用图象法求一元二次方程的根

用图象法求一元二次方程的根

学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.

方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.

方法三：可将方程化为

a c x a

b x ++

2=0，移项后为

a c x a

b x --=2.设y=x2和y=a c

x a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a c

x a

b -

-

的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.

例：二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根

据图象解答下列问题：

（1）写出方程2

0ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2

ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程

20ax bx c ++=的两个根

11

x =，

23

x = .

（2）不等式2

0ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式2

0ax bx c ++>的解集应为13x <<.

（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >

（4）若使方程2

ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线

2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2

个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点

的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.

点评：可以看到二次函数

2

(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。

练习、小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你

复习日记卡片

内容：一元二次方程解法归纳 时间：×年×月×日 举例：求一元二次方程2

10x x --=的两个解

方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解

解方程：2

10x x --=．

解：

方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程2

10x x --=的解看成是二次 函数y = 的图象与x 轴交点的 横坐标，即12

,x x 就是方程的解．

方法三：利用两个函数图象的交点求解

（1）把方程2

10x x --=的解看成是一个二次函数y = 的图象与一个

一次函数y = 图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用12

,x x 在x 轴上标出方程的解．

x

y

1x

2x

O

x

y O -1 3 2

1

3 -1 -2

1

2 4 -2

-3

答案：（1）解：原方程的解是1x

=,2x

=.

（2）2

1x x --. （3）2

x 与1x +或2

1x -与x 等.