数学建模优秀论文

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国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇,指导教师：指导教师组

2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承

诺

书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮 件、网上咨询等)与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问 题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是：

B 题：DVD 在线租赁

我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话)：

所属学校(请填写完整的全名)： ﻮ

国防科学技术大学

参赛队员 (打印并签名） :１.

2. 3．

单 荣

李 军

余鹏奇

指导教师或指导教师组负责人 ﻮ (打印并签名)： ﻮ

指导教师组

日期： 2００5 年 9 月 １9 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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２0０5年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

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国防科技大学:单荣、李军、余鹏奇,指导教师：指导教师组

２005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）:

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号)：

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国防科技大学:单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组

B 题:DVD 在线租赁

摘要

DVD 的在线租赁是一个非常复杂的活动,其随机性很强。

基于不同的建模思想，对问题1）我们给出了两个模型,并进行了比较。

模型一从宏观上考虑租赁活动，通过分析题目所给的条件,做出适当的假设,以

简化问题。按悲观估计给出购买方案，从而保证了目标的实现,并且模型简单，

易于求解。模型二从微观上进行分析，结合实际和常识，对会员租赁周期的分布

做出合理的假设，根据会员租出、归还的规律进行建模，较好的反映了复杂的租

赁活动,给出的购买方案能更好的贴合实际。此外，我们还用蒙特卡洛法对结果

进行了检验。

两种模型求得的购买方案如下表:

问题2）是一个最优分配问题，可将其化为0—1 规划问题。求出最优分配

时会员的满意度为：８9.18％。文章中我们给出了前30 名会员获得DＶD 的情况，

以及他们的满意度。

问题3)中，我们认为“得到想看的ＤVD”是指会员至少得到一张他想看

的ＤVD。我们利用问题1)中求得的数据，对问题二中的模型进行适当修改，

得到0—1规划模型。

我们发现，满意度的定义不同，求得的结果会有较大的差异。按照我们定

义的满意度，求得的结果如下表：

会员提交订单时,总想知道能否及时得到自己想看的ＤVＤ，在问题4）中,

我们将此问题提出,并以问题１)中的DVＤ1 为例,建立了相应的模型进行求解。

会员在提交订单时,网站可以立即告诉会员最有可能在哪一天得到他想看的

DＶD，另外，我们还对DVD 的时效性等有关问题进行了讨论。

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０5年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

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国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇,指导教师：指导教师组

一问题分析

1、对问题1)的分析:

首先，问题1)中的“保证”可理解为是寻找悲观情况下能达到要求的购

买方案;由于实际租赁活动中的租和还都是概率事件，当会员数量足够大时，租

赁情况应服从统计规律，这种理解下，购买方案也可按照统计数据去计算。因此，

在对问题１)的建模过程中,我们先按悲观估计求出一个购买方案,在这个基础

上对模型进行修改,使其更符合实际，应用统计学规律求出一个更贴合实际的方

案。

要对问题１）进行求解,关键是要对每一张ＤＶD 在这个月的租出次数进行

分析,而租出次数跟会员租赁DＶD 的时间分布和寄还时间的分布密切相关。由

于会员发来订单的时间和寄还时间都是概率事件。实际情况下,会员在均值附近

归还的人数较多，离均值越远归还的越少。对这样一种“两头小,中间大”的分

布，可以用正态分布来近似描述。如果网站会员数量足够大（如题中所给数据)，

那么就可以假设：每天下订单的会员数目为一常数稳定不变;任一会员从下订单

到寄还DVＤ的时间间隔，以及上一次下订单到这一次下订单的时间间隔都服从

正态分布。

历史数据显示，60％的会员每月租赁ＤVD 两次，而另外的40%只租一次，

根据这组数据有如下分析：由于二类会员每个月会下两次订单，而一类会员只下

一次订单，则在每一个月内一类会员的订单数与二类会员的订单数之比应为

0.4 : (0.6 2) ,即1: 3 ，由于会员数很多,可以认为，一天内一类会员的订单数与

二类会员之比也为1: 3。

２、对问题2)的分析:

问题2)是一个最优分配问题，这种优化问题可以采用0－1 规划进行求解，

目标是使得满意度最大。

要求得最大的满意度，首先要给出满意度的定义。容易想到满意度可定义

为实际的满足值与理想的满足值之比。另外，考虑到排序号为 1 的DVD 是该会

员最希望租到的,其地位是其它DVD 不能替代的，同时根据实际生活中的经验，

第1 想要的满足值与第 2 想要的满足值之差应大于第２想要的满足值与第 3 想要

的满足值之差，因此,模型定义的满意度应能反映出这种差别才是符合实际的。

3、在第三问中，题目要求使一个月内95%的会员得到他想看的DVD,我们认为

在一个月内会员只要看到一张他想要看到的DVD就认为该会员得到了他想看的

DVD。

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