保险精算学4-2

(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln 0.9
)
P(t
ln 0.9 ln v
)
60 ln 0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
趸缴纯保费递推公式
公式一：
Ax vqx vpx Ax1
所以方差等价为
Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
趸缴纯保费的厘定
符号： Ax 厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于 (x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满 一年的情况下净趸缴保费 Ax1 。
Ax
A1 x:m
A1 x:m
Axm
例：
给定 A76 0.800，vp76 0.9, i 0.03 计算 A77 . 解： A76 vq76 vp76 A77
2 A1 x:n
A1 x:n
2、死亡后立即给付
符号： Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2
n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知 z3 z1 z2
则
E(z3) E(z1) E(z2 )
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
现值随机变量方差
1
Ax:n Ax:m m Ex Axm:nm
A x:n
A1 x:m
m Ex
A x m:n m
(1 i) A x :n
qx
px
A x1 :n1
qx (1
A x1 :n1
)
A x1 :n1
例
设
S0
(
x)
1
x 100
i 0.1
, 0 x 100
计算
（1）A 30:10
(2)Var(zt )
A. 40:25
3、不同给付时刻精算现值之间的关系
结论：设在每一年龄年UDD假设成立，则
Ax:n
i
A1 x:n
A x:n
第五节 终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内 的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x) 岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) 2Cov(z1, z2 ) Var(z1) Var(z2 ) 2(E(z1 z2 ) E(z1) E(z2 ))
因为
z1 z2 0
所以
Var(z3 )
Var(z1) Var(z2 )
2 A1 x:n
A1 x:n
例
证明并解释
Var ( zt
)1
Var ( zt
)2
A1 30:10
1
A30:10
0.0431
例：某人在60岁签单的特殊的3年期两全保险， 在第一保单年度死亡保险金为100元，后两年死亡 保险金为200元，生存保险金为200元。死亡保险金 在死亡后立即给付。已知个体来自死亡力遵从 de Moivre法则的群体，参数 =70，i 0 ，计算保险人 给付额现值的方差。
解：设Z表示保险人给付额的现值，T60服从[0.60] 上的均匀分布
E(Z ) 100 1 200 9 190. 10 10
E(Z 2 ) 1002 1 2002 9 37000.
10
10
var(Z ) E(Z 2 ) (E(Z ))2 900
例：设
lx 100 x, 0 x 100,且i 0.05.则求
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
例
设(x)投保终身寿险，保险金额为1元
保险金在死亡即刻赔付
签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax
解：
已计算：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 70
0.33
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
0.422
(2)
Var(zt )2
v20
10
p30
1
A30:10
2
0.0185
Var(zt )3
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
vt , t n vn , t n
1、死亡后年末给付
符号：
A x:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2
n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知 z3 z1 z2
则
E(z3) E(z1) E(z2 )
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号： Ax 厘定：
Ax E(zt ) k qxvk1 k 0
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt)Fra bibliotekE(zt2 )
E(zt )2
k 0
k
qxv2(k 1)
k 0
k
qxvk 1
2
记
2 Ax
q v2(k 1)
kx
k 0
(2)Var(zt ) (3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
解：
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t 1 dt 1 e60
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
0
1 60
dt
( Ax )2
1 e120 (1 e60 )2 120 60
第四节 n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡， 保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险 人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n 年定期寿险的组合。
假定：(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函数关系
vt
vt
v
n
, ,
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
现值随机变量方差
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) 2Cov(z1, z2 ) Var(z1) Var(z2 ) 2(E(z1 z2 ) E(z1) E(z2 ))
因为
z1 z2 0
所以
Var(z3 )
Var(z1) Var(z2 )