垂直于弦的直径精品说课课件
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人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
垂直于弦的直径课件(共21张PPT)
C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE
课件《垂直于弦的直径》课件PPT_人教版1
求水面宽AB。
变式二：
若已知排水管的水面宽AB=16。 截面圆心O到水面的距离OC=6， 求排水管的半径OB。
d6 8C
10R
a28
D
已知一个弓箭的跨度为80cm,弓箭的 高度为20cm,球弓箭的弧所在的圆的 半径是多少？
20cm
80cm
练习：
1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
垂直于弦的直径
AC=BC= AB= ×16=8
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E .
已知AB如图，你能平分这条弧？
必平分此弦所对的弧 (
)
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 通过这节课的学习,你学到了哪些知识？
第一课时
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_______
平分弦所对的两条弧．
你能找出图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
O·
A
E
B
D
在找下一列找哪个图中有AE=BEA⌒，C=B⌒C，A⌒D=B⌒D.
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： O E A C O D A B A B A C
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
2412垂直于弦的直径优质公开课精品PPT课件
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测 巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ）
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，BAC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A
E
C
O
D
B
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，C 并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
A．AE＝OE C．OE＝1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6. 答案：6
四、当堂检测 巩固新知
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点 E，下列结论中一定正确的是（ B ）
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
A C O D B 变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=___F_D_.
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A__=_O_，BAC=BD.
AC
DB
变式5：_O_C__=_O_，DAC=BD.
O
三、后教环节 突出重点 突破难点
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
A
E
C
O
D
B
【推论1】
（1）平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，C 并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
A．AE＝OE C．OE＝1 CE
2
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
垂直于弦的直径课件
。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
24.1.2-垂直于弦的直径-优质精品公开课PPT课件
2021
21
A．AE＝OE B．CE＝DE
C．OE＝1 CE D．∠AOC＝60°
2
2021
18
2、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点. 求证：AC＝BD.
.O
E AC
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
2021
• 学习难点：垂径定理及其推论。
2021
3
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
2021
4
一、 情境导入
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
2021
8
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
A
A
O E DC
O
A
D
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
故前三个图均不能，仅第四个图可以！
2021
9
【例题】
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 A
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理
求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,
所以AB=6.
答案：6
课件《垂直于弦的直径》精美PPT课件_人教版1
24.1.2垂直于弦的直径（第二课时）
教学目标：探究垂径定理的推论及简单应用. 教学重点：垂径定理推论及应用. 教学难点：垂径定理推论的探究.
教学环节
1.回顾引入 2.探究新知 3.新知应用 4.拓展探究 5.课堂小结
6.布置作业
回顾引入
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
如图，⊙O中，AB、AC是弦，AB是直径.
C
2.动画演示得猜想；
·O
AE
B
通过该问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知.
探究新知
猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦， 也能平分这条弦所对的两条弧. 那又该如何验证这个猜想呢？
3.验证猜想得定理；
引导学生利用圆的轴对称性证明猜想.
探究新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
思考被平分的弦的多种情况，
也能平分这条弦所对的两条弧.
思路2：连接OA，OB，OC，OD． 直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
教学重点：垂径定理推论及应用. 这五条的总结既可以加深学生对定理的理解，又为后面学习垂径定理的推论的做好准备.
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦过AB=点50mmO， 作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．
C C
A
O
A
E
B
D
AB⊥CD于E
O
C
O
E
A
E
B
D
CD为直径
B
OC⊥AB于E
A
E
B
O
OE⊥AB于E
在这组图形中，学生通过结合图形，进一步理解定理应用的条件①过圆心，②垂直于弦
缺一不可，对于定理中的“径”，有时无须出现直径或半径，可以是过圆心的直线和线 段.通过图形辨析深化学生对定理的理解，使得定理的内容得到及时巩固，总结了应用定 理的基本图形.
人教版九年级上册数学精品系列垂直于弦的直径PPT
D
A⌒D=⌒BD.
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT )
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT )
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT )
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT ) 人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT )
A
例1 ：如图，已知在⊙O中，弦 AB的长为8厘米，圆心O到AB的 距离为3厘米，求⊙O的半径。
O.
E
求证：AC＝BD。
AC
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT )
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT ) 人教版九年级上册 数学 课件 24.1.2垂直于弦的直径(共13张PPT )
《垂直于弦的直径》_精品PPT课件人教版1
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
15-7=8cm
《 垂 直 于 弦 的直径 》精品 ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
练习一
如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M 是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小 值为__3__.最大值为____5________.
《 垂 直 于 弦 的直径 》精品 ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
《 垂 直 于 弦 的直径 》精品 ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
《 垂 直 于 弦 的直径 》精品 ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
在直径是20cm的 O 中，A B 的度数是
6 0 ，那么弦AB的弦心距是 5 3 c m .
《 垂 直 于 弦 的直径 》精品 ppt人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
合， A C ， A D 分别与 B C 、B D 重合．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
直线是它的对称轴
A
（2） 线段： AE=BE
弧：
C
·O
E B
D
C
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
1解决求1赵州桥拱半径的问题
垂直于弦的直径ppt课件
年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主
桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23.
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有
以下关系：
指圆心 O 到弦的距离
C
d+h=r
h
a
A
B 数量关系
D
2
r d
O
总结
垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
课堂练习
1. 如图 a、b，一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的
半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm.
2 或 12
问题2：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？
由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
●O
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直
线都是圆的对称轴.
问题3：如何证明圆是轴对称图形？
圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称
点也在圆上.
同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并
写出已知和证明：
基本图形及
变式图形
构造直角三角形，利用勾股定理
计算或建立方程.
OC ＝2，则☉ O 的半径长为
.
3. （2023·宜昌中考）如图， OA ， OB ， OC 都是☉
O 的半径， AC ， OB 交于点 D . 若 AD ＝ CD ＝8，
OD ＝6，则 BD 的长为 4 .
垂直弦的直径上课用课件
2023-2026
ONE
KEEP VIEW
垂直弦的直径上课用 课件
REPORTING
CATALOGUE
目 录
• 垂直弦的基本概念 • 垂直弦的直径计算方法 • 垂直弦的直径定理与推论 • 垂直弦的直径在生活中的应用 • 垂直弦的直径的扩大知识
PART 01
垂直弦的基本概念
弦的定义与性质
弦的定义
垂直弦的直径在科学实验中的应用
物理实验
在力学、电磁学等实验中，垂直 弦的直径常被用作实验参数之一 ，以研究不同直径对实验结果的
影响。
生物实验
在生物学实验中，垂直弦的直径可 以用于模拟生物体的生理特征，例 如模拟血管的直径以研究血流动力 学。
材料实验
在材料科学实验中，垂直弦的直径 可以用于测量材料的物理性质，例 如通过拉伸弦来测量材料的弹性模 量。
面积
圆的面积等于垂直弦长度平方与π础概念
垂直弦的直径是几何学中的基础概念，是进一步学习其他几何知 识的前提。
应用广泛
在日常生活和科学研究中，垂直弦的直径概念有着广泛的应用，如 建筑设计、机械制造等领域。
数学教育
在数学教育中，垂直弦的直径是几何学中的重要知识点，对于培养 学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
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REPORTING
详细描述
垂直弦的直径定理指出，如果一条直径垂直于一条弦，那么 它将把弦分为两段相等的部分。换句话说，如果一条直径与 一条弦相交，那么弦被分成两段相等的长度。
定理的证明与推导
总结词
本部分将详细介绍垂直弦的直径定理的证明过程，通过逻辑推理和几何图形来证明这个定理。
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垂直弦的直径上课用 课件
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目 录
• 垂直弦的基本概念 • 垂直弦的直径计算方法 • 垂直弦的直径定理与推论 • 垂直弦的直径在生活中的应用 • 垂直弦的直径的扩大知识
PART 01
垂直弦的基本概念
弦的定义与性质
弦的定义
垂直弦的直径在科学实验中的应用
物理实验
在力学、电磁学等实验中，垂直 弦的直径常被用作实验参数之一 ，以研究不同直径对实验结果的
影响。
生物实验
在生物学实验中，垂直弦的直径可 以用于模拟生物体的生理特征，例 如模拟血管的直径以研究血流动力 学。
材料实验
在材料科学实验中，垂直弦的直径 可以用于测量材料的物理性质，例 如通过拉伸弦来测量材料的弹性模 量。
面积
圆的面积等于垂直弦长度平方与π础概念
垂直弦的直径是几何学中的基础概念，是进一步学习其他几何知 识的前提。
应用广泛
在日常生活和科学研究中，垂直弦的直径概念有着广泛的应用，如 建筑设计、机械制造等领域。
数学教育
在数学教育中，垂直弦的直径是几何学中的重要知识点，对于培养 学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。
2023-2026
END
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感谢观看
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详细描述
垂直弦的直径定理指出，如果一条直径垂直于一条弦，那么 它将把弦分为两段相等的部分。换句话说，如果一条直径与 一条弦相交，那么弦被分成两段相等的长度。
定理的证明与推导
总结词
本部分将详细介绍垂直弦的直径定理的证明过程，通过逻辑推理和几何图形来证明这个定理。
24.1.2垂直于弦的直径 优质课件
三、尝试解题
例2.赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，它的主桥拱 是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的 中点到弦的距离）为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保 留小数点后一位）.
（提示：关键是根据实物图画出几何图形） 如下图 ：
四、巩固训练
如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的 距离为3cm.求⊙O的半径.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等 的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E. 求证：四边形ADOE是正方形.
六、当堂检测
2.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB 交小于C、D两点.求证：AC=BD.
二、自主探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 你发现了什么？ 通过探究可以发现：
（1）通过对折，发现折痕两边的部分_______. （2）圆是______图形，任何一条_______ ___________________都是它的对称轴.
二、自主探究
2.下面我们来证明（2）的结论. 如图，设CD是⊙O 的任意一条直径，点A为⊙ O 上点C、D以外的任意一 点. 求证：在⊙ O上存在一点，使得它与点A关于直线CD对称.
证明：过点A作AA‘⊥CD,交⊙ O
（请你接着写完证明）
于点A’，垂足为M，连接OA、OA‘
C
O
A D
A＇
二、自主探究
都是圆的对称轴. 从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA‘，垂 足为M，那么点A和点 是对称点，把圆沿着直径CD对折时， 点A与点__重合，AM与 重合，弧AC、AD 分别与 、 重 合.因此，AM= ，弧AC= ，弧AD= . 这样，我们就得到了垂径定理： 垂直于弦的直径______弦，并且______所对的两条弧. 这一定理可以写成如下的推理形式： AM ____
垂直于弦的直径PPT精品课件1
7．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC
的度数是_________ 度． 48
知识点3：垂径定理的应用
8．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为 5 m，则 水面宽AB为( ) D
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
9．如图，某窗户由矩形和弓形组成．已知弓形的跨度 AB＝3 m，弓形 的高 EF＝1 m，计划安装玻璃，请帮工人师傅求出︵ AB所在圆 O 的半径．
16．如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆 心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
解：过点O作OH⊥CD于点H，交AB于点G，连接OA，OC，由AB∥CD有 OG⊥AB，∴CH＝DH，AG＝BG，在Rt△OCH中，由勾股定理得OH＝15，在
Rt△OAG中，由勾股定理得OG＝8，所以AB与CD的距离为OH－OG＝7(cm)
ห้องสมุดไป่ตู้．(2016·牡丹江)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足 C 为P，则OP的长为( )
A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
4． 如图， 在⊙O 中， OC⊥弦 AB 于点 C， AB＝4， OC＝1， 则 OB 的长是( B ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、想要体面生活，又觉得打拼辛苦；想要健康身体，又无法坚持运动。人最失败的，莫过于对自己不负责任，连答应自己的事都办不到，又何必抱怨这个世界都和你作对？人生的道理很简单，你想要什么，就去付出足够的努力。 2、时间是最公平的，活一天就拥有 24 小时，差别只是珍惜。你若不相信努力和时光，时光一定第一个辜负你。有梦想就立刻行动，因为现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 3、无论正在经历什么，都请不要轻言放弃，因为从来没有一种坚持会被辜负。谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。 4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！ 5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。 6、人生中总会有一段艰难的路，需要自己独自走完，没人帮助，没人陪伴，不必畏惧，昂头走过去就是了，经历所有的挫折与磨难，你会发现，自己远比想象中要强大得多。多走弯路，才会找到捷径，经历也是人生，修炼一颗强大的内心，做更好的自己！ 7、“一定要成功”这种内在的推动力是我们生命中最神奇最有趣的东西。一个人要做成大事，绝不能缺少这种力量，因为这种力量能够驱动人不停地提高自己的能力。一个人只有先在心里肯定自己，相信自己，才能成就自己！ 8、人生的旅途中，最清晰的脚印，往往印在最泥泞的路上，所以，别畏惧暂时的困顿，即使无人鼓掌，也要全情投入，优雅坚持。真正改变命运的，并不是等来的机遇，而是我们的态度。 9、这世上没有所谓的天才，也没有不劳而获的回报，你所看到的每个光鲜人物，其背后都付出了令人震惊的努力。请相信，你的潜力还远远没有爆发出来，不要给自己的人生设限，你自以为的极限，只是别人的起点。写给渴望突破瓶颈、实现快速跨越的你。 10、生活中，有人给予帮助，那是幸运，没人给予帮助，那是命运。我们要学会在幸运青睐自己的时候学会感恩，在命运磨练自己的时候学会坚韧。这既是对自己的尊重，也是对自己的负责。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠， 其实都是祝愿。
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两道例题均由学生完成,实物投影展示
应用举例
例题给了我们什么启示？
❖应用小结
应用举例
（1）圆中有关弦、半径的计算问题 可以利用垂径定理来解决。
（2）重要的辅助线：过圆心做弦的 垂线构造直角三角形，结合垂径定理
与解直角三角形的有关知识解题。
❖分项总结
归纳小结
知识层面：内容总结 应用层面：方法技巧总结 思想层面：体验感受总结
2、圆把圆圆是是形不轴纸是对片轴沿称对直图称径形图对，折形对，？观察两
部分重称合轴。是直径所在直线
3、对变换称直轴径的方概向念再是多什做几么次？。 圆的对称轴是什么 ？
探究新知
第二步：探索拱桥模型垂径的性质
模型中让含学有生哪在自制 些的等圆量形关图系片呢上？画 出弦AB和垂直于 弦的直径CD，以 及交点E和圆心O， 然后在规定时间 内自己实验、观 察并得出猜想
学法分析 观察—分析—比较—归纳—证明
教学过程
探索新知
应用举例
情境引入
作业布置
小结整理
情境引入
？你能求
出赵州桥主桥 拱的半径吗
情景引入
抽象出基本 数学模型，拱桥 模型，为后面的 实验探究提供了 篮板，创造性的 使用了教材。
探索新知
第一步：探索拱桥模型的对称性
什么叫做轴对称图形？
1、自制圆形纸片。
垂直于弦的直径
定理证明：
归纳要点：
大屏幕投影
课程设计特色
注重学习过程中 的情感体验
课程设计 特色
注重逻辑思维 的训练
营造以人为本、 以学生为中心
的课堂氛围。
归纳小结
知识层面：
圆对的称对轴称是应性 直用层： 径面圆 所：是在轴直对线称图形，它的 垂并推径且论定平：理分平①长角： 弦 分垂、三径半角垂 所 弦定径形直 对 （思数理、；想形于的不和 弦层结弦两是勾心面合的条直股距：、直弧径定等方理问径。）程有题平的、机的转分直结方化弦径合法、，垂是，类计 构比算造等弦直数学思 直于弦，②并技巧且：平想重在分要实弦辅际所助操对线作是的中过两的圆应条心用弧作。弦的垂线。
❖小组交流
探索新知
探索新知
观察“拱桥模型”对折动画。进一 步整理结论
探索新知
❖成果展示
条件：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 结论：AE=EB， = ，
=．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB， 垂足为E．
求证：AE=EB， = ， =
探索新知
分析：证明线段相等的方法有很多，目前证明弧相等的方法 目前只有依据定义，即证明两条弧重合。证明这三部分重合 的关键是A、B两点重合。而A、B两点重合的关键是A、B两 点关于直线CD对称。而证明两点对称又要用到三角形全等的 知识。
B
两条弧
否垂直呢？
D
探究新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧
应用举例
❖例一、（解决引例） 赵州桥桥拱半径问题
D
a
A
2 hE
B
rd
O h'
C
❖例二、（应用拓展）
⊙O的直径AB=10cm，弦CD=6cm，求A、 B到直线CD的距离之和.
一、教材分析
1、教材的地位与作用 2、教学目标
教学目标
知识与技能
理解圆的轴对 称性；掌握垂 径定理及其推 论；运用解决 有关的证明、 计算和作图问 题。 培养观察 能力、分析能 力及联想证明 能力。
教材分析
过程与方法
经历“实验、观察、 猜想、证明”的探 索过程、体会探索 问题的一般方法和 转化的数学思想；
将定理的条件和结论交换一条，命题是真命题吗？
探索新知
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，E为交点， AE=EB 是否有： CD⊥AB， = ， = ．呢？
平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条 弧
探索新知
C
A
请学生观察
推论O(E) ：平分弦（此不图是，直图径上）CD的平直
径垂直于弦，并分且AB平，分但弦两所者对是的
垂直于弦的直径
参赛选手：**号
2010年11月
河南省师范生教师技能大赛
垂直于弦的直径
教材分析
教法
板书
分析
设计
垂直于
弦的直
径
教学 过程
学法 分析
一、教材分析
1、教材的地位与作用
教材分析
❖教材的地位与作用
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质， 是圆轴对称性质的具体化，是证明线段相等、 角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时 与直角三角形相结合，也为进行一些圆的计算 和作图问题提供了方法和依据，所以，本节内 容是本章的教学重点，也是教材的重点。
情感态度与价 值观
体会到数学图 形的对称美。 体会民族的自 豪感
一、教材分析
1、教材的地位与作用 2、教学目标 3、教学重难点及关键
教材分析
教学重难点及关键
关难重键点点 垂垂径径圆定定的理理及轴其及对推其称论的性推证论明
教法选择
❖拱桥模型性质为主线 ❖直观演示法、引导发现法为方法 ❖多媒体课件，实物投影仪，超级 画板（专业数学软件）为手段 ❖“实验---观察---猜想---证明”为 过程
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
圆的对称美
民族自豪感和振兴中华的使命感
作业布置
❖必做题：课本习题1，2. ❖选做题：任意交换垂径定理的一条条件和
一条结论，能得到哪些结论。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
证明： 连结OA、OB，则OA=OB．所△AOB为等腰
三角形
又∵CD⊥AB，
∴AE=BE
∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．
所以沿着直径CD折叠时， A点和B点重合，
AE和BE重合， 、 分别和
、 重合．
∴AE=EB， =
，=
．
探索新知
垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧