菱形的性质与判定(辅导班试题)
菱形的性质与判定练习题
菱形的性质与判定练习题一、填空、选择题：1、(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．2、(2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：13、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为__________cm2．4、已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__________cm2．5、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.5题图6题图7题图6、2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是__________．7、如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=__________度．8、(2013南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= __________8题图9题图10题图9、（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为__________10、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________11、如图：菱形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH ⊥AB，垂足为H．试求点O到边AB的距离OH__________12、如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）13、如图:在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF的度数=____________,。
菱形的性质和判定经典试题综合训练(含解析)
菱形的性质和判定经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC2．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD6．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于（）A．6 B．3 C．1.5 D．0.757．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（）A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm8．如图，作菱形ABCD的高AE，E为CD的中点．AE=cm，则菱形ABCD的周长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．8cm9．如图，菱形ABCD中，过A作BD的平行线交CD的延长线于点E，下列结论：（1）∠EAC=90°，（2）DA=DE，（3）∠ABC=2∠E，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（）A．AB=AC B．∠BAC=90°C．∠BAC=120°D．∠BAC=150°11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．412．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（）A．DF⊥AB B．CG=2GA C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣114．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称△EOD图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC 翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C． D．3二．填空题（共9小题）16．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．17．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件．19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．20．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．21．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．22．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．23．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为．三．解答题（共9小题）25．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．26．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．27．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．29．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．32．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．33．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．菱形的性质和判定经典试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．2．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，故选B．3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=cm．故选：B．5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF=GH=AB，EH=FG=CD，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF=GH=AB，EH=FG=CD，∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．故选：D．6．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于（）A．6 B．3 C．1.5 D．0.75【分析】连AP，由菱形ABCD的周长为16，根据了菱形的性质得AB=AD=4，并且S菱形ABCD=2S△ABD，则S△=×12=6，由于S△ABD=S△APB+S△APD，再根据三角形的面积公式得到•PE•AB+•PF•AD=6，即可得到ABDPE+PF的值．【解答】解：连AP，如图，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=AD=4，∴S菱形ABCD=2S△ABD，∴S△ABD=×12=6，而S△ABD=S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD，∴•PE•AB+•PF•AD=6，∴2PE+2PF=6，∴PE+PF=3．故选B．7．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（）A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式整理可得AO•BO=60，根据菱形的周长求出AB=13，再利用勾股定理可得AO2+BO2=169，然后利用完全平方公式整理并求出AO+BO，再求解即可．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，∵菱形的面积为120cm2，∴AC•BD=120，即×2AO•2BO=120，所以，AO•BO=60，∵菱形的周长为52cm，∴AB=13cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得，AO2+BO2=AB2=132=169，所以，（AO+BO）2=AO2+2AO•BO+BO2=169+60×2=289，所以，AO+BO=17，所以，AC+BD=2（AO+BO）=2×17=34cm．故选D．8．如图，作菱形ABCD的高AE，E为CD的中点．AE=cm，则菱形ABCD的周长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．8cm【分析】通过解直角三角形ADE得到边AD的长度，然后由菱形的周长公式进行解答．【解答】解：在菱形ABCD中，AD=CD．∵E为CD的中点，AE⊥CD，∴ED=CD=AD，∴∠DAE=30°，∵AE=cm，∴AD===2（cm），∴菱形ABCD的周长=4AD=8cm．故选：D．9．如图，菱形ABCD中，过A作BD的平行线交CD的延长线于点E，下列结论：（1）∠EAC=90°，（2）DA=DE，（3）∠ABC=2∠E，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质等知识一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=2∠ABD，∵AE∥BD，∴AE⊥AC，∴∠EAC=90°，故①正确，∵AB∥DE，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∠E=∠ABD，∴AD=DE，故②正确，∴∠ABC=2∠E，故③正确，故选D．10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（）A．AB=AC B．∠BAC=90°C．∠BAC=120°D．∠BAC=150°【分析】根据等边三角形性质得出BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，证△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四边形ADEF，根据菱形的判定判断即可．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBE=∠CBA=60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，，∴△DBE≌△ABC（SAS），∴DE=AC，∵△AFC是等边三角形，∴AF=AC，∴AF=DE，同理AD=EF，∴四边形ADEF是平行四边形，当AB=AC时，∵AD=AB，AC=AF，∴AD=AF，∴四边形ADEF是菱形，故选A．11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD，∴AO+BO=3，∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9，∴2AO•BO=4，∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4；故选：D．12．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴①②③能使四边形ABCD是菱形；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴②③④能使四边形ABCD是菱形；∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．故选：D．13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（）A．DF⊥AB B．CG=2GA C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣1【分析】A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A正确；B、由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB•cos∠BAC，AG=，求出AC，AG，即可得出B正确；C、由勾股定理求出DF=，由GE=tan∠2•ED求出GE，即可得出C正确；D、由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出D不正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，∵∠1=∠2，∴∠GAD=∠2，∴AG=GD，∵GE⊥AD，∴GE垂直平分AD，∴AE=ED，∵F为边AB的中点，∴AF=AE，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG≌△AEG（SAS），∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，∴A正确；∵DF⊥AB，F为边AB的中点，∴AF=AB=1，AD=BD，∵AB=AD，∴AD=BD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAC=∠1=∠2=30°，∴AC=2AB•cos∠BAC=2×2×=2，AG===，∴CG=AC﹣AG=2﹣=，∴CG=2GA，∴B正确；∵GE垂直平分AD，∴ED=AD=1，由勾股定理得：DF===，GE=tan∠2•ED=tan30°×1=，∴DF+GE=+==CG，∴C正确；∵∠BAC=∠1=30°，∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，FG=AG=，S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF=×2×1﹣×1×=﹣=，∴D不正确；故选：D．14．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称△EOD图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确，由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC 翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C． D．3【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【解答】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴=，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6﹣t，∴CO=3﹣，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴=，解得：t=2，故选：B．二．填空题（共9小题）16．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4cm．【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，∵OA=OB，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC=×2×OC=4，解得OC=4cm．故答案为：4．17．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是①②③④（只填写序号）【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，则∠2=∠4，∴AD=DC，同理可得：AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形．根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；③四边形ABCD是菱形，正确；④在△ABD和△CDB中∵∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．故答案为：①②③④．18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件AC=BD．【分析】添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故答案为：AC=BD19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．【解答】解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．20．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 2.5．【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB=AD=10，S△ABD=12.5，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴×AB×PE+×PF×AD=12.5，∴×10（PE+PF）=12.5，∴PE+PF=2.5．故答案为：2.5．21．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．22．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．【分析】作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，根据菱形的性质得BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，则∠BCN=∠BGM=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCN中可计算出BN=CN=，在Rt△BMG中可计算出BM=GM=，则MN=BM﹣BN=﹣=2，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S△BCD+S梯形CDFG﹣S△BGF进行计算即可．另一种解法为把阴影部分的面积转化为△BCD的面积进行计算．【解答】解：连接CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，∠A=120°，∴∠DBC=∠FCG=30°，∴BD∥CF，∴S△FDB=S△CDB=S菱形ABCD=•2••32=．故答案为．23．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足AB=CD条件时，四边形EFGH是菱形．【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．【解答】解：需添加条件AB=CD．∵E，F是AD，DB中点，∴EF∥AB，EF=AB，∵H，G是AC，BC中点，∴HG∥AB，HG=AB，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E，H是AD，AC中点，∴EH=CD，∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AB=CD．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为2．【分析】根据正方形的判定定理得到BQ=BP时，四边形QPBP′为正方形进行解答即可．【解答】解：由题意得，当△BPQ为等腰直角三角形时，四边形QPBP′为正方形，则BQ=BP，即6﹣t=×t，解得t=2．故答案为：2．三．解答题（共9小题）25．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．26．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．【分析】（1）连结DB 、DF ．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA ，再利用SAS 证明△BAD ≌△FAD ，得出DB=DF ，那么D 在线段BF 的垂直平分线上，又AB=AF ，即A 在线段BF 的垂直平分线上，进而证明AD ⊥BF ；（2）设AD ⊥BF 于H ，作DG ⊥BC 于G ，证明DG=CD ．在直角△CDG 中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】（1）证明：如图，连结DB 、DF ．∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AD=DE=EF=FA ．在△BAD 与△FAD 中，，∴△BAD ≌△FAD ，∴DB=DF ，∴D 在线段BF 的垂直平分线上， ∵AB=AF ，∴A 在线段BF 的垂直平分线上，∴AD 是线段BF 的垂直平分线，∴AD ⊥BF ；（2）如图，设AD ⊥BF 于H ，作DG ⊥BC 于G ，则四边形BGDH 是矩形，∴DG=BH=BF ．∵BF=BC ，BC=CD ，∴DG=CD ．在直角△CDG 中，∵∠CGD=90°，DG=CD ，∴∠C=30°，∵BC ∥AD ，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．27．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）求证：四边形ABFE 是菱形．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等．（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE 是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB==，∴AD==2．29．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得到x2+2xy+y2=49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，得到x2+y2=36，据此可得xy=，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，Rt△ACD中，DF=AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE=3，设EF=x，AD=y，则x+y=7，∴x2+2xy+y2=49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，∴（y）2+（x）2=32，即x2+y2=36，②把②代入①，可得2xy=13，∴xy=，∴菱形AEDF的面积S=xy=．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中．∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD，∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．32．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形；（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．【分析】（1）首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可证明四边形BDFG是菱形；（2）首先过点B作BH⊥AG于点H，由AF=8，CF=6，可利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF的长，然后由菱形的性质求得BG=GF=DF=5，再求出EF的长即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，∴BD=DF=AC，∴四边形BDFG是菱形，（2）∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，∴AC==10，∴DF=AC=5，∵四边形BDFG是菱形，∴BD=GF=DF=5，∵DE∥AG，CD=AD，∴CE=EF=3∴S菱形BDFG=GF•EF=15．33．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE ≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如下图所示，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=4，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．答：最大值是．。
(完整版)《菱形的性质与判定》典型例题
《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；(2)对角线AC 的长;（3）菱形ABCD 的面积．例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．求证:.AF AE =例3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ,F 分别是BC ，CD 上的一点,︒=∠=∠60EAF D ,︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证:GH 垂直平分CF ．例5 如图，ABCD 中，AB AD 2=,E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==．求证：AF BE ⊥．例6 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点,四边形BCDE 是平行四边形． 求证：AC 与DE 互相垂直平分参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥,可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =,且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出．(2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 (1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形,∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形． ∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅=说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =,AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-, ∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===. ∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形。
菱形的性质与判定专题辅导
特殊的平行四边形——菱形专题知识要点菱形的性质：边：对边平行，四边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：互相垂直，每条对角线平分一组对角．菱形的判定：四条边都相等的四边形；邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形．即：证明菱形需证四条边相等，或先证明平行四边形，再证一个菱形特殊的性质即可. 一．选择题1. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面A ．15B ．2315 C ．7.5 D．315则顶点M 、N 的坐标分别是（ ）5 题 ６题A ．M （5，0），N （8，4）B ．M （4，0），N （8，4）C ．M （5，0），N （7，4）D ．M （4，0），N （7，4）6. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论： ①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF≌△CGB ；④S △ABD =AB 2其中正确的结则BC 的长为（ ）．则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）A ．①②③④⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①②③⑤ 二、填空题1. 如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是 _________ cm ．1题 2题 3题2. 已知：菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF的周长为 ______ ． 3. 如图：点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°，AB DO８题八年级数学辅导资料十三∠FAD=45°，则∠CFE______4.如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 _____ 点．4题5题6题5.如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．6.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为．7题8题7.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标三、解答题1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.2.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形。
菱形的性质及判定典型题(精选)
板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．E FDBCA菱形的性质 及判定P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D ．30︒或60︒【例13】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【例14】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cm D．280cm图1DCBA【例16】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC+的最小值为DB【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．H F DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD ，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ ABH G FEDCBA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ） A ．2AD BC EF +> B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，AD E ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，相互垂直平分ABGH GFEDCBA【例45】ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13B E D E =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且A B C D =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF 分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON = ACFEO N M DCB A【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO GFE DCBA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．SR QPH GOEFDCB A。
菱形的性质和判定练习题(精.选)
菱形检测题二1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______．2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________．3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______．4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______．5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即可).6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）．A. 两组对边分别平行B. 菱形对角线互相平分C. 菱形的对边相等D. 菱形的对角线相等7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在9、下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）．A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC•于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）．A．2 B．4 C．6 D．814.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )A.1B.3C.2D.2315.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A.10B.8C.6D.516.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A.3.5B.4C.7D.1417.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.18.如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD=6，则菱形ABCD 的面积是( )A.6B.12C.24D.4819、菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（ ）．A ．15B ．3215C ．7.5D ．315 20、菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）．A ．8cmB ．9cmC ．12cmD ．15cm21、菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）．A ．3：1B ．4：1C ．5：122.如图，已知AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( )A.△ABD 与△ABC 的周长相等B.△ABD 与△ABC 的面积相等C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍23.如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )A.40°B.50°C.80°D.100°24.已知一个菱形的周长是20 cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )A.12 cm 2B.24 cm 2C.48 cm 2D.96 cm2 25.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A.4B.125C.245D.526.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是__________.27.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm.28.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.29.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点.求证：AE=CF.30、如图，菱形ABCD中，E是AB中点，DE⊥AB，AB=4.求（1）∠ABC的度数；（2）AC的长；（3）菱形ABCD的面积．31.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.32、如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形33、如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD ，AC的中点，AB ，CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论．34.如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，连接OE.求证：OE ＝BC.35.如图所示，等边三角形CEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等.(1)求证：∠AEF=∠AFE ；(2)求∠B 的度数.A B C D EG H最新文件仅供参考已改成word文本。
菱形的性质与判定练习题
菱形的性质与判定练习题菱形是一种常见的几何图形，它有一些独特的性质和判定方法。
在本篇文章中，我们将探讨菱形的性质，并提供一些练习题来帮助读者加深对菱形的理解。
一、菱形的定义和基本性质菱形是一种四边形，它有以下几个基本性质：1. 所有边相等：菱形的四条边的长度相等，即AB = BC = CD = DA。
2. 对角线相互垂直：菱形的两条对角线互相垂直，并且相互平分。
3. 对角线相等：菱形的两条对角线的长度相等，即AC = BD。
4. 内角和为360度：菱形的内角和等于360度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
二、菱形的判定方法判定一个四边形是否是菱形有以下几种方法：1. 边长相等判定：如果一个四边形的四条边的长度都相等，那么它是一个菱形。
2. 对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线的长度相等，那么它是一个菱形。
3. 对角线垂直判定：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，并且相互平分，那么它是一个菱形。
练习题：1. 判断下列四边形是否是菱形，并给出理由：a) AB = BC = CD = AD，AC = BDb) AB = BC = CD = DA，并且AC ⊥ BDc) AB = BC = CD = DA，AC ≠ BD2. 在平面上画出一个菱形ABCD，使得AB = 5cm，AC = 7cm，BD = 8cm。
解答：1. a) 是一个菱形。
根据菱形的定义，四条边相等，且对角线相等，符合给定的条件。
b) 是一个菱形。
根据菱形的定义，四条边相等，且对角线相等且垂直，符合给定的条件。
c) 不是一个菱形。
尽管四条边相等，但对角线不相等，不符合给定的条件。
2. 请参考下图所示的菱形。
（在这里插入一张带有标签的菱形图，其中AB = 5cm，AC =7cm，BD = 8cm）通过以上的练习题，我们可以进一步巩固对菱形性质和判定方法的理解。
菱形作为一种常见的几何形状，在解决实际问题中有着广泛的应用。
菱形性质测试题及答案
菱形性质测试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项不是菱形的性质？
A. 对角线互相垂直
B. 四边相等
C. 对角线平分每一组对角
D. 内角和为180°
2. 菱形的对角线将菱形分成几个全等的三角形？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 如果菱形的一条对角线长为10，另一条对角线长为8，那么菱形的边长是多少？
A. 4√2
B. 6√2
C. 8√2
D. 10√2
二、填空题
4. 菱形的对角线互相________。
5. 菱形的面积可以通过________来计算。
三、简答题
6. 请简述菱形的判定定理。
四、计算题
7. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形ABCD的边长。
五、证明题
8. 已知菱形ABCD中，E、F分别是边AB和CD上的点，且AE=CF，证明：△AED≅△CFB。
答案：
一、选择题
1. D
2. D
3. A
二、填空题
4. 垂直且平分
5. 对角线乘积的一半
三、简答题
6. 菱形的判定定理包括：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
四、计算题
7. 根据菱形的性质，对角线互相平分，所以AO=CO=4cm，BO=DO=3cm。
根据勾股定理，边长AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5cm。
五、证明题
8. 证明：由于AE=CF，且AD=CD（菱形的四边相等），根据SAS（边角边）相似定理，我们可以得出△AED≅△CFB。
《菱形的判定与性质》培优训练(附答案)
八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》培优训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）A ．4B ．25C ．27D ．82．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）A ．33 B ．27 C ．43 D ．223+3．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABC=60°，点E 在AD 上，且AE=2，点P 是对角线BD 上的一个动点，则PE+PA 的最小值是 ．4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若DC ＝25，AC ＝4，求OE 的长．5．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积6．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，连接CE ．（1）如图1，当点P 在菱形ABCD 内部时，则BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ．（2）如图2，当点P 在菱形ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图2，连接BE ，若AB ＝23，BE ＝219，求AP 的长．7．如图，菱形ABCD 中，4AB =，E 为BC 中点，AE BC ⊥，AF CD ⊥于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求CHA ∠的度数．8．四边形ABCD 为菱形，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上(1) 若AE=CF ，求证：EB=BF(2) 若AD=4，DE=CF ，且△EFB 为等边三角形，求四边形DEBF 的面积(3) 若∠DAB=60°，点H 在边BC 上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB ，直接写出CF 的长9．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．（1）证明：BE=CF ．（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，分别交BC ，CD 于E ，F ，EH AB ⊥于H .连接FH ，求证：四边形CFHE 是菱形.11．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．12．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．（1）若AF=1，求EF的长；（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM．13．在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．14．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
完整版)菱形的性质和判定练习题
完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。
2.较短对角线长为10cm。
3.边长为5cm。
4.各角分别为72°和108°。
5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。
6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。
7.对角线互相垂直。
8.菱形。
9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。
10.周长为40cm。
11.互相垂直且不平分。
12.AB长为8cm。
13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。
18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。
又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。
$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。
设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。
由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。
由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。
又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。
设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。
20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)(解析版)
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，连接AC 、BD ，则AC BD的值为（ ）A ．12B C D 【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，进而可得△ABC 是等边三角形，BO =，然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，∵60ABC Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，∴30,ABO AB AC Ð=°=，∴12AO AB =，∴OB ==，∴,2BD AC AO ==，∴AC BD ==故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．2．如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC Ð=°，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B C ．2D ．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE =30°，,利用勾股理求出AC =，则AP =+PC ，PE =12AP =12PC ，由∠PCF =∠DCA =30°，得到PF =12PC ，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC =120°，AB =2，∴AB=BC =CD =DA =2，∠BAD =60°，AC ⊥BD ，∴∠CAE =30︒，∵AC ⊥BD ，∠CAE =30°，AD =2，∴AC =∴AP =+PC ，在直角△AEP 中，∵∠PAE =30°，AP =+PC ，∴PE =12AP +12PC ，在直角△PFC 中，∵∠PCF =30°，∴PF =12PC ，∴PE PF -+12PC -12PC ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．3．如图，菱形ABCD 边长为4，60BAD Ð=°，E 是AD 上一动点（不与A 、D 重合），F 是CD 上一动点，4AE CF +=，则BEF V 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】如解图，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为4，60BAD Ð=°，∴ABD △和BCD △均为等边三角形，∴60FDB EAB Ð=Ð=°，∵4AE CF +=，4DF CF +=，∴AE DF =，∵AB BD =，∴BAE BDF @△△，∴BE BF =，ABE DBF Ð=Ð，∴60EBF ABD Ð=Ð=°，∴BEF V 是等边三角形，∴当BE AD ^时，BEF V 的面积最小，此时BE =，BEF V 2=．4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP PN +的最小值是（ ）A ．6B ．52C ．1D ．12【答案】C【详解】如解图，作点N 关于AC 的对称点E ，连接ME ，PE ，则PN PE =，∴MP PN MP PE ME +=+³，∴当M 、P 、E 三点共线时，MP PN +最小，最小值为ME 的长．∵四边形ABCD 是菱形，N 是BC 的中点，∴E 是CD 的中点，∵M 是AB 的中点，∴//DE AM ，DE AM =，∴四边形AMED 是平行四边形，∴1ME AD ==，即MP PN +的最小值为1．5．如图，在菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且6AC =，连接DE ，DF ，BE ，BF ．若P 是菱形ABCD 的边上的点，则满足PE PF +=的点P 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【详解】如解图，不妨假设点P 在线段AD 上，作点E 关于AD 的对称点'E ，连接'FE 交AD 于点P ，连接'AE ，此时PE PF +的值最小．∵四边形ABCD 是菱形，6AC =，点E 、F 将AC 三等分，60DAB Ð=°，∴1302DAC DAB Ð=Ð=°，2AE EF ==，∵点'E 为点E 关于AD 的对称点，∴'2AE AE ==，'23060E AE Ð=´°=°，∴'E AE △为等边三角形，∴'2E E EF ==，∴''30FE E E FE Ð=Ð=°，∴'90AE F Ð=°，∴'E F =∴PE PF +的最小值为，当点P 由A 运动到D 时，PE PF +的值由最大值6减小到4，∵PE PF +=，4<<，∴线段AD 上存在两个点P ，满足PE PF +=∴根据对称性可知：菱形ABCD 的边上的存在8个点P 满足条件．6．如图，已知Rt ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）A ．143B ．245C ．103D ．125【答案】B【详解】如解图，作点F 关于AB 、BC 的对称点'F 、''F ，连接'''F F ，'F D ，''F E ，由对称的性质得'FD F D =，''FE F E =，''''''DE FD EF DE F D F E F F ++=++³，可知当F 固定时，'''DE F D F E ++的最小值就是线段'''F F 的长．作AC 关于AB 、BC 的对称线段'AC 、'A C ，连接''A C ，可以发现'F 、''F 是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点． '''F F 的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，∴'248CC =´=，'326AA =´=，5AC =．设菱形的高为x ，则''16852ACA C S x =´´=菱形，解得245x =，故DE EF FD ++的最小值为245．7．如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF ④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =C E = AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF = BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE = AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，2AD =，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF=BE，设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中，DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，即BE的长是1.5；故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形ADFH是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得EF===③正确；∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=32，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，=12S矩形ABCD+S△CGF，=12AB•AD+12CG•GF，=12×4×2+12×2×32，=4+3 2=112；故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，F 是CD 的中点，作BE AD ^于点E ，连接EF 、BF ，则下列结论错误的是（ ）A ．CBF ABFÐ=ÐB ．FE FB =C ．2EFB DEBCS S =四边形△D ．3BFE DEFÐ=Ð【答案】D【分析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF FG =，^BE BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ．∵2AB AD =，∴2CD AD =，∵F 是CD 的中点，∴DF FC =，∴CF CB =，∴CFB CBF Ð=Ð，∵//CD AB ，∴CFB ABF Ð=Ð，∴CBF ABF Ð=Ð，故A 正确，∵//DE CG ，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴DFE FCG ≌△△()AAS ，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB =°∠，∵//AD BC ，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，∴BF EF FG ==，故B 正确，∵DFE CFG S S =△△，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形△△ ，故C 正确，∵AH HB =，DF CF =，AB CD =，∴CF BH =，∵//CF BH ，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形，∴BFC BFH Ð=Ð，∵FE FB =，//FH AD ，BE AD ^，∴FH BE ^，∴BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3EFC DEF Ð=Ð，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．如图，在ABC V 中，,BD CE 分别是边,AC AB 上的中线，BD CE ^于点O ，点F 是OB的中点，若8,6OB OC ==，则EF 的长是（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】如图（见解析），取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，先利用勾股定理可得10BC =，再根据三角形中位线定理可得15,//2DE BC DE BC ==，15,//2FG BC FG BC ==，然后根据菱形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，8,6,OB OC BD CE ==^Q ，10BC \==，,BD CE Q 分别是边,AC AB 上的中线，DE \是ABC V 的中位线，15,//2DE BC DE BC ==\，同理可得：15,//2FG BC FG BC ==，5,//DE FG DE FG \==，\四边形DEFG 是平行四边形，又BD CE ^Q ，\平行四边形DEFG 是菱形，5EF DE \==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ．求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A ．甲、乙对，丙错B ．乙、丙对，甲错C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错【答案】A【分析】先利用菱形ABCD 的性质证明,FOB FOD V V ≌可得,FB FD =再同理可得 ,,FD ED ED EB == 从而判断甲正确；连接BD 交AC 于O ， 利用四边形ABCD 是菱形，可得AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ， 再证明OF =OE ，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．【详解】解：Q 菱形,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD \===^==90,FOB FOD \Ð==Ð=°,FO FO =Q,FOB FOD \V V ≌,FB FD \=同理可得：,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE \===∴四边形FBED 是菱形．故甲正确；连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ，∵AF =CE ，∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确；由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；故选：.A 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线AC ＝16，点E F 、分别是边CD BC 、的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 长为（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】C【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG =BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD =2OD ，即可求出EG ．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为10，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD =DA =10，EF ∥BD ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC =16，∴AC ⊥BD ，AO =CO =8，OB =OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形，∴BD =EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD =10，CO =8，∴OB =OD 6=，∴BD =2OD =12，∴EG =BD =12；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ^于点H ，连接OH ，若3OA =，2OH =．则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．6D ．24【答案】A【分析】由Rt △BHD 中，点O 是BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH =2，则，BD =4，由菱形对角线的性质可得AC =6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD ^，∵DH AB ^，∴90BHD Ð=°，∴2BD OH =，∵2OH =，∴4BD =，∵3OA =，∴6AC =，∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =´=´´=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键．13．如图，已知在菱形ABCD 中，30A Ð=°，以点,A B 为圆心，取大于12AB 的长为半径，分别作弧相交于,M N 两点，作直线MN 交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连结,BE BD ，若2AE =，则下列结论错误的是（ ）A ．45DBE Ð=°B ．2BE =C ．菱形ABCD 的面积为D ．2ED =-【答案】C【分析】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．【详解】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线∴BE =AE =2故选项B 正确∵BE =AE ，∠A =30゜∴∠EBA =∠A =30゜∵四边形ABCD 是菱形∴AB =AD∴∠ABD =∠ADB =12(180゜−∠A )=75゜∴∠DBE =∠ABD −∠EBA =45゜故选项A 正确设MN 交AB 于点F ，如图∵MN ⊥AB ，∠A =30゜∴EF =12AE =1由勾股定理得：AF ==∴AD =AB =2AF =∴ED =AD −AE ==−2故选项D 正确如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G在Rt △ADG 中，∠A =30゜，则12DG AD ==∴6ABCD S AB DG =´==菱形从而选项C 错误故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB 的垂直平分线．14．如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,CD BC 的中点，P 是对角线BD 上一动点，已知菱形边长为5，对角线AC 长为6，则PMN V 周长的最小值是（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】C【分析】作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据轴对称、菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．再根据题意即可证明M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．即当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．根据勾股定理可求出28BD DO ==，再利用中位线的性质即可求出MN 长，最后由M N AB ¢=，求出9N M N M ¢+=即为PMN V 的周长最小值．【详解】如图，作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据对称的性质和菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．又∵点N 为BC 中点，∴M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．∵P M P M ¢¢¢=，∴根据两点直线线段最短可知，当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．∵AC =6，∴132AO AC == ．在Rt AOD △中，4DO ===，∴28BD DO ==．∵点M ，N 分别为DC ，BC 的中点，∴142MN BD ==．∵点M ¢，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM BN ¢=，又∵//A N M B ¢，∴四边形ABNM ¢为平行四边形．∴5M N AB ¢==，∴549M N MN =+¢=+，即PMN V 的周长最小值为9．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当P ¢点为P 点时，PMN V 的周长最小是解答本题的关键．15．已知，如图，在菱形ABCD 中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CM D．S△ADM12=S△ABM【答案】B【分析】利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．【详解】解：由作法得EF垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；当AB＝2，则CM＝DM＝1，∵∠D＝60°，∴AM在R t V ABM中，BM=，所以B选项的结论错误；∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；∵AB//CD，AB＝2DM，∴S△ADM12=S△ABM，所以D选项的结论正确．故选：B ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．16．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A ，C 重合），且//PE BC 交AB 于E ，//PF CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．10B ．7.5C ．5D ．2.5【答案】D【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP 与EF 相交于O 点．∵四边形ABCD 为菱形，∴BC //AD ，AB //CD ．∵PE //BC ，PF //CD ，∴PE //AF ，PF //AE ．∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF=S △AOE ．即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC 的面积等于菱形ABCD 的面积的一半，菱形ABCD 的面积=12AC •BD =5，∴图中阴影部分的面积为12×5=2.5．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 的面积为24，对角线AG 与BD 交于点O ，E 是BC 边的中点，EF BD ^于点F ，EG AC ^于点G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】由菱形的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ^，12S AC BD =´，证出四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，得出EF 、EG 都是OBC D 的中位线，则1124EF OC AC ==，1124EG OB BD ==，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，12OA OC AC \==，12OB OD BD ==，AC BD ^，EF BD ^Q 于F ，EG AC ^于G ，\四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，Q 点E 是线段BC 的中点，EF \、EG 都是OBC V 的中位线，1124EF OC AC \==，1124EG OB BD ==，\矩形EFOG 的面积116EF EG AC BD =´=g ；又∵菱形ABCD 的面积为=1242AC BD =g ，∴48AC BD =g ∴矩形EFOG 的面积=12438´=．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形 ③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形 ④s x ﹣2）2（0＜x ＜2），其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】根据平移前后两图形全等得到∠DAC =∠111D A C ,根据平移的性质得到C 1C =A 1A ，根据矩形的性质得到A 1D =BC ，再根据SAS 证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC 1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC 1D 1是菱形．②正确；根据当x ＝2时，点C 1与点A 重合，根据平移的性质,CC 1=DD 1=2,矩形的对角线相等，BD =AC ，证明BD ＝DD 1，∠BDD 1＝60°得出△BDD 1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC 1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；【详解】解：∵AC ＝A 1C 1，∴AA 1＝CC 1∵BC ＝D 1A 1，∠AA 1D 1＝∠BCC 1，∴△A 1AD 1≌△CC 1B ，故①正确，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，AB ＝1，∴AC ＝A 1C 1＝2，当x ＝1时，AC 1＝CC 1＝1，∴AC 1＝AB ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 1是等边三角形，同法可证：△AD 1C 1是等边三角形，∴AB ＝BC 1＝AC 1＝AD 1＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确，当x ＝2时，BD ＝AC ＝2，DD 1＝2，∠BDD 1＝60°，∴△BDD 1是等边三角形，故③正确，当0＜x ＜2时，S ＝12 •12 （2﹣x ）（2﹣x （2﹣x ）2，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．如图，四边形ABCD 为菱形，70ABC Ð=°，延长BC 到E ，在DCE Ð内作射线CM ，使得15ECM Ð=°，过点D 作DF CM ^，垂足为F ，若DF =，则对角线BD 的长为______．（结果保留根号）【答案】【分析】先由菱形的性质得出70DCE Ð=°，求得55DCF Ð=°，再根据直角三角形两锐角互余得35CDF Ð=° ,连接AC 交BD 于点O ，根据菱形的性质得90DOC Ð=°，35BDC Ð=°，根据AAS 证明CDO CDF D @D 可得DO DF ==，从而可求出BD =．【详解】解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，90DOC Ð=°，BD =2DO∴70DCE ABC Ð=Ð=°∵15ECM Ð=°∴55DCM Ð=°∵DF CM^∴35CDF Ð=°∵四边形ABCD 是菱形，∴113522CDB ADC ABC Ð=Ð=Ð=° ∴CDF CDO Ð=Ð在CDO D 和CDF D 中，90CDO CDF COD CFD CD CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴CDO D ≌CDFD∴DO DF ==∴2BD DO ==故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC 并证明CDO D ≌CDF D 是解答此题的关键．20．如图，菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点P 作PE AB ^交AB 于点E ，过点C 作CF AB ^交AB 于点F ，Q 四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，∴∠ABP =30°，12PE BP \=，12BP PC PE PC \+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，sin 3sin 60CF BC ABC \=´Ð=´°=即12BP PC +，【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．21．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE AE =，则OE 的长为______．【答案】52【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA ，OD ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出AD ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OD ＝12BD ＝12×6＝3，OC ＝12AC ＝12×8＝4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，CD 5=，∵OE ＝AE ，∴∠DAC ＝∠EOA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴∠EOA ＝∠DCA ，∴OE //CD ，∵AO ＝OC ，∴OE 是△ADC 的中位线，∴OE ＝12CD ＝12×5＝52，故答案是：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE 是△ADC 的中位线，是解题的关键．22．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．（1）求证：ABE △≌CDF V ；（2）证明四边形BEDF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)利用SAS 证明即可；(2)从对角线的角度加以证明即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD =，且BAE DCF Ð=Ð，又∵AE CF =，∴ABE △≌CDF V ．（2）证明：连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，且O 为AC ，BD 中点，又∵AE CF =，∴EO FO =∴BD 与EF 互相垂直且平分，故四边形BEDF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，8cm,60AB ACB =Ð=°，点M 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度匀速运动，至点D 时停止运动，连接MO 并延长交BC 于点N ，设点M 的运动时间为s t ．（1）求证：DM BN =；（2）当四边形ABOM 的面积为2时，求t 的值；（3）求当t 为何值时，AOM V 的外心在它的边上．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴,//OB OD AD BC =，∴MDO NBO Ð=Ð．又∵DOM BON Ð=Ð，∴()DOM BON ASA V V ≌，∴DM BN =；（2）解：如解图①，分别过点A 、O 作BC AD 、的垂线，垂足分别为点E 、F ，例题解图①∵8cm,60,AB ACB AB BC =Ð=°=，∴ABC V 是等边三角形，∴AE =，∴12OF AE ==．∵212AOB MOA ABC MOA ABOM S S S S S =+=+=V V V V 四边形，∴111222BC AE AM OF ´×+×=即t =4t =；（3）解：∵AOM V 的外心在它的边上，∴AOM V 为直角三角形，分以下两种情况讨论：①如解图②，当90AMO Ð=°时， AOM V 的外心在AO 上，例题解图②∵8cm,60AB ACB =Ð=°，∴1 4 cm 2AO AB ==，由（2）可知MO =，∴AM =，∴()2 t s =；②当90AOM Ð=°时， AOM V 的外心在AM 上，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，∴90AOD Ð=°，∴此时点M 运动到点D 处，∴()8 t s =；综上所述，当t 为2s 或8s 时， AOM V 的外心在它的边上．24．如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ^，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）若2OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由．【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得//AB CD ，OD OB =，再证明DOF BOE ≌△△，进而即可得到答案；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再证明平行四边形AECF 是菱形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ，OD OB =，∵//AB CD ，∴DFO BEO Ð=Ð，FDO EBO Ð=Ð．∴DOF BOE ≌△△，∴OE OF =，∵2OE =，∴4EF =；（2）四边形AECF 是菱形，理由如下：∵ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA OC =，又∵OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC^∴平行四边形AECF 是菱形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键．25．四边形ABCD 为菱形，BD 为对角线，在对角线BD 上任取一点E ，连接CE ，把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，使得ECF BCD Ð=Ð，点E 的对应点为点F ，连接DF ．（1）如图1，求证：BE DF =；（2）如图2，若2DFC DBC Ð=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于BD （BE 和DE 除外）．【答案】（1）见解析；（2）,BE BC ；,BE CF ；,DF DE ；,DF CE ；,DF CF【分析】（1）证明()BCE DCF SAS D @D ，可得结论．（2）证明ED EC =，结合全等三角形的性质，可得结论．【详解】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF，DF＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得AE=【详解】（1）证明：∵E是边BC的中点，∴BE＝EC，∵DE＝EF，BE＝EC，∴四边形CFBD是平行四边形，∵D是AB边中点，E是BC中点，∴DE∥AC，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴四边形CFBD是菱形．（2）∵四边形CFBD是菱形，∴∠CEF＝90°．∵DF＝2，∴EF＝1，∵CF=，∴由勾股定理得，CE＝3，∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，∴AC＝2，∵∠ACB＝90°，由勾股定理得AE=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．27．如图，已知菱形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧分别相交于M 、N 两点，直线MN 交CD 于点F ，交对角线AC 于点E ，连接BE 、DE ．（1）求证：BE CE =；（2）若72ABC Ð=°，求ABE Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）18°．【分析】（1）根据作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE ，根据菱形的性质，利用SAS 可证明BCE V ≌DCE V ，可得BE=DE ，即可得结论；（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得BAC ACB Ð=Ð=54°，根据BE CE =可得54EBC ACB Ð=Ð=°，根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，∴CE DE=∵四边形ABCD 是菱形∴ACB ACD Ð=∠，BC CD=∵CE CE=∴BCE V ≌DCEV ∴BE DE=∴BE CE=（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC=∴BAC ACB Ð=Ð，∴180180725422ABC ACB -Ð-Ð===°°°°∵BE CE =∴54EBC ACB Ð=Ð=°∴725418ABE ABC EBC Ð=Ð-Ð=-=°°°．【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．28．问题：如图，在ABCD Y 中，8AB =，5AD =，DAB Ð，ABC Ð的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．【答案】（1）①10；②5；（2）13，23，2【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出5DE AD ==，5BC CF ==，即可完成求解；②证明出EF CD =即可完成求解；（2）本小题由于E 、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE AD =，CF CB =以及点 C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）①如图1，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD \，DEA EAB \Ð=Ð．AE ∵平分DAB Ð，DAE EAB \Ð=Ð．DAE DEA \Ð=Ð．5DE AD \==．同理可得：5B C C F ==．Q 点E 与点F 重合，10AB CD \==．②如图2，点E 与点C 重合，同理可证5DE DC AD ===，∴▱ABCD 是菱形，5CF BC ==Q ，\点F 与点D 重合，5EF DC \==．（2）情况1，如图3，可得AD DE EF CF ===，13AD AB \=．情况2，如图4，同理可得，AD DE BC CF ==，，又DF FE CE ==Q ，23AD DE AB AB \==．情况3，如图5，由上，同理可以得到AD DE CB CF ==，，又FD DC CE ==Q ，2AD DE AB CD\==．综上：AD AB 的值可以是13，23，2．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．29．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P 是BC 的中点，分别以BP 、CP 为底边在BC 的同侧作等腰ABP △和等腰DCP V ，且120BAP CDP Ð=Ð=°，连接AC 、BD 交于点O ．求证：AC DB =．解决问题（1）请你解决老师提出的问题；合作交流创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接OP ，创新小组发现AOP DOP Ð=Ð；（2）请你证明创新小组发现的结论；（3）如图③，将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋转至//AP BD 停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AODP 是菱形（答案不唯一），理由见解析【详解】（1）证明：120BAP Ð=°Q ，ABP △是等腰三角形，BAP \Ð是等腰三角形的顶角．AB AP =∴．1801801203022BAP ABP APB °-а-°\Ð=Ð===°．同理得DP DC =，30DPC DCP Ð=Ð=°．∵P 是BC 的中点，BP CP \=．()ABP DCP ASA \△≌△．.AB DC AP DP \===180APC APB Ð+Ð=°Q ，18030150APC \Ð=°-°=°，同理得150DPB Ð=°，.APC DPB \Ð=Ð()APC DPB SAS \△≌△．AC DB \=；（2）证明：APB DPC Ð=ÐQ ，.APB BPC DPC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð.APC DPB \Ð=Ð又.APC DPB \Ð=Ð，CP BP =，()APC DPB SAS \△≌△．.APC DPB S S \=△△如解图①，过点P 分别作PE AC ^，PF BD ^．垂足分别是E ，F ，1122AC PE DB PF \×=×，PE PF \=．OP ∴平分AOD Ð．即AOP DOP Ð=Ð；图①（3）解：四边形AODP 是菱形．（答案不唯一）理由如下：如解图②，记BD 与CP 的交点为L ，AP//BD Q ，AB PD =，120BAP Ð=°，60ABD PDB \Ð=Ð=°，120APD Ð=°，30CPD Ð=°Q ，180180603090PLD PDB CPD \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，即CP BD ^，CP AP \^，即90APC Ð=°，180903060CAP \Ð=°-°-°=°，60120180CAP APD \Ð+Ð=°+°=°，。
人教版八年级下册数学 第六讲 菱形的判定与性质(培优版)
第六讲菱形的判定与性质（培优版）【版块一菱形的性质】【题型一】对角线互相垂直1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（）A．5B．6.5C．10D．122．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S＝48，则OH的长为（）菱形ABCDA．4B．8C．D．63．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝16，则点C的坐标为．【题型二】线段和最小值问题（将军饮马模型）4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．5．如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D，E，F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为；若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为．【题型三】规律探究6．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2021的坐标为（）A．（1010，0）B．（1345，）C．（，）D．（1346，0）【题型四】动点问题7．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【题型五】奔驰模型8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．【题型六】做辅助线构造全等9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E （1）证明：△BCM≌△CAN．（2）求∠AED的度数．（3）证明：AE+CE＝DE．【版块二菱形的判定】【题型一】邻边相等的平行四边形为菱形1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【题型二】对角线互相垂直+平行四边形=菱形2．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．（1）如图（1），对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝；（2）如图（2），过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；（3）如图（3），在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．【版块三菱形的性质与判定】【题型一】几何多项选择问题（综合）1．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F 为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF ＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是（填序号）【变式】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F 为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【题型二】动点问题3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【题型三】构造直角三角形求线段长3．如图1，在▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．（1）求AB的长．（2）若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，求证：OE＝AD．（3）在（2）条件下如图2，设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．【巩固训练】1．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：其中正确的是（）①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤2．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．11。
菱形的性质和判定(含解析)
菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。
5B 。
7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。
5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。
解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。
专题01菱形的性质与判定(四大类型)(题型专练)(原卷版)
专题01 菱形的性质与判定（四大类型）【题型1 菱形的性质】【题型2 菱形的判定】【题型3 菱形的性质与判定综合运用】【题型4 菱形中最小值问题】【题型1 菱形的性质】1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是（）A．对角线垂直B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分2．（2023春•鹤山市校级期中）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．24C．20D．16 3．（2023•邗江区一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4.（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（）A．B．C．D．5．（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O 为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（）A．（﹣5，4）B．（﹣6，3）C．（﹣8，4）D．（2，4）6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC 的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．247．（2023春•江阴市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S＝24，则OH的长菱形ABCD为（）A．6B．5C．3D．2.5 8．（2023春•金坛区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积是（）A．B．C．D．9．（2023春•鄞州区期中）如图，菱形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x 轴，则菱形ABCD的边长值为（）A．9B．C．6D．3 10．（2023春•朝阳区校级期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，则菱形ABCD 的等积线段长度a取值范围是（）A．B．C．D．11．（2023•川汇区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足为点H，则AH的长为（）A．3B．4C．4.8D．5【题型2 菱形的判定】12．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC 13．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A．B．C．D．14．（2023•新城区校级一模）在平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AB＝CD 15．（2023春•长寿区校级月考）下列说法错误的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．同旁内角互补C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形16．（2023春•秦皇岛月考）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（）A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲17．（2022秋•兴平市期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线垂直B．两对角线相等C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分18．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件．19．（2023春•通州区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于点C，CD ∥AB交AE于点D．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC 至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O．（1）求证：AC＝DE；（2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形．21．（2023•崂山区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．（1）证明四边形BPCO为平行四边形；（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．22．（2023春•栖霞区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）当△ABC满足条件时，▱EMFN是菱形．23．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）求证：四边形AFBE是菱形．【题型3 菱形的性质与判定综合运用】24．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．25．（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．4B．8C．4D．26．（2022秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝．27．（2022春•互助县期中）如图，线段AB＝10，分别以A、B两点为圆心，以6长为半径画弧，两弧交于点C、点D，连接CD，则CD＝．28．（2023春•长沙期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的长．29．（2023春•璧山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积．30．（2023•安岳县一模）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF ⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的长．31．（2023•市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的长．32．（2023•九台区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC 的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．33．（2023春•天津期中）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（2）若∠BAC＝90°，且，求四边形AFDE的面积．34．（2023•长沙模拟）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DE＝，求菱形ABCD的面积．【题型4 菱形中最小值问题】35．（2022春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（）A．2B．2.4C．3D．2.5 36．（2022春•东营区期末）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC ＝S△EGC．A．①②B．①③C．①②④D．①②③37．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．38．（2022春•余姚市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B ＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．2D．339．（2023•泰山区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD ＝8，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．40．（2023春•溧阳市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是．41．（2022春•东城区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF ＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．42．（2022春•泗阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E 和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为4．【答案】4．43．（2022春•民勤县校级期中）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB（提＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．示：根据轴对称的性质）44．（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD ＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．。
第01讲 菱形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第1讲 菱形的性质与判定1. 理解菱形的概念；2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
知识点 1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
知识点2：菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半BD AC BD AC S S AOB Rt ABCD •=••⨯==∆2121212144菱形知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【题型1菱形的概念和性质】【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝10cm，BD＝24cm，则△ABD的周长为（）A．30cm B．36cm C．50cm D．52cm【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，则∠A的度数为（）A．150°B．140°C．130°D．120°【变式1-2】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【变式1-3】如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角【变式2-1】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线相等C．菱形是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直【变式2-2】（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式2-3】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16B．20C．24D．26【典例3-1】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．20C．16D．12【典例3-2】（2022•文山州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A．B．6C．8D．（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，【变式3-1】则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【变式3-2】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6B．8C．D．【题型2：菱形的判定】【典例4】依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（）A．B．C．D．【变式4-1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AC⊥BC D．AC＝BD【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AO＝BO【变式4-3】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（）A．度量四个内角是否相等B．测量两条对角线是否相等C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合【典例5】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-1】（2022秋•章丘区校级月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．【变式5-2】（2022•天宁区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．【题型3：菱形的性质与判定综合】【典例6】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【变式6-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD ∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【变式6-2】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．【变式6-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．1．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48 2．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D 作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）A．4B．4C．8D．8 3．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16B．6C．12D．30 4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB ＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为cm．5.（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．6．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．7．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE ＝AF．求证：CE＝CF．8．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．9．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD 的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．1．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）2．（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2B．3C．4D．5 3．（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2022秋•南海区期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的周长是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 5．（2021秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．8C．12D．16 6．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（）A．192B．48C．96D．40 7．（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC 于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．20°9.（2022秋•浑南区期中）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线互相垂直平分C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等且互相垂直10.（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形11．（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC ＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．12.（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．13.（2022秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．。
菱形的性质与判定
第1章 菱形的性质与判定一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．如图，菱形ABCD 的周长为24cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，E是AD 的中点，连接OE ，则线段OE 的长等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．2.5cmD ．2cm3．如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120cm 2，对角线AC=24cm ，则四边形ABCD 的周长为（ ） A ．52cm B ．40cm C ．39cm D ．26cm4．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB=ADB ．AC ⊥BDC ．AC=BDD ．∠BAC=∠DAC5．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．3cm6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（ ） A ．2B ．3C ．D ．27．如图，在菱形ABCD 中，AC=8，BD=6，则△ABD 的周长等于（ ）A ．18B ．16C ．15D ．148．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m ）围成的花坛，如图中的阴影部分所示， 校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）A ．20m B ．25m C ．30m D ．35m9．如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BC C ．∠B=60°D ．∠ACB=60°10．如图，四边形ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于（ ）A ．B ．C ．5D ．4二、填空题11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD 的面积为 ．12．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，线段AD 的垂直平分线交AC 于点N ，△CND 的周长是10，则AC 的长为 ．13．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件 使其成为菱形（只填一个即可）． 14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉， 15．使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条16．垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 ．15．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为．17．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．18．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．三、解答题19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE ≌△CDF．20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．23．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD.（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．24．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．《第1章菱形的性质与判定》参考答案与试题解析一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE 是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴OB=OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×6=3cm．故选A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm【考点】菱形的判定与性质．【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．【解答】解：如图，连接AC、BD相交于点O，∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，S四边形ABCD=AC•BD，∴×24BD=120，解得BD=10cm，∴OA=12cm，OB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），故选A．【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=AC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选C．【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF 的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理．【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．连接AC，∵∠B=∠D=60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．∴AE=cm，∴周长是3cm．故选B．【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3 C．D．2【考点】菱形的性质．【分析】首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴BO=sin60°•AB=2×=，∴BD=2．故选：D．【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）A．18 B．16 C．15 D．14【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，进而△ABD的周长．【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB=5，∴△ABD的周长等于5+5+6=16，故选B．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m【考点】菱形的性质．【专题】应用题．【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°【考点】菱形的判定；平移的性质．【分析】首先根据平移的性质得出AB CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解题关键．10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD =是解此题的关键．二、填空题11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30 ．【考点】菱形的性质．【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD=30．故答案为：30．【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为 6 ．【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】由菱形性质AC=CD=4，根据中垂线性质可得DN=AN，继而由△CND的周长是10可得CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=CD=4，∵MN垂直平分AD，∴DN=AN，∵△CND的周长是10，∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，∴AC=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查菱形的性质和中垂线的性质，熟练掌握菱形的四边相等及中垂线上的点到线段两端的距离相等是关键．13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 使其成为菱形（只填一个即可）．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC ⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC【点评】此题考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是15 ．【考点】菱形的性质．【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB=x，EB=9﹣x，AE=3，则由勾股定理得到：32+（9﹣x）2=x2，解得 x=5，S最大=5×3=15；故答案为：15．【点评】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【考点】菱形的性质． 【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt △OBC 中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE 的长． 【解答】解：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4， ∴BC==5，∵OE ⊥BC ，∴OE •BC=OB •OC ， ∴OE==． 故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．16．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若EF=，BD=2，则菱形ABCD 的面积为2．【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据EF 是△ACD 的中位线，根据三角形中位线定理求的AC 的长，然后根据菱形的面积公式求解．【解答】解：∵E 、F 分别是AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线， ∴AC=2EF=2，则S 菱形ABCD =AC •BD=×2×2=2．故答案是：2．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC 的长是关键．17．在菱形ABCD 中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 45°或105° ． 【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．【分析】如图当点E 在BD 右侧时，求出∠EBD ，∠DBC 即可解决问题，当点E 在BD 左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD=BC=CD ，∠A=∠C=30°， ∠ABC=∠ADC=150°，∴∠DBA=∠DBC=75°， ∵ED=EB ，∠DEB=120°， ∴∠EBD=∠EDB=30°， ∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，当点E′在BD 右侧时，∵∠DBE′=30°， ∴∠E′BC=∠DBC ﹣∠DBE′=45°， ∴∠EBC=105°或45°，故答案为105°或45°．【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．18．如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，∠EAF= 60°，连接EF ，则△AEF 的面积最小值是 3．【考点】菱形的性质．【分析】首先由△ABC 是等边三角形，即可得AB=AC ，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC ，证得△AEB ≌△AFC ，即可得AE=AF ，证得△AEF 是等边三角形，当AE ⊥BC 时得出△AEF 的面积最小值即可． 【解答】解：当AE ⊥BC 时， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD ， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD ， ∴∠AEB=∠AFC ， 在△ABE 和△ACF 中，，∴△ABE ≌△ACF （AAS ）， ∴AE=AF ，∵∠EAF=60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∵当AE ⊥BC 时，AB=4， ∴AE=，∴△AEF 的面积最小值=，故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答． 三、解答题19．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，连接AE ，CF ，求证：△ADE ≌△CDF ．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定． 【专题】证明题．【分析】由菱形的性质得出AD=CD ，由中点的定义证出DE=DF ，由SAS 证明△ADE ≌△CDF 即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=CD ，∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点， ∴AD=2DF ，CD=2DE ， ∴DE=DF ，在△ADE 和△CDF 中，，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【考点】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．23．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【考点】菱形的判定．【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．24．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．。
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全国中考真题解析120考点汇编菱形的性质与判定
一、选择题
1.（2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
2.（2011云南保山，5，3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_______．
3. （2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形
B 、四边相等的四边形是菱形
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是
菱形
4.（2011•青海）已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A 、20
B 、14
C 、28
D 、24
5.（2011山东济南，7，3分）如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）
A ．2 B
． C ．4
D
．6. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
7.（2011•包头，9，3分）已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A 、163
B 、16
C 、83
D 、8
8. （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4） C 、M （5，0），N （7，4）
D 、M （4，0），N （7，4）
第3题
第2题
第5题
9.（2011清远，10，3分）如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ）
A.AB ＝CD
B.AD ＝BC
C.AB ＝BC
D. AC ＝BD
10. （2011，台湾省，21,5分）如图为菱形ABCD 与△ABE 的重迭情形，其中D 在BE 上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（ ）
A 、8
B 、9
C 、11
D 、12
二、填空题
11. （2011江苏南京，12，2分）如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为
cm 2．
12. （2011重庆綦江，14，4分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离
13. （2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2．
14. （2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝ ．
15. （2011丽江市中考，5,3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD
的周长是 ．
16. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 .
第8题
第9题
第10题
第11题
第12题
第13题
第14题
第15题
三、解答题
17. （2011广州，18，9分）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证：△ACE ≌△ACF 。
18.（2011南昌，20，6分）如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （﹣3，0）．
（1）求点D 的坐标；
（2）求经过点C 的反比例函数解析式．
19.（2011云南保山，18，8分）如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
20. （2011邵阳，19，3分）在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；
……
第16题
A
D
F
E
B
C
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
思考题：
21.（2011四川广安，23，8分）如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC
的延长线于点E ．求证：DE ＝1
2
BE ．
22.（2011新疆乌鲁木齐，20）如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG ∥BD ，交CB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；
（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．
23. （2011•恩施,18，）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，BC=CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．
E
D
C
B
A
24.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB 于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
25.（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
26.（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE 是怎样的四边形？
27.（2011湖州，22，10分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
28.（2011浙江衢州，22，10分）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．。