高三数学二轮复习阶段性综合检测(一)
郑州第一中学2024届高三第二轮复习质量检测试题数学试题
郑州第一中学2024届高三第二轮复习质量检测试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<2．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 3．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．164．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅=A ．32- B ．152 C ．32D ．152-6．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6B ．5C ．4D ．38．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．1289．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 10．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 11．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧12．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D．y 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学二轮复习综合试卷- 附参考答案
高考数学二轮复习综合试卷(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设{}{}=⋂+==∈==B A x y y x B R x x y y A 则,2|),(,,|2 ▲ 2．复数2lg(3)(221)()x x z x i x R -=+-+-∈在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限第3组的频率为 ▲4．自然数列按如右图规律排列，若数2006在第m 行第n 个数， 则=mn▲ 5．把函数4cos()3y x π=++1的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小正值为 ▲6．从编号为1、2、3、4、5、6的六名运动员中选四名运动员参加1500米中长跑比赛，其中3号运动员参加比赛的概率是 ▲7．小聪准备购买一台价值6000元的电脑,但现款不够,商店允许分期付款,即在1年内分12次付款(购买时第一次付款,购买后每满1个月付款一次),每次付款数目相同,若月利率为0.8%,按复利计算,则每次应该付款 ▲8．椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为F 1,F 2 ,弦AB 过F 1 ，若△ABF 2的内切圆周长为π，A,B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则| y 2－y 1|的值为 ▲ 9．如右图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于 ▲10．用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，则此纸箱容积的最小值为 ▲11．已知数列{n a }的通项公式上b an a n +=（a 、b 为常数），其前n 项和为n S ，若平面上的三个不共线的向量,,满足OB a OA a OC ⋅+⋅=20071，且A 、B 、C 三点共线，则S 2007= ▲12． 观察下列程序，该循环变量I 共循环了 ▲ 次13．学号分别为1、2、3、4、5的五个学生在计算机机房操作编号分别为1、2、3、4、5的计算机。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第一层次)专题13空间的平行与垂直问题 Word版含答案
专题13：空间的平行与垂直问题班级 姓名一、前测训练1．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 、E 是棱CC 1，AB 的中点，求证：DE ∥平面AB 1C 1．提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB 1的中点F ，证四边形C 1DEF 是平行四边形．“中心投影法”延长BD 与B 1C 1交于M ，利用三角线中位线证DE ∥法二：用面面平行的性质取BB 1中点G ，证平面DEG ∥平面AB 1C 1． 2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C(2)若E ，F 分别是A 1A ，C 1C 的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面BDF ．提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BD ∥B 1D 1，A 1B ∥D 1C ． (2)证明BD ∥B 1D 1，BF ∥D 1E ．【变式】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1A 的中点．点F 在棱CC 1上，使得平面EB 1D 1∥平面BDF ．求证：点F 为棱CC 1的中点．3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于O ，求证：A 1O ⊥平面MBD提示：用线面垂直的判定定理：证BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得出BD ⊥A 1O ； 在矩形AA 1C 1C 中，用平几知识证明A 1O ⊥OM ；4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均相等，D 为BB 1的中点，求证：A 1B ⊥C D ． 分析：要证明A 1B ⊥C D ，只要证明A 1B 与CD 所在的平面垂直，或CD 与A 1B 所在的平面垂直，但都没有现成的平面，构造经过CD 的平面与直线A 1B 垂直，或经过A 1B 的平面与直线CD 垂直．方法1：取AB 的中点E ，连CE ，证A 1B ⊥平面CDE ； 方法2：取B 1C 1的中点F ，连BF ，证CD ⊥平面A 1BF ．A E A 1B CC 1B 1DAM O A 1 D 1A B CD B 1C 1【变式】在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 为BB 1的中点， A 1B ⊥CD ，求证：AA 1＝AB ．5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点．求证：平面PEF ⊥平面PAC ．提示：设EF 与AC 交于点O ，证EF ⊥AC ，EF ⊥OP ， 从而得出EF ⊥平面PAC ．【变式】如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，PB ＝PD ，且E ，F 分别是BC ， CD 的中点，若平面PEF ⊥平面PAC ，求证：四边形ABCD 是菱形．6．如图，已知VB ⊥平面ABC ，侧面VAB ⊥侧面VAC ，求证：△VAC 是直角三角形． 提示：过B 作BD ⊥VA ，垂足为D ，由侧面VAB ⊥侧面VAC ，得出BD ⊥侧面VAC ，从面BD ⊥AC ，由VB ⊥平面ABC ，得AC ⊥VB ，从而AC ⊥平面VAB ． 所以AC ⊥VA ．7．（1）设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．(2)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．答案 ：（1）6π；(2) 3二、方法联想1.线线平行B C DA P EF B C A V（1）证明线线平行 方法1：利用中位线；方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理； 方法5：利用线面平行性质定理；方法6：利用线面垂直性质定理；方法7：利用面面平行．（2）已知线线平行，可得线面平行【变式1】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为平行四边形，求证：EF ∥BC ． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行) 2．线面平行（1）证明线面平行 方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P ；②连接PA 交平面α于点M ；③连接PA 交平面α于点N ，④连接MN 即为要找的平行线．方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A 、B 构造两平行直线和平面α相交于M 、N ；②连接MN 即为要找的平行线．方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A 做AC 平行于平面α内一条直线A ’C ’；②连结BC ；③平面ABC 即为所要找的平行平面．（2）已知线面平行方法1 可得线线平行，过直线l 做平面β交已知平面α于直线m ，则l ∥m ．方法2 可得面面平行【变式】（1）如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 是棱CC 1，AB 的上的点，且AE ＝23AB ，若DE ∥平面AB 1C 1，求CDDC 1的值．（已知线面，转化为线线平行）（2）E ，P ，G ，H 分别是四面体的棱ABCD 的棱AB 、CD 、CA 、CB 的中点，求证：PE ∥平面PGH ． （通过面面的平行证明线面平行） 3．面面平行（1）证明面面平行方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．m lα① ② A B C A ’ C ’ ①② ① A M NB 或①② ③ P A B④ ① ② ③A B P ④M N M N M NN（2）已知面面平行 可得线线平行 4．线线垂直 （1）证明线线垂直方法1：利用线面垂直；构造垂面证线线垂直要证l 垂直于AB ，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A 找垂直于l 的直线AC ；②连结BC ，③证BC 垂直l ，则l ⊥面ABC ． 方法2：利用线线平行转移线线垂直； 方法3：利用勾股定理；方法4：利用等腰三角形三线合一； 方法5：利用菱形对角线互相垂直； 方法6：利用四边形为矩形． （2）已知线线垂直 可得线面垂直 5．线面垂直 （1）证明线面垂直方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． （2）已知线面垂直 可得线线垂直和面面垂直【变式】（1）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 交BD 于O ，点M 在棱CC 1上，且A 1O ⊥平面MBD ，求证：M 为棱CC 1的中点． （线面垂直得线线垂直）（2）在四面体ABCD 中，AD ⊥BC ，CA ＝CB ＝CD ＝1，BD ＝2，则△ABC 的面积为_____． （计算证明线线垂直）（3）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1． （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 垂直转化为线面的垂直）6．面面垂直（1）证明面面垂直关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．找垂线的一般方法：①分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面； ②找（或作）两平面交线的垂线．③若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内．（2）已知面面垂直优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．ABlC①② MOA 1D1ABCD B 1C 1A 1【变式】在四棱锥P －ABCD 中，CD ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB ．求证：平面PBC ⊥平面PDC.（存在第三个面与其中一个面垂直）提示1：取PD 中点M ，则AM ⊥平面PDC ，下面只需将AM 平移到平面PBC 内． 提示2：作出平面PAD 与平面PBC 的交线PN ，只需证明PN ⊥平面PDC ． 7．有关表面积、体积计算①表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题②体积计算，先证明高，后用体积公式求体积三、例题分析例1：在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ．(1)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； (2)求证：CE ∥平面P AB ．提示：(1)证明：PC ⊥AF ，PC ⊥EF ．(2)①中心投影法：延长CD 与AB 交于G ，证明CE ∥PG ． ②平行投影法：取P A 中点M ，过C 作CN ∥AD 交AB 于N ． 证四边形CEMN 是平行四边形，从而得CE ∥MN ． ③面面平行的性质：取AD 中点H ，证明平面CEH ∥平面P AB ． 〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．证明直线与平面垂直．方法：(1)定义法：a ⊥b ，b 为平面α内任意一条直线⇒a ⊥平面α．(2)线面垂直的判定定理：a ⊥m ，a ⊥n ，m ⊂平面α，n ⊂平面α，m ∩n ＝A ⇒ a ⊥平面α．(3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l ，a ⊂平面α，a ⊥l ⇒ a ⊥平面α．2．证明直线与平面平行．方法：(1)定义法：常常借助反证法完成；(2)判定定理：a ∥b ，a ⊄平面α，b ⊂平面α⇒a ∥平面α．用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法：①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ⇒m ∥n ．ACBEPFPABC D③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面α⇒a∥b．④公理4：a∥c，b∥c⇒a∥b．(3)面面平行的性质：平面α∥平面β，a⊂平面α⇒a∥平面α．二、方法选择与优化建议：1．用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。
2021年高三数学(理科)第二轮高考总复习阶段测试卷(第37周) 含答案
2021年高三数学（理科）第二轮高考总复习阶段测试卷（第37周）含答案[理科]第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝( )A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}2．命题：，都有sinx≥-1，则( )A．：，使得 B. ：，都有sinx<-1C. ：，使得D.：，都有sinx≥-13．已知向量，则在方向上的投影为( )A．B．C．-2 D．24. 在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A. 58B. 88C.143D.1765. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A．B．C．D．7．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（）A． B． C． D．8. 已知函数有两个零点，则（）A. B. C. D.9.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A. B.C. D.10. 已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：①=·（）；②；③；若，则等于( )A．B．2 C．D．2或11．已知 , (>0 , ) ， A、B为图象上两点，B是图象的最高点，C为B在x轴上射影，且点C的坐标为则·( ).A. B.C. 4D.12.已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为-8，其中正确的是（）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px（p>0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。
高三数学二轮复习阶段性综合检测(七)
阶段性综合检测(七)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(2010年青岛质检)复数i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是________． 解析：因为i 1＋2i ＝i(1－2i)5＝25＋i 5，所以复数i 1＋2i(i 是虚数单位)的实部是25.答案：252．(2010年扬州调研)执行如图所示的程序框图，若p ＝4，则输出的s ＝________.解析：由程序框图知s ＝12＋14＋18＋116＝1516.答案：15163答案：(b 1b n )n 2 4．(2010年南京第一次调研)复数z ＝(1＋i)21－i对应的点在第________象限．解析：z ＝(1＋i)21－i ＝2i 1－i＝－1＋i ，其对应的点的坐标为(－1,1)，所以点在第二象限．答案：二5．设0＜θ＜π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N ＋)，猜想a n＝________.解析：因为0＜θ＜π2，所以a 2＝2＋2cos θ＝2cos θ2，a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2＋2cos θ4＝2cos θ8，于是猜想a n ＝2cos θ2n －1(n ∈N ＋)． 答案：2cos θ2n －1 6．(2010年南通第一次调研)根据下面一组等式：S 1=1,S 2=2+3=5,S 3=4+5+6=15,S 4=7+8+9+10=34,S 5=11+12+13+14+15=65,S 6=16+17+18+19+20+21=111.可得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝________.解析：从已知数表得S 1＝1，S 1＋S 3＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝81＝34，从而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1＝n 4.答案：n 47．复数53＋4i的共轭复数是________．解析：因为53＋4i ＝5(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝3－4i 5，所以其共轭复数为35＋ 45i.答案：35＋45i8．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i ＋y ＝1＋i ，则(21＋i)x ＋y 的值为________．答案：－49．(2010年南京第一次调研)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 列的数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.答案：10710．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ，b ，c 的值分别为________．解析：∵已知等式对一切n ∈N ＋成立，∴当n ＝1,2,3时也成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝14，c ＝14.答案：12 14 1411．某电信公司推出一种手机月费方案为：若全月的通讯时间不超过150分钟，则收固定的月费60元；若全月的通讯时间超过150分钟，则除固定的月费之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费．下面是计算手机月费的算法的流程图，其中处理框中应填上的条件是________．解析：若全月的通讯时间超过150分钟，则在固定的月费60元之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费，则在T >150时，月费为Y ＝60＋0.30(T －150)．结合算法流程图，可知处理框中应填Y ←60＋0.30(T －150)．答案：Y ←60＋0.30(T －150)12．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋sin(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．答案：sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝013．有一算法流程图如图，则该算法解决的是________．答案：输出不大于660能被10整除的所有正整数14．(2010年皖南八校模拟)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：因为k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，所以得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．各式相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4…＋n (n ＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________．解析：∵k (k ＋2)＝16[k (k ＋2)(k ＋4)－(k －2)k (k ＋2)]，∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n (n ＋2)＝16[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－1×3×5＋4×6×8－2×4×6＋5×7×9－3×5×7＋6×8×10－4×6×8＋…＋n (n ＋2)(n ＋4)－(n －2)n (n ＋2)]＝16[－(－1)×1×3－0×2×4＋(n －1)(n ＋1)(n ＋3)＋n (n ＋2)(n ＋4)]＝16(2n 3＋9n 2＋7n )＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．答案：16n (n ＋1)(2n ＋7)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i (2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 有实数解，求a ，b 的值． 解：⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 由第一个等式得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－(3－y )，解得⎩⎨⎧ x ＝52y ＝4.将上述结果代入第二个等式中得5＋4a －(10－4＋b )i ＝9－8i.由两复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝910－4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2. 16．(本小题满分14分)假设a ，b ，c ，d ∈R 且ad －bc ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.∵ad －bc ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝ad －bc .∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0.∴2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0.∴(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＝0.∴a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0.∴a ＝b ＝c ＝d ＝0，∴ad －bc ＝0，这与ad －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1成立．17．(本小题满分14分)某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”，然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现；第三步，按照亲子活动方案进行活动；第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时家长填写反馈卡，最后启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？解：活动流程图如图所示． 儿童与家长如约来到“儿童之家” ↓ ↓接待儿童做 接待家长交流活动前准备 儿童本周表现↓ ↓按亲子活动方案活动↓ ↓启导员填写亲子 家长填写亲子活动总结记录 活动反馈卡↓ ↓启导员填写服务跟踪表18．(本小题满分16分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝(x ＋y i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15(2x －y )＋15(x ＋2y )i ， 因为z ＋2i ，z 2－i均为实数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2＝0x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2， 所以z ＝4－2i ，所以(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，又复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞08(a －2)＞0，解得2＜a ＜6， 所以实数a 的取值范围是(2,6)． 19．(本小题满分16分)已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证： a ＋12＋ b ＋12≤2.证明：要证 a ＋12＋ b ＋12≤2， 只要证：a ＋12＋b ＋12＋2 (a ＋12)(b ＋12)≤4， ∵由a ＋b ＝1，故只要证： (a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：ab ≤14，∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立． 20．(本小题满分16分)(1)已知x ，y ∈R ，求证：不等式：①12x 2＋12y 2≥(12x ＋12y )2；②13x 2＋23y 2≥(13x ＋23y )2；③14x 2＋34y 2≥(14x ＋34y )2；(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．解：(1)证明：①∵12x 2＋12y 2－(12x ＋12y )2＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2＝14x 2－12xy ＋14y 2＝14(x －y )2≥0，∴12x 2＋12y 2≥(12x ＋12y )2.②∵13x 2＋23y 2－(13x ＋23y )2＝29x 2＋29y 2－49xy＝29(x 2＋y 2－2xy )＝29(x －y )2≥0，∴13x 2＋23y 2≥(13x ＋23y )2.③∵14x 2＋34y 2－(14x ＋34y )2＝14x 2＋34y 2－(116x 2＋38xy ＋916y 2)＝316x 2＋316y 2－38xy＝316(x 2＋y 2－2xy )＝316(x －y )2≥0，∴14x 2＋34y 2≥(14x ＋34y )2.(2)一般的结论是：已知x ，y ∈R ，a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2.证明如下：∵a ＋b ＝1，∴a＝1－b＞0，b＝1－a＞0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a＞0,1－a＞0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2(其中a＋b＝1且a＞0，b＞0)成立.。
山东省2023届高三二轮复习联考(一)数学试题及参考答案
山东省2023年高三二轮复习联考（一）数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21≥+=x x A ，{}0822<-+=x x x B ，则=B A （）A .{}24<<-x xB .{}21<≤x x C .{}2134<≤-≤<-x x x 或D .{}2134<<-<<-x x x 或2.若()i i z +=-21，则=-z z （）A .1B .i 3C .i 3-D .i3.在边长为2的正三角形ABC 中，DB AD 31=，EB CE =，则=⋅DE AE （）A .49-B .23C .23-D .494.已知角α的终边过点()m ,3，若5522cos=α，则实数m 的值为（）A .3-B .4C .33或-D .44或-5.如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的.已知圆台的上、下底面直径分别为cm 2和cm 4，且圆台的母线与底面所成的角为4π，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部的体积为（）A .π2B .π6C .π23D .π296.若函数()x f y =同时满足：①()0>x f ；②函数()x f y =与函数()()1log >=a x f y a 的单调性一致，则称函数()x f y =为“鲁西西函数”.例如：函数()2x ex f =在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增.()2x x g =同样在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增.若函数()()01>=x xx h x为“鲁西西函数”，则()x h 在()∞+，0上的最大值为（）A .ee1B .eeC .ee 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D .ee17.已知直线2p x y l -=：与抛物线C ：()022>=p px y 相交于B A ,两点，若AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为2，则=p （）A .22B .1C .2D .28.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分成为“阿基米德多面体”，它是一个24等边正多面体.若从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（）A .2310B .2312C .6929D .6950二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A .若变量y 关于变量x 的回归直线方程为m x y +=2ˆ，且m x =，6=y ，则2=mB .若随机变量ξ的方差()2=ξD ，则()412=+ξD C .若B A 、两组成对数据的样本相关系数分别为97.0=A r ，99.0-=B r ，则B 组数据比A 组数据的相关性较强D .样本数据n x x x x ,,,,321 和样本数据2,,2,2,2321++++n x x x x 的四分位数相同10.将函数()()606sin <<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()x g 的图象.若⎪⎭⎫⎝⎛ωπ，0是()x g 的一个单调递增区间，则以下结论正确的为（）A .()x f 的最小正周期为πB .()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛3432ππ，上单调递增C .函数()()()x g x f x F +=的最大值为3D .方程()31-=x f 在[]π2,0上有4个实数根11.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a bx a y 的上、下焦点分别为21F F ，，过点2F 且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ，垂足为A ，且a b PF 231-=，O 为坐标原点，则（）A .双曲线C 的渐近线方程为x y 23±=B .双曲线C 的离心率为213C .三角形1AOF 的面积为243a D .直线l 被以21F F 为直径的圆截得的弦长为a2312.已知函数()x f 的定义域为R ，()1+x f 为奇函数，且对R x ∈∀，()()x f x f -=+4恒成立，则（）A .()x f 为奇函数B .()03=f C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2521f f D .()02023=f 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()πθ，0∈，则θθ22cos sin 21-的最小值为.14.()423++x x 的展开式中，含x 的项的系数为.15.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，若F 为棱11D A 上动点，E 为线段F B 1上的点，且F B AE 1⊥，若AE 与平面F B A 11所成角的正切值为35，则三棱锥F B A A 11-的外接球表面积为.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，32=S ，且⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=+**1,2,12,12,1Nk k n a N k k n a a n n n ，则=16S.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知c b a ,,分别为ABC ∆的内角C B A ,,的对边，32π=B ，且CAc C A c a sin sin cos sin =+.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的外接圆面积为π3，求BC 边上的中线长.18.（12分）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，936=S S ，()()111--=+n n nn a a a b ，且321=b .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，三棱锥ACE P -的体积为32.（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）求二面角B CE A --的正弦值.20.（12分）某乡镇在实施乡村振兴的进程中，推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收，为了解某新品水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计某亩产量x （单位：吨（t ）），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；（2）若该品种水稻的亩产量x 近似服从正态分布()2,σμN ，其中μ为（1）中平均亩产量的估计值，15.0≈σ，若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于t 6.0的亩数；（3）将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于t 8.0的亩数为ξ，求随机变量ξ的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，则()6827.0≈+≤≤-σμσμX P ，()9545.022≈+≤≤-σμσμX P ，()9973.033≈+≤≤-σμσμX P .21.（12分）已知21F F ，分别为椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，A 为椭圆上的动点（异于C 的左、右顶点），21AF F ∆的周长为6，且21AF F ∆面积的最大值为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若B 为直线1AF 与椭圆C 的另一个交点，求2ABF ∆内切圆面积的最大值.22.（12分）已知函数()xxe x f 22=.（1）求()x f 的最小值；（2）若对0>∀x ，()()()x ax ax x f 2ln 1-+≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.C 解析：{}13≥-≤=x x x A 或，{}24<<-=x x B ，{}1134<≤-≤<-=x x x B A 或 2.B 解析：()()()()i i i i i i i z 2321111212+=+-++=-+=，∴i z z 3=-.3.D解析：以AB 中点O 为坐标原点，分别以OC AD ,所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()300101，，，，，C B A -，⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21D ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21E ，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,23AE ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,1DE ，故49=⋅DE AE .4.D 解析：5312cos2cos 2=-=αα，∴592=+m ，解得4±=m .5.A解析：如图，圆台的轴截面为等腰梯形，DAB ∠即为圆台的母线与底面所成的角，故4π=∠DAB ，易得1=AE ，等腰梯形ABCD 的高1=DE ，∴圆台和圆锥的高均为1，该工业部件的体积()ππππππ21131441312=⨯⨯⨯-+⨯+⨯⨯=-=圆锥圆台V V V .6.D解析：设()xxxx p xln ln 1==，由题可知()x p 与()x h 有相同的单调区间，()2ln 1x xx p -='，易得()x p 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，故()x h 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∴()()ee e h x h 1max ==.7.D解析：由题直线l 过抛物线C 的焦点，联立方程得04322=+-p px x ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则p x x 321=+，则p p x x AB 421=++=，又原点O 到直线l 的距离为p 42，故242421=⨯⨯=∆p p S AOB ，解得2=p.8.B 解析：当一条直线位于上（或下）底面另一条不在底面时，有80810=⨯对异面直线，当两条直线都位于上下底面时，有824=⨯对异面直线，当两条直线都不在上、下底面时，有5687=⨯对异面直线，∴两条棱所在的直线为异面直线的概率231285680224=++=C P .9.AC 解析：选项A ，将()6,m 代入回归直线方程，得2=m ，A 正确；选项B ，()()()821222==+=ξξξD D D ，，B 错误；选项C ，∵B A r r >，∴B 组数据比A 组数据的相关性较强，C 正确；选项D ，设样本数据n x x x x ,,,,321 的四分位数为M ，则样本数据2,,2,2,2321++++n x x x x 的四分位数为2+M ，D 错误.10.ACD解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=66sin 66sin πωπωππωx x x g ，最小正周期ωπ2=T ，∵⎪⎭⎫⎝⎛ωπ，0是()x g 的一个单调递增区间，∴()10-=g ，即Z k k ∈-=--,2266πππωπ，得Z k k ∈+-=,212ω.∵60<<ω，∴2=ω，故()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx x f ，∴()x f 的最小正周期为ππ=22，A 正确；令Z k k x k ∈+<-<-,226222πππππ，得Z k k x k ∈+<<-,36ππππ，故()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛3465ππ，上单调递增，B 错误；易得()x x g 2cos -=，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 32cos 62sin ππx x x x F ，∴()x F 的最大值为3，C 正确；由函数()x f 的图象可知()x f 的图象与直线31-=y 在[]π2,0上有4个交点，D 正确.11.BC 解析：设焦距为c 2，不妨取C 的一条渐近线x b a y -=，则直线c x aby l -=：，设垂足为A ，易知a AO =，b AF =2，因为a b PF 231-=，由双曲线的定义知b PF 32=，设线段2PF 的中点为E ，则232b E F =，a b OE -=23，∴a b PF E F AE 2312-=-=.在AEO Rt ∆中，222AE OA OE +=，即222223⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a a b ，得32=b a ，故双曲线的渐近线方程为x y 32±=，A 错误；2312222=-=-=e aa c ab ，解得213=e ，B 正确；2243212121a ab OA AF S S AOF AOF ==⨯==∆∆，C 正确；设直线l 被以21F F 为直径的圆截得的弦为MN ，易知点A 即为MN 中点，故a b AF MN 3222===，D 错误.12.BCD解析：∵()1+x f 为奇函数，∴()()x f x f +-=-11，故()()()()⎩⎨⎧-=---=+x f x f x f x f 22，又()()x f x f -=+4，∴()()x f x f -=+22，故()()()x f x f x f -=--=+2，∴()()x f x f =-，()x f 为偶函数，A 错误；∵()1+x f 为奇函数，∴()01=f ，()()x f x f -=+22，∴()()013==f f ，B 正确；⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2325f f ，又()x f 的图象关于点()0,1对称，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2123f f ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛2521f f ，C 正确；又()()()x f x f x f =-=+4，∴()x f 是以4为周期的函数，()()()03345052023==+⨯=f f f ，D 正确.13.12-解析：121sin sin 2121sin sin 21cos sin 21222222-=-⨯≥-+=-θθθθθθ当且仅当θθ22sin sin 21=，即21sin 4=θ时等号成立.14.248解析：由题0≥x ，()()()4442123x x x x +⨯+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=2442334242211430442442334242114042222x C x C x C x C C x C x C x C x C C 含x 的项的系数为248222044241431424204=++C C C C C C .15.π41解析：由题，连接E A 1，1AEA ∠即为AE 与平面F B A 11所成角，且EA E A A A AEA 11114tan ==∠，当35tan 1=∠AEA 时，得5121=E A ，设()401≤≤=x x F A ，E A F B B A F A 11111⨯=⨯，即1651242+⨯=x x ，解得3=x ，∴31=F A ，易知三棱锥F B A A 11-的外接球即为分别以3，4，4为棱长的长方体的外接球，设其半径为R ，则24144321222=++=R ，∴三棱锥F B A A 11-的外接球表面积ππ4142==R S .16.2000解析：由131221+==+a a a a ，得11=a ，22=a ，又1121222212+=+=+++k k k k a a a a ，，得22222+=+k k a a ，即()22222+=+k k a a ，∴当1≥k 时{}22+k a 是以4为首项，2为公比的等比数列，故1122242+-=⨯=+k k k a ，∴2212-=+k k a ，又32122212-=+=++k k k a a ，∴当1≥k 时，{}312+-k a 是以4为首项，2为公比的等比数列，()()()111121233112+++++++++=--k k k a a a a a a S ()k a a a k ++++=-12312 ()8525212183--=---=+k k k k，∴200016=S.17.解：（1）由正弦定理得CAC C A C A sin cos sin cos sin sin sin =+∵π<<C 0，∴0sin >C ，∴C A C A A cos cos sin sin sin =+，即()21cos cos sin sin cos cos sin =-=+=-=B C A C A C A A ，又30π<<A ，∴6π=A ，∴6ππ=--=B A C .（2）由（1）知6π==C A ，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则ππ32=R ，得3=R ，∴326sin32sin 6sin===πππcb a ，解得3==c a ，3=b ，设BC 中点为D ，则()AC AB AD +=21，()4216cos 24141222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=πbc b c AC AB ，∴BC 边上的中线221=AD .18.解：（1）设{}n a 的公比为q ，则8133636=-=-S S S S S ，即83321654==++++q a a a a a a ，解得2=q ，又()()()()32121111111111=--=--=a a a q a a ab ，整理得0294121=+-a a ，解得21=a 或411=a ，由()()111--=+n n n n a a a b 得1≠n a ，当411=a 时，由2=q 得13=a ，不合题意，舍去，故21=a ，∴n n n a 2221=⨯=-，∴{}n a 的通项公式为n n a 2=.（2）()()()()1211211212211111---=--=--=+++n n n n n n n n n a a a b ，∴121112112115171713131111--=---++-+-+-=++n n n n T ，19.（1）证明：∵ABCD 是边长为2的正方形，∴AB AD ⊥.∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD AB =，⊂AD 平面ABCD ，∴AD ⊥平面P AB .又⊂P A 平面P AB ，∴AD P A ⊥.同理可得AB P A ⊥，又⊂AD AB 、平面ABCD ，A AD AB = ，∴P A ⊥平面ABCD ，∵E 为PD 中点，∴32==--ACD E ACE P V V ，即3221222131=⨯⨯⨯⨯P A ，解得2=P A ，∴PD AE ⊥，∵AD CD ⊥，∴CD ⊥平面P AD ，故AE CD ⊥，又⊂PD CD 、平面PCD ，D PD CD = ，∴AE ⊥平面PCD .（2）解：由（1）知AB P A ⊥，AD P A ⊥，AD AB ⊥，以A 为坐标原点，分别以AP AD AB ，，所在直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图所示：则()()()022002000，，，，，，，，C B A ，()()110020，，，，，E D ，故()022，，=AC ，()110，，=AE ，设平面ACE 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE m AC m ，即⎩⎨⎧=+=+0022z y y x ，令1=x ，解得1,1=-=z y ，∴()1,1,1-=m.同理可得平面BCE 的一个法向量为()2,0,1=n，∴515533,cos =⨯=⋅=nm n m n m，设二面角B CE A --的平面角为θ，5105151sin 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B CE A --的正弦值为510.20.解：（1）由题：()11.025.275.1225.1275.0=⨯+++⨯+⨯b ，解得2=b ，∴这100亩水稻平均亩产量的估计值为：()75.005.125.195.0285.025.275.075.165.025.155.075.045.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯75.01.0≈⨯.（2）由（1）知75.0≈μ，又15.0≈σ，∴()()15.075.015.075.021216.0+≤≤-+=≥x P x P 84135.06827.02121=⨯+≈，∴亩产量不低于t 6.0的亩数的估计值为8413584135.0100000=⨯亩.（3）每亩水稻亩产不低于t 8.0的概率为52，则随机变量⎪⎭⎫⎝⎛523~，B ξ服从二项分布，∴()56523=⨯=ξE .21.解：（1）设椭圆C 的焦距为c 2，由椭圆的定义及21AF F ∆的周长得622=+c a ，即3=+c a ……①由椭圆的性质可知，当点A 为短轴的端点时，21AF F ∆的面积最大，此时322121=⨯⨯=∆b c S AF F ……②又222c b a +=……③综合①②③解得：2=a ，3=b ，∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .（2）设2ABF ∆内切圆半径为r ，∵()r r AB BF AF S ABF 421222=⋅++=∆，∴当2ABF ∆面积最大时，2ABF ∆的内切圆面积最大，设AB ：1-=my x ，与椭圆C 的方程联立得⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得()0964322=--+my y m .设()()2211,,y x B y x A ，，则439436221221+-=+=+m y y m m y y ，，()2122121214212y y y y y y F F S ABF -+=-⋅=∆()()11311243364336222222+++=+++=m m m mm ，令)112≥+=t m t ，则tt t t S ABF 1312131222+=+=∆，设()()113≥+=t t t t f ，则()0132>-='tt f ，∴()t f 在[)∞+，1上单调递增，故当1=t 即0=m 时，2ABF ∆面积最大，最大值为3.此时43=r ，∴2ABF ∆内切圆面积的最大值169432ππ=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=S .22.解：（1）()x f 的定义域为R ，()()1222+='x e x f x，故当⎪⎭⎫⎝⎛-∞-∈21,x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+-∈，21x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增.∴()x f 在21-=x 时取得极小值e f 121-=⎪⎭⎫⎝⎛-，这个极小值即为()x f 的最小值，∴()x f 的最小值为e1-.（2）对0>∀x ，()()()x ax ax x f 2ln 1-+≥恒成立，即()()ax ax ax x xe xln ln 222+≥+恒成立，即()()()ax e ax x xeax xln ln 22ln 2+≥+恒成立，令()x xe x g x+=，()()11++='x e x g x，故当()+∞∈,0x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增，()02222>+=x xe x g x ，()[]()()()ax e ax ax g ax ln ln ln ln +=，当()0ln ≤ax 时，()[]0ln ≤ax g ，()()()ax e ax x xeax xln ln 22ln 2+≥+恒成立，当()0ln >ax 时，由()()[]ax g x g ln 2≥得()ax x ln 2≥，即()0ln 2≥-ax x 恒成立.设()()ax x x h ln 2-=，则()xx h 12-='，当⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减，当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,21x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()2ln 121a h x h -=⎪⎭⎫⎝⎛≥，只需02ln1≥-a，即e a 2≤，由题意得0>a ，∴实数a 的取值范围为(]e 2,0.。
二轮复习数学(文)通用版：专题检测(一)_集合、复数、算法_word版含解析
专题检测（一） 集合、复数、算法一、选择题1．(2018·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.3．(2019届高三·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析：选D z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅， A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.5．(2019届高三·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i解析：选D 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i.6.(2018·开封高三定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B 初始值：a ＝675，b ＝125，第一次循环：c ＝50，a ＝125，b ＝50；第二次循环：c ＝25，a ＝50，b ＝25；第三次循环：c ＝0，a ＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a 的值为25.7．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.8．(2018·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,2)B ．[2,4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]解析：选A 集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}．所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．9．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?解析：选B 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132， i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 执行程序框图，第一步：n ＝12，i ＝1，满足条件n 是3的倍数，n ＝8，i ＝2，不满足条件n ＞123； 第二步：n ＝8，不满足条件n 是3的倍数，n ＝31，i ＝3，不满足条件n ＞123； 第三步：n ＝31，不满足条件n 是3的倍数，n ＝123，i ＝4，不满足条件n ＞123； 第四步：n ＝123，满足条件n 是3的倍数，n ＝119，i ＝5，不满足条件n ＞123；第五步：n ＝119，不满足条件n 是3的倍数，n ＝475，i ＝6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12．(2018·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m 2>0，m －12<0，解得－1<m <1.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13．(2018·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n ＝2，那么输入的a 的值可以为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 执行程序框图，输入a ，P ＝0，Q ＝1，n ＝0，此时P ≤Q 成立，P ＝1， Q ＝3，n ＝1，此时P ≤Q 成立，P ＝1＋a ，Q ＝7，n ＝2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P >Q ，所以1＋a >7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14．(2019届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( ) A ．1 B ．0 C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.15．(2018·新疆自治区适应性检测)沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层．某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·bB ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·bC ．i ≤n ？和S ＝a ·bD ．i <n ？和S ＝a ·b解析：选B 观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}，C ＝A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A ．4B ．7C ．15D ．16解析：选C 因为B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝ tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C＝A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24－1＝15，故选C.二、填空题 17．已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2. 答案： 218．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}19．已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R )(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z1＋i的共轭复数为________．解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52， 解得x ＝－3， ∴z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ，故其共轭复数为12－72i.答案：12－72i20．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)32。
高三数学二轮复习阶段性综合检测(二)
阶段性综合检测(二)(必做题部分：时间120分钟，满分160)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是________．解析：①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m 、n 相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l ∥γ，β∩γ＝m ，l ⊂β，∴l ∥m ，又α∩β＝l ，且m ⊂β，∴m ∥α，又m ⊂γ且γ∩α＝n ，∴m ∥n ，∴有l ∥n 故④对．答案：22．(2010年黄冈质检)直线x ＋ay ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行的充要条件是________．解析：若两直线平行，则a (a －2)＝1×3，且1×2a ≠(a －2)×6，解得a ＝－1.答案：a ＝－13．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．解析：设母线长为l ，底面半径为r ，则依题意易知l ＝18 cm ，由θ＝2πr l ，代入数据即可得r ＝12 cm ，因此所求角的余弦值即为r l ＝1218＝23. 答案：234．与x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有________条．解析：直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则2k 2＋1＝1，所以k ＝±3，有两条直线；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，则a ＝2±2，有两条直线，所以共四条．答案：45．(2010年青岛第一次质检)如图所示，b 、c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上(C ，D ，E 均异于A ，B )，则△CDE 的形状是________．答案：钝角三角形6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.解析：由题意，可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)间线段的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )间线段的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345.答案：3457．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线； ②直线BE 与直线AF 是异面直线； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确结论的序号是________．解析：由EF ∥AD ∥BC ，知BE 、CF 共面，①错；②正确；③正确；④错．答案：②③8．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足________．解析：由sin α＋cos α＝0得k ＝tan α＝－1.由ax ＋by ＋c ＝0得y ＝－a b x －cb∴k ＝－a b ，故k ＝－ab＝－1，∴a －b ＝0.答案：a －b ＝09．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________．解析：设截面半径和底面半径分别为r 1、r 2，由于面积比为1∶3，则r 1∶r 2＝1∶ 3.设圆锥体高为h ，体积为V ，上部分高为h 1，体积为V 1，则由相似形可证h 1∶h ＝1∶3，则V 1∶V ＝r 12h 1∶r 22h ＝1∶33， 则V 1∶(V －V 1)＝1∶(33－1)． 答案：1∶(33－1)10．在空间直角坐标系O －xyz 中，过点M (－4，－2,3)作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点P (x ，y,0)的坐标满足条件________．解析：由题意，得OM ⊥PM ，∴OM →·PM →＝0，即(－4，－2,3)·(x ＋4，y ＋2，－3)＝0，化简整理得4x ＋2y ＋29＝0.答案：4x ＋2y ＋29＝011．在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图为________．解析：由对称性易知球是与棱锥各个面上的高都相切，与棱是相离的，而易知截面三角形的三边分别是一棱及两高，因此可知截面中圆与两边相切，与一边相离，而且相离的边必为棱，而棱的长必定比两高要长，所以相离的边应为长边．答案：②12．(2009年高考浙江卷改编)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_________________个．解析：边长为3,4,5的三角形内切圆半径为r ＝3＋4－52＝1.而半径为1的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点的连线上移动时，都会产生4个交点．答案：413．如图，已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段B 1C 的长是________． 解析：连结上底面对角线B 1D 1的中点O 1和下底面BD 的中点O ，得棱台的高OO 1，过点B 1作OO 1的平行线交BD 于点E ，连结CE ，在△BCE 中，由BC ＝2，BE ＝22，∠CBE＝45°，利用余弦定理可得CE ＝102，故在Rt △B 1CE 中易得B 1C ＝ 12＋(102)2＝142. 答案：14214．(2008年高考天津卷)已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：先求出圆心C (x 0，y 0)坐标． ⎩⎨⎧y 0－1x 0＋2＝－1，y 0＋12＝x 0－221，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.令圆半径为R ，(0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3， ∴R 2＝32＋32＝18， ∴x 2＋(y ＋1)2＝18. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝18 二、解答题(本大题共有6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，ABAD＝2，直线PA与底面ABCD 成60°角，点M ，N 分别是PA ，PB 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)如果△CDN 为直角三角形，求CDAB的值．解：(1)证明：由条件知MN ∥AB ，而AB ⊂平面ABCD ， MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD . (2)①若∠CDN ＝90°，与CD ⊥平面PAD ，CD ⊥DM 矛盾，所以不可能；②若∠DCN ＝90°，则四边形MNCD 为矩形，设AB ＝2a ，则CD ＝MN ＝22a ，可得CD AB ＝12；③若∠DNC ＝90°，则设AB ＝2a ， 由已知有Rt △MDN ∽Rt △NCD ，可得CD AB ＝32.16．(本小题满分14分)已知△ABC 中，点A (1,2)，AB 边和AC 边上的中线方程分别是5x －3y －3＝0和7x －3y －5＝0，求BC 所在的直线方程的一般式．解：设C 点坐标为(a ，b )，因为点C 在AB 边的中线上，所以有5a －3b －3＝0，AC 的中点坐标为(1＋a 2，2＋b2)，又因为AC 的中点在AC 边的中线上，所以有7×1＋a 2－3×2＋b2－5＝0，联立解得C (3,4)，同理，可得B (－1，－4)， 则BC 的方程是：2x －y －2＝0.17．(本小题满分14分)(2010年深圳市高三调研)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上，P 为AC 的中点．(1)求证：BC ⊥A 1B ；(2)若AD ＝3，AB ＝BC ＝2，求三棱锥P －A 1BC 的体积． 解：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BC ，∵AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC . 又AA 1⊂平面A 1AB ，AD ⊂平面A 1AB ，A 1A ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面A 1AB ，又A 1B ⊂平面A 1BC ，∴BC ⊥A 1B .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB . ∵AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上， ∴AD ⊥A 1B .在Rt △ABD 中，AD ＝3，AB ＝BC ＝2，sin ∠ABD ＝AD AB ＝32，∴∠ABD ＝60°.在Rt △ABA 1中，AA 1＝AB ·tan60°＝23，由(1)知BC ⊥平面A 1AB ，AB ⊂平面A 1AB ，从而BC ⊥AB ，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2.∵P 为AC 的中点，S △BCP ＝12S △ABC ＝1，∴VP －A 1BC ＝VA 1－BCP ＝13S △BCP ·A 1A ＝131×23＝233.18．(本小题满分16分)圆心在直线y ＝2x ＋1上，且到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，求此圆的方程．解：设(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵圆心(a ，b )在直线y ＝2x ＋1上，∴有b ＝2a ＋1.① 又圆心到x 轴的距离|b |恰好等于圆的半径r ， ∴有|b |＝r .②在y 轴上截得的弦长为2 5. ∴(5)2＋|a |2＝r 2.③ 联立①②③得 ⎩⎪⎨⎪⎧r 2－a 2＝5r 2＝b 2b ＝2a ＋1⇒(2a ＋1)2－a 2－5＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－3r ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73，r ＝73.∴所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝499. 19．(本小题满分16分)如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；(2)求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值． 解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面A 1AC ，AC ⊂平面A 1AC ， ∴BC ⊥平面A 1AC .(2)法一：设AC ＝x ，在Rt △ABC 中， BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)，即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2,0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.法二：在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2＝4，VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13·AC ·BC ≤13·AC 2＋BC 22＝ 13·AB 22＝23.当且仅当AC ＝BC 时等号成立，此时AC ＝BC ＝ 2.∴三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.20．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1、l 2相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：(1)直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)． ∵l 的倾斜角为30°，∴l 2的倾斜角为60°， ∴k 2＝3，∴反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.已知圆C 与l 1切于点A ，设C (a ，b )，∵圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，则b －2a －23＝－3，∴b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， ∴a ＝33，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝2－(－1)＝3.故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知点B (0，－4)关于l 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3， 联立得B ′(－23，2)．由点与圆的位置关系知，当B ′、P 、Q 共线时，PB ＋PQ 最小，且直线B ′Q 过圆心C ，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3.设P (x ，y )，由⎩⎨⎧k PC ＝k B ′C ，y ＝33x ，得⎩⎨⎧y ＋1x －33＝2＋1－23－33，y ＝33x ，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，即P (32，12)， 最小值B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3.故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时P 点的坐标为(32，12)．。
2020版高考数学大二轮复习专题二阶段质量检测(二)专题一～二“综合检测”(2021-2022学年)
阶段质量检测（二 专题一～二“综合检测"（时间:１2０分钟 满分:150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共4０分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１.设α,β是两个不同的平面,ｍ，n 是两条不同的直线,则下列命题中是α⊥β的充分不必要条件的是( ）A.m ∥α，n ∥β,m ∥n ﻩB.ｍ∥α,ｎ∥β,m ⊥n C ．m ⊥α,n ∥β,ｍ⊥nD ．m ⊥α，n ⊥β,m ⊥n解析:选D 若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n ，则α⊥β,充分性成立；若α⊥β，无法得出m ⊥α，n ⊥β,m ⊥n ,必要性不成立，故选D 。
2．“ｓin A 〉tan A ＂是“△ＡBC 是钝角三角形"的( ) Ａ.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若sin A 〉tan A ，则sin A >s ｉn Ac ｏｓ A，因为s ｉｎ Ａ〉0，所以1＞错误!未定义书签。
，易得－1<c ｏs Ａ<0,所以A ∈错误!未定义书签。
,π,所以△ABC 为钝角三角形.假设B ＝错误!未定义书签。
,A =错误!，△A ＢC 为钝角三角形，则ｓin A ＝错误!未定义书签。
<ｔａn Ａ=错误!.所以“si ｎ A ＞tan A ”是“△ABC 是钝角三角形"的充分不必要条件.3．(201９·杭州三校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ )Ａ．23 ﻩB ．43ﻬC.错误!ﻩ D.错误!解析:选Ｃ 由三视图可知该几何体可以看作是棱长为2的正方体截去一个三为23-错误!未定棱锥和一个三棱柱后剩余的四棱锥ＡBCDE ,如图所示,则其体积义书签。
×23－1３×错误!×２×2×2＝错误!未定义书签。
,故选C.4．（201９·嘉兴、丽水、衢州高三模拟)已知函数ｆ(x）=ｓin(ωｘ+φ）错误!,x＝-错误!为f(x)的零点,ｘ=错误!为ｙ=f(x）图象的对称轴，且f(ｘ)在区间错误!未定义书签。
2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
高三数学二轮复习阶段性综合检测(六)
阶段性综合检测(六)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：∀x ∈R ，x 2＋x >02．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为________．解析：y ＝－2x 2化为x 2＝－12y ，∴焦点在y 轴负半轴上，∴F (0，－18)．答案：(0，－18)3．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝________.解析：y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，a ＝－6，b ＝9，∴2a ＋b ＝－3.答案：－34．下列命题中，是真命题的有________．①∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2； ②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1； ③∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1；④∀x ∈(π2，π)，tan x >sin x .解析：对于①，sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ∈[0，π2]，x ＋π4∈[π4，3π4]，则0≤sin x ＋cos x ≤2，故①错；对于②，由x 2－2x －1>0解得x >1＋2或x <1－2，故当x ∈(3，＋∞)时，x 2>2x ＋1恒成立；对于③，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，故③错；对于④，当x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，故④错．答案：②5．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于________．解析：由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：86．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．解析：f ′(x )＝cos x －x sin x .取特殊值检验，当x ＝0时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝1，排除③④，当x ＝π2时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0－π2<0，即在[0，π]的中间处，f ′(x )<0，显然②不符合要求．答案：①7．(2010年无锡调研)“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________．解析：命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．答案：若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P8．(2010济南市高三模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是________．解析：据题意知椭圆通径长为12a ，故有2b 2a ＝12a ⇒a 2＝4b 2⇒b 2a 2＝14，故相应双曲线的离心率e ＝ 1＋(b a )2＝ 1＋14＝52.答案：529．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是________．解析：f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ≤0，∴x ∈(0,1]． 答案：(0,1]10．若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则f (x )>g (x )(x ∈R )成立的充要条件是________．①∃x 0∈R ，f (x 0)>g (x 0)②有无穷多个x ∈R ，使得f (x )>g (x ) ③∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1④R 中不存在x 使得f (x )≤g (x )解析：由于要恒成立，也就是对定义域内所有的x 都成立，所以对于①来说显然不成立；而对于②，无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于③，由③的条件∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1可以推导原结论f (x )>g (x )恒成立是显然的，即充分性成立，但f (x )>g (x )成立时不一定有f (x )>g (x )＋1，比如f (x )＝x 2＋0.5，g (x )＝x 2，因此必要性不成立；对于④，必要性显然成立，由R 中不存在x 使f (x )≤g (x )，根据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x ∈R 都有f (x )>g (x )，即充分性也成立．答案：④11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率是________．解析：取焦点(c,0)，渐近线bx ＋ay ＝0，则有bc a 2＋b2＝142c ，整理得4b 2＝a 2＋b 2，∴3c 2＝4a 2，解得e ＝233.答案：23312．(2010年南京调研)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝________.解析：∵切线方程与y ＝f (x )交于点P (5，y 0)，∴y 0＝－5＋8＝3.由切线的意义知f ′(5)＝－1.答案：3 －113．已知命题p ：实数x 满足log a (1－x )<log a x (0<a <1)，命题q ：实数x 满足1＋x1－x>0，则p 是q 的________条件．解析：∵0<a <1，∴log a (1－x )<log ax ⇒1－x >x >0⇒0<x <12，而1＋x1－x>0⇒－1<x <1.可知p ⇒q 但q ⇒/p . 答案：充分不必要14．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________．解析：由双曲线的渐近线方程知，双曲线可设为9y 2－x 2＝λ，将M (10，83)代入，可得λ＝－36，∴9y 2－x 2＝－36，即x 236－y 24＝1.答案：x 236－y 24＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设命题为“若m >0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假．解：否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根； 逆命题：若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m >0； 逆否命题：若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0没有实数根，则m ≤0.由方程的根的判别式Δ＝1＋4m ，得Δ≥0，即m ≥－14时，方程有实根．∴m >0使1＋4m >0，方程x 2＋x －m ＝0有实根． ∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程x 2＋x －m ＝0有实根，必须m ≥－14，不能推出m >0，故逆命题为假．否命题与逆命题互为逆否命题，故为假．16．(本小题满分14分)已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点A (0,1)和直线l ：y ＝x ＋m ，线段AB 是椭圆E 的一条弦并且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，2a ＝4，得c ＝3，而a 2－b 2＝c 2，则b ＝1，故椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可得直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.于是，有 ⎩⎨⎧y ＝－x ＋1x 24＋y 2＝1，则5x 2－8x ＝0， 故x B ＝85，y B ＝－x B ＋1＝－35.设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得x M ＝45，y M ＝15，由此及点M 在直线l 上得15＝45＋m ⇒m ＝－35.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3.(1)求y ＝f (x )在[－4，－12]上的最值；(2)若a ≥0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax 3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x 4. f ′(x )>0，－3<x <－1，(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4. 设u ＝x 2＋4x ＋3a . Δ＝16－12a ，当a ≥43时，Δ≤0，g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0<a <43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a <0.减区间：(－∞，x 1)，(x 2,0)，(0，＋∞)，增区间：(x 1，x 2)．∴有两个极值点x 1，x 2.当a ＝0时，g (x )＝1x ＋2x 2，g ′(x )＝－x ＋4x 3.减区间：(－∞，－4)，(0，＋∞)，增区间：(－4,0)． ∴有一个极值点x ＝－4.综上所述：a ＝0时，∴有一个极值点x ＝－4；0<a <43时有两个极值点x ＝－2±4－3a ；a ≥43时没有极值点．18．(本小题满分16分)(2010广东清远模拟)设P ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}，Q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．解：若P 真，则0<a <1；若P 假，则a ≥1或a ≤0.若Q 真， 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0， 得a >12；若Q 假，则a ≤12. 又P 和Q 有且仅有一个正确，当P 真Q 假时，0<a ≤12； 当P 假Q 真时，a ≥1.综上，得a ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，O A →·O B →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设直线l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x ＋1，g (x )＝1－4x －ax 2，其中实数a ≠0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )与g (x )在区间(－a ，－a ＋2)内均为增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2，又3x 2－2ax －a 2＝3(x －a )(x ＋a 3)，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a3.①若a >0，则当x <－a3或x >a 时，f ′(x )>0，当－a3<x <a 时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，－a 3)和(a ，＋∞)内是增函数，在(－a3，a )内是减函数．②若a <0，则当x <a 或x >－a3时，f ′(x )>0，当a <x <－a3时，f ′(x )<0.∴f (x )在(－∞，a )和(－a3，＋∞)内是增函数，在(a ，－a3)内是减函数．(2)当a >0时，f (x )在(－∞，－a3)和(a ，＋∞)内是增函数，g (x )＝－a (x ＋2a )2＋1＋4a ，故g (x )在(－∞，－2a )内是增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＋2≤－a 3，－a ＋2≤－2a .解得a ≥3.当a <0时，f (x )在(－∞，a )和(－a3，＋∞)内是增函数，g (x )在(－2a ，＋∞)内是增函数．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a ≥－a 3，－a ≥－2a .解得a ≤－ 2.综上知实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．。
高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
(通用版)高考数学二轮复习 稳取120分保分练(一)文-人教版高三全册数学试题
稳取120分保分练(一)一、选择题1．若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5D ．25解析：选B z ＝2－i2＋i＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1.2．设集合A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|32x ≤1，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{－1，－2}C ．{－2，－1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：选C A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}．3．向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选C 因为(a ＋b )⊥(2a －b )，所以(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝4＋a ·b －4＝0，即a ·b ＝0，从而a ⊥b ，即向量a ，b 的夹角为90°.4．已知一组数据(2,3)，(4,6)，(6,9)，(x 0，y 0)的线性回归方程为y ^＝x ＋2，则x 0－y 0的值为( )A ．2B ．4C ．－4D ．－2解析：选D 由题意知x －＝14(2＋4＋6＋x 0)＝14(12＋x 0)，y －＝14(3＋6＋9＋y 0)＝14(18＋y 0)，∵线性回归方程为y ^＝x ＋2， ∴14(18＋y 0)＝14(12＋x 0)＋2， 解得x 0－y 0＝－2.5．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A ∵a ＝243，b ＝425＝245，43＞45，∴a ＞b ，又a ＝243＝316，c ＝325，∴a ＜c ，故c ＞a ＞b .6．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且a ＝4，b ＋c ＝5，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则△ABC 的面积为( )A.32 B ．3 3C.332D.32解析：选C 由题意可知，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B，整理化简得，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，所以tan C ＝3，即C ＝60°，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，把a＝4，b ＋c ＝5，C ＝60°代入，解得b ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332，故选C.7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，S 3＝3，a n －2＋a n －1＋a n ＝24，S n ＝54，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选D ∵S 3＝3，∴a 1＋a 2＋a 3＝3，则3a 2＝3，a 2＝1.∵a n －2＋a n －1＋a n ＝24，∴3a n －1＝24，a n －1＝8.∵{a n }为等差数列，∴S n ＝a 1＋a n n2＝a 2＋a n －1n2＝1＋8n2＝54，∴n ＝12. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．20B ．22C ．24D ．26解析：选C 由三视图可知：该几何体是一个棱长为3的正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分，如图所示．该几何体的体积V ＝33－3×13＝24.9．已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD(n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如MOD(8,3)＝2.如图是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 模拟执行程序框图，可得：n ＝36，i ＝2，MOD(36,2)＝0，j ＝1，i ＝3，满足条件i ＜n ，MOD(36,3)＝0，j ＝2，i ＝4，满足条件i ＜n ， MOD(36,4)＝0，j ＝3，i ＝5，满足条件i ＜n ， MOD(36,5)＝1，i ＝6，满足条件i <n ， … 由36i∈N *，可得i ＝2,3,4,6,9,12,18，∴j ＝j ＋1执行了7次，故j ＝7.10．若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝e x－1x 2－1B ．f (x )＝exx 2－1C ．f (x )＝x 3＋x ＋1x 2－1D ．f (x )＝x 4＋x ＋1x 2－1解析：选B 由题意，当x ＝0时，y ＜0，排除A ，当－1<x <0时，若x →－1，则y →－∞，排除C ，D 选项中，f (－2)＝5，f (－3)＝798>f (－2)，不符合，排除D.故选B.11．已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则棱锥S ABC 的体积为( )A.324B.924C.322D.922解析：选D 如图，设O 是球心，则OA ＝OB ＝OS ＝OC ＝12SC ＝3.又AB ＝SA ＝SB ＝3，∴SA ＝OA ＝OB ＝SB ，取SO 的中点D ，连接AD ，BD ，∴AD ⊥SO ，BD ⊥SO ，又AD ∩BD ＝D ，∴SC ⊥平面ABD .又易求得AD ＝BD ＝332，∴S △ABD ＝12×3× ⎝ ⎛⎭⎪⎫3322－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝924.∴V S ABC ＝V S ABD ＋V C ABD ＝13S △ABD ×SD ＋13S △ABD ×DC ＝13S △ABD ×SC ＝13×924×6＝922. 12．设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f (x )＝[x ]2－2[x ]，若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则k 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1∪[2,5) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，－1∪[5,10) 解析：选B 令F (x )＝0得f (x )＝k (x －2)－2， 作出函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象如图所示： 若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数f (x )和g (x )＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，经计算可得k PA ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，∴k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－23∪[5,10)．二、填空题13．已知向量OA ―→⊥AB ―→，|OA ―→|＝3，则OA ―→·OB ―→＝________.解析：由OA ―→⊥AB ―→，得OA ―→·AB ―→＝0，即OA ―→·(OB ―→－OA ―→)＝OA ―→·OB ―→－|OA ―→|2＝0， ∵|OA ―→|＝3，∴OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|2＝9.答案：914．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使sin πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析：当－1≤x ≤1时，－π2≤πx 2≤π2，由0≤sin πx 2≤12，得0≤πx 2≤π6，即0≤x ≤13，则sin πx 2的值介于0到12之间的概率P ＝132＝16.答案：1615．已知双曲线x 216－y 236＝1上一点P (x ，y )到双曲线一个焦点的距离是9，则x 2＋y 2的值是________．解析：双曲线x 216－y 236＝1的a ＝4，b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝213，不妨设点P (x ，y )在右支上，由条件可知P 点到右焦点(213，0)的距离为9，即为 x －2132＋y 2＝9，且x 216－y 236＝1，解得x ＝213，y ＝±9，则x 2＋y 2＝52＋81＝133.答案：13316．将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向右平移m (m >0)个单位以后得到的图象与y ＝n sin x cosx (n ＞0)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则n ＋m 的最小值为________．解析：将y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的函数图象向右平移m 个单位以后得到y ＝－cos 2(x －m )＝－cos(2x －2m )的图象，根据所得图象与y ＝n sin x cos x ＝n2sin 2x (n ＞0)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，设点P (x 0，y 0)为y ＝－cos(2x －2m )上任意一点，则该点关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的对称点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 0，－y 0，且Q 在y ＝n2sin 2x (n ＞0)的图象上，故有⎩⎪⎨⎪⎧－cos 2x 0－2m ＝y 0，n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2x 0＝－y 0，求得n ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π3＝cos(2x 0－2m )，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0－5π6＝cos(2x 0－2m )，∴－2m ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，即m ＝5π12－k π，k ∈Z ，又m >0，故m 的最小值为5π12，则n ＋m 的最小值为2＋5π12.答案：2＋5π12三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)设函数f (x )＝log 13x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n .∴a 1＝1－2a 1，解得a 1＝13.n ≥2时，a n －1＝1－2S n －1，可得a n －a n －1＝－2a n .∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C ＝b ＋c . (1)求A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积为332，求b 与c 的值．解：(1)∵a cos C ＋3a sin C ＝b ＋c ，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 化简得3sin A －cos A ＝1，∴sin A －π6＝12.在△ABC 中，0＜A ＜π，∴A －π6＝π6，得A ＝π3.(2)由已知得12bc sin π3＝332，则bc ＝6，由已知及余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos π3＝7，(b ＋c )2＝25，b ＋c ＝5，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b ＋c ＝5，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.19．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表：初一年级初二年级初三年级女生373x y男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解：(1)∵在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19，即x2 000＝0.19，∴x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12名．(3)由题意，满足y＋z＝500，y≥245，z≥245的基本事件共有11个，y＞z包含的事件共有5个，则y＞z的概率为511.即初三年级中女生比男生多的概率为511.20.已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1＝4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．(1)求证：AB1⊥平面PBC；(2)在BC边上找一点Q，使PQ∥平面A1ABB1，并求三棱锥QPBB1的体积．解：(1)证明：取AA1的中点M，连接BM，PM，BM与B1A相交于点N，∴PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面PBC.∵AA1⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴AA1⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1.∵AB＝AA1＝4，∠BAM＝∠B1A1A＝90°，AM＝B1A1＝2，∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA＝∠B1AA1，∵∠BAB1＋∠B1AA1＝90°，∴∠MBA＋∠BAB1＝90°，即∠BNA＝90°，∴BM⊥AB1.又BM∩BC＝B，∴AB1⊥平面PBC.(2)在BC边上取一点Q，使BQ＝3，∵PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D1＝2，AD＝4，∴PM＝3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，∴PM綊BQ，∴四边形PMBQ 是平行四边形，∴PQ ∥BM ， 又BM ⊂平面A 1ABB 1，PQ ⊄平面A 1ABB 1， ∴PQ ∥平面A 1ABB 1.∵BC ⊥平面ABB 1A 1，BM ⊂平面ABB 1A 1， ∴BQ ⊥BM ，∴PQ ⊥BQ . ∵AB ＝AA 1＝4，AM ＝A 1B 1＝2， ∴BM ＝AB 1＝25， 则AN ＝AB ·AM BM ＝455. ∴B 1N ＝AB 1－AN ＝655.∴VQ PBB 1＝VB 1BPQ ＝13S △BPQ ·B 1N ＝13×12×3×25×655＝6.。
2013届江苏省高三数学二轮复习文理兼用教师版共计18个专题
目录专题01 函数的性质及应用(Ⅰ) (1)专题02 函数的性质及应用(Ⅱ) (9)专题03 导数(Ⅰ) (21)专题04 导数(Ⅱ) (32)专题05 函数的综合应用 (42)专题06 三角函数的图象与性质 (53)专题07 三角恒等变换与解三角形 (61)专题08 向量与复数 (68)专题09 数列(Ⅰ) (75)专题10 数列(Ⅱ) (82)专题11 不等式与推理证明 (89)专题12 空间平行与垂直 (97)专题13 直线与圆 (105)专题14 圆锥曲线 (112)专题15 解析几何中的综合问题 (122)专题16 附加题 (132)专题17 附加题 (136)专题18 附加题 (144)专题1函数的性质及应用(Ⅰ)回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008年和2009年考查了函数的基本性质，在2010年、2011年和2012年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在2008～2012年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一.(2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.真题再现1．(2009·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为___ 解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x 在R 上递减．由f (m )>f (n )得m <n .答案：m <n 2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为_____解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．(2010·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是____答案：(－1，2－1) 解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，∴x 的取值范围为(－1，2－1)．4．(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为___解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.答案：－345．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a24＝0，即a 2＝4b .因为x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：9 典例精析：1．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．析：(1)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x . 则f ′(x )＝1x2>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，即a <2x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2.又x >1，∴h ′(x )>0. ∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )>h (1)＝3，故a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，∴mn >0.当n >m >0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m ＝f (m )，n ＝f (n )． 故x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2>0，Δ＝a 2－4>0，解得a >2. 当m <n <0时，可证f (x )＝a ＋1x在(－∞，0)上是减函数．∴m ＝f (n )，n ＝f (m )，即x ∈(0，＋∞)时，⎩⎨⎧a ＋1m ＝n ， ①a ＋1n ＝m ， ②①－②得1m －1n ＝n －m ，∴n －m mn＝n －m ，而m ≠n ，故mn ＝1，代入①，得a ＝0.综上所述，a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．本题综合考查反比例函数、绝对值等内容，对等价转换的要求比较高，第一问很常规，可以通过定义法和导数法解决，入手比较简单；第二问方向发散，分离参数是较好的方法；第三问要求较高，既考查知识点的转化能力，又考查对方程组数据的处理能力，本问就凸显出两种处理方程组的方法：作差和转化成二次方程的根，而这正是这几年江苏高考的一大特色．借题发挥1 (2012·南通学科基地)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．解：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94.2.(2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)若方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．解： (1)由题意可知，|x －m |＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，而方程|x －m |＝|m |在R 上的解集为x ＝0或x ＝2m ，所以2m ≥－4且2m ≠0.所以m 的取值范围为[－2,0)∪(0，＋∞)．(2)原命题等价于“f (x )的最小值大于g (x )的最大值”对任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≤4，m －4，m >4.对任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9，m <3，m 2－7m ，m ≥3.①当m <3时，0>m 2－10m ＋9，解得1<m <3； ②当3≤m ≤4时，0>m 2－7m ，解得3≤m ≤4； ③当m >4时，m －4>m 2－7m ，解得4<m <4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为()1，4＋23.本题综合考查一次函数、二次函数、绝对值符号等知识，对思维的要求很高，要理解“若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立”的意义，即f (x )的最小值大于g (x )的最大值．借题发挥2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6.∴b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.(2)记方程①：2＝x ＋a (x >0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a <2，方程①没有实数根⇒a ≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(2－a )>02－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－14a ≤2⇒－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a <0或Δ＝0， 即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2.3.已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x，若函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右图所示)． (2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝－3. 若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a . 当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.(3)当x ∈[1,2]时，h (x )＝ax ＋2a －1x－1，在区间[1,2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h (x 2)－h (x 1)＝⎝⎛⎭⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝⎛⎭⎫ax 1＋2a －1x 1－1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－(2a －1)x 1x 2. 因为h (x )在区间[1,2]上是增函数，所以h (x 2)－h (x 1)>0.因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1. 当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a≤1，解得0＜a ≤1.当a <0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，除了用定义法来解决还可以等价转化成h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1,2]恒成立来解决．借题发挥3(2012·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析：因为a ，b 为正实数，所以函数f (x )是单调递增的．所以f (1)＝a ＋b ＋2＝4得到a ＋b ＝2.所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋12＝－32.答案：－32[专题技法归纳](1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性． (2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较． 经典训练：1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)＝______解析：f (x )是周期函数，周期为6，f (2 013)＝f (3)＝－f (0)＝0.答案：02．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________.解析：若f (0)＝2得到t ＝±2，经检验t ＝±2都不成立；若f (1)＝2得到t ＝－3,1，经检验t ＝－3不成立；若f (3)＝2得到t ＝5,1，经检验t ＝5不成立．综上得t ＝1.答案：13．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，得函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 4．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)，(1)若a >0，则f (x )的定义域是________； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：(1)由3－ax ≥0得定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a . (2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a <0.综上得a <0或1<a ≤3.5．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝1.∴f (－5)＋f (5)＝f (－4)＋f (4)＝f (－3)＋f (3)＝f (－2)＋f (2)＝f (－1)＋f (1)＝1. 又f (0)＝12，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝112.答案：1126．若函数y ＝3＋x 2ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝___解析：函数的图象关于(0,3)对称，并且具有中心对称的函数在对称区间上的最大值与最小值之和为对称中心纵坐标的2倍，故答案为6.答案：67．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99=解析：y ＝x n＋1的导函数为y ′＝(n ＋1)x n ⇒y ′| x ＝1＝n ＋1.∴切线是y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切点的横坐标x n ＝n n ＋1.∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg (x 1x 2…x 99)＝lg ⎝⎛⎭⎫12·23·…·9899·99100＝lg 1100＝－2. 8．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为_____解析：由f (x 1)＋f (2x 2)＝1，得log 2x 1－1log 2x 1＋1＋log 2(2x 2)－1log 2(2x 2)＋1＝1，即log 2x 2＝4log 2x 1－1.于是log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1＋4log 2x 1－1≥5，当且仅当log 2x 1＝3时等号成立．所以f (x 1x 2)＝log 2(x 1x 2)－1log 2(x 1x 2)＋1＝1－2log 2(x 1x 2)＋1≥23.答案：239．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________． 解析：作出函数y ＝e |x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.答案：410．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y ＝x3与第二个半椭圆(x－4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x3代入(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0.由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15.由9m 2>15，且m >0得m >153.同样将y ＝x 3代入第三个椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)．由Δ<0可计算得m <7. 综上知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7.答案：⎝⎛⎭⎫153，711．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解：(1)由已知f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，从而x >－1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，则x ＝1时f (x )取最小值为f (1)＝a －1.由a 24－(a －1)＝(a －2)24>0知，f (x )的最小值为a －1. 12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 解：(1)证明：设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2.∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)．∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．专题2 函数的性质及应用(Ⅱ)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视. 经典再现：1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝2. 令t ＝x ＋12，则f (t )＋f (1－t )＝2.分别令t ＝0，1n ，2n ，…，n －1n ，n n ，得f (0)＋f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝…＝2.∵a n＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， ∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1.答案：n ＋1 2．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．答案：①②③3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．答案：③4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x ＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f (x ＋1)＝－1f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7正确．答案：①③④5．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是增函数． 则其中真命题是________．解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤12，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k －{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．答案：①②③典例精析：1 (2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ； (3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． 解(1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得，x ≥23.∴23≤x ≤1.②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2. (2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1，∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0；当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1；当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2. 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x .(3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29，f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝149， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149＝149－1＝59，f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r⎝⎛⎭⎫89(k ∈N ，r ∈N *)．∴f 2 012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89. (4)由(1)知，f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n ⎝⎛⎭⎫23＝23.则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23.∴23∈B . 由(2)知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ，∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x .则0,1,2∈B . 由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ，∴89，29，149，59∈B .综上所述23，0,1,2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素． 本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识直接套用，第三问就需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．借题发挥1对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c . 称f (x )为“平底型”函数．判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由． 解：f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数， 存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1， 当x <1和x >2时，f (x )>1恒成立； f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]⊆R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数．2.(2012·南京一模)对于函数f (x )，若存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判断函数f (x )＝4x 是否为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x－1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．解(1)函数f (x )＝4x 是“(a ，b )型函数”，因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a ＝b ，所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16. (2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4，所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝4g (2－x )，其中2－x ∈[0,1]．而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝m2.①当m2>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪⎣⎡⎦⎤4m ＋1，2＝⎣⎡⎦⎤4m ＋1，m ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤3，4m ＋1≥1，此时无解；②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (0)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1， 所以g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，4m ＋1－m 24，由题意得⎩⎨⎧4m ＋1－m24≤3，m ＋1≤3，且⎩⎨⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1≥1，解得1≤m ≤2；③当0＜m 2≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (1)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2，则g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，4m ＋1－m 24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，4m ＋1－m 24，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1－m24≤3，解得2－263≤m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2－263，2. 本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在[1,2]上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题．求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较．借题发挥2(2012·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])， f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判断f (x )是否为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的k ；如果不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围． 解：(1)f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]．(2)∵f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[－1，0)，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1)，x 2，x ∈[1，4]，∴f 2(x )－f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0)，1，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥1－x ，即k ≥2； 当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，即k ≥1；当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，即k ≥165.综上，存在k ＝4，使得f (x )是[－1,4]上的4阶收缩函数．(3)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，∴在(0,2)上f ′(x )>0，f (x )递增，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )递减． ①当0<b ≤2时，f (x )在[0，b ]上递增，∴f 2(x )＝f (x )＝－x 3＋3x 2，f 1(x )＝f (0)＝0.∵f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，∴(ⅰ)f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)对x ∈[0，b ]恒成立， 即－x 3＋3x 2≤2x 对x ∈[0，b ]恒成立，即0≤x ≤1或x ≥2.∴0＜b ≤1.(ⅱ)存在x ∈[0，b ]，使得f 2(x )－f 1(x )>(x －0)成立．即存在x ∈[0，b ]，使得x (x 2－3x ＋1)<0成立． 即x <0或3－52<x <3＋52，∴只需b >3－52.综上3－52<b ≤1.②当2＜b ≤3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减，∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )－f 1(x )＝4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)不成立． ③当b >3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减，∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (b )<0，f 2(x )－f 1(x )＝4－f (b )>4，x －0＝x . ∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)也不成立．综上3－52＜b ≤1.3.(2012·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 解(1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)·ln a ， 由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0， 所以f ′(x )>0.故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增， 故f ′(x )＝0有惟一解x ＝0.所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程 f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝(f (x ))min ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1.由(2)知，f (x )在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1， f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 记g (t )＝t －1t －2ln t (t >0)，因为g ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)， 所以g (t )＝t －1t－2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )>0；当0<t <1时，g (t )<0，也就是当a >1时，f (1)>f (－1)；当0<a <1时，f (1)<f (－1)． ①当a >1时，由f (1)－f (0)≥e －1⇒a －ln a ≥e －1⇒a ≥e ， ②当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e －1⇒1a ＋ln a ≥e －1⇒0＜a ≤1e ，综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，一二两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第三问要将“若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1”转化成|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．借题发挥3(2012·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)．(1)求g (x )的表达式； (2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围；(3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x ，证明：对∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1.解：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，于是g (x －1)＋g (1－x )＝2a (x －1)2＋2c ＝(x －1)2－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－1.又g (1)＝－1，则b ＝－12.所以g (x )＝12x 2－12x －1.(2)f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98＝12x 2＋m ln x (m ∈R ，x >0)． 当m >0时，由对数函数性质，f (x )的值域为R ； 当m ＝0时，f (x )＝x 22>0对∀x >0，f (x )>0恒成立；当m <0时，由f ′(x )＝x ＋mx＝0⇒x ＝－m ，列表：这时，f (x )min ＝f (－m )＝－m2＋m ln －m . f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋m ln －m >0，m <0⇒－e<m <0.所以若∀x >0，f (x )>0恒成立，则实数m 的取值范围是(－e,0]．故∃x >0，使f (x )≤0成立，实数m 的取值范围(－∞，－e]∪(0，＋∞)．(3)证明：因为对∀x ∈[1，m ]，H ′(x )＝(x －1)(x －m )x ≤0，所以H (x )在[1，m ]内单调递减．于是|H (x 1)－H (x 2)|≤H (1)－H (m )＝12m 2－m ln m －12.|H (x 1)－H (x 2)|<1⇔12m 2－m ln m －12<1⇔12m －ln m －32m<0.记h (m )＝12m －ln m －32m (1＜m ≤e)，则h ′(m )＝12－1m ＋32m 2＝32⎝⎛⎭⎫1m －132＋13>0， 所以函数h (m )＝12m －ln m －32m 在(1，e]上是单调增函数．所以h (m )≤h (e)＝e 2－1－32e ＝(e －3)(e ＋1)2e<0，故命题成立．[专题技法归纳] (1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种． (2)对于形如：∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题． 经典回顾：1．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.解析：作出函数f (x )的图象可以得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝9.f (9)＝|lg 7|＝lg 7.答案：lg 72．若函数f (x )满足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．解析：由题意可得到图象关于x ＝4对称，所以和为20.答案：203．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________．解析：由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在区间[－1,2]上满足f ′(x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，此问题相当于在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，下求目标函数z ＝b ＋c 的最大值．作出可行域(图略)，由图可知，当直线l ：b ＋c ＝z 过2b －c －3＝0与4b ＋c ＋12＝0的交点M ⎝⎛⎭⎫－32，－6时，z 最大，∴z max ＝－32－6＝－152.答案：－1524．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； ④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解析：①显然正确；由|f (x )|＝|x |1＋|x |<1＋|x |1＋|x |＝1知②正确；可以证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f (x )－x ＝0得x1＋|x |＝x ，此方程只有一根x ＝0，故④不正确．答案：①②③5．若关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________．解析：方程等价于|x －t |＝2－x 2，结合y ＝|x －t |与y ＝2－x 2图象，如图，找出两边临界值，可得－94≤t ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫－94，2 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是___解析：f (x )＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1>x －1， ＝⎩⎨⎧2⎝⎛⎭⎫x －142－18，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由f (x ＋6)＝f (x )，可知函数的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝335＋3＝338.9．(2012·南师附中)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，对于任意x ∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：f (x ＋t )≥2f (x )等价于f (x ＋t )≥f (2x )根据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数，所以x ＋t ≤2x 恒成立，解得t ≤－ 2.答案：(－∞，－ 2 ]10．(2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 11．(2012·栟茶一模)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有2个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2)；(3)若f (0)＝0，是否存在b 的值使{x |f (x )＝x }＝{x |f [f (x )]＝x }成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，所以a >0且c <0. ∵f (1)＝0，∴1是f (x )＝0的一个根，由韦达定理知另一根为ca .∵a >0且c <0，∴c a <0<1.又a >b >c ，b ＝－a －c ，∴－2<c a <－12.假设存在这样的m ，由题意，则a ⎝⎛⎭⎫m －c a (m －1)＝－a <0，∴c a <m <1.∴m ＋3>ca ＋3>－2＋3＝1. ∵f (x )在(1，＋∞)单调递增，∴f (m ＋3)>f (1)＝0，即存在这样的m 使f (m ＋3)>0.(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x )是二次函数．∵g (x 1)·g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)－f (x 1)＋f (x 2)2⎣⎡⎦⎤f (x 2)－f (x 1)＋f (x 2)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2≤0，又∵f (x 1)≠f (x 2)，g (x 1)·g (x 2)<0，∴g (x )＝0有两个不等实根，且方程g (x )＝0的根必有一个属于(x 1，x 2)． (3)由f (0)＝0得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx .由f (x )＝x ，得方程ax 2＋(b －1)x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1－ba ，又由f [f (x )]＝x 得a [f (x )]2＋bf (x )＝x .∴a [f (x )－x ＋x ]2＋b [f (x )－x ＋x ]＝x .∴a [f (x )－x ]2＋2ax [f (x )－x ]＋ax 2＋b [f (x )－x ]＋bx －x ＝0. ∴[f (x )－x ][af (x )－ax ＋2ax ＋b ＋1]＝0， 即[f (x )－x ][a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1]＝0. ∴f (x )－x ＝0或a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1＝0. (*) 由题意(*)式的解为0或1－ba或无解，当(*)式的解为0时，可解得b ＝－1，经检验符合题意； 当(*)式的解为1－ba时，可解得b ＝3，经检验符合题意；当(*)式无解时，Δ＝a 2(b ＋1)2－4a 2(b ＋1)<0，即a 2(b ＋1)(b －3)<0，∴－1<b <3. 综上可知，当－1≤b ≤3时满足题意． 12．已知函数f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，f 2(x )＝e |x－a |＋1，x ∈R ，1≤a ≤6.(1)若a ＝2，求f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在[2,3]上的最小值；(2)若|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围； (3)求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2在[1,6]上的最小值．解：(1)对于a ＝2，x ∈[2,3]，f (x )＝e |x －3|＋e |x－2|＋1＝e 3－x ＋e x －1≥2e 3－x ·e x －1＝2e ，当且仅当e 3－x ＝e x －1，即x ＝2时等号成立，∴f (x )min ＝2e.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x )≤f 2(x )对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x－2a ＋1|≤e |x－a |＋1对于任意的实数x 恒成立，∴|x －2a ＋1|≤|x －a |＋1，即|x －2a ＋1|－|x －a |≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x －2a ＋1|－|x －a |≤|(x －2a ＋1)－(x －a )|＝|－a ＋1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|－a ＋1|≤1，解得0≤a ≤2. 又1≤a ≤6，∴a 的取值范围为1≤a ≤2.(3)g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x )，①当1≤a ≤2时，由(2)知f 1(x )≤f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，图象关于直线x ＝2a －1对称，如右图，又此时1≤2a －1≤3，故对x ∈[1,6]，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1.②当2＜a ≤6时，(2a －1)－a ＝a －1>0，故2a －1>a . x ≤a 时，f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)>e－x ＋a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 2(x )＝e |x－a |＋1；x ≥2a －1时，f 1(x )＝e x －(2a －1)<e x－a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|；a <x <2a －1时，由f 1(x )＝e－x ＋(2a －1)≤e x－a ＋1＝f 2(x )，得x ≥3a －22，其中a <3a －22<2a －1，故3a －22≤x ＜2a －1时，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，a <x <3a －22时，g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1.因此，2＜a ≤6时，g (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，x ≥3a －22，f 2(x )，x <3a －22.令f 1(x )＝e |x－2a ＋1|＝e ，得x 1＝2a －2，x 2＝2a ，且3a －22<2a －2，如右图．(ⅰ)当a ≤6≤2a －2，即4≤a ≤6时，g (x )min ＝f 2(a )＝e ； (ⅱ)当2a －2＜6≤2a －1，即72≤a ＜4时，g (x )min ＝f 1(6)＝e |6－2a＋1|＝e 2a －7；(ⅲ)当2a －1<6，即2<a <72时，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1， g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤a <72，e 2a －7，72≤a ＜4，e ，4≤a ≤6.专题3 导 数(Ⅰ)导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题，并在17题中进行了考查(运用导数求三角函数的最值)；2009年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2010年第8题和压轴题都考查了导数；2011年12题和19题；2012年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.预测在2013年的高考题中： (1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值. 真题再现：1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为_______解析：y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，故x ＝－2.点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)2．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝_____解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2.则a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：213．若函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是______解析：当直线y ＝2x ＋a 和y ＝e x 相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，直线方程是y ＝2x ＋2－2ln 2，将直线y ＝2x ＋2－2ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．答案：(2－2ln 2，＋∞)4．(2010·江苏高考)将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是______解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝(3－x )212(x ＋1)·32(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)．法一：利用导数求函数最小值．S (x )＝43·(3－x )21－x 2，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令S ′(x )＝0，又0<x <1，所以x ＝13.当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，S ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈⎣⎡⎭⎫13，1时，S ′(x )>0，函数单调递增； 故当x ＝13时，S 取最小值为32 33.法二：利用函数的方法求最小值．令3－x ＝t ，t ∈(2,3)，1t ∈⎝⎛⎭⎫13，12，则S ＝4 3·t 2－t 2＋6t －8＝4 3·1－8t 2＋6t －1.故当1t ＝38，x ＝13时，S 取最小值为32 33.答案：32 335．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是____解析：设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0 (x －x 0)，所以M (0，(1－x 0)e x 0)．过点P 作l 的垂线其方程为 y －e x 0＝－e －x 0 (x －x 0)，N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，所以t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0)．t ′＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以t 在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，所以当x 0＝1时，t 取最大值t max。
圆锥曲线的综合问题 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题强化训练（原卷+答案）考点一 证明问题——等价转化，直击目标圆锥曲线中证明问题的两种常见类型圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．对点训练已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程；(2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二 定点问题——目标等式寻定点解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 例 2 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P (2，0)，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，当1k 1+1k 2＝1时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．对点训练已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，S (t ，4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)．(1)若l 过点F 且倾斜角为60°，|FM |＝4(M 在第一象限)，求C 的方程；(2)若p ＝2，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．考点三 定值问题——巧妙消元寻定值定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等．二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)．三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值．例 3 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝3上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：△OMN 的面积为定值．对点训练已知F 1(－√3，0)，F 2(√3，0)分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为双曲线在第一象限的点，△AF 1F 2的内切圆与x 轴交于点P (1，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点Q 处的切线l ，若l 与双曲线C 左、右两支分别交于点M 、N ，问：QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．考点四 圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈________；②|PF 1|∈________；③|PF 1|·|PF 2|∈________；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①|OP |≥________；②|PF 1|≥________． (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥________；②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值；③点N (a ，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN |min ＝{|a |(a ≤p )，√2pa −p 2(a ＞p)．例 4如图，已知椭圆x 212＋y 2＝1.设A ，B 是椭圆上异于P (0，1)的两点，且点Q (0，12)在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y ＝－12x ＋3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD |的最小值．对点训练已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．[典例] 已知圆(x ＋√3)2＋y 2＝16的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N (√3，0)，点G 在线段MP 上，且满足(GN⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点T (4，0)作斜率不为0的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．(1)因为(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0，即GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－GP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0， 所以|GP |＝|GN |，所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4>2√3＝|MN |， 所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4，2c ＝2√3，即a ＝2，c ＝√3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以点G 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意可设直线l ：x ＝my ＋4. 由{x =my +4，x 24+y 2=1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)＝16(m 2－12)>0，得m 2>12. ①且y 1＋y 2＝－8mm 2+4，y 1y 2＝12m 2+4.②因为点A 关于x 轴的对称点为D ， 所以D (x 1，－y 1)， 可设Q (x 0，0)，所以k BD ＝y 2+y 1x 2−x 1＝y 2+y 1m (y 2−y 1)， 所以BD 所在直线的方程为y －y 2＝y 2+y 1m (y2−y 1)(x －my 2－4)． 令y ＝0，得x 0＝2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2. ③将②代入③， 得x 0＝24m−32m−8m＝1， 所以点Q 的坐标为(1，0)．因为S △ABQ ＝|S △TBQ －S △TAQ |＝12|QT ||y 2－y 1|＝32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝6√m 2−12m 2+4，令t ＝m 2＋4，结合①得t >16， 所以S △ABQ ＝6√t−16t＝ 6√−16t 2+1t ＝6√−16(1t −132)2+164.当且仅当t ＝32，即m ＝±2√7时，(S △ABQ )max ＝34. 所以△ABQ 面积的最大值为34.参考答案考点一[例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E的方程为x 23+y 24＝1. (2)证明：方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)． 由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1， 所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x 2−x ′＝y 2−y 1x 2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二 由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)． 将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)． 此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)． b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4， 且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)． 由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)． 则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y 1+6−x 1−x2(x －x 2)． 将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．对点训练解析：(1)将y ＝3代入x 2＋2py ＝0，得x 2＝－6p . 当p ≥0时，不合题意；当p <0时，x ＝±√−6p ，则2√−6p ＝4√6， 解得p ＝－4，故C 的方程为x 2＝8y .(2)证明：由(1)可知C 的准线方程为y ＝－2， 不妨设P (m ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设过点P 且与C 相切的直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －m )－2，且k ≠0，联立{y =k (x −m )−2，x 2=8y ，得x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝0，则Δ＝64k 2－32(km ＋2)＝0，即k 2－12mk －1＝0，由题意知，直线P A ，PB 的斜率k 1，k 2为方程k 2－12mk －1＝0的两根， 则k 1＋k 2＝m2，k 1k 2＝－1，故k 1·k 2为定值． 又x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝(x －4k )2＝0， 则x 1＝4k 1，同理可得x 2＝4k 2，则k 0＝y 1−y 2x 1−x 2＝18x −1218x 22x 1−x 2＝x 1+x 28，因此k 0＝4(k 1+k 2)8＝k 1+k 22，故k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二[例2]解析：(1)因为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b 2a＝2，所以a ＝2，c ＝√2，b ＝√2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22＝1. (2)设直线l 的方程为m (x －2)＋ny ＝1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由椭圆的方程x 2＋2y 2＝4，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)．联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)[m (x －2)＋ny ]， 即(1＋4m )(x －2)2＋4n (x －2)y ＋2y 2＝0，(1＋4m )(x−2y )2＋4n x−2y＋2＝0， 所以1k 1+1k 2＝x 1−2y 1+x 2−2y 2＝－4n 1+4m＝1，化简得m ＋n ＝－14，代入直线l 的方程得m (x －2)＋(−14−m)y ＝1，即m (x －y －2)－14y ＝1，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4)．对点训练解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，因为l 过点F 且倾斜角为60°，所以l ：y ＝√3(x －p2)， 联立y 2＝2px (p >0)，可得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x ＝32p 或x ＝p6，又M 在第一象限，所以x M ＝32p ，因为|FM |＝4，所以32p ＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；(2)由已知可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点S (4，4)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，点M (y 12 4，y1)，N (y 22 4，y2)，将直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立得y 2－4my －4n ＝0， 所以Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n (*)，直线SM 的方程为y －4＝y 1−4y 12 4－4(x －4)，令x ＝0求得点A 的纵坐标为4y 1y 1+4，同理求得点B 的纵坐标为4y 2y2+4， 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝16y 1y 2y 1y 2+4(y 1+y 2)+16＝8，化简得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)＋16，将上面(*)式代入得－4n ＝16m ＋16，即n ＝－4m －4， 所以直线l 的方程为x ＝my －4m －4，即x ＋4＝m (y －4)， 所以直线l 过定点(－4，4)．考点三[例3] 解析：(1)不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0), 因为A (a ，0)， 从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−c −a ，0)，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c －a ，0) ，故有 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a 2－c 2＝－1, 又因为a 2＋b 2＝c 2, 所以 b ＝1，又因为A (a ，0) 在圆 O ：x 2＋y 2＝3 上， 所以 a ＝√3，所以双曲线C的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)证明：设直线l 与x 轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y ＝±√33x ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点， 且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，当动直线l 的斜率不存在时， l ：x ＝±√3，|OD |＝√3，|MN |＝2，S △OMN ＝12×√3×2＝√3，当动直线l 的斜率存在时， 且斜率k ≠±√33， 不妨设直线 l ：y ＝kx ＋m,故由{y =kx +m x 23−y 2=1⇒(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0， 依题意，1－3k 2≠0且m ≠0，Δ＝(－6mk )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝0, 化简得 3k 2＝m 2＋1，故由{y =kx +my =√33x ⇒x M ＝√33−k ， 同理可求，x N ＝－√33+k， 所以|MN |＝√1+k 2|xM−x N |＝2√3|m|√k 2+1|1−3k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx －y ＋m ＝0的距离d ＝√k 2+1，所以S △OMN ＝12|MN |d ＝√3m 2|1−3k 2|，又由3k 2＝m 2＋1，所以S △OMN ＝√3|m|√k 2+1|1−3k 2|＝√3，故△OMN 的面积为定值，定值为√3.对点训练解析：(1)如图，设AF 1，AF 2与△AF 1F 2的内切圆分别交于G ，H 两点， 则2a ＝|AF 1|−|AF 2|＝|F 1P |−|PF 2| ＝(1＋√3)－(√3－1)＝2，所以a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝2， 则双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由题意得，切线l 的斜率存在．设切线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 因为l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，所以√1+k 2＝√2，即m 2＝2k 2＋2.联立{y =kx +m ，x 2−y 22=1，消去y 并整理得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2km2−k 2，x 1x 2＝−m 2−22−k 2.又QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|ON ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QON －|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QOM ＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |+ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(k 2+1)(−m 2−2)2−k 2+2k 2m 22−k2＋m 2＝m 2−2k 2−22−k 2，将m 2＝2k 2＋2代入上式得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.所以QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝－2. 综上所述，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2.考点四(1)[b ，a ] [a －c ，a ＋c ] [b 2，a 2] (2)a c －a (3)p2[例4] 解析：(1)设M (2√3cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P (0，1)，则|PM |2＝12cos 2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin 2θ－2sin θ＝14411－11(sin θ＋111)2≤14411.故|PM |的最大值为12√1111.(2)由题意，知直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋12.将直线方程与椭圆方程联立，得{y =kx +12，x 212+y 2=1.消去y 并整理，得(k 2＋112)x 2＋kx －34＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－kk 2+112，x 1x 2＝－34(k 2+112).直线P A ：y ＝y 1−1x 1x ＋1与直线y ＝－12x ＋3交于点C ，则x C ＝4x 1x1+2y 1−2＝4x 1(2k+1)x 1−1. 同理可得，x D ＝4x 2x 2+2y 2−2＝4x 2(2k+1)x 2−1，则|CD |＝ √1+14|x C －x D | ＝√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|＝2√5|x 1−x 2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x 2−1]|＝2√5|x 1−x 2(2k+1)2x 1x 2−(2k+1)(x 1+x 2)+1|＝3√52·√16k 2+1|3k+1|＝6√55·√16k 2+1· √916+1|3k+1| ≥6√55，当且仅当k ＝316时等号成立．故|CD |的最小值为6√55.对点训练解析：(1)由题意知M (0，－4)，F (0，p2)，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ， 由题意可知直线AB 的斜率存在，设A (x 1，x 12 4)，B (x2，x 22 4)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得{y =kx +bx 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0， 则Δ＝16k 2＋16b >0(※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝√1+k 2|x 1－x 2|＝√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4√1+k 2·√k 2+b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x12，在点A 处的切线方程为y −x 12 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x −x 12 4，同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x −x 22 4，联立得{y =x 12x −x 124y ＝x22x －x 22 4，则{x =x 1+x 22=2ky =x 1x 24=−b ， 即P (2k ，－b )．因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)． 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝2√1+k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4√(k 2+b )3.由①得，k 2＝1−(4−b )24＝−b 2+8b−154， 令t ＝k 2＋b ，则t ＝−b 2+12b−154，且3≤b ≤5. 因为t ＝−b 2+12b−154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20√5.。
(江苏专用)高考数学二轮复习 第一篇 第4练 数学文化试题 理-人教版高三全册数学试题
第4练数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；(2)数学文化中蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.《X邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为________.答案16 29解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.2.如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为________.答案 2解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.3.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为________.答案 5或32解析 当n ＝5时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行流程图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝________.答案 4解析 当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件，当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4.5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝________. 答案 6解析 由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6.6.(2018·某某)我国古代数学著作《X 邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________，y ＝________.答案 8 11解析 方法一 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二 三角函数与几何中的数学文化方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是________步. 答案 6解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α＝________.答案 34解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.9.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为________.答案 92解析 类比祖暅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S ＝12(1＋2)×3＝92，所以图1的面积为92.10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________. 答案258解析 由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258. 11.我国古代数学名著《X 邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为________尺. 答案 21.2解析 设谷堆的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，r ≈9. 粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h ，h ≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R 尺. 则R 2＝(h －R )2＋r 2，解得R ≈10.6(尺).∴2R ≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2； ③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确的式子的序号是________. 答案 ②④解析 ①由题图知2a 1>2a 2,2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确. ②∵a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ， ∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确.④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22. 又∵a 1－c 1＝a 2－c 2，即a 1＋c 2＝a 2＋c 1， 即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1， ∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1， 整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1， 即c 1a 2>a 1c 2，∴④正确. ③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2， ∴③不正确.正确式子的序号是②④. 考点三 概率统计与推理证明中的数学文化方法技巧 (1)概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1560石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为________石. 答案 195解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为32256×1 560＝195(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________. 答案 49解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n (如：在3阶幻方中，N 3＝15)，则N 10＝________.答案 505解析 n 阶幻方共有n 2个数，其和为1＋2＋…＋n 2＝n 2()n 2＋12，∵n 阶幻方共有n 行，∴每行的和为n 2(n 2＋1)2n＝n (n 2＋1)2，即N n ＝n (n 2＋1)2，∴N 10＝10×(102＋1)2＝505.16.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为________.答案2129解析 如图所示，设水深为x 尺，由题意得(x ＋2)2＝x 2＋52，求解关于实数x 的方程，可得x ＝214，即水深为214尺，又葭长为294尺，则所求问题的概率为P ＝2129.17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是________. 答案 甲解析 由四人的预测可得下表：中奖人 预测结果甲 乙 丙 丁 甲 √ × × × 乙 √ × √ √ 丙 × × √ √ 丁×√×√由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《X 邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”________. 答案778解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金. 2.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前5天共分发了________升大米. 答案 3300解析 设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300.3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第________天相逢. 答案 4解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n 天打洞之和为2n－12－1＝2n－1；同理，小老鼠前n 天打洞的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，∴2n－1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸).5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为________.答案 78解析 模拟程序的运行，可得当i ＝1时，S ＝2S －1，i ＝1满足条件i <3，执行循环体；当i ＝2时，S ＝2(2S －1)－1，i ＝2满足条件i <3，执行循环体；当i ＝3时，S ＝2[2(2S －1)－1]－1，i ＝3不满足条件i <3，退出循环体，输出S ＝0，∴2[2(2S －1)－1]－1＝0，∴S ＝78. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为 3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是________.答案 25解析 不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为32＋12＝10，小正方形边长为2，故概率为2×210×10＝25. 7.欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为________.答案 14π解析 由题意可得直径为4 cm 的圆的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π(cm 2)，而边长为1 cm 的正方形的面积为1×1＝1(cm 2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P ＝14π. 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为________平方尺.答案 138π解析 设四棱锥的外接球半径为r ，则(2r )2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.答案 510解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.10.《书章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位).这个问题中，甲所得为________钱.答案 43解析 设甲、乙、丙、丁、戊所得质量分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1.则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝4a 3＝43. 11.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米约_____斛.(古制1丈＝10尺，1斛≈1.62立方尺，圆周率π≈3)答案 2700解析 由题意，得2πr ＝54，r ≈9，圆柱形容器体积为πr 2h ≈3×92×18，所以此容器约能装3×92×181.62＝2700(斛)米. 12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：(1)b 2018是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________.(用k 表示)答案 (1)5045 (2)5k (5k －1)2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *， 故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知，b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2， 故b 2 018＝b 2×1 009＝a 5×1 009＝a 5 045，即b 2 018是数列{a n }中的第5 045项.。
大连育明中学2024届高三第二轮复习测试卷数学试题(一)
大连育明中学2024届高三第二轮复习测试卷数学试题（一）注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切2．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．563．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．5．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A 10B ．23C ．3D ．46．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．67．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．608．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1549．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<10．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．811．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-12．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阶段性综合检测(一)(必做题部分：时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,3,5}，则∁U A ＝________. 解析：由补集定义∁U A ＝{2,4}．答案：{2,4}2．(2010年广州第一次统考)若log 2(a ＋2)＝2，则3a ＝________. 解析：log 2(a ＋2)＝2，即22＝a ＋2，a ＝2，则3a ＝32＝9.答案：93．已知全集U ＝{－2，－1，0,1,2}，集合A ＝{－1,0,1}，B ＝ {－2，－1,0}，则A ∩∁U B ＝________.解析：因为∁U B ＝{1,2}，所以A ∩∁U B ＝{1}．答案：{1}4．(2010年皖南八校第二次联考)设奇函数f (x )的定义域为R ，且周期为5，若f (1)<－1，f (4)＝log a 2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (4)＝－f (－4)＝－f (1)>1，∴log a 2>1，∴1<a <2.答案：(1,2)5．设全集I ＝{1,2a －4，a 2－a －3}，A ＝{a －1,1}，∁I A ＝{3}，则a 的值是________．解析：由(∁I A )∪A ＝I 知I ＝{a －1,1,3}，从而有(1)⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －4＝a －1，a 2－a －3＝3，或 (2)⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝3，a 2－a －3＝a －1. 由(1)解得a ＝3，(2)无解．答案：36．设f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )＝1，(x i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，则f (x 12)＋f (x 22)＋…＋f (x n 2)的值等于________．解析：f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )＝log a x 1＋log a x 2＋…＋log a x n ＝log a x 1x 2…x n ＝1，所以x 1x 2…x n ＝a ，从而f (x 12)＋f (x 22)＋…＋f (x n 2)＝log a (x 12)＋log a (x 22)＋…＋log a (x n 2)＝log a (x 1x 2…x n )2＝log a (a 2)＝2.答案：27．(2009年高考陕西卷)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学和化学小组的人数为x 人．20－x ＋6＋5＋4＋9－x ＋x ＝36，x ＝8.答案：88．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：作出示意图可知：f (2x －1)<f (13)⇔－13<2x －1<13，即13<x <23.答案：(13，23)9．设f (x )＝x －a x －1，集合M ＝{x |f (x )＜0}，P ＝{x |f ′(x )＞0}，若M P ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝1＋1－a x －1， ∴f ′(x )＝a －1(x －1)2， 当f ′(x )＞0时，有a ＞1.∴M ＝{x |1＜x ＜a }，P ＝{x |x ∈R 且x ≠1}，又∵M P ，∴a ＞1.答案：a ＞110．如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是________．解析：由题知，圆柱液面上升的高度是个常量，所以下落的液体体积是个常量．圆锥内的液面下降的高度先小后大，图象上每一个点的切线的斜率越来越大．答案：②11．设集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈B，x∉A∩B}＝________.解析：B＝{x|x2－4x＋3>0}，即B＝{x|x<1或x>3}．∴A∩B＝{x|x<0}，又x∈B且x∉A∩B，∴x的取值为x>3或0≤x<1，∴集合{x|x∈B，x∉A∩B}＝{x|0≤x<1或x>3}．答案：{x|0≤x<1或x>3}12．已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0，且a≠1)，且f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是________．解析：由f(4)·g(－4)<0得0<a<1，结合指数函数与对数函数的图象性质可知，②正确．答案：②13．已知U是全集，M、N是U的两个子集，若M∪N≠U，M∩N≠∅，则下列选项中正确的是________．①∁U M＝N②∁U N＝M③(∁U M)∩(∁U N)＝∅④(∁U M)∪(∁U N)≠U解析：如图可知，∵M∪N≠U，∴①②错；(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)≠∅，所以③错；∵(∁U M)∪(∁U N)＝∁U(M∩N)，M∩N≠∅，∴∁U(M∩N)≠U，④正确．答案：④14．如果存在正实数a，使得f(x－a)为奇函数，f(x＋a)为偶函数，我们称函数f(x)为“亲和函数”．则对于“亲和函数”f(x)，下列说法中正确的个数为________个．①f(x－a)＝－f(a－x)；②f(a－x)＝f(x＋a)；③f(x)的图象关于点(a,0)对称；④f(x)是周期函数，且8a是它的一个周期．解析：由f(x－a)＝－f(a－x)得f[－(a－x)]＝－f(a－x)⇒f(a－x)为奇函数，与题意不符，故①错；由f(x＋a)为偶函数，得f(－x＋a)＝f(x ＋a)，故②正确；f(x－a)为奇函数，说明将f(x)的图象向右平移a个单位后其图象关于原点对称，∴f(x)的图象关于(－a,0)对称，故③错；④是正确的，理由如下：由f(x－a)为奇函数，得f(－x－a)＝－f(x－a)，以x＋a代x，有f(－x－2a)＝－f(x)．由f(x＋a)为偶函数，得f(－x＋a)＝f(x＋a)，以x－a代x，有f(－x＋2a)＝f(x)．∴f(－x－2a)＝－f(－x＋2a)，即f(－x－2a)＝－f[(－x－2a)＋4a]，∴f(x)＝－f(x＋4a)，于是f(x＋8a)＝－f(x＋4a)＝－[－f(x)]＝f(x)，得④正确．答案：2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)A∩B＝A∪B，求a的值；(2)∅ A∩B，且A∩C＝∅，求a的值；(3)A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．解：(1)由题意知B＝{2,3}，A∩B＝A∪B，此时当且仅当A＝B，由根与系数的关系可得a＝5和a2－19＝6同时成立，即a＝5.(2)由于B ＝{2,3}，C ＝{－4,2}，故只可能3∈A .此时a 2－3a －10＝0，即a ＝5或a ＝－2，由(1)可得a ＝－2.(3)此时只可能2∈A ，有a 2－2a －15＝0，即a ＝5或a ＝－3，由(1)可得a ＝－3.16．(本小题满分14分)已知y ＝f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，x ∈[0,1]时，f (x )＝4x ＋a 4x ＋1. (1)求x ∈[－1,0)时，y ＝f (x )解析式，并求y ＝f (x )在x ∈[0,1]上的最大值；(2)解不等式f (x )>15.解：(1)∵y ＝f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.当x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，∴f (x )＝－f (－x )＝4x －14x ＋1， 即f (x )＝1－24x ＋1，∴y ＝f (x )在[0,1]上是增函数． ∴f (x )max ＝f (1)＝35.(2)∵f (x )＝4x －14x ＋1，x ∈[－1,1]． ∴4x －14x ＋1>15，解得x ∈(log 432，1]． 17．(本小题满分14分)记关于x 的不等式3x >1(x ∈Z )的解集为A ，关于x 的方程x 2－mx ＋2＝0的解集为B ，且B ⊆A .(1)求集合A ；(2)求实数m 的取值范围．解：(1)3－x x >0⇒x －3x <0⇒x (x －3)<0⇒0<x <3，又∵x ∈Z ，∴A ＝{1,2}；(2)集合A ＝{1,2}的子集有∅、{1}、{2}、{1,2}．∵B ⊆A ，∴B ＝∅、B ＝{1}或{2}、B ＝{1,2}．当B ＝∅时，Δ＝m 2－8<0，解得－22<m <22；当B ＝{1}或{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－8＝0，1－m ＋2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－8＝0，4－2m ＋2＝0. 则m 无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－8>0，1＋2＝m ，1×2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－22或m >22，m ＝3，⇒ m ＝3.综上所述，实数m 的取值范围是－22<m <22或m ＝3.18．(2010年浙江杭州模拟)(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，(x >0)，－f (x )，(x <0)，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，(x >0)，－(x ＋1)2，(x <0).∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]恒成立，因为1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ x ＋1x －2的定义域是集合A ，函数g (x )＝lg[x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ]的定义域是集合B .(1)求集合A 、B ；(2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)欲使f (x )＝x ＋1x －2有意义，只需x ＋1x －2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)(x －2)≥0，x －2≠0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x ≠2，⇒x >2或x ≤－1， ∴A ＝{x |x >2或x ≤－1}．欲使g (x )＝lg[x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ]有意义，则只需x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a >0，即[x －(a ＋1)](x －a )>0⇒x >a ＋1或x <a ，∴B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．(2)若A ∪B ＝B ，则A ⊆B .∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a ，a ＋1≤2，∴－1<a ≤1， ∴实数a 的取值范围为(－1,1]．20．(本小题满分16分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>(1π)2－tx 在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1， ∴b ＝2a ，∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋bx y ＝x 有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相同的实根，∴b ＝1，a ＝12.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>(1π)2－tx 等价于f (x )>tx －2，∵12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －(12x 2＋x ＋2)<0在|t |≤2时恒成立；∴⎩⎨⎧ g (2)<0g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0x 2＋6x ＋4>0， 解得：x <－3－5或x >－3＋5，实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．。