直线的方向向量与法向量

巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
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面面垂直
1 2 n 1 n 2 n 1n 10
2 n2
n1
1
a
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例5.在正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 中，E、F分别是BB1,， CD中点，求证：D1F 平面ADE
证明：设正方体棱长为1， 建立如图所示坐标系，则
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1) 2
设平面ADE的一个法向量
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则n AB，n AC
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2,2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx52yy3zz00,
取z
1，得
x y
1 2 1
n (1 ,1,1), | n | 3
求 平 2 面 A B C 的 单 位 2 法 向 量 为 (1 ， -2 ， 2 ）
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与 e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
a
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三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
l1 l2
e1
e2
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a
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线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
e1
l1
n1
设 直 线 l的 方 向 向 量 为 e (a 1 ,b 1 ,c 1 ),平 面 的
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n ⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
l1
e1 e2
l2
a
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线面垂直 l1 1 e1//n 1 e1n 1
l
e1
n1
若 e ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,n ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) , 则
l e / / n e n a 1 a 2 , b 1 b 2 , c 1 c 2 .
当 a2,b 2,c20 时 ,e//n a a 1 2ab b 1 2c c1 2
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CDE
3
3
Fz
E
N A
B
M
x
D
y
C
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.与向平量面n 是平平行面或的在法平向面量内，，向则量有m 是
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，建立如图所示空 间坐标，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的
单 位 法 向 量 。
由两个三元一次方程
解 ： 设 平 面 的 法 向 量 为 n （ x ， y ， z ） ， 组不成 惟的 一方 的程 ，组 为的 方解 便是 起
z
D1
A1
C1 B1
为n=(x，y，z)
E
D
C
则 由 n D A 0 ， n D E 0 得 Ax F B y
x00 0
则 x = 0 ， 不 妨 取 y 1 ， 得 z 2
x
y
1 2
z
0
所 以 n =(0 ， 1 ， -2)
又因为D1F(0,12,1) 所以D1F//n
所以 D 1F平 面 ADE
法 向 量 为 n (a 2 ,b 2 ,c 2 ),则
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
a
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三、平行关系： 面面平行1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
n1
1
n2
2
a
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例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
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问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)平面的法向 (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的 量合不理惟取一值，即
可。
方程组n nab 00aa12xxbb12yycc12zz00