(已经整理)七升八暑期数学辅导(全集)之欧阳歌谷创作

第一讲 与三角形有关的线段欧阳歌谷（2021.02.01）知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。

即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形a b c (1)CB A的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是。

2、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。

3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长。

5、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为。

6、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是________。

7、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_________。

8、下列条件中能组成三角形的是（）A、5cm, 7cm, 13cmB、3cm, 5cm, 9cmC、6cm, 9cm,14cm D、5cm, 6cm, 11cm9、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（）A、5，6B、6，4C、7，2D、以上三种情况都有可能11、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（）A、4，6B、4，6，8C、6，8D、6，8，1011、△ABC中，a=6x，b=8x，c=28，则x的取值范围是（）A、2＜x＜14B、x＞2C、x＜14D、7＜x＜1412.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=613.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。

14.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。

15、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。

求这个三角形的周长。

16、如图，求证：AB+BC+CD+DA>AC+BD知识点3 三角形的三条重要线段三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）(2)高的叙述方法①AD 是△ABC 的高②AD ⊥BC ，垂足为D③点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度【练习】画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高. ①②③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________[辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________[探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________☑ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

【探究2】如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。

☑ 三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析]三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？画出△ABC 各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？_______________________________A B C A B CB A C[自我检测]如图，AD 、AE 、CF 分别是△ABC 的中线、角平分线和高，则： (1)BD=______=12________；(2)BC=2_______=2_______；(3)∠BAE=_______=12_______； (4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90 知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。

四边形则不具有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？【试一试】1、如图，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 比△ACD 的周长大6cm ，则AB 与AC 的差为_______2、如图，D 为△ABC 中AC 边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E 是AB 上一点，且△ABC 的面积等于△DEC 面积的2倍，则BE 的长为（ ）3、若点P 是△ABC 内一点，试说明AB+AC ＞PB+PC【课后作业】1.AD 是△ABC 的高，可表示为，AE 是△ABC 的角平分线，可表示为，BF 是△ABC 的中线，可表示为.2.如图2，AD 是△ABC 的角平分线，则∠=∠=12∠；E 在AC 上，且AE=CE,则BE 是△ABC 的；CF 是△ABC 的高，则∠=∠=900，CFAB.3.如图3,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角平分线,若BD=2cm,则BC=;若∠BAC=600,则∠CAE=.4.如图4,以AD 为高的三角形共有.5.三角形的一条高是一条……………………………（ ）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线F E D CBA C A6.下列说法中，正确的是………………………………（ ）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部7.下列图形具有稳定性的是………………………………（ ）A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形8.如图8，AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,AD 、CE 交于点O,OF ⊥CE,则下列说法中正确的是………………………………………………………（ ）A.OE 为△ABD 中AB 边上的高B.OD 为△BCE 中BC 边上的高C.AE 为△AOC 中OC 边上的高D.OF 为△AOC 中AC 边上的高9. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于点E ，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠BED 的度数．10.已知BD 是△ABC 的中线，AC 长为5cm ，△ABD与△BDC 的周长差为3cm.AB 长为3cm ，求BC 的长.11.如图11,在△ABC 中，∠ACB=900,CD 是AB 边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) △ABC 的面积；(2)CD 的长.12.如图12，D 是△ABC 中BC 边上一点，DE ∥AC 交AB 于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD 是△ABC 的角平分线.第二讲 与三角形有关的角 知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。

【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明AA A A 图11 A EB D C图12呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2②把B∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠和C∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？证明：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

、【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30°方向，B岛在A岛的北偏东100°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度?结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。

由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。

知识点2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

[自我探究] 画出图中三角形ABC 的外角1、判断图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC 的外角吗？________________(2)△ABC 共有多少个外角？___________________请在图中标出△ABC 的其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗？∵CE ∥AB ， ∴∠A=_____，_____=∠2又∠ACD=_______+________∴∠ACD=_______+________结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。