高中数学状元笔记(2020版)
高考状元笔记
五、做完题后或分析错题集时，最重要的是及时总结、归纳，挖掘你学习的潜力。看哪些题考到了相同的知识点，用到相同的方法，然后自己想想这些知识点还有哪些考法，这些方法还能解决哪一类的题目。这样，一类题可以扩展到更多类的题，从而加深自己对知识的掌握以及方法的运用，同时也提高了自己解题的能力。
八、看书和写作业要注意顺序。我们要养成良好的学习方法，尽量回家后，尽量先回忆一遍老师所讲的重点或细节，复习一下当天学习的知识，特别是所记的笔记要重点关照，然后在写作业，这样效果更佳。尽量回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，
有意识培养自己的各方面能力，数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展。
从每一种类型的题中找出一两道典型“背”下来。刚开始的例题可能不会，但“背”过一两次，理解之后，再看到这种类型就拿着“例题”往里套了。
当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉高考的题型，训练要做到有的放矢。
各知识模块之间不是孤立的，我们要引导学生发现知识之间的衔接点，有的在概念外延上相连，有的在应用上相通等。
【提高高考数学成绩三大妙法】
一、思路思想提炼法：催生解题灵感“没有解题思想，就没有解题灵感。有了解题思想，解题思如泉涌。”但“解题思想”对很多学生来说是既熟悉又陌生。熟悉是因为教师每天挂在嘴边，陌生就是说不请它究竟是什么。在老师的指导下，结合典型的数学题目，可以快速掌握。
高考状元数学学习私房笔记
高考状元数学学习私房笔记作为跨入高三门槛的学生，就应做好充分的准备，让自己赢在起点，更赢在终点。
具体而言，需要做好心理、方法和状态上的三大准备。
首先做好心理上的准备。
走进高三，每一位同学应当保持健康的心理。
高三是辛苦的，但决非痛苦不堪的人间地狱。
准高三学生首先要克服对高三的恐惧心理，以主动的心态，以积极的行动，去迎接高三的到来。
刚迈入高三的同学还应克服一种“急功近利”的焦躁心理，有的同学一认识到自己已进入高三，就迫不及待地想证明自己的实力，想在第一轮高考复习中立竿见影。
这种激进的念头如果控制不好，反而会造成严重的心理负担，一旦某一次考试发挥失利会造成巨大的心理压力。
这时考生就需要客观评估自己的实力，审视自己的基础，检讨自己的方法，反思自己的状态，不要被好高骛远的想法牵引自己步入泥潭。
第二是做好方法上的准备。
方法对头，事半功倍。
每一个优秀的高考考生都有其独到的学习方法，对刚刚进入高三的学生而言，掌握一套科学而有效的学习方法是非常有必要的。
需要指出的是，看书，听课，反思，作业，考试是一个学习的综合系统，看懂不等于心领神会，听懂也不等于真正掌握，对知识要实现真正的领悟和内化离不开后面三个环节。
知识要过手，要从教师的大脑移植入我们细胞，知识要堂堂清、天天清，决不留一点一滴的遗漏。
反思和作业可以利用晚自习和周末时间进行综合归纳，强化记忆巩固，达到准确、灵活、高效。
第三是做好状态上的准备。
学习状态是指学习者在学习过程中表现出来的形象、形态。
一个学生在跨越高三的门槛时，应当有更专注、更投入、更高效的冲刺状态。
“学习求成才，考试求成功”是指学习的目的在于成才，考试的目标在于成功。
在中国当今的高考制度下，通过读书改变命运，通过高考实现青春跨越是众多学生的共同选择。
【数学学习心经】发言人1：浙江省理科状元卢毅不以做大量题目为基础，谈数学思想、解题方法都是空中楼阁。
学习数学的关键之一，还在于做题。
做题，并不是单纯的题海战术，选什么题做是有技巧的。
江苏省高考数学状元笔记
江苏省高考数学状元笔记江苏省高考状元笔记第I卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，． 【注意】：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）． 2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂=（）（）,（）（）4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
A2.命题的否定与否命题*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.*2.常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝.A3.复数运算*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶nn z z =.*3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+；⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11i i i -=-+，11ii i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i .【拓展】：()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或122ω=-.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；1x(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸；(3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。
衡水重点中学状元手写笔记高中数学
阅读感受
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》这本书，给人留下了深刻的印象。 它不仅是一本高中数学的学习笔记，更是一本展现学习方法和思考智慧的珍贵指 南。
这本书的笔记内容极其丰富。它不仅涵盖了高中数学的基本知识点，还详细 地记录了各种解题技巧和思路。每一页都充满了状元对数学知识的独特见解和深 入分析，使得读者能够从中获得更多的启示和思考。
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》的目录分析显示，本书具有以下特 点：知识点覆盖全面、重点难点突出、内容层次分明、实例解析丰富、图表与注 释详尽等。这些特点使得本书成为学生学习高中数学知识的有力助手。本书也具 有一定的趣味性，能够激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。因此，对 于广大高中生来说，《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》是一本值得一读的 好书。
目录分析
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》目录分析
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》是一本旨在帮助学生掌握高中数学 知识的参考书。本书的目录经过精心设计，反映了高中数学的重要知识点和核心 内容，对于学生和教师都具有很高的参考价值。本书将对本书的目录进行分析， 探讨其特点、结构以及内容分布。
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》的目录涵盖了高中数学的所有知识 点，包括代数、几何、概率与统计等多个方面。这使得学生在使用本书时，能够 全面系统地掌握数学知识，提高数学素养。
精彩摘录
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》精彩摘录
制定计划：制定学习计划是提高学习效率的重要方法。在制定计划时，我们 应该考虑每天的学习任务、时间安排和目标，确保我们的学习有条不紊地进行。
积极思考：学习数学需要我们积极思考，通过思考问题、解决问题来提高思 维能力。在听课、做题时，我们应该善于总结规律、发现问题，从而掌握数学的 本质。
【状元之路】2020届高中数学数列4-4文大纲人教版
对应学生书193 P一、选择题1．数列 { a n} 的前n项和为S n，若a n＝n1，则 S5等于( ) n＋1A． 15 1D.1 B.6C.306分析：∵ a ＝ 1 1 1＋ 1 ＝－＋1，n n n n n5 1 2 3 4 5 1－ 1 1－1 1－1 1－1 1－ 1 1 5∴ S ＝ a ＋a ＋ a ＋ a ＋ a ＝＋2 3 ＋＋4＋5 6＝1－＝.2 3 4 5 6 6 答案： B2．若S＝1－ 2＋3－4＋＋ ( －1) · n，则 S ＋ S ＋ S 等于( ) n n－ 1 17 33 50A．1 B．－1 C．0 D．2n＋12 分析： S n＝n为奇数，n－2n为偶数.故 S17＝9，S33＝17， S50＝－25， S17＋ S33＋ S50＝1. 答案： A3．设函数f (x) ＝xmax的导函数′()＝2x＋ 1，则数列 {1 *n项和＋}( ∈N) 的前f xf n n是()n n＋2A.n＋1 B.n＋1n n＋1 C.n－1 D. nm－ 1分析：∵ f ′(x)＝ mx＋a＝2x＋1，∴ m＝2， a＝1.∴ f ( x)＝ x2＋ x＝ x( x＋1)．1 1 1 1∴f n ＝n n＋1＝n－n＋1.1 1 1 1 1∴ S n＝1－2＋2－3＋＋n－n＋1 1n＝1－n＋1＝n＋1.答案： A4．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2－ 4n ＋ 2，则 | a 1 | ＋ | a 2| ＋ ＋ | a 10| ＝ () A ． 66 B ． 65 C ． 61D ． 56分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝－ 1； 当 n ≥2时， a n ＝ n － n － 1S S＝ n 2－ 4n ＋ 2－ [( n － 1) 2－ 4( n － 1) ＋ 2]＝ 2n －5.∴ 2＝－1， 3＝ 1， 4＝ 3， ，a 10＝15.aaa∴| 1| ＋|a 2| ＋ ＋ |a 10|＝ 1＋ 1＋ 8× 1＋15 ＝ 2＋ 64＝ 66.a2答案： A5．设 a n ＝－ n 2＋ 17n ＋ 18，则数列 { a n } 从首项到第几项的和最大 ()A ． 17B ． 18C ．17 或 18D ． 19分析：令 a n ≥0，得 1≤ n ≤18. ∵ a 18＝ 0，a 17 ＞0， a 19＜ 0，∴从首项到第 18 项或第 17 项的和最大．答案： C6．数列 1,1 ＋2,1 ＋ 2＋4， ， 1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2 n － 1， 的前 n 项和 S n ＞ 1 020 ，那么 n的最小值是 ()A ． 7B ． 8C ． 9D ． 10n2n －11－ 2n分析：∵1＋ 2＋2＋ ＋ 2＝＝2－1，n＋ 2 2n2－ 2n ＋1n ＋ 1∴S ＝(2 ＋ ＋ 2 ) － n ＝ 1－ 2 － n ＝ 2 －2－ n .若 S n ＞ 1 020 ，则 2n ＋1－ 2－ n ＞ 1 020 ，∴ n ≥10.答案： D7．(2020 ·北京东城模拟 ) 设直线 nx ＋ ( n ＋1) y ＝*2( n ∈N ) 与两坐标轴围成的三角形面 积为 S n ，则 S 1＋S 2＋ ＋ S 2 008 的值为 ()2 0052 006A.2 006 B.2 007 2 0072 008 C.2 008D.2 009分析：直线与x 轴交于2，与y 轴交于2，n ， 0 0，n ＋11 22 1 1 1∴ S n ＝ 2× n × ＋ 1＝n n ＋1 ＝ －＋ 1.nnn1 1 11 1∴原式＝ 1－ 2 ＋ 2－3＋ ＋2 008 －2 00912 008＝1－2 009 ＝2 009.答案： D8．(2020 ·大连模拟 ) 设{ a n } 为各项均是正数的等比数列， S n 为 { a n } 的前 n 项和，则 ()46B.a46A.a＝a＞aS 4S 6 S 4 S 6 a 4a 6a 4 a 6C. ＜D.≤SSSS4646a 4 a 6 1 1分析：当 q ＝ 1 时，有－ ＝－＞0；464 6S Sa 4 a 61 31－ q151－ q当 q ≠1时，有－＝ a q－ a qS S a1－q4a61 1－ q46131－ q 2q 31－ q ＝ q (1 －q ) 1－ q 41－ q6＝1＋ q2·1－ q 6＝q 3 1－ q231－ q 31＋ q1＋ q＝q 3＞ 0，1＋ q 2 1＋ q 31＋ q ＋q 2a 4 a 6因此S 4 ＞S 6.答案： B二、填空题1 119． S n ＝22－ 1＋ 42－ 1＋ ＋ 2n2－ 1＝ __________.分析：通项 n ＝ 1 2＝1a2n － 1 2n － 12n ＋ 1111＝2 2n －1－2n ＋ 1n11 1 1111－ ＋ － ＋ ＋－∴S ＝23 352n － 1 2n ＋ 111n＝21－2n ＋ 1 ＝2n ＋ 1.n答案：2n ＋ 110．设 { a n } 是等差数列，{ b n } 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝ 1， a 3＋b 5＝ 19，a 5＋b 3＝ 9，则数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n ＝ __________.分析：由条件易求出an＝ ，n ＝ 2 n －1 ( n*，∈N )n bn12n －1∴ S ＝1×1＋2×2 ＋3×2＋ ＋ n ×2 ，①2n － 1n2S n ＝1×2＋2×2 ＋ ＋ ( n －1) ×2 ＋ n ×2. ②由①－②，得－ 1 2n －1 nn＝1＋ 2＋2 ＋ ＋ 2 － ×2.Sn∴ S n ＝ 2n ( n － 1) ＋ 1.n＋1答案： 2 ( n － 1)11．在数列 { a n } 中， a n ＝12n2，则数列 { b n } 的前 n 项和＋＋ ＋，又 b n ＝a a n ＋ 1n ＋1n ＋ 1n n ＋ 1为__________ ．n n ＋ 12n分析：∵ a ＝n ＋ 1＝ 2，nn＝81－ 1∴ b＋ 1＝8 nn ＋ 1 .n n∴ 1 ＋ 2＋ ＋b nbb1 1 1 1 18n＝ 81－ 2＋ 2－ 3＋ ＋ n －n ＋ 1 ＝ ＋1.n8n答案： n ＋ 12*a 1 a 2 a n12．若数列 { a n } 是正项数列，且 a 1＋ a 2＋ ＋ a n ＝ n＋3n ( n ∈N ) ，则 2 ＋ 3 ＋ ＋ n ＋ 1 ＝ __________.分析：令 n ＝ 1，得 a 1＝ 4，∴ a 1＝ 16.当 n ≥2时，a 1＋ a 2＋ ＋a n －1＝ ( n － 1) 2＋ 3( n － 1) ，与已知式相减，得a n ＝ ( n 2＋ 3n ) － ( n － 1) 2－ 3( n － 1) ＝ 2n ＋ 2.∴ a n ＝ 4( n ＋ 1) 2.＝1 时， a 1 合适 a n .n∴ n ＝ 4( ＋ 1) 2，∴a n＝4 ＋4.ann ＋ 1 na 1 a 2an 8＋ 4n ＋ 4 2n＝2n ＋ 6n .∴ 2 ＋ 3 ＋ ＋ n ＋ 1＝22答案： 2n ＋ 6n13． (2020 ·山东 ) 已知等差数列 { a n } 知足： a 3＝ 7， a 5＋ a 7＝ 26， { a n } 的前 n 项和为 S n .(1) 求 a n 及 S n ；1*(2) 令 b n ＝ a n 2－ 1( n ∈N ) ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .分析： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d .a 1＋ 2d ＝ 7，a 1＝ 3， 由于 a 3＝7， a 5＋ a 7＝26，因此解得2a 1＋ 10d ＝26，d ＝ 2.n＝ 2n ＋ 1，故 a ＝ 3＋ 2( n － 1) n － 1nn2S ＝ 3n ＋2×2＝ n ＋ 2n .(2) 由 (1) 知 a ＝ 2n ＋ 1.n进而 b ＝11 2112＝＝ ×n a n － 12n ＋1－ 1 4 n n ＋11 1 1 ＝ 4× n － n ＋ 1，n1 1－1＋1－1＋ ＋1－ 1进而 T ＝4× 2 2 3n n ＋ 11 1n ＝ 4× 1－n ＋ 1 ＝ 4 n ＋ 1.nnn.即数列 { b } 的前 n 项和 T ＝ 4 n ＋ 114． (2020 ·海口市调研 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1＝ 1， S n ＝ na n － 2n ( n － 1) ．(1) 求 a 2， a 3， a 4，并求出数列 { a n } 的通项公式；1(2) 设数列 {} 的前 n 项和为 T n ，试求 T n 的取值范围．a n a n ＋ 1分析： (1) 由 S n ＝ na n － 2n ( n －1) ，得 a n ＋1＝ S n ＋1－ S n ＝ ( n ＋1) a n ＋ 1－na n － 4n .即 a n ＋1－ a n ＝ 4.故数列 { a n } 是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列．*通项公式 a n ＝ 4n －3( n ∈N ) ．a 2＝ 5， a 3＝9， a 4＝ 13.n1 ＋ 1 ＋ ＋1(2) ∵T ＝ a aa aa a1 2 2 3 n n ＋ 11111＝＋＋9×13 ＋ ＋4n －34n ＋ 11×55×9＝ 1 1－ 1＋ 1－ 1＋1－ 1＋ ＋ 1 －1455 99 134 － 34 ＋ 1nn1 1－ 1 1 ＝ 4 ＋ 1 ＜ .4n 4 1 又易知 T n 单一递加，故T n ≥ T 1＝ .51n1n1 ， 1进而 5≤T ＜ 4，即 T 得取值范围是 5 4.15．(2020 ·石家庄市质检一 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1，S n ＝ 2S n － 1＋ n ，( n ≥2，*n ∈N ) ．(1) 求数列 { a n } 的通项公式；a n ＋1(2) 若 b n ＝， T n ＝ b 1＋ b 2＋ ＋ b n ，证明： T n ＜ 1.a n a n ＋ 1分析： (1) ∵ a 1＝ 1 且 a 1＋ a 2＝2a 1＋ 2，∴ a 2＝ 3，依题意： S n ＝ 2S n －1＋ n ，S n － 1＝2S n － 2＋( n － 1) ， ( n ≥3)两式相减得n－ n －1＝ 2(n － 1－ n －2) ＋ 1，( n ≥3)S S SS即 a n ＝ 2a n －1＋ 1，( n ≥3)a n ＋ 1＝ 2( a n － 1＋1) ， ( n ≥3)可得 a n ＋1＝ ( a 2＋1) ×2n －2，∴ a n ＝ 2n － 1( n ≥2) ，又 a 1＝ 1 也切合上式，因此∴ a n ＝ 2n－ 1.a ＋ 1n n ＋1－n2 2－ 12 － 1(2) b n ＝ n＝ nn ＋ 1 ＝ n －1 n ＋1，a n a n ＋ 1 2 － 1 2 － 1 2 2 － 111＝ 2n － 1－2n ＋ 1－1，T n ＝ b 1＋ b 2＋ ＋ b n1 1 11 1＝ 1－3＋ 3－ 7＋ ＋ 2n － 1－2n ＋ 1－ 11＝ 1－2n ＋ 1－ 1，n ＋11 1∵2≥4，∴ 0＜ 2n ＋ 1－ 1≤ 3，∴ T n ＜ 1.。
黄冈市高中数学必修3状元学习笔记
黄冈市高中数学必修3状元学习笔记第一章算法与程序框图（一）算法与程序框图基本概念1．算法的概念（1）算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等。
在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
（2）算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”。
“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务。
②顺序性与正确性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣。
分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续。
③有限性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行。
④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.（3）算法的描述：自然语言、程序框图、程序语言。
2．程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2020年高考数学学霸纠错笔记函数含解析202101142105
换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f 法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t =，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0），即f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．【参考答案】f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1fx =+()f x =A ．()211x x -≥ B ．21x -C ．()211x x +≥D ．21x +【解析】（换元法）：令1t ，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ． 【答案】A注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122a f a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝，方程恒成立，故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.②当23≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a ff a －－＝＝，故()()()2a f f f a ＝.③当1a ≥时，()21af a >＝，()()22aff a ＝，()222a af ＝，故()()()2af ff a ＝.综合①②③知a ≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(]0,3 C ．(0,2)D ．(]0,2【解析】∵()f x 为R 上的减函数，∴1x ≤时，()f x 单调递减，即30a -<，则3a <；1x >时，()f x 单调递减，即0a >,即2a ≤. 综上，a 的取值范围是02a <≤,故选D. 【答案】D对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2. 【参考答案】a ＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数2()6f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是 A ．()4,16 B ．[]4,16 C ．[)16,+∞D ．][(),416,-∞+∞【解析】根据题意，函数2()6f x x kx =--的对称轴为x 2k =， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有2k ≤2或2k≥8， 解可得：k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选D ． 【答案】D忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2） ()f x -， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性． 【试题解析】（1）由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}， ∵f （x ）定义域关于原点不对称， ∴f （x ）为非奇非偶函数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f （x ）＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x，∵()()f x f x x-=--， ∴f （x ）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数是奇函数的是 A ．cos y x x =+ B ．3sin y x x =C ．)ln y x =D ．e e x x y -=+【解析】cos11cos(1)1,cos11[cos(1)1]+≠--+≠---，所以A 为非奇非偶函数，33sin [()sin()],x x x x x =--∈R ，所以B 为偶函数，210,,x x x x +->≥∴∈R ())2lnln()ln10x x x ++-==，所以C 为奇函数，()e e e e ,x x x x x ----+=+∈R ，所以D 为偶函数，故选C. 【答案】C判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）12]12＝________.【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）12 ]12＝（1－a）（a－1）－1·（－a）14＝－（－a）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a）12，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[（a－1）－2]12≠（a－1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a）12知－a≥0，故a－1<0.∴（1－a）[（a－1）－2（－a）12 ]12＝（1－a）（1－a）－1·（－a）14＝（－a）14 .【参考答案】（－a）14在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a-，则必须有－a≥0，即a≤0.5．已知a=b=c=则A．a b c>>B．a c b>>C．b a c>>D．c b a>>【解析】a=b=c=则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257，c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，又b70＝514＝（57）2＝（78125）2c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，∴a＞b＞c，故选A．【答案】A忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A ．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数． 【试题解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D ．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则113x y+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．【解析】∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg （2x•8y）＝lg2，∴2x +3y＝2，∴x +3y ＝1．∵x ＞0，y ＞0，∴()1111333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭2323y x x y ++≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号． 故选：C ． 【答案】C复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f （x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）．【试题解析】要使函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，应使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正数， 要使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a ≥0，∴a ≥－14，∴所求a 的取值范围为[－14，＋∞）．【参考答案】[－14，＋∞）．1．求复合函数单调性的具体步骤是： （1）求定义域； （2）拆分函数；（3）分别求y ＝f （u ），u ＝φ（x ）的单调性； （4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y ＝f [g （x ）]及其里层函数μ＝g （x ）与外层函数y ＝f （μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a <≤.故选A ．【答案】A不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.零点存在性定理使用条件不清致误函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <.所以函数()f x 没有零点，故选A ．【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞【解析】函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）． 故选D ． 【答案】D一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A→非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度. ②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点． （2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x--B ．e 1x-+C ．e 1x--- D ．e 1x--+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()x f x f x --=-=-， 得()e 1x f x -=-+． 故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算. 5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦ D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法. 7．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f = A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】C【解析】设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =⨯+=． 故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 10．函数()exx f x =，关于x 的方程()()()2110fx m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值范围是A ．22e e(,1)e e-+B ．22e e +1(,)e e-+∞+C ．22e e 1(,1)e e-++D ．22e e (,)e e-+∞+【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x值，故有两种情况：1201(0,)e t t =⎧⎪⎨∈⎪⎩①；121e 1(0,)e t t ⎧>⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩②.当属于情况①时，将0t =代入()2110t m t m -++-=得到1m =，此时方程()2110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况②时，2221110e e 1, 1.e ee e 10m m m m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−b， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−b＜0且{−b ＞013(b +1)3−12(b +1)(b +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 12．已知函数()()()ln 2ln 6f x x x =-+-，则A ．()f x 在()2,6上单调递增B ．()f x 在()2,6上的最大值为2ln2C ．()f x 在()2,6上单调递减D ．()y f x =的图象关于点()4,0对称 【答案】B【解析】()()()()()ln 2ln 6ln 26f x x x x x ⎡⎤=-+-=--⎣⎦，定义域为()2,6，令()()26t x x =--，则ln y t = ,二次函数()()26t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在()2,4上单调递增，在()4,6上单调递减，A错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以()()()max ln 42ln 642ln2f x =-+-=，B 正确．13．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+,若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++=A ．2018-B ．2C ．0D ．50【答案】B【解析】f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数， 可得f （﹣x ）=﹣f （x ），f （1﹣x ）=f （1+x ）即有f （x +2）=f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ），进而得到f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），f （x ）是周期为4的函数，若f （1）=2，可得f （3）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （2）=f （0）=0，f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0， 可得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2018） =504×0+2+0=2． 故选：B ．14．若函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =__________．【答案】1或1-【解析】令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，可知()211e 1xa u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-.【名师点睛】该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特征，可得()211e 1x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝__________．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 16．设函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<的解集为__________． 【答案】()0,2【解析】易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，+∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，+∞）上为增函数，即()g x 在[0，+∞）上为增函数，且g （2）=f （2+1）=0， ∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2），即g （|2﹣2x |）＜g （2），则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．17．已知函数()212,632,x x af x x x x a ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞1a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==【答案】1,36⎛- ⎝【解析】函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，就是函数()f x 与y ax =有三个交点，也就是函数y ax =与()232,f x x x x a =++≤的图象有两个交点，y ax =与()12,6f x x x a =+>的图象有一个交点，画出函数()f x 与y ax =的图象如图，函数y ax =，看作直线斜率为a ，由图象可知，1,6a a >小于直线与抛物线相切的斜率，由232y ax y x x =⎧⎨=++⎩，可得()()22320,380x a x a ∆+-+==--=，解得3a =-综上1,36a ⎛∈- ⎝时，函数()f x与y ax =的图象有三个交点，即函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，故答案为1,36⎛- ⎝.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .18．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[][]2.72, 1.32=-=-，则函数()()[]ln 1f x x x =+-的所有零点之和为__________． 【答案】1e 2e+-【解析】由题意可知：[]1x x x -<≤ . 令()ln(1)(1)g x x x =+--.则()1101g'x x =-<+. 所以()g x 在[)3,+∞上单调递减，有()()3ln420g x g <=-<， 所以()()[]ln 1f x x x =+-在[)3,+∞上无零点，只需考虑：()10ln 11x x -<<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，()01ln 10x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()12 ln 11x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()23ln 12x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩可得三个零点分别为11,e 1,0e--， 故答案为:1e 2e+-． 【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.19．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】1,34⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根， 要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴13k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素. 20．设函数32()31f x x x ．已知0a ≠，且2()()()()f x f a x b x a ，x R ，则实数a =__________，b =__________．【答案】2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．【思路点睛】先计算()()f x f a ，再将2()()x b x a 展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．21．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()()44f x f x f x =-=-，当[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，则函数()()()2log 1g x f x x =--的零点个数为__________． 【答案】512 【解析】定义在R 上的函数()f x ，满足()()44f x f x -=-，∴()f x 为R 上的偶函数，因为()f x 满足()()4f x f x -=，∴函数()f x 为周期为4的周期函数，且为R 上的偶函数， 因为[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，所以，在[]0,2上()f x 递增，且值域为[]0,10，根据周期性及奇偶性画出函数()y f x =的图象和()2log 1y x =-的图象，如图，易知()2log 1y x =-的图象在()2,+∞上单调递增，且当1025x =时，2log 102510=， 当1025x >时，()2log 1y x =-的图象与函数()y f x =的图象无交点， 结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有_______________对关于原点成中心对称的点． 【答案】3【解析】()y f x =关于原点的对称图象的解析式为()y f x =--，因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数． 又当0x >时，()sin2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图象的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有3对关于原点成中心对称的点．23．已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是__________． 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.。
高考状元笔记数学
b a ≠ ． a b
[对症下药] B
方法 1：运用特值法，如 a=-，b=-3．
1 1 0 ，则 b<a<0，故而判断． a b 1 a 1 a
方法 2：运用性质由
3．(典型例题)对于 0<a<1，给出下列四个不等式
1 ①loga(1+o)<loga(1+ ) a 1 ②1oga(1+o)>loga(1+ ) a
4 的最小值是 sin x
2．(典型例题)设 x∈(0，π)，则函数 f(x)=sinx+ A．4 C．3 [考场错解] 是 4．故选 A B．5 D．6 因为 x∈(0，π)4 2 sin x >0， f(x)=sinx+ =4，因此 f(x)的最小值 sin x sin x sin x
2 2
D． ( ) n ( ) b
答案： C 又 0<
解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，
2
1 <1，∴10g |a|<log 1 |b|，由此也可直接得结论，应选 C 2
2 已知 a、b 为不等正数，s<t<0，M=
s ( a b) 2t ，N= ，则 M、N 的大小关系是_________. ab 2ab
1 1 ” a b 1 1 ” a b
．不能弱化条件变成“ a b
1 1 ” a b
考场思维训练 1 若，|a|>，|b|>0，且 ab>0，则下列不等式中能成立的是 A．
1 1 a b
(
)
B．
1 2
1 1 a b a 1 2
江苏省高考数学状元笔记
江苏省高考状元笔记第I 卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石! A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，． 【注意】：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）．2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂=（）（）,（）（）C BA U4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =. 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
A2.命题的否定与否命题*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. *2.常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝.A3.复数运算*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶nn z z =.*3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+；⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11i i i-=-+，11i i i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i . 【拓展】：()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或13i 22ω=-±.A4.幂函数的的性质及图像变化规律： (1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)； (2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图).12y x =3y x=12y x =yx1xy =1O⑴频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。
高考文理科状元总结知识点
高考文理科状元总结知识点文理科状元在高考中取得了优异的成绩，他们在备考过程中积累了大量的知识点，并且掌握了一定的学习方法。
下面我们就来总结一下他们在备考过程中掌握的知识点。
一、数学1.代数部分文理科状元在代数部分熟练掌握了多项式的运算、因式分解、方程和不等式的解法。
其次，他们对函数的性质、图象、极值点和拐点都有深刻的理解。
另外，对数学归纳法和复合函数也有较强的掌握能力。
2.几何部分在几何部分，文理科状元熟练掌握了圆的性质、面积和弧长的计算、三角形的性质、余弦定理和正弦定理等知识点。
在立体几何方面，状元们对平行六面体、棱柱、棱台、棱锥和球体的表面积和体积计算都有很深的理解。
3.概率与统计概率与统计是数学的一个重要分支，在备考过程中，文理科状元熟练掌握了概率的基本概念和计算方法，同时对样本的统计指标和分布等有很好的理解。
二、物理1.力学状元们掌握了质点、质点的运动、牛顿运动定律、动量和动量定理、力的做功和功率等力学常识。
2.热学在热学方面，状元们掌握了理想气体的状态方程、热力学第一定律和第二定律、热量传递和等温、绝热过程热容等知识点。
3.电学在电学方面，状元们熟练掌握了电荷和电场、电位差和电势能、电流和电阻、欧姆定律等基本电学知识。
4.光学在光学方面，状元们掌握了光的反射、折射、干涉和衍射、透镜成像等知识。
5.原子物理在原子物理方面，状元们掌握了原子结构、原子核、放射性以及核反应等知识。
三、化学1.物质结构与性质在这一部分，文理科状元熟练掌握了物质的化学式和化学结构、化学键、物质的性质以及各种物质间的相互转化等知识。
2.化学反应文理科状元掌握了化学反应的基本类型、化学反应的速率、平衡常数、化学平衡和化学平衡常数等知识。
3.溶液与溶解文理科状元熟练掌握了溶解度、溶液的浓度、电解质溶液的导电性、电化学和化学平衡等知识。
4.化学能量在化学能量部分，文理科状元掌握了燃烧热、热力学第一定律、化学能的转化以及各种反应的热力学计算等知识。
江苏省高考数学状元笔记
.江苏省高考状元笔记第I 卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石! A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，． 【注意】：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）．2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂=（）（）,（）（）4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =. 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
A2.命题的否定与否命题*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. *2.常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝.A3.复数运算*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶nn z z =.*3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+；⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11i i i-=-+，11i i i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++nn n n i i i i i i . 【拓展】：()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或122ω=-.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)； (2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.1x数学应试笔记 第2页总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。
高中数学笔记(全部版)
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