第7节 动能和动能定理

动能和动能定理

[知识精讲]

知识点1 动能

物体由于运动而具有的能叫动能。动能的大小：E K=mv2/2。动能是标量。

注意：（1）动能是状态量，也是相对量。因为v是瞬时速度，且与参照系的选择有关。

（2）动能是标量，动能和速度的方向无关，如在匀速圆周运动中，瞬时速度虽然是变化的，但是其动能是不变的。

（3）动能有相对性，由于物体的速度是与参照物的选择有关，故可知动能也与参照物的选取有关，即具有相对性。小鸟能在空中把飞机撞坏，充分

说明了这一点。

[例1]以初速度v0竖直上抛一个小球，若不计空气阻力，在上升的过程中，从抛出小球到小球动能减小一半所经历的时间是（）

A．v0/g B．v0/2g C v0/g D．（/2）v0/g

[总结]动能与速度的方向无关.因此该题中，从抛出小球到小球动能减小一半时的速度可能有两个。若在该题中只是问：从抛出小球到小球动能减小一半所经历的时间为多少？则答案应该是两个，即在上升和落回时各有一个。

[变式训练1]关于动能，下列说法中正确的是（）

①公式E K=mv2/2中的速度v是物体相对于地面的速度②动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关③物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同④物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

知识点2 动能定理

（1）内容：合力所做的功等于物体动能的变化

（2）表达式：W合=E K2-E K1=ΔE或W合= mv22/2- mv12/2 。其中E K2表示一个过程的末动能mv22/2，

E K1表示这个过程的初动能mv12/2。

（3）物理意义：动能地理实际上是一个质点的功能关系，即合外力对物体所做的功是物体动能变化的量度，动能变化的大小由外力对物体做的总功多少来决定。动能定理是力学的一条重要规律，它贯穿整个物理教材，是物理课中的学习重点。

说明：1．动能定理的理解及应用要点

（1）动能定理的计算式为标量式，v为相对与同一参考系的速度。

（2）动能定理的研究对象是单一物体,或者可以看成单一物体的物体系.

（3）动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作

用。只要求出在作用的过程中各力做功的多少和正负即可。这些正是动能定

理解题的优越性所在。

（4）若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，

也可以考虑全过程作为一整体来处理。

2．动能定理的应用

（1） 一个物体的动能变化ΔE K 与合外力对物体所做的功W 具有等量代换关系，若

ΔE K ›0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若

ΔE K ‹0，表示物体的动能减小，其减少良等于合外力对物体所做的负功的绝对

值；若ΔE K =0，表示合外力对物体所做的功等于零。反之亦然。这种等量代换

关系提供了一种计算变力做功的简便方法。

（2） 动能定理中涉及的物理量有F 、L 、m 、v 、W 、E K 等，在处理含有上述物理量的

力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在整个位移内的功和这段

位移始末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于

动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别

方便。

（3） 动能定理解题的基本思路

① 选取研究对象，明确它的运动过程。

② 分析研究对象的受力情况和各个力做功情况然后求各个外力做功的代数和。 ③ 明确物体在过程始末状态的动能E K1和E K2。

④ 列出动能定理的方程W 合=E K2-E K1，及其他必要的解题过程，进行求解。

[例2]如图所示，物体在离斜面底端5m 处由静止开始

下滑，然后滑上由小圆弧与斜面连接的水平面上，若

物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾 角为37º。求物体能在水平面上滑行多远。

[总结]应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动过程中变化的细节，只需考虑整个过程中的功及过程始末的动能。若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑。若不涉及中间过程量时，用整个过程分析比较简单。但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待，求出总功、计算时要把各力的功连同符号（正、负）一同代入公式。

[变式训练2] 一质量为1.0kg 的物体，以4m/s 的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起对物体施以一水平向右的恒力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小仍为4m/s ，则在这段时间内水平力对物体所做的功为（ ）

A ．0

B ．-8J

C ．-16J

D ．-32J

[难点解析]动能定理的综合应用性问题

[例3]图中ABCD 是一条长轨道，其中AB 段是倾角 为θ的斜面，CD 是水平的。BC 是与AB 和CD 都

相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计。一质量 为m 的小滑块在A 点从静止状态释放，沿轨道滑下，

最后停在D 点，A 点和D 点位置如图所示。现用一

沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D 点推回

A 点停下，设轨道与滑块间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于（ ）

A ．mgh

B ．2mgh

C ．μmg （l+h/sin θ）

D ．μmgl+μmghcot θ

[总结]在题中不涉及中间物理量的情况下，全过程应用动能定理较为方便。

[变式训练3]以初速度v 1竖直上抛一个质量为m 的物体，物体落回到抛出点时的速度大小为v 2，如果物体在上升和下降过程中受到的空气阻力大小恒定，即大小相等，求物体能上升的最大高度

[难点精析2]利用动能定理求变力的功

[例4]如图所示，某人用定滑轮吊起一质量为1的物体，绳子 长为L,每单位长的质量为m 2,试求此人将物体从地面吊至高

度为L 的过程中至少应做多少功?

[方法总结]当物体受力有变力时，其它的力所做的功和物体动能改变量都比较容易求得时，用动能定理求变力的功。

[误区警示]计算绳子的重力做功时，要用重心上升高度L/2而不能认为上升高度为L 。

[变式训练4]一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点。

小球在水平拉力F 的作用下，从平衡位置P 点缓慢地移动到 Q 点，如图所示，则力F 所做的功为（ ） A ．mglcos θ B ．mgL （1－cos θ）

C ．Flcos θ

D ．Flcos θ

[难点精析3]

动能定理与功率问题综合

[例5]质量为5t 的汽车，在平直公路上以60kW 恒定的功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m 。运动过程中汽车所受的阻力不变，求汽车运动的时间。

[总结]当变力做功，而力的功率恒定时可考虑由W=Pt 求变力做功。

在实际生活中往往会遇到变力做功的情况，在计算变力所做的功时应注意利用适当的功的表达式。本题考查的是利用功率公式求汽车运动时间的情况。