测绘数据处理-自由网平差39页PPT
合集下载
自由网平差
求导
ˆ T P 2 K T N 0 得到 K N 1P X ˆ 2X 1 X1 11 11 X 1 1 ˆ1 x
ˆ T P 2K T N 0 得到 X ˆ Q N K 2X 2 X2 12 2 X 2 21 X 2
于是
1 ˆ ˆ X 2 QX 2 N 21 N11 PX1 X 1
V BT ( BBT ) 1W
BR BT ( BBT ) 1
右逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 2、广义逆（generalized Inverse)
设A是m×n矩阵，秩R（A）＝r<=min(m,n), 如果G满足如下方程，
AGA A
定义为A的广义逆，G为n×m矩阵，并记为 A 一般不唯一。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
4、秩亏网平差方法分类（根据约束条件）
加权最小二乘最小范数解
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
最小二乘最小范数解
逆稳平差
V T PV min ˆTX ˆ min X
ˆ X ˆ 1 X ˆ X 2 V T PV min ˆ TX ˆ min X 2 2
关于向量范数（Norm of Vector) ——范数是比长度更广泛的概念
设
X ( x1, x2 xn )
1-范数
X xi
i 1
n
X
p
( xi )1/ p
i 1
n
p
p-范数
X
( x x x )
2 1 2 2
测绘数据处理自由网平差
(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/7/9
2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/7/9 11
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
2020/7/9
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
2020/7/9
9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/7/9
2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/7/9 11
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
2020/7/9
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
2020/7/9
9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
测绘数据处理-自由网平差
2019/2/15
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
2019/2/15
17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
2019/2/15
2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
2019/2/15
det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
2019/2/15
26
点号
P1 P2 P3 P4
/m
2019/2/15
27
（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
2019/2/15
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
2019/2/15
17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
2019/2/15
2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
2019/2/15
det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
2019/2/15
26
点号
P1 P2 P3 P4
/m
2019/2/15
27
（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
2019/2/15
秩亏自由网平差
ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若
rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1
自 由 网 平 差
自由网平差班级：测绘0911 学号：姓名：日期：一、实验分析（1）实验的目的1.熟悉广义逆的概念和计算当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。
（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）2.了解秩亏自由网平差的原理和方法秩亏自由网平差的原理:误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1平差原则：V T PV=min，X T X=min法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl,单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B))X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。
由误差方程式，顾及Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T秩亏自由网平差的方法:第一步：求得误差方程：V=BX-l第二步：组成法方程:NX=B T Pl第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-第四步：计算X=Nm-B T l第五步：平差结果的计算第六步：X的协因数计算Q XX=N+3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。
《GPS网平差》PPT课件
10
GPS网平差的类型
联合平差 观测值 GPS观测值（GPS基线向量） 地面常规观测值 约束条件 多于最少约束条件数 目的 确定各点在指定坐标参照系下的坐标
11
2.网平差的流程
12向量，构建GPS网 三维无约束平差 约束平差/联合平差 质量分析与控制
闭合条件 重复条件 附合条件
改善网的质量，评定网的精度 确定网点在指定参照系下的坐标以及其他相关参
数估值
引入位置基准 引入其它的起算条件
6
GPS网平差的最少约束条件数
GPS网的必要基准 1个位置基准（3个约束条件）
7
GPS网平差的类型
GPS网平差的类型 无约束平差/最小约束平差 约束平差 联合平差
GPS测量与数据处理
黄劲松 武汉大学 测绘学院
1
第七章 GPS网平差
2
本章内容
网平差的类型及作用 网平差的流程 网平差原理及质量控制 采用GPS技术建立独立坐标系 GPS高程测量
3
1.网平差的类型及作用
4
GPS网
GPS网平差的目的
5
GPS网平差的目的
消除由观测量和已知条件中的误差所引起的几何 上的不一致
Nbb BT PB Ngg GGT W BT PL
ˆ0
V T PV 3m 3n 3
42
三维无约束平差
单位权方差的检验
ˆ 02
V T PV 3m 3n 3
43
三维无约束平差
单位权方差的检验 作用 观测值的先验单位权方差是否合适； 各观测值之间的权比关系是否合适。 检验未通过所反映出的问题 给定了不适当的先验单位权方差； 观测值之间的权比关系不合适； 观测值中可能存在粗差。
地面常规观测量
GPS网平差的类型
联合平差 观测值 GPS观测值（GPS基线向量） 地面常规观测值 约束条件 多于最少约束条件数 目的 确定各点在指定坐标参照系下的坐标
11
2.网平差的流程
12向量，构建GPS网 三维无约束平差 约束平差/联合平差 质量分析与控制
闭合条件 重复条件 附合条件
改善网的质量，评定网的精度 确定网点在指定参照系下的坐标以及其他相关参
数估值
引入位置基准 引入其它的起算条件
6
GPS网平差的最少约束条件数
GPS网的必要基准 1个位置基准（3个约束条件）
7
GPS网平差的类型
GPS网平差的类型 无约束平差/最小约束平差 约束平差 联合平差
GPS测量与数据处理
黄劲松 武汉大学 测绘学院
1
第七章 GPS网平差
2
本章内容
网平差的类型及作用 网平差的流程 网平差原理及质量控制 采用GPS技术建立独立坐标系 GPS高程测量
3
1.网平差的类型及作用
4
GPS网
GPS网平差的目的
5
GPS网平差的目的
消除由观测量和已知条件中的误差所引起的几何 上的不一致
Nbb BT PB Ngg GGT W BT PL
ˆ0
V T PV 3m 3n 3
42
三维无约束平差
单位权方差的检验
ˆ 02
V T PV 3m 3n 3
43
三维无约束平差
单位权方差的检验 作用 观测值的先验单位权方差是否合适； 各观测值之间的权比关系是否合适。 检验未通过所反映出的问题 给定了不适当的先验单位权方差； 观测值之间的权比关系不合适； 观测值中可能存在粗差。
地面常规观测量
《自由网平差基准》课件
数据采集
确定观测点，选择合适的测量仪 器，进行实地测量以获取原始数 据。
数据预处理
对原始数据进行检查、筛选、转 换和整理，以确保数据的质量和 准确性。
平差模型的建立与求解
模型建立
根据实际需求和测量任务，选择合适 的数学模型进行平差计算。
模型求解
运用数学方法和计算技术，求解平差 模型的参数，得到最优解。
详细描述
自由网平差基准在测量数据处理中具有重要作用，它可以对各种测量数据进行处理，提高测量精度和 可靠性。通过自由网平差基准处理，可以消除测量误差，提高测量数据的准确性和可靠性，为后续的 工程设计和施工提供可靠的依据。
自由网平差基准的历史与发展
总结词
自由网平差基准经历了多年的发展，不断优 化和完善。
《自由网平差基准》PPT课件
• 自由网平差基准概述 • 自由网平差基准的基本原理 • 自由网平差基准的应用场景 • 自由网平差基准的实现方法
• 自由网平差基准的优缺点分析 • 自由网平差基准的案例分析
01
自由网平差基准概述
定义与特点
总结词
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，具有灵活性和可靠性。
详细描述
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，它基于最小二乘原理，通过平差计算对测量数据进行处理，以获得更 准确的结果。自由网平差基准具有灵活性和可靠性，可以根据实际需求选择不同的模型和算法，以适应不同的数 据处理需求。
自由网平差基准的重要性
总结词
自由网平差基准在测量数据处理中具有重要作用，可以提高测量精度和可靠性。
案例二：遥感影像的自由网平差处理
总结词
遥感影像处理
详细描述
在遥感影像处理中，自由网平差基准被用于纠正遥感影像的几何变形，提高遥感数据的 精度和可靠性。通过自由网平差，可以消除遥感影像的扭曲、倾斜等几何误差，使遥感
第三讲秩亏自由网平差
AR A ( A A)
A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
降阶法：
• 在秩亏的方阵A中，删去d个某一行和相应的某 一列降阶求逆，删去位置均以“0”代之，即得奇 异方阵的广义逆A-。 • 可见A-不唯一。 1 1 0 • 例如： A 0 1 1 ，（ R A） 2，d 3 2 1
T B T B
I PV 0 D 2 I 0 0 D 2 I 0 0 0 B ˆ L ( X ) 0 DX I Lx 0 B ˆ T X B I DX
T d1 du uu u1
V B l ˆ V T x 0 Vg S Px P P 0 0 I
平差准则:
V PV min
T
按间接平差法求参数：
1、合并
2、法方程： 3、解参数
B l ˆ Bx ˆl , V T x 0 S Px P 0 P 0 I ˆ B T Pl 0 B T PBx B P S T P 0 x
3）即网中存在d 个起始数据, 这就是固定基准下的经 典自由网平差。
秩亏问题解决：经典平差（附加固定的基准条件 ）和伪逆平差（直接利用广义逆求解 ）； 优缺点：解法简捷 ，但没考虑到解法物理意义， 不能反映真实情况。 提出：拟稳平差理论。 “拟稳平差”的基本思想：考虑到监测网中的点 ，处于不同的地质构造和地球物理环境，随着时 间的延伸，都可能发生变动，但是总存在相对变 化小的，即相对稳定的点。
1、定义：满足下列四个条件，即
AA A A A AA A ( AA )T AA ( A A)T A A
5第二章秩亏自由网平差的解法精品PPT课件
增加虚拟观测：
l B Xˆ P I R(B) d
（2）
d ,t
① R(B) d 即当 BBT I 时满足该条件。 相当于 B 中的行向量线性无关
② ABT 0 要求 A 中的行向量与 B 中的行向量也是线性无关。
ll BA Xˆ
P P I
R BA t
应用LS准则，得法方程
NXˆ C
(NN )
1 9
1
2
0
0 0 0
1 0 0
N m1
N (NN )
1 3
0
1 0
1 1 0
Xˆ r1
N m1
AT
Pl
0
2
2T
实习内容一：广义逆的求法
（2）满秩分解法。令 N BC
1 0
B
0
1
1 1
，则可解得
NB C 33 32 23
C
2 1
1 2
1 1
显然 R( B ) R( C ) 2
l T PAQ Q AT Pl l T PAQ Q BT l lT BQ Q AT Pl lT BQ Q BT l
d
主要内容
➢ 问题的引入 ➢ 秩亏自由网平差的原理 ➢ 广义逆的补充知识 ➢ 秩亏自由网平差的解法
秩亏自由网平差的解法分类
√①求N 的最小范数逆
----Mittermayer（1971）
√②伪逆解法 ③√ 附加条件法 ④√ 伪观测法
----Mittermayer（1971）
----Mittermayer（1972）
NX AT Pl 0 N AT PA, R(N ) R( A) t0 t
秩亏数 d t t0
N 的凯莱逆（ N 1 ）不存在，法方程解不唯一， 为了确定唯一的解，加入最小范数条件：
平差的ppt课件
E( XY) E( X )E(Y )
当X和Y相互独立时： xy E(X )E(Y ) E(X )E(Y ) 0 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是， 逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味 着相互独立。只有当和服从联合正态分布时， 协方差为零才是相互独立的充分条件。因此， 对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相 互独立是等价条件。
式中： x E( X ) X X和Y的真误差。
和 y E(Y ) Y
分别是
设是观测值的真误差，是观测值的真误差， 而协方差则是这两种真误差所有可能取值的 乘积的理论平均值，即
实用上总是有限值，所以也只能求得它的估 值，记为
协方差与相关
xy E( X E( X ))(Y E(Y )) E[ XY XE(Y ) E( X )Y E( X )E(Y )]
协方差与相关
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、 角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都 认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的 各个函数之间是不独立的，或者说是相关的， 因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上 的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方 向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如， 三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的 各点的坐标也是相关观测值。
偶然误差的规律性
1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出一定限值的误差，其 出现的概率为零。
2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的概率大。
3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即：
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
衡量精度的指标--平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差 绝对值的数学期望称为平均误差。
当X和Y相互独立时： xy E(X )E(Y ) E(X )E(Y ) 0 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是， 逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味 着相互独立。只有当和服从联合正态分布时， 协方差为零才是相互独立的充分条件。因此， 对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相 互独立是等价条件。
式中： x E( X ) X X和Y的真误差。
和 y E(Y ) Y
分别是
设是观测值的真误差，是观测值的真误差， 而协方差则是这两种真误差所有可能取值的 乘积的理论平均值，即
实用上总是有限值，所以也只能求得它的估 值，记为
协方差与相关
xy E( X E( X ))(Y E(Y )) E[ XY XE(Y ) E( X )Y E( X )E(Y )]
协方差与相关
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、 角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都 认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的 各个函数之间是不独立的，或者说是相关的， 因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上 的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方 向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如， 三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的 各点的坐标也是相关观测值。
偶然误差的规律性
1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出一定限值的误差，其 出现的概率为零。
2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的概率大。
3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即：
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
衡量精度的指标--平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差 绝对值的数学期望称为平均误差。
自由网平差基准PPT演示文稿
空测量等。
算法优化
随着技术的发展，自由网平差 基准的算法不断得到优化和完 善，提高了数据处理效率和精
度。
02
自由网平差基准的基本原理
Chapter
自由网平差的数学模型
01
自由网平差是一种基于最小二乘法的数学模型，通过构建误差方程式和法方程 式，求解出最优解，得到待定点坐标。
02
自由网平差模型中，待定点坐标是未知数，而观测值是已知数，通过观测值之 间的相互关系，可以求解出待定点坐标的最优解。
给定初始值，为模型求解做准备。
迭代计算
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
收敛判定
判断模型是否收敛，若收敛则停止迭代，否则继 续迭代计算。
平差结果的后处理
结果输出
将平差结果以图表、表格等形式进行展示。
精度评估
对平差结果进行精度评估，判断其可靠性和稳定性。
异常值检测
利用平差结果对观测数据进行异常值检测，提高数据质量。
自由网平差基准ppt演示文稿
目录
• 引言 • 自由网平差基准的基本原理 • 自由网平差基准的实现细节 • 自由网平差基准的优点与局限性 • 自由网平差基准的应用实例 • 总结与展望
01
引言
Chapter
什么是自由网平差基准
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，通过数学模 型和算法对测量数据进行处理，以获得更准确的位置信 息。 它是一种相对定位方法，通过最小化观测值之间的误差 来获得更准确的位置信息。
机器视觉中的应用
总结词
关键技术、高精度要求
详细描述
自由网平差基准是机器视觉中的关键技术之一，能够提供高精度的图像几何校正和配准，广泛应用于 工业自动化、智能交通等领域。
算法优化
随着技术的发展，自由网平差 基准的算法不断得到优化和完 善，提高了数据处理效率和精
度。
02
自由网平差基准的基本原理
Chapter
自由网平差的数学模型
01
自由网平差是一种基于最小二乘法的数学模型，通过构建误差方程式和法方程 式，求解出最优解，得到待定点坐标。
02
自由网平差模型中，待定点坐标是未知数，而观测值是已知数，通过观测值之 间的相互关系，可以求解出待定点坐标的最优解。
给定初始值，为模型求解做准备。
迭代计算
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
收敛判定
判断模型是否收敛，若收敛则停止迭代，否则继 续迭代计算。
平差结果的后处理
结果输出
将平差结果以图表、表格等形式进行展示。
精度评估
对平差结果进行精度评估，判断其可靠性和稳定性。
异常值检测
利用平差结果对观测数据进行异常值检测，提高数据质量。
自由网平差基准ppt演示文稿
目录
• 引言 • 自由网平差基准的基本原理 • 自由网平差基准的实现细节 • 自由网平差基准的优点与局限性 • 自由网平差基准的应用实例 • 总结与展望
01
引言
Chapter
什么是自由网平差基准
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，通过数学模 型和算法对测量数据进行处理，以获得更准确的位置信 息。 它是一种相对定位方法，通过最小化观测值之间的误差 来获得更准确的位置信息。
机器视觉中的应用
总结词
关键技术、高精度要求
详细描述
自由网平差基准是机器视觉中的关键技术之一，能够提供高精度的图像几何校正和配准，广泛应用于 工业自动化、智能交通等领域。
《平差基础》课件
异常值和缺失值的影响：可能导 致模型预测不准确，需要谨慎处 理
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
缺失值处理：通过插值、填充、 删除等方式处理缺失值
异常值和缺失值的检测方法：箱 线图、散点图、直方图等可视化 方法，以及统计方法如t检验、卡 方检验等
数据插值：根据已知数据点，估计未知数据点的值 插值方法：线性插值、多项式插值、样条插值等 外推：根据已知数据点，预测未来数据点的值 外推方法：趋势外推、季节性外推、指数外推等
模型选择：根据实际需求选择合适的模型 模型确定：根据实际数据确定模型的参数 模型验证：通过实验验证模型的准确性和稳定性 模型优化：根据实验结果对模型进行优化和改进
模型参数：包括观测值、观测 误差、观测方程等
参数估计方法：最小二乘法、 最大似然估计等
参数估计步骤：选择模型、设 定参数、求解参数等
平差结果在科学研究中的 应用
案例背景：某公司需要进行地形测量，但地形复杂，需要采用平差技术 平差方法：采用GPS测量和地形测量相结合的方法 平差结果：经过平差处理后，地形测量结果更加精确 案例总结：平差技术在实际地形测量中具有重要意义，可以提高测量精度和效率
案例背景：某工程测量项目
平差方法：采用最小二乘法进行数据处理
启示3：平差方法 需要掌握一定的数 学和计算机知识， 需要不断学习和实 践
基本思想：最小 化误差平方和
数学模型：线性 方程组
求解方法：迭代 法、最小二乘法
应用领域：测量 学、统计学、工 程学等
点估计：通过样本数据计算 得到总体参数的一个估计值
估计方法：包括点估计和区 间估计
基本概念：参数估计就是通 过样本数据来估计总体参数 的过程
区间估计：通过样本数据计 算得到总体参数的一个置信
GPS讲座GPS网平差计算PPT课件
GT 0 1 0 ... 0 1 0 E E E ... E
0 0 1 ... 0 0 1 GT Xˆ 0
Xˆ BT PB GGT 1 BT Pl
QXˆ Qk QkGGT Qk
第17页/共51页
三 维 无 约GP束S数平据处差理的> 质GP量S网控平差制>①GPS网的三维无约束平差 > 质量控制①
X
0 ij
Yij0
Zi0j
第12Zˆ页j /共51页
GPS数据处理 > GPS网平差 > GPS网的三维无约束平差
2.3 GPS网的三维无约束平差
第13页/共51页
三 维 无 约GP束S数平据处差理的> 内GP涵S网平差 > GPS网的三维无约束平差 > 内涵
• 定义
• 平差在地心系下进行，平差时不引入使得GPS网产生由非观测量所引 起的变形的外部约束条件。
差（椭圆）（绝对），基线误差（椭圆）（相对）
• 作用
• 发现剔除粗差 • 确定待定点坐标及其它参数（在指定基准下） • 精度评定
第3页/共51页
G P S 网G平PS差数的据处类理型> G①PS网平差 > 概述 > GPS网平差的类型①
• 根据进行平差的空间 • 三维平差 • 在三维空间中进行 • 数学模型是严密的 • 适用于任何网，特别是大规模的网 • 二维平差 • 在二维平面上进行 • 将平面坐标分量与高程分量分离，忽略了两者之间的相关性，数学模型进行了一定的近似 • 适用于小规模的网
第5页/共51页
构 网 基 线GP的S数选据处取理 > GPS网平差 > 概述 > 构网基线的选取
• 基本原则 • 独立基线构网
0 0 1 ... 0 0 1 GT Xˆ 0
Xˆ BT PB GGT 1 BT Pl
QXˆ Qk QkGGT Qk
第17页/共51页
三 维 无 约GP束S数平据处差理的> 质GP量S网控平差制>①GPS网的三维无约束平差 > 质量控制①
X
0 ij
Yij0
Zi0j
第12Zˆ页j /共51页
GPS数据处理 > GPS网平差 > GPS网的三维无约束平差
2.3 GPS网的三维无约束平差
第13页/共51页
三 维 无 约GP束S数平据处差理的> 内GP涵S网平差 > GPS网的三维无约束平差 > 内涵
• 定义
• 平差在地心系下进行，平差时不引入使得GPS网产生由非观测量所引 起的变形的外部约束条件。
差（椭圆）（绝对），基线误差（椭圆）（相对）
• 作用
• 发现剔除粗差 • 确定待定点坐标及其它参数（在指定基准下） • 精度评定
第3页/共51页
G P S 网G平PS差数的据处类理型> G①PS网平差 > 概述 > GPS网平差的类型①
• 根据进行平差的空间 • 三维平差 • 在三维空间中进行 • 数学模型是严密的 • 适用于任何网，特别是大规模的网 • 二维平差 • 在二维平面上进行 • 将平面坐标分量与高程分量分离，忽略了两者之间的相关性，数学模型进行了一定的近似 • 适用于小规模的网
第5页/共51页
构 网 基 线GP的S数选据处取理 > GPS网平差 > 概述 > 构网基线的选取
• 基本原则 • 独立基线构网
名师推荐测绘数据处理自由网平差共40页PPT
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
名师推荐测绘数据处理 自由网平差
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
名师推荐测绘数据处理 自由网平差
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020/6/9
3
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外
，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
参数的个数为u,误差方程为
(1-7-5)
组成的法方程为
2020/6/9 2
(1-7-6) 由于det(N)=0,故N为奇异阵，其凯利逆 不存在，此时如 仍按经典平差公式接，将不可能得出唯一的解。 令B的列满秩数为 （B）,B的实际秩数为R(B)， d= (B)-R(B),d即为秩亏数。对于法方程系数矩阵N，必然也 有d=(N)-R(N). 如果d=0,就是经典平差问题；当d 时，就是所谓的秩亏 自由网平差问题。 在实用上，产生秩亏得主要原因是不设起算数据，而且选定 网中高程、坐标等作为平差的未知参数，所以秩亏自由网平差 也叫无固定数据的的自由网平差，简称自由网平差。 具体问题中矩阵B或N的秩亏数d，虽然可以通过计算R(B)或 R(N)求出，实际上并不需要这样做，究其原因可知，秩亏数
要满足BG=0的条件，还要满足条件
(1-7-17)
也即在实际计算前，尚需要把G阵进行标准化，是的满足式(1-7-
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/6/9 10
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
必须对法方程作适当变动。将式(1-7-12)中第二个方程左乘后再
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
2020/6/9
8
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
四、加权秩亏自由网平差
（一）平差计算公式 加权秩亏网平差就是求相容法方程： (1-7-8) 的加权最小范数解。
附加条件法的基本思想是：由于网中没有起始数据，平差时多 选了d个未知参数。现在u个未知参数之间适当给定d个附加条件
2020/6/9
9
式，即在平差问题的函数模型中加入d个未知参数的限制条件
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
6
三、自由网平差基准
（一）经典自由网平差基准 实际上是固定某个实际的点的位置，固定一个实际的方位角
，一条实际的边长等来定义的。 （二）秩亏自由网平差基准
与经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网 点的坐标或部分网点的坐标进行某种约束（条件）来定义的，这 种约束实际上是固定某个虚拟点的位置，固定某个虚拟方向、虚 拟距离等。
(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/6/9
1
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
2020/6/9
7
对三维网，这种约束将要求： .平差前后网点重心不变（即固定重心点坐标）； .平差前后控制网相对其重心不绕X、Y、Z轴旋转（即固定重心 与所有网点连线的平均方位角与天顶距）； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对平面网，这种约束将要求： .平差前后网点重心坐标不变； .平差前后各网点与重心连心的平均方位角不变； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的
式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在
和
求定未知参数的最佳估
值。 2020/6/9
5
由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的
加到第一个方程上去，即得变形后的法方程为
式中，
(1-7-13)
解法方程，得
(1-7-14)
2020/6/9
11
(1-7-15) 可以证明（证明略），当G满足条件BG=0时，连系数向量K必
等于零。故可简化为
(1-7-16)
将代入式(1-7-11)，可求得V，再根据
即可求得个未
知参数的平差值 需要说明的是，在实际计算时，附加阵G不仅
一、自由网平差概述
在控制网的经典间接平差中，必须具有足够的起算数据 。例如，在水准网的间接平差中，必须至少已知某一点的高程 ；在测角网的间接平差中，必须至少已知某一点的坐标、某一 条边的坐标方位角即某一条边的边长，等等。下面将讨论无起
算数据的平差方法，即自由网平差。 当网中有足够的起算数据时，经典间接平差的误差方程为
限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因
此得到了不同的解向量。
由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
其区别仅在于各自选择了不同的先验权阵 。所以我们将先介
绍加权秩亏网平差，然后再介绍秩亏网平差和拟稳平差。自由网
平差的方法很多，本节我们只介绍附加条件法。
2020/6/9
2020/6/9
4
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
3
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外
，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
参数的个数为u,误差方程为
(1-7-5)
组成的法方程为
2020/6/9 2
(1-7-6) 由于det(N)=0,故N为奇异阵，其凯利逆 不存在，此时如 仍按经典平差公式接，将不可能得出唯一的解。 令B的列满秩数为 （B）,B的实际秩数为R(B)， d= (B)-R(B),d即为秩亏数。对于法方程系数矩阵N，必然也 有d=(N)-R(N). 如果d=0,就是经典平差问题；当d 时，就是所谓的秩亏 自由网平差问题。 在实用上，产生秩亏得主要原因是不设起算数据，而且选定 网中高程、坐标等作为平差的未知参数，所以秩亏自由网平差 也叫无固定数据的的自由网平差，简称自由网平差。 具体问题中矩阵B或N的秩亏数d，虽然可以通过计算R(B)或 R(N)求出，实际上并不需要这样做，究其原因可知，秩亏数
要满足BG=0的条件，还要满足条件
(1-7-17)
也即在实际计算前，尚需要把G阵进行标准化，是的满足式(1-7-
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/6/9 10
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
必须对法方程作适当变动。将式(1-7-12)中第二个方程左乘后再
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
2020/6/9
8
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
四、加权秩亏自由网平差
（一）平差计算公式 加权秩亏网平差就是求相容法方程： (1-7-8) 的加权最小范数解。
附加条件法的基本思想是：由于网中没有起始数据，平差时多 选了d个未知参数。现在u个未知参数之间适当给定d个附加条件
2020/6/9
9
式，即在平差问题的函数模型中加入d个未知参数的限制条件
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
6
三、自由网平差基准
（一）经典自由网平差基准 实际上是固定某个实际的点的位置，固定一个实际的方位角
，一条实际的边长等来定义的。 （二）秩亏自由网平差基准
与经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网 点的坐标或部分网点的坐标进行某种约束（条件）来定义的，这 种约束实际上是固定某个虚拟点的位置，固定某个虚拟方向、虚 拟距离等。
(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/6/9
1
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
2020/6/9
7
对三维网，这种约束将要求： .平差前后网点重心不变（即固定重心点坐标）； .平差前后控制网相对其重心不绕X、Y、Z轴旋转（即固定重心 与所有网点连线的平均方位角与天顶距）； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对平面网，这种约束将要求： .平差前后网点重心坐标不变； .平差前后各网点与重心连心的平均方位角不变； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的
式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在
和
求定未知参数的最佳估
值。 2020/6/9
5
由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的
加到第一个方程上去，即得变形后的法方程为
式中，
(1-7-13)
解法方程，得
(1-7-14)
2020/6/9
11
(1-7-15) 可以证明（证明略），当G满足条件BG=0时，连系数向量K必
等于零。故可简化为
(1-7-16)
将代入式(1-7-11)，可求得V，再根据
即可求得个未
知参数的平差值 需要说明的是，在实际计算时，附加阵G不仅
一、自由网平差概述
在控制网的经典间接平差中，必须具有足够的起算数据 。例如，在水准网的间接平差中，必须至少已知某一点的高程 ；在测角网的间接平差中，必须至少已知某一点的坐标、某一 条边的坐标方位角即某一条边的边长，等等。下面将讨论无起
算数据的平差方法，即自由网平差。 当网中有足够的起算数据时，经典间接平差的误差方程为
限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因
此得到了不同的解向量。
由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
其区别仅在于各自选择了不同的先验权阵 。所以我们将先介
绍加权秩亏网平差，然后再介绍秩亏网平差和拟稳平差。自由网
平差的方法很多，本节我们只介绍附加条件法。
2020/6/9
2020/6/9
4
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)