六节综合杂例

掌握：常见类型的不定积分分部积分法。

重点掌握：简单有理函数的不定积分。

第六章定积分

第一节引出定积分概念的例题了解：定积分概念的两个例题。

第二节定积分的定义

了解：可积的条件。

重点掌握：定积分的概念与几何意义。

第三节定积分的基本性质

重点掌握：定积分的基本性质。

第四节微积分基本定理

掌握：对变上限定积分求导的方法、牛顿-莱布尼茨公式。

第五节定积分的换元积分法

重点掌握：定积分的积分换元法。

第六节定积分的分部积分法

掌握：定积分的分部积分法。

第七节定积分的应用

重点掌握：直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积。

第八节广义积分与Γ函数

了解：无穷区间广义积分的概念，并会进行计算。

第七章无穷级数

第一节无穷级数的概念

了解：级数收敛、发散的概念。

第二节无穷级数的基本性质

了解：级数的基本性质。

重点掌握：级数收敛的必要条件。

第三节正项级数

掌握：正项级数的比值判别法和比较判别法。

第四节任意项级数，绝对收敛

了解：级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。

掌握：几何级数∑∞

=0

n

n

ar、调和级数∑∞

=1

1

n

n

与p级数∑∞

=1

1

n

p

n

的敛散性。

第五节幂级数

了解：幂级数的概念、幂级数在其收敛区间的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。

重点掌握：求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。

第六节泰勒公式与泰勒级数

了解：泰勒公式以及泰勒展开的两种余项（拉格朗日型余项和麦克劳林余项）。

第七节某些初等函数的幂函数展开式

重点掌握：一些简单的初等函数展开为x的幂级数。