直线的方向向量与法向量
方向向量与法向量
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使用勾股定理计算起点和终点之间的距离。
计算方向向量的单位向量
将方向向量除以其模长，得到单位向量。
计算方向向量的分量
根据起点和终点的坐标计算各坐标轴上的分量。
在几何学中，方向向量可以用于描述和比较空间中的直线和平面。
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
法向量和方向向量公式
法向量和方向向量公式法向量和方向向量是在数学和物理学中经常用到的概念。
下面我将分别解释这两个概念，并提供对应的公式。
1. 法向量：法向量是指与给定曲线、曲面或图形上某一点的切线垂直的向量。
它的方向垂直于曲线、曲面或图形的切线方向。
法向量在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
在二维平面中，法向量可以用二维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂)。
对于一条曲线或者一个曲面上的点P，可以通过求取该点的切线的斜率的负倒数来得到法向量。
如果曲线或曲面的方程已知，可以通过求取参数化方程的导数来得到法向量。
在三维空间中，法向量可以用三维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂, n₃)。
对于一个曲面上的点P，可以通过求取该点处曲面方程的偏导数来得到法向量。
具体的求法需要根据曲面方程的形式来确定。
2. 方向向量：方向向量是指描述一个物体或者一个点移动方向的向量。
它表示从一个点到另一个点的位移向量，它的大小和方向描述了物体或者点的运动轨迹。
方向向量可以用起点和终点的坐标差表示，通常记作d = (d₁, d₂)或者d = (d₁, d ₂, d₃)。
如果两个点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么方向向量可以表示为d = (x₂- x₁, y₂- y₁)。
类似地，在三维空间中，方向向量可以表示为d = (x ₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁)。
需要注意的是，方向向量只描述了移动的方向和距离，并没有说明起点和终点的具体位置。
因此，方向向量可以通过缩放来表示不同的位移长度。
希望以上解释和公式能够对你有所帮助。
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。
直线的方向向量与法向量的求法
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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线l ：Ax By C =0的斜率存在时，直线与坐标轴分
别交于M N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP,交横轴于点P,则，向 量m'是直线的方向向量，向量n 是直线的法向量，那么，如何求这两 个向量呢?
又••• k NP 二 B ,•••直线 NP 的方程为 y 二"Bx- C ,
A
A B 易知p 當0，故NP 珂晋,B)罟(诗罟(1厂或号(AB),
—■ 1 —■
所以，直线的法向量 n =(1,)或n 二(A, B) • k
说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可.
例、求下列直线的方向向量与法向量:
(1) 2x -3y 5 = 0 ; (2) 3x 7 = 0 .
解：(1)直线的方向向量为m' = (-3,-2)或m = (1,2),
3 直线的法向量为n 、
所以，直线的方向向量 m = (1,k)或m=(B,-A);
C C
「(1,k)或二 ABg ，
(2,-3)或n = (1^|);
(2)直线的方向向量为m〔(0,-3)或(0,1)或(0,-1),
直线的法向量为二(3,0)或(1,0)或(-1,0).
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直线的方向向量与法向量的求法
直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ， 直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。
高考数学新教材专题09 直线方向向量和法向量的应用
专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
5.直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与 e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
因为MN不在平面CDE内 所以MN//平面CDE
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
第二章 2.2.1 第2课时 直线的方向向量与法向量
第2课时 直线的方向向量与法向量学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．知识点一 直线的方向向量定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)a ＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y 轴垂直)的直线的一个方向向量． b ＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x 轴垂直)的直线的一个方向向量．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．(4)如果直线l 的倾斜角为θ，则a ＝(cos θ，sin θ)为直线l 的一个方向向量． 如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线l 的一个方向向量． (5)如果a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则 当u ＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝tan θ＝v u .知识点二 直线的法向量定义：一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(2)当x 0，y 0不全为0时，若a ＝(x 0，y 0)为直线l 的方向向量，则v ＝(y 0，－x 0)为直线l 的法向量；若v ＝(x 0，y 0)为直线l 的法向量，则a ＝(y 0，－x 0)为直线l 的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量．( √ ) 2．一条直线的所有方向向量都共线．( √ )3．如果a 为直线l 的法向量，则λa (λ≠0)也是直线l 的法向量．( √ )4．直线l 的一个方向向量为a ＝(2，－1)，则v ＝(2,1)为直线l 的一个法向量．( × )一、直线的方向向量例1 (1)直线l 过点P (1，－3)，Q (4，3－3)，求直线l 的一个方向向量、斜率和倾斜角． 解 方法一 PQ →＝(4，3－3)－(1，－3)＝(3，3)． ∴PQ →＝(3，3)为直线l 的一个方向向量， ∴k ＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. 故该直线的斜率为33，倾斜角为30°. 方法二 k PQ ＝(3－3)－(－3)4－1＝33，∴tan θ＝33，∴θ＝30°. 直线l 的一个方向向量a ＝(1，k )＝⎝⎛⎭⎫1，33. (2)平面内点A (－1，－5)，B (2,1)，C (4,5)，证明：A ，B ，C 三点共线． 解 方法一 k AB ＝1－(－5)2－(－1)＝63＝2，k AC ＝5－(－5)4－(－1)＝105＝2.∵k AB ＝k AC ，∴A ，B ，C 三点共线． 方法二 AB →＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)， AC →＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝53AB →.∴AB →∥AC →，又AB →与AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P ，Q ，则PQ →(QP →)为直线l 的一个方向向量． (2)已知直线的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线的一个方向向量．(3)a ＝(t ,0)(t ≠0)表示与x 轴平行或重合的直线的方向向量，a ＝(0，t )(t ≠0)表示与y 轴平行或重合的直线的方向向量．跟踪训练1 (1)直线l 的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________． 答案 －33 ⎝⎛⎭⎫1，－33 解析 ∵θ＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33. ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1，－33为直线的一个方向向量． (2)直线l 过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l 的方向向量为a ＝(m ，n )，则mn ＝________. 答案 0解析 依题意，直线l 垂直于x 轴，∴m ＝0，n 为任意非零实数，∴mn ＝0. 二、直线的法向量例2 (1)直线l 过点A (－1,3)和B (3,2)，则直线l 的法向量为( ) A ．(－1,4) B ．(2,5) C ．(5，－2) D ．(－1，－4)答案 D解析 AB →＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l 的一个方向向量， ∴直线l 的法向量v ＝(－1，－4)．(2)直线l 的法向量为v ＝(3，－3)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________． 答案3330° 解析 v ＝(3，－3)为直线l 的法向量， 则a ＝(－3，－3)为直线l 的方向向量． ∴k ＝－3－3＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. ∴直线l 的斜率为33，倾斜角为30° 反思感悟 直线的法向量的求法若直线的方向向量为a ＝(x 0，y 0)，则直线的法向量v ＝(y 0，－x 0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．跟踪训练2 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的法向量所在直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°， 又直线PQ 的法向量与直线PQ 垂直， 故PQ 的法向量所在直线的倾斜角为30°. 三、直线的方向向量和法向量的应用 例3 (1)直线l 的方向向量为⎝⎛⎭⎫cos α，32sin 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析 ∵α≠π2＋k π，k ∈Z ，∴cos α≠0，sin α≠±1.令直线l 的倾斜角为θ， ∴tan θ＝32sin 2αcos α＝3sin α.∵sin α∈(－1,1)， ∴tan α∈(－3，3)， ∴又θ∈[0，π)， 故θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π. (2)直线l 上两点A (－2,3)，B (4，m )，若直线l 的法向量为v ＝(2，－3)，则m ＝________. 答案 7解析 AB →＝(4，m )－(－2,3)＝(6，m －3)，∴AB →为直线l 的一个方向向量． ∴AB →⊥v ，∴6×2＋(－3)·(m －3)＝0， ∴m ＝7.反思感悟 直线的方向向量与法向量的关系一条直线有无数个方向向量和无数个法向量，任意两个方向向量是共线的，任意两个法向量也是共线的，任意一个方向向量和任意一个法向量是相互垂直的．跟踪训练3 已知a >0，b >0，且向量u ＝(a ,3)和v ＝(1－b ,2)都是直线l 的法向量．求2a ＋3b 的最小值．解 ∵u ，v 都是直线l 的法向量，则u ∥v ， ∴2a －3(1－b )＝0， 即2a ＋3b ＝3，∴13(2a ＋3b )＝1，且a >0，b >0. ∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·13(2a ＋3b ) ＝13⎝⎛⎭⎫4＋9＋6b a ＋6a b ＝133＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥133＋2×2b a ×a b ＝253， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝35时，等号成立．∴当a ＝b ＝35时，2a ＋3b 最小为253.1．直线过点(－3,0)，(－2，3)，则该直线的一个方向向量为( ) A ．(－1，3) B ．(1，－3) C ．(1，3) D ．(5，3)答案 C解析 直线的方向向量为a ＝(－2，3)－(－3,0)＝(1，3)． 2．直线AB 的方向向量a ＝(3，－3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°答案 D解析 a ＝(3，－3)＝3⎝⎛⎭⎫1，－33， ∴k ＝－33， ∴tan θ＝－33，又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°. 3．直线l 1与l 2的法向量分别为v 1＝(2，－3)，v 2＝(3，－1)，则直线l 1与l 2的斜率k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1＝k 2 C ．k 1<k 2 D ．不确定答案 C解析 v 1＝(2，－3)，则l 1的方向向量a 1＝(－3，－2)， ∴斜率k 1＝－2－3＝23.v 2＝(3，－1)，则l 2的方向向量a 2＝(－1，－3)， ∴斜率k 2＝－3－1＝3，∴k 2>k 1.4．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a ＝(4，m )，则m 的值为( ) A.433 B ．－4 3 C ．4 3 D ．－34答案 B解析 θ＝120°，∴k ＝tan 120°＝－ 3. ∴直线的一个方向向量为a 0＝(1，－3)， ∵a ∥a 0，∴1×m －4×(－3)＝0，∴m ＝－4 3.5．已知向量m ＝(a ，a 2＋1)(a ≠0)，直线AB 的一个方向向量为n ，则m 与n 共线，则直线AB 的斜率的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 ∵m ∥n ，∴m ＝(a ，a 2＋1)为直线AB 的一个方向向量， ∴k AB ＝a 2＋1a ＝a ＋1a.①当a >0时，a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时取等号，所以a ＋1a∈[2，＋∞)．②当a <0时，a ＋1a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－a )＋1(－a )≤－2，当且仅当(－a )＝1(－a )，即a ＝－1时取等号， 所以a ＋1a∈(－∞，－2]．综上有k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)直线的法向量．(3)直线的方向向量和法向量的应用． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．1．直线AB 的方向向量为a ＝(3－1,2)，则直线AB 的斜率为( ) A.3＋1 B.3－1 C.3－12D.3＋12答案 A解析 a ＝(3－1,2)， ∴k ＝23－1＝3＋1. 2．过点A (2，3)，B (0，－2)的直线的一个法向量为( ) A ．(－5，－2) B ．(－2，－5) C ．(－5，2) D ．(5，2)答案 C解析 AB →＝(0，－2)－(2，3)＝(－2，－5)为直线的一个方向向量， 所以该直线的一个法向量v ＝(－5，2)．3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v ＝(m ，m ＋1)，则m 的值为( ) A ．1－ 3 B.3＋1 C.3＋32D ．－3＋32答案 D解析 k ＝tan 120°＝－3，∴直线的一个方向向量为a ＝(1，－3)． ∴a ⊥v ，又v ＝(m ，m ＋1)， ∴m －3(m ＋1)＝0， 解得m ＝－3＋32.4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在的直线的方向向量为a ＝(－3，0)，则AC 与AB 所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3 D ．2 3 答案 B解析 a ＝(－3，0)，∴BC 所在直线的斜率为0. 又△ABC 为等边三角形，∴AB 与AC 所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴k AB ＋k AC ＝tan 60°＋tan 120°＝0.5．(多选)已知直线l 过点A (4,2)，B (－1,2＋3)，则直线l 的方向向量可以是( ) A ．(－5，3) B ．(5，－3) C ．(3，5) D ．(53，－3) 答案 ABD解析 直线l 的一个方向向量为AB →＝(－1,2＋3)－(4,2)＝(－5，3)， 所以与AB →共线的向量都能作为直线的方向向量， 故选ABD.6．(多选)下列说法正确的是( )A ．若直线垂直于y 轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)B ．若直线的一个方向向量为(a ，a ＋1)，则该直线的斜率为k ＝a ＋1aC ．若直线的法向量为v ＝(x 0，y 0)，则a ＝(y 0，－x 0)能作为该直线的一个方向向量D ．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 答案 ACD解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A ，C ，D 正确， 选项B 中当a ＝0时，不成立，故选ACD.7．直线l 的一个法向量为u ＝(3，－3)，则直线l 的倾斜角为________． 答案 π3解析 直线l 的法向量为u ＝(3，－3)， 则直线l 的一个方向向量a ＝(－3，－3)， 则斜率k ＝－3－3＝ 3.∴tan θ＝3，且θ∈[0，π)， 故θ＝π3.8．直线l 过点A (2，a )，B (3,1)，C (b ，－2)，则1a ＋3b ＝________；若直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－3)，则 a ＋b ＝________. 答案 1152 解析 AB →＝(1,1－a )， BC →＝(b －3，－3)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴－3－(1－a )(b －3)＝0， 即(a －1)(b －3)－3＝0. ∴ab －3a －b ＝0.∴3a ＋b ＝ab ，同除以ab 得3b ＋1a ＝1，若m ＝(2，－3)为直线l 的一个方向向量， 则m ∥AB →，m ∥BC →∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－(1－a )×2＝0，－6＋3(b －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝5，∴a ＋b ＝152.9．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (2m －1,1)． (1)当m 为何值时，直线的倾斜角为锐角；(2)若直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)，求m 的值． 解 (1)倾斜角θ为锐角，则k ＝tan θ>0， 又k ＝2m ＋5－1(m ＋3)－(2m －1)＝2m ＋4－m ＋4>0，即(m ＋2)(m －4)<0， 解得－2<m <4.(2)直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)， ∴直线的斜率不存在．故M ，N 两点的直线垂直于x 轴． ∴m ＋3＝2m －1，即m ＝4.10．已知菱形四边形ABCD 中，点A (－1，－2)，B (2,1)，直线BC 的方向向量为a ＝(3,6)，BD 的法向量为v ＝(－2，－3)，求点C 的坐标． 解 设点C 的坐标为(x 0，y 0)，BC →＝(x 0－2，y 0－1)． ∴BC →∥a ，∴(x 0－2)×6－3(y 0－1)＝0， 即2x 0－y 0－3＝0.①又AC →＝(x 0＋1，y 0＋2)，四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AC →为BD 的一个法向量， ∴AC →∥v ，－2(y 0＋2)＋3(x 0＋1)＝0，即3x 0－2y 0－1＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝7.∴点C 的坐标为(5,7)．11．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线PQ 绕点P 逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )A ．(－3，1)B ．(3，－1)C ．(－1，3)D ．(－3，－3)答案 D解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°.绕点P 逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，∴k ＝tan 60°＝ 3.∴所得直线的一个方向向量为a ＝(1，3)，所以与a 共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.12．将直线l 沿y 轴负方向平移a (a >0)个单位长度，再沿x 轴正方向平移(a ＋1)个单位长度，得到直线l ′，此时直线l ′与l 重合，若直线l 的方向向量为a ＝(2，－1)，则a 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 设直线l 上一点为A (m ，n )，则平移后的坐标为A ′(m ＋a ＋1，n －a )．∵A 与A ′都在直线l 上，∴AA ′——→＝(m ＋a ＋1，n －a )－(m ，n )＝(a ＋1，－a )为直线l 的一个方向向量．∴AA ′——→∥a ，∴－2a ＋(a ＋1)＝0，∴a ＝1.13．直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－π2，3π4B.⎣⎡⎦⎤0，3π4C.⎣⎡⎦⎤3π4，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，∴方向向量a ＝(a 2＋1，－1)，k ＝－1a 2＋1＝－1a 2＋1. 又∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1. ∴k ∈[－1,0)，∴tan θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.14．已知点A (－3，－1)，B (1，a )，C (5，a 2＋1)，若A ，B ，C 不能构成一个三角形，则a 的值为________．答案 0或2解析 ∵A ，B ，C 不能构成一个三角形，∴A ，B ，C 三点共线．AB →＝(4，a ＋1)，AC →＝(8，a 2＋2)，∴AB →∥AC →，4(a 2＋2)－8(a ＋1)＝0，即a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当a ＝0或a ＝2时，A ，B ，C 三点共线，不能构成三角形．15．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，若直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则直线l 的斜率的取值范围为____________．答案 [－3，－1]解析 直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则k ＝－3y 2x ＝－32·y x， ∵y x ＝－2x ＋8x ＝－2＋8x， 又∵2≤x ≤3，∴83≤8x≤4， ∴23≤y x≤2， ∴－3≤－32·y x≤－1， 即k ∈[－3，－1]．16．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图像上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)， ∴(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，即(x 2－x 1)(x 33－x 31)－(x 3－x 1)(x 32－x 31)＝0.∴(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 3－x 1)(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)[(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 22＋x 2x 1＋x 21)]＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1)＝0.又A ，B ，C 三点不共点，∴x 1≠x 2，x 1≠x 3，x 2≠x 3， ∴x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1＝0， 即(x 3－x 2)(x 3＋x 2)＋x 1(x 3－x 2)＝0，即(x 3－x 2)(x 3＋x 2＋x 1)＝0，∵x 2≠x 3，∴x 1＋x 2＋x 3＝0，即证原等式成立．。
直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定
方程组
r nnr
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 y b2 y
c1z c2z
0 0
可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
三、平行关系：
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1
,
2
的法向量分别为
ur
nur1 ,
n2
，则
ur
ur
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
ur uur ur uur
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
r
r
r
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
r
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以
用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平直如面于果的平nr⊥法面向，量，那：则如称么果这向表个量示向nr向量叫垂量做直nr平的于面有平向面 线的段法,记所向作在量nr直.⊥线垂，
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
方向向量和法向量的关系
方向向量和法向量的关系
法向量和方向向量是三维空间里常用的矢量。
它们各自都用于描述物体在复杂环境中的物理方向性。
方向向量是一个指向单位矢量，它能够指示从一个特定的起点指向另一特定的终点的一种方式。
例如，物体A朝着物体B的一条直线上运动，就可以用一个方向向量表示。
该方向向量从物体A那里出发，然后指向物体B。
另一方面，法向量是一个空间中任何物体表面上法线的对象指代。
它意味着一个表面可以在某一给定点上被投射出的垂直向量，即使是由一个曲面组成的表面也不例外。
例如，假如一个球体上的任何给定点，它的法向量都是指向球心的一条射线。
两者都可以用来表示物体的运动方向，但是存在着明显的区别：方向向量指向的是一个与起点有着直接耦合的特定的大圆，而法向量指向的是与起点没有任何关系的法线。
因此，法向量比方向向量更具有抽象性，而方向向量比法向量具有更为高级的功能性。
另外，在三维空间中，方向向量和法向量是一致的，因为每个二维表面都有其自身的方向向量。
总之，方向向量和法向量是表征物体位置、运动和朝向的重要矢量。
它们各有自身的特点和活用，在工程中具有十分重要的应用价值与意义。
立体几何中的向量方法之方向向量与法向量平行垂直
Z
P E
所以PA 2EG ，即PA// EG
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
A X D
G
C B
Y
解法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1 1，0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) Z DB =(1, 1，0) 2 2
C
y
x
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
用向量方法解决立体问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
2 2 ( DA DC ) DE ( DA DE ) B 3 3
D
2 1 DC DE 3 3
几何法呢？
所以MN、DC、DE共面
但MN 平面CDE
别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
方向向量和直线的关系
方向向量和直线的关系
空间中的直线是由两个向量表示的，它们分别是直线的方向向量和法向量。
它们共同决定
了直线的方向和定位。
方向向量是直线的唯一标志，它决定了直线的方向。
它以某种形式表示，其中x、y和z
分量分别代表着直线的横向、纵向和竖向运动的速度。
一般而言，方向向量的值越大，表
明直线的倾斜程度越大，且直线越可能靠近x、y轴的方向。
法向量表示着直线的方向和定位。
它的值决定了直线的位置，即以直线上任意一点为原点，该直线上任一点使得法向量和中心点组成的坐标轴取值经过变换后能得出直线上另一点的
坐标。
因此，法向量的值决定了直线几何形态和位置的变换。
直线的方向向量和法向量共同决定了直线的方向和位置。
此外，还可以通过对其进行矢量
运算，求出直线上任一点相对原点的坐标，从而推出其他形状，如三维曲线。
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法 向 量 为 n (a 2 ,b 2 ,c 2 ),则
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
a
9
三、平行关系： 面面平行1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
n1
1
n2
2
a
10
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
13
面面垂直
1 2 n 1 n 2 n 1n 10
2 n2
n1
1
a
14
例5.在正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 中，E、F分别是BB1,， CD中点，求证：D1F 平面ADE
证明：设正方体棱长为1， 建立如图所示坐标系，则
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1) 2
设平面ADE的一个法向量
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
求证：M N//平 面 CDE
3
3
Fz
E
N A
B
M
x
D
y
C
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
333
问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)平面的法向 (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的 量合不理惟取一值，即
可。
方程组n nab 00aa12xxbb12yycc12zz00
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n ⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与 e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
l1
e1 e2
l2
a
12
线面垂直 l1 1 e1//n 1 e1n 1
l
e1
n1
若 e ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,n ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) , 则
l e / / n e n a 1 a 2 , b 1 b 2 , c 1 c 2 .
当 a2,b 2,c20 时 ,e//n a a 1 2ab b 1 2c c1 2
z
D1
A1
C1 B1
为n=(x，y，z)
E
D
C
则 由 n D A 0 ， n D E 0 得 Ax F B y
x00 0
则 x = 0 ， 不 妨 取 y 1 ， 得 z 2
x
y
1 2
z
0
所 以 n =(0 ， 1 ， -2)
又因为D1F(0,12,1) 所以D1F//n
所以 D 1F平 面 ADE
巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
几点注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
A 2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.与向平量面n 是平平行面或的在法平向面量内，，向则量有m 是
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，建立如图所示空 间坐标，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的
单 位 法 向 量 。
由两个三元一次方程
解 ： 设 平 面 的 法 向 量 为 n （ x ， y ， z ） ， 组不成 惟的 一方 的程 ，组 为的 方解 便是 起
a
7
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
l1 l2
e1
e2Βιβλιοθήκη a8线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
e1
l1
n1
设 直 线 l的 方 向 向 量 为 e (a 1 ,b 1 ,c 1 ),平 面 的
则n AB，n AC
见，取z=1较合理。 其实平面的法向量不
（ x，y，z）(2,2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx52yy3zz00,
取z
1，得
x y
1 2 1
n (1 ,1,1), | n | 3
求 平 2 面 A B C 的 单 位 2 法 向 量 为 (1 ， -2 ， 2 ）