湖南长郡中学高一下学期期末考试数学试题含答案
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=【答案】A【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --==-所以直线AB 方程为30(4),4y x -=-即34120.x y --=故选A2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】0a b >>，a b ∴>，11a b<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．1【答案】D【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】直线31ax y +=的斜率为3a-，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313a-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（ ） A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．5-【答案】A【解析】将函数变形为1333y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】11333533y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()111611611211113322a a a S a+⨯⨯====，∴63a =，∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）A ．61.3B ．60.5C ．59.9D ．59.6【答案】B【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()11234535x =++++=，()1697583929983.65y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.【点睛】本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）A． B．C ．8 D．【答案】D【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=，得出sin 7∠=ADB ，再由正弦定理得到sin sin =∠DA ABB ADB，即可求出结果. 【详解】因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581cos 2757+-∠==⋅⋅ADC ，因此1cos 7∠=-ADB，所以sin 7∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：sin sin =∠DA ABB ADB，所以7sin sin 2⋅∠===DA ADBAB B故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．43尺 C ．531尺 D ．2031尺 【答案】D【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531=a 尺 第三天为：20431=a 尺故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．25C ．5 D ．10 【答案】A【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==， 在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552a a a +-=5=， 所以异面直线AM 与BC 1故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．19B ．29C ．39D ．49【答案】D【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A．BC．D．【答案】B【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()22123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得223PA PC =-，PC的最小值为=故PA，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.二、填空题16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】3【解析】设AB hm =，则3BC =，BD 3h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则1132A BCD AB ADV BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.【详解】 如图所示：因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11222232322⋅⋅⋅=； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 【答案】2-或6.【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．【详解】数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，()()()()22221231010x x x x x x x x∴-+-+-++-=，()()22221210121010210x x x x x x x x ∴++++-+++=，()222212101010x x x x ∴+++-=，①()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，()()22212101210440170x x x x x x ∴+++-++++=，()22212104040170x x x x ∴+++-+=，②将②-①得24120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得22(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.（2）根据圆的弦长公式. 【详解】（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，方程C 表示以(2,1). （2）圆心(2,1)C 到直线l 的距离为5d ==225m ∴-=+⎝⎭⎝⎭，解得4m =. 【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为411213；（2）815. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026-++++411213= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种所以8()15P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*11122n n n a a n N +=+∈. （1）设()1*2n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；（2）求n S ；（3）若对任意*n N ∈，不等式15422n n S λ-≥--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）116λ≥. 【解析】（1）由11211n n n n b a b -+=+=+可得答案；（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对32n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】（1）111112221122nnn n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即()*11n n b b n N+-=∈，所以数列{}n a 是首项为01121b a ==，公差为1的等差数列；（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，12n n na -∴=， 01211232222n n n S -∴=++++，① 121112122222n n n n nS --∴=++++，② ①-②，得0121111111122212222222212n n n n n n n n n S --+=++++-=-=--， 所以1242n n n S -+=-； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得32n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，令()*32n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，所以{}n c 的最大项为45116c c ==， 所以116λ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。
答案—2022年下学期—长郡中学高一期末考试
长郡中学2022年下学期高一期末考试数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.43π14.()3,115.726m −<<16.9513,,424⎡⎤⎡⎫+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭四、解答题17.【解析】(1)由题设，{}25A x x =−≤≤，{}44B x x =−<<，所以{}24AB x x =−≤<.(2)由题意A B ⊆，则242,345,m m −<−⎧⎨+>⎩可得113m <<. 18.【解析】(1)因为()22sin cos 2cos 1f x a x x x =++，所以()sin 2cos 22f x a x x =++.由题意可知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即22sin cos 20333f a πππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭，即120322f a π⎛⎫=−+=⎪⎝⎭，解得a =(2)由(1)可得()cos 2222cos 223f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 函数cos y x =的递减区间为[]2,2k k πππ+，k ∈Z . 令2223k x k ππππ<+<+，k ∈Z ，得63k x k ππππ−<<+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为,63k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19.【解析】(1)当4a <时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为(),4a ，当4a =时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为∅， 当4a >时，不等式()()()40f x x x a =−−<的解集为()4,a . (2)因为()4,x ∈+∞，由()16f x ≥−可得：164x a x −−≥−， 即164a x x ≤+−，因为16164441244x x x x +=−++≥=−−， 当且仅当1644x x −=−，即8x =时等号成立， 所以12a ≤.20.【解析】(1)因为()g x 是奇函数，所以()()0g a g a +−=，则()()()()224f a f a g a g a +−=++−+=， 因为()4f a =， 所以()0f a −=；(2)不妨设1222x x −<<<，则120x x −<， 又因为()()()12120f x f x x x ⎡⎤−−>⎣⎦， 所以()()120f x f x −<，则()f x 在()2,2−上单调递增，所以()()2g x f x =−在()2,2−上单调递增； 因为()()214f x f x −+>， 所以()()21220f x f x −−+−>， 所以()()210g x g x −+>， 又因为()g x 为奇函数， 所以()()21g x g x −>−，又因为()g x 在()2,2−上单调递增，所以13,2212,221322,22,322113x x x x x x x x ⎧⎧−<<⎪⎪−<−<⎪⎪−<−<⇒−<<⇒<<⎨⎨⎪⎪−>−⎪⎪>⎩⎩，则不等式()()214f x f x −+>的解集为13,32⎛⎫⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)由图以及B ，D 两点的纵坐标可知，20128a =−=，124T=， 可得48T =，则24824ππω==， 由()3242242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ， 解得()22k k πϕπ=+∈Z ，所以0k =，2πϕ=，所以ABC 段的函数表达式为()8sin 208cos 2024224f x x x πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，[]0,24x ∈. (2)由题意结合对称性可知，DEF 段的函数解析式为：()8cos 682024y x π⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦，[]44,68 x ∈.(3)由()8cos 68202424x π⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦，解得60x =，所以买入604416−=天后，股票至少是买入价的两倍. 22.【解析】(1)当01a <<时，1142a −=，解得12a =； 当1a >时，()1124a a a −−−=，无解， 故a 的值为12. 故()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()1121142x xy h x h x ⎛⎫⎛⎫=−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[]2,2x ∈−，所以令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2213124y t t t ⎛⎫=−+=−+ ⎪⎝⎭.当12t =时，min 34y =，当4t =时，max 13y =. 故函数()()21y h x h x =−+在区间[]2,2−上的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)由题意，函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，函数()2x h x −=在R 上单调递增.由题可知函数12xy m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy m =+在区间[]1,2023上同增或者同减.①若两函数在区间[]1,2023上均单调递增，则10,220xx m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[]1,2023上恒成立， 故1110,220,m m ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩解得122m −≤≤−； ②若两函数在区间[]1,2023上均单调递减，则10,220xx m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[]1,2023上恒成立， 故2023202310,220,m m ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩该不等式组无解. 综上，实数m 的取值范围是12,2⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦.。
湖南省长郡中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案
长郡中学2020—2021学年度高一第二学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：100分一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．复数i1iz =-（i 为虚数单位）在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样D ．其他抽样方法3．已知直线l ，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βC ．若//l α，//l β/，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4．下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是55．若在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，30A =︒，a =4b =，则B =（ ） A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．以上都不对6．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．22B ．12+C ．2．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，若过直线OP 的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A ．()8πB ．C ．8πD ．8．若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为4，标准差为1，则135x +，235x +，…，35n x +的平均数和标准差分别为（ ）A ．4，1B ．17，8C ．17，9D ．17，39．从长度为3，5，7，9，11的5条线段中任取3条，这3条线段能构成钝角三角形的概率为（ ） A ．45B ．710C ．35D ．1210．已知正三角形ABC 的边长为3，2AP PB =，2BQ QC =，2CR RA =，则PQ PR ⋅=（ ）A ．32B ．34C11．已知三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为侧面ABD ⊥底面BCD ，且2AB AD ==，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π12．ABC △中，2AB =，BC =4AC =，点O 为ABC △的外心，若AO mAB nAC =+，则实数m nm n+-的值为（ ） A ．7B ．15C ．15-D ．17二、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．13．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球．这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ）A ．“恰有2个白球”和“恰有2个黑球”B ．“恰有1个黑球”和“至少1个白球”C ．“至少1个黑球”和“至多1个白球”D ．“至少1个黑球”和“全是白球”14．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若|120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12z z =，则2212z z = 15．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B 、C 、D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -（如图2）．下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ，顶点S 在面AEF 上的射影为AEF △的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 16．已知复数i z a b =+，a ，b ∈R （i 为虚数单位），且12i 1iz=+-，则z =______。
长郡高一数学考试题及答案
长郡高一数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = x + 1答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，下列哪个选项是A∩B？A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 3}答案：B3. 函数f(x) = 2x + 3的值域是？A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3)D. [2, +∞)答案：A4. 已知直线l的方程为y = 2x + 1，下列哪个点不在直线l上？A. (0, 1)B. (1, 3)C. (-1, -1)D. (2, 5)答案：C5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少？B. 4C. 8D. 16答案：A6. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么a5的值是多少？A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A7. 已知向量a=(3, -2)，向量b=(1, 2)，那么向量a·b的值是多少？A. -1B. 1D. -3答案：A8. 已知抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是？A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (0, 2)答案：B9. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，那么f(π/4)的值是多少？A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，那么f'(x)的值是多少？A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 9x^2 + 6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么b3的值是___________。
答案：1812. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，那么f(1)的值是___________。
湖南省长郡中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
长郡中学2018-2019学年度高一第二学期期末考试数学时量:120分钟满分:100分一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.21+与21-两数的等比中项是A. 1B. 1-C. 1±D. 122.如果b <a <0，那么下列不等式错误的是A. a 2>b 2B. a 一b >0C. a +b <0D. b a >3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为A.79 B. 49 C. 23 D. 594.若经过两点A （4，2y +1），B(2，—3)的直线的倾斜角为 34π，则y 等于A.一1B.2C. 0D.一35.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是6.在等差数列{}n a 中，a 3+a 9=24一a 5一a 7，则a 6=A. 3B.6C. 9D. 12 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是 33R 33R 36R 36R 8.不等式230x x -<的解集为A. {}03x x <<B. {}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {}33x x -<<9.在各项均为正数的数列{}n a 中.对任意m ，n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅。
若664a =，则a 9等于A. 256B. 510C. 512D. 1024 10.同时投掷两枚股子，所得点数之和为5的概率是 A.14 B. 19 C. 16 D. 11211.在正四面体ABCD 中。
E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 A.16B. 3C. 13D. 612.已知直线l 1： 2213(1)20,:(1)03x a y l x a y a +--=+--=，若l 1//l 2， 则a 的值为A. a =1或a =2B. a =1C. a =2D. 2a =- 13.在数列{}n a 中，若121212111,,()2n n n a a n N a a a *++===+∈，设数列{}n b 满足21log ()nb nn N a *=∈，则n b 的前n 项和S n 为 A. 2n一1 B. 2n一2 C. 2n+1一1 D. 2n+1一214.若满足条件60C ︒=a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是A.B.C. 2)D.(1.2)15.曲线13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A. 2[0,][,)33πππ B. [,]33ππ- C. 2[,)3ππ D. [0,)3π二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)★16.设x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_______。
湖南高一高中数学期末考试带答案解析
湖南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．4.已知角的终边过点，则的值为（）A．－B．C．D．5.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）6.要得到函数的图像，只须将函数的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移7.某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如）可表示为（）A．B．C．D．8.在平行四边形中，与交于点,为线段的中点，的延长线交于．设,则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知,,则．2.求值：．3.函数的定义域为．4.函数的最大值等于．5.设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”。
给定集合，在由的三个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为．6.已知为锐角，且，则．7.规定满足“”的分段函数叫做“对偶函数”，已知函数是“对偶函数”，则（1）；（2）若对任意正整数都成立，实数的取值范围为．三、解答题1.已知集合，若，(1)求的值； (2)求．2.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．3.已知向量（1）若为的中点，，求的值；（2）若是以为斜边的直角三角形，求的值．4.我国是水资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市每户每月用水收费办法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费.且有如下两条规定：①若每月用水量不超过最低限量立方米，只付基本费10元加上定额损耗费２元；②若用水量超过立方米时，除了付以上同样的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米加付元的超额费.解答以下问题：（1）写出每月水费（元）与用水量（立方米）的函数关系式；（2）若该市某家庭今年一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：试判断该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值．5.（1）求值：；（2）已知求的值．6.设函数满足且．（1）求证，并求的取值范围；（2）证明函数在内至少有一个零点；（3）设是函数的两个零点，求的取值范围．湖南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】求就是求补集，也就是在全集中去掉原集合中的元素的集合，去掉剩下所以，解这类问题，一需明确全集范围，二是将结果写成集合形式.【考点】补集2.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．【答案】【解析】选项A：定义域为因为所以不是奇函数；因为当时，所以是上增函数综上是上增函数但不是奇函数，不选A.选项B：定义域为因为所以是奇函数；因为当时，所以是上减函数，不是增函数，综上是奇函数但不是增函数，不选B选项C: 定义域，所以单调性需在和分别讨论,也就是说在定义域无单调性. 当时，所以在上是减函数，同理可得在上也是减函数，但不能说在定义域上是减函数，这是易错点；因为，定义域又关于原点对称，所以是奇函数，综上是奇函数但不是增函数，不选C选项D：定义域为因为，所以是奇函数；因为当时，有三种情况，一是，此时二是，此时三是，此时因此当时，总有，所以是上增函数，综上是奇函数也是增函数，选D【考点】奇偶性及增减性的判定4.已知角的终边过点，则的值为（）A．－B．C．D．【答案】【解析】由三角函数定义知，若角的终边过异于原点的点则因此.由三角函数定义求三角函数值是一种本质方法，在高考解答题中也时有出现.【考点】三角函数定义5.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【答案】【解析】令则由表知所以方程在区间必有一解. 零点存在于函数值变号区间处,分析何时变号是解题的思路.【考点】零点存在定理6.要得到函数的图像，只须将函数的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】【解析】由知，函数图像向左平移.解决此类问题一是要明确变形的方向，不能弄反；二是明确平移单位是对而言，不是对.【考点】三角函数图像变换7.某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如）可表示为（）A．B．C．D．【答案】【解析】设班级人数的个位数字为n,令则当时，当时，所以.本题也可用特殊值法验证取舍，如取对应只有B满足.8.在平行四边形中，与交于点,为线段的中点，的延长线交于．设,则（）A．B．C．D．【答案】【解析】解法一：解法二：本题也可先根据解出.再由解法一思路是不断在三角形中将向量转化，直到已知；解法一思路是先化“陌生”向量（对角线）为“熟悉”向量（两邻边）.【考点】向量的表示，向量三角形法则.二、填空题1.已知,,则．【答案】【解析】根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到.向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.【考点】向量的减法运算2.求值：．【答案】【解析】因为同底对数相减等于底数不变，真数相除，所以对数进行运算时，必须注意将底数化为统一，对于不同的底，可用换底公式进行变形.另外注意对数运算法则与指数运算法则的区别，不能张冠李戴.【考点】对数的减法3.函数的定义域为．【答案】【解析】因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点.解对数不等式时不仅要注意不等号的方向，而且要注意真数大于零这一隐含条件.【考点】解对数不等式4.函数的最大值等于．【答案】【解析】.求三角函数最值问题需先看角，在角统一的情况下，降次或化同名.本题中角统一，只需将三角名称统一为余弦即可.本题如果对降次为，则就破坏了角的统一性，使问题复杂，思路混乱.【考点】二次函数最值，同角三角函数关系5.设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”。
2016-2017年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样2．（3分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣23．（3分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b4．（3分）已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：15．（3分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．556．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是（）A．8 B．2 C．D．167．（3分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（3分）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）A．B． C． D．9．（3分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤10．（3分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．11．（3分）公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20 B．0 C．7 D．4012．（3分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．13．（3分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．C．D．π14．（3分）数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．915．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．（3分）11001101（2）=（10）．17．（3分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．18．（3分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．19．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．20．（3分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为．三、解答题（共5小题，满分60分）21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．24．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（4﹣a n）2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．25．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②．那么（）A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样C．①是简单随机抽样，②是系统抽样D．①是系统抽样，②是系统抽样【解答】解：∵牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，是等距的∴①为系统抽样；某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样法．故选：A．2．（3分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2【解答】解：由于等差数列第5项a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得a1+4d=10，3a1+3d=3．解得a1=﹣2，d=3．故选：A．3．（3分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b【解答】解：A．取a＜0，不成立；B．取a＜0，不成立；C．取a=﹣3，b=2，则a2＞b2，因此不成立；D．∵a＜1，b＞1，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，∴ab＜a+b﹣1＜a+b，因此成立．故选：D．4．（3分）已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（）A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1【解答】解：∵已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=，故三内角分别为A=、B=、C=．再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：=2：：1，故选：D．5．（3分）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55【解答】解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故选：C．6．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是（）A．8 B．2 C．D．16【解答】解：根据题意，点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则有x+y=4，即x=y﹣4，则x2+y2=（y﹣4）2+y2=2y2﹣8y+16=2（y﹣2）2+8，分析可得：当y=2时，x2+y2取得最小值8，故选：A．7．（3分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．8．（3分）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a，b，设物体的真实重量为G，则（）A．B． C． D．【解答】解：根据题意，设天平的两臂长度分别为m、n，若两次称量结果分别为a，b，则有ma=nG且nb=mG，且a≠b，两式联立可得：G2=ab，即G=，而＞，则＞G；故选：C．9．（3分）若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选：A．10．（3分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选：A．11．（3分）公比不为1等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A．﹣20 B．0 C．7 D．40【解答】解：设数列的公比为q（q≠1），则∵﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，∴﹣3a1+a3=﹣2a2，∵a1=1，∴﹣3+q2+2q=0，∵q≠1，∴q=﹣3∴S4=1﹣3+9﹣27=﹣20故选：A．12．（3分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A． B．C．36 D．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．13．（3分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A．32πB．C．D．π【解答】解：由三视图可得：SC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，如图所示，取AC中点F，连BF，则BF⊥AC，在Rt△BCF中，BF=2，CF=2，BC=4，在Rt△BCS中，CS=4，所以BS=4．设球心到平面ABC的距离为d，因为SC⊥平面ABC，且底面△ABC为正三角形，所以该三棱锥S﹣ABC的外接球是对应三棱柱的外接球，则球心到平面ABC的距离是SC的一半，即d=2，因为△ABC的外接圆的半径为，所以由勾股定理可得R2=d2+（）2=，则该三棱锥外接球的半径R=，所以三棱锥外接球的表面积是4πR2=，故选：B．14．（3分）数列a n=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9【解答】解：因为数列{a n}的通项公式为且其前n项和为：++…+=1﹣==，∴n=9，∴直线方程为10x+y+9=0．令x=0，得y=﹣9，∴在y轴上的截距为﹣9．故选：B．15．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．（3分）11001101（2）=205（10）．【解答】解：11001101=1×27+1×26+0×25+0×24+1×23+1×22+0×2+1×20（2）=128+64+8+4+1=205．故答案为：205．17．（3分）直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，满足两直线平行，当a≠0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或．18．（3分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB===．故答案为：19．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为60°．【解答】解：连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1=60°．故答案为60°．20．（3分）把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第50个括号内各数之和为392．【解答】解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，所以到第49个括号时共有数6×16+1=97个数，且第50个括号里的数的个数为2，则第50个括号里的第一个数是2×98﹣1=195，所以第50个括号里的数之和为195+197=392，故答案为：392．三、解答题（共5小题，满分60分）21．（12分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点．不包括右端点．如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值．【解答】解：（1）因为，所以，．又由得bccosA=3，所以bc=5因此．（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，由余弦定理，得，所以23．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E是PC的中点，AD=CD=1，（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值．【解答】（I）证明：设AC∩BD=H，连结EH．在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．又EH⊂平面BDE，PA不包含于平面BDE，所以PA∥平面BDE．（II）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC．由（I）得，DB⊥AC．又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．（Ⅲ）解：由AC⊥平面PBD知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，得DH=CH=，BH=，，在Rt△BHC中，，所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值为．24．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（4﹣a n）2n﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得，解得．故a n=3+（n﹣1）•（﹣1）=4﹣n．（2）由（1）得，．，两边同乘以2得，两式相减得：﹣S n=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1．25．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．【解答】解：（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3）即x+2y﹣7=0。
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11-的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点4,21A y 、2,3B 的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长郡中学2018-2019学年度高一第二学期期末考试 数学
时量:120分钟满分:100分
一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.21+与21-两数的等比中项是
A. 1
B. 1-
C. 1±
D. 12
2.如果b <a <0，那么下列不等式错误的是
A. a 2>b 2
B. a 一b >0
C. a +b <0
D. b a >
3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为
A.
79 B. 49 C. 23 D. 59
4.若经过两点A （4，2y +1），B(2，—3)的直线的倾斜角为 34
π
，则y 等于
A.一1
B.2
C. 0
D.一3
5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是
6.在等差数列{}n a 中，a 3+a 9=24一a 5一a 7，则a 6=
A. 3
B.6
C. 9
D. 12 7.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是 A.
33R B. 33R C. 36R D. 36R 8.不等式2
30x x -<的解集为
A. {}03x x <<
B. {
}3003x x x -<<<<或 C. {}30x x -<< D. {
}33x x -<<
9.在各项均为正数的数列{}n a 中.对任意m ，n N *
∈，都有m n m n a a a +=⋅。
若664a =，则
a 9等于
A. 256
B. 510
C. 512
D. 1024 10.同时投掷两枚股子，所得点数之和为5的概率是 A.
14 B. 19 C. 16 D. 112
11.在正四面体ABCD 中。
E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 A.
16 B.
3 C. 13
D.
6
12.已知直线l 1： 2
213(1)20,:(1)03
x a y l x a y a +--=+--=，若l 1//l 2， 则a 的值为
A. a =1或a =2
B. a =1
C. a =2
D. 2a =- 13.在数列{}n a 中，若1212
12111,,()2n n n a a n N a a a *++==
=+∈，设数列{}n b 满足21
log ()n
b n
n N a *=
∈，则n b 的前n 项和S n 为 A. 2n 一1 B. 2n 一2 C. 2n+1一1 D. 2n+1一2
14.若满足条件60C ︒
=
a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是
A.
B.
C.
2) D.(1.2)
15.
曲线
13y -=与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是 A. 2[0,
][
,)3
3π
ππ B. [,]33ππ- C. 2[,)3ππ D. [0,)3
π
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)
★16.设x ，y 满足约束条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为_______。
17.已知数列{}n a 为等差数列. 75114,21a a a -==，若S k =9.则k=____________。
18.若过点P(2.3)作圆M ：2
2
21x x y -+=的切线l .则充线l 的方程为_______。
19.某公司租地建仓库，梅月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离(公里)成反比.而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离(公里)成正比.如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过4公里. 那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_______万元.
20.如图是一正方体的表面展开图.B 、N 、Q 都是所在棱的中点.则在原正方体中，①MN 与CD 异面;②MN//平面PQC;③平面MPQ ⊥平面CQN;④EQ 与平面AQB 形成的线面角的正弦
值是
23;⑤二面角M 一BQ 一E 的余弦值为4
5
.其中真命题的序号是___________
三、解答题(本大题共5小题.每小题8分，共40分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)
21.已知x >0，y >0，且280x y xy +-=，求 (1)xy 的最小值;(2)x +y 的最小值.
22.锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23
cos cos sin 3
b C
c B a A += (1)求A;
(2)若53,21ABC S a ∆==，求△ABC 的周长.
★23.如图，边长为2的正方形ABCD 中.
(1)点E 是AB 的中点.点F 是BC 的中点.将△AED 、△DC'F 分别沿DE 、DF 折起，使A. C 两点重合于A'.求证:A'D ⊥ EF; (2)当BE= BF=
1
4
BC 时，求三棱锥A'一EFD 的体积.
24.已知圆C ：22
230x y x ++-=.
(1)求圆C 的半径和圆心坐标;
(2)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求△C'DE 面积最大时直线m 的方程.
25.已知正项数列{}n a 的前n 项和为S n ，对任意n N *
∈，点(a n ，S n )都在函数 ()22
f x x =-的图象上.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若数列(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和T n ;
(3)已知数列{}n c 满足111
(),()1
n n c n N a n n *=
--∈+，若对任意n N *∈，存在011
[,]22
x ∈-使得120()n c c c f x a ++
+≤-成立，求实数a 的取值范围.。