随机事件与随机变量

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3章-随机数与随机变量PPT

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第三章随机数与随机变量
2
①设置仿真钟=0 ②初始化系统状态与统计计数器 ③初始化事件列表
开始
主程序 (0)激活初始化程序
(0) (1)激活时间推进程序 (2)激活事件发生程序i
重复
(1) ①确定下一事件类型，如i ②推进仿真钟
i
(1)更新系统状态 (2)更新统计计数器 (3)产生将来事件并添加到事件列表中
设具有独立同分布的随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，令
Y X1 X2 L Xm
m
Y Y 则的分布函数与 Xi 的分布函数相同，此时称的 i1
分布为 X i 的 m 折卷积。为了生成 Y ，可先独立地
从相应分布函数产生随机变量 X1 , X 2 ,…, X m ，然后
利用上式得到 Y ，这就是卷积法。
14
例：特定供应商提供的发动机次品率为10%，求批量为5的发动机中每批的次品数
❖binomial(0.1,5)
分布列如表
15
3.3 随机数发生器
❖ 对不同的系统或者过程进行仿真时，如果系统或过程本身包含固有的随机组成成分，就需要一定的方法来生成或者获得随机的数值。例如，排队系统中的时间间隔，服务时间，库存系统中的需求量等。在计算机仿真中，能否产生具有一定性能要求的随机数是决定仿真是否可信的重要因素之一。
逆变换法生成随机变量。
5
❖ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然过程，所产生的结果可能不止一个，但事先不能确定会产生什么结果。例：骰子
❖ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现的结果的集合，记为Ω 。
❖ 随机事件：一个随机实验的一些可能的结果，是样本空间的一个子集
❖ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事件都确定了概率，这些概率构成样本空间的一个概率分布

概率函数的名词解释

概率函数的名词解释概率函数是概率论中的一个关键概念，它是确定随机变量的取值与其对应的概率的关系的数学描述。

在统计学和数学建模中，概率函数是非常重要的工具，用于描述随机事件和随机变量的性质。

本文将对概率函数进行详细解释。

概率函数是一种映射关系，它将随机变量的各个取值映射到相应的概率。

换言之，概率函数指明了每个可能的取值发生的概率。

对于离散型随机变量，概率函数通常被称为概率质量函数（probability mass function，简称PMF）。

对于连续型随机变量，概率函数则被称为概率密度函数（probability density function，简称PDF）。

首先，我们来看离散型随机变量的概率质量函数。

概率质量函数是将随机变量的每个可能取值与其对应的概率联系起来的函数。

举个例子来说，假设有一个骰子，它有六个面，每个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6。

对于这个骰子，其概率质量函数可以表示为：P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，P(X=3)=1/6，P(X=4)=1/6，P(X=5)=1/6，P(X=6)=1/6。

这里的X表示骰子的点数，P(X=x)表示随机变量X等于x的概率。

接下来，我们来看连续型随机变量的概率密度函数。

概率密度函数是对连续型随机变量的取值进行描述的函数。

与离散型概率质量函数不同，概率密度函数并不直接给出一个特定的概率，而是通过计算某个取值范围内的积分来得到概率。

举个例子来说，假设有一个服从正态分布的连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为f(x)=（1/（√(2π)σ））exp(-((x-μ)^2/(2σ^2)))，其中μ和σ分别表示正态分布的均值和标准差。

通过对概率密度函数在某个取值范围内的积分，可以得到该范围内的概率。

概率函数在概率论和统计学中有着广泛的应用。

它可以用来描述随机事件和随机变量的概率分布，从而帮助我们理解各种随机现象。

在实际应用中，我们经常需要计算特定取值范围内的概率，比如在某个时间段内发生某个事件的概率，或者某个测量值落在某个区间内的概率等等。

概率论与数理统计

一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质：频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子，如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”，掷一骰子，则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并）事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然，显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An，构成一个 L 类似地，完备事件组，完备事件组，如果满足：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律事件运算满足下列运算：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取颜色全不同” = 三次抽取相容颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取颜色全同” = 三次抽取颜色不全同” 颜色不全同” 不相容，不相容，对立三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取无红色球” = 三次抽取无黄色球” 无黄色球” 相容三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立三次抽取, = 三次抽取无白色球” 不相容，

随机事件与随机变量

前一页后一页2520171229称为事件a与b前一页后一页2620171229这一事件至少有一个事件发生中至少有一个事件发事件列表示前一页后一页272017122910的小球中任取一个记录所得小球的号码
第一章概率论的第一章基本概念
2014-1-9
2
§1 随机事件与随机变量
一. 随机试验和随机事件试验是对自然和社会现象进行的观察和各种科学实验. 随机试验是对随机现象所进行的观察和实验。随机试验的特点: (1) 可在相同条件下重复进行; (2) 可以弄清试验的全部可能结果; (3) 试验前不能预言将出现哪一个结果。常见随机试验
用 x和 y分别表示测量零件长度和直径所产生的误差，则 {( x , y ) x , y }
E5 检验N件产品中的次品数。
若用Y表示检查N件产品中的次品数，我们有 Y(k)=k 。
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这些变量都定义在样本空间上，具有以下特点：（1）变量的取值由随机试验的结果来确定（2）它们取某值的可能性大小有确定的规律性。这种变量的取值变化情况由试验结果确定, 称之为随机变量, 它可以完整地描述试验结果，从而用量化分析方法来研究随机现象的统计规律性。
为了能运用数学的手段研究随机现象, 需进一步将所有的元素(即样本点) ω 数量化。即
v X( )
Rn
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E2 抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。若用X 表示抛一次硬币时出现正面的次数，则X(H )=1，X(T )=0。 E4 测量某零件长度x和直径y所产生的误差。
.

随机变量名词解释

随机变量名词解释
随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象的数学模型。

随机变量可以看作是一种将随机事件转化为数值的函数。

它的取值是根据随机事件的结果而变化的，但是每个取值都与相应的随机事件有一定的概率关联。

随机变量通常用大写字母表示，例如X、Y等。

它可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。

离散随机变量取值有限或者可数，例如掷硬币的结果（正面或者反面）、骰子的点数（1到6）、抛掷骰子100次结果为6的次数等。

离散随机变量的概率可以通过概率分布函数或概率质量函数来描述。

连续随机变量的取值是无限的、可以是任意的实数值，例如测量某个物体的重量、人们的身高、汽车的速度等。

连续随机变量的概率可以通过概率密度函数来描述。

随机变量可以用来描述随机事件的平均值、方差、概率等性质。

通过对随机变量的分析和运算，我们可以获得对随机现象的深入理解，并进行概率推断和统计推断。

在实际应用中，随机变量被广泛应用于概率论、统计学、金融、工程等领域。

通过建立适当的随机变量模型，可以帮助我们分析和预测各种不确定性问题，为决策提供科学依据。

总之，随机变量作为数学模型，是描述随机现象的重要工具。

它将随机事件的结果转化为数值，并通过概率分布函数或概率密度函数来描述其概率性质，为我们研究和理解随机现象提供了有力的工具。

随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件

天气系统，如高压、冷锋等
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向东南移动
大风降温降雨
向东北移动
升温降雨
如何从锋的图例上知道它是向哪个方向移动呢?
三角形或半圆凸所指的方向
过境前过境时过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风雨雪天气
气温下降,气压上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚，这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段，他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压下降,天气转晴
常见天气系统
高压低压冷锋暖锋台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件几个事件同时发生：积事件一事件发生则另一事件不发生：互斥当只有两种事件时，互斥即对立

随机试验和随机变量

第5章随机试验和随机变量教学目的与要求：通过本章教学，使学生理解什么是随机试验以及由它所定义的随机变量，并了解统计学的重要任务之一便是把数据看作随机变量（或称之为无限总体）的样本去推断它的这种或那种特征。

作为后续章中所介绍的统计推断方法所必需的预备知识，学生通过本章的学习还应了解与随机试验和随机变量有关的属于概率论范畴的若干基本概念。

重点内容与难点：1．随机试验及事件、概率等基本概念2．随机变量的概念：离散型随机变量的分布列和连续性随机变量分布的图示3．数学期望和方差的定义及数学性质§5.1 随机试验一、随机现象1．概念：在给定的条件下不能确切预见其结果的现象叫作随机现象。

2．随机现象的产生：因大量的偶然因素存在且无法控制，使现象的结果不能确定和不能完全预见的。

于是，现象的随机性便产生了。

3．随机现象有一定规律性的。

在给定条件下在规律值附近的数值发生的可能性较大，离规律值越近则发生的可能性越大，离规律值越远则发生的可能性越小。

统计学就是要通过对随机现象的有限次的观察结果去探寻它的各种统计规律。

二、随机试验1．概念：对随机现象的观测称作随机试验。

2．种类：随机试验有可重复随机试验和不可重复随机试验两种。

前者是指可以在相同条件下重复进行的随机试验；后者是指不能在相同条件下重复进行的随机试验。

要注意，随机现象或随机试验的概念都是同给定的一组条件联系在一起的。

给定的一组条件发生了改变，就变成了另外的随机现象和另外的随机试验。

三、事件(一)事件的种类1．概念：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件。

2．种类：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。

基本事件是试验的最基本结果：每次试验必出现一个基本事件，任何两个基本事件都不会同时出现。

由两个或两个以上基本事件所组成的事件称做复合事件。

一项随机试验的所有基本事件的集合，称作该随机试验的基本事件空间。

必然事件是每次试验都一定出现的事件，记作。

概率论第一二章随机变量随机事件

数.
注： 1. 满足非负性，规范性，有限可加性. 2. 大数定理(n足够大，频率稳定于概率)
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2.古典型概率（等可能事件的概率）
1)古典概型(试验)：
（1）有限性： Ω = {ω1 , ω 2 ,L , ω n } （2）等可能性： P (ω1 ) = P (ω 2 ) = L = P (ω n ) =
样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合，记 Ω 例： Ω1={ H,T } 注意：样本空间的元素是由实验的目的决定的。例：将一枚硬币连抛三次 1) 观察正反面出现的情况, Ω1 ={HHH,HHT……} 2) 观察正面出现的次数, Ω2 ={0,1,2,3} 样本点：样本空间中的元素，记为w
1
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例2、(会面问题)甲、乙二人约定在12点到下午5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5. y
（1）非负性： 0≤P(A) ≤1；（2）规范性： P(Ω)=1；（3）可列可加性： A1 , A2 ,L两两互不相容，则
P ( U An ) = ∑ P ( An ).
n =1 n =1 ∞ ∞
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3. 概率的性质
（1） P(Φ)=0；
Pk)∑ (AP =A U (k).
注：满足非负性，规范性，可列可加性.
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例1、从区间(0,1)中任取两个数,则两数之积小于
xy = 1 4

随机事件及其概率

2020/5/9
C
2 5
10
(a1,a2),(a2,a1),(a1,b1),(b1,a1),(a1,b2), ((ba22,,ab12)),,((ab12,,ba32)),,((ba32,,ab13),)(,(ab23,,ba1)2,)(,b(1b,1a,b22),),
(b2,b1),(b2,b3),(b3,b2),(b1,b3),(b3,b1)
2020/5/9
(二）古典概型与概率
一个随机试验的样本空间为 {1,2,L,n},
满足以下性质：
（1）样本点总数有限，即n 有限；
（2）每个样本点出现的概率相等，即
P ({ 1 } )P ({ 2} ) LP ({ n} )1 n
称满足以上2个性质的模型为古典概型。
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古典概型中的概率:
设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以 N()记样本空间中样本点总数，则有
P( A) N ( A) N ()
P(A)具有如下性质：
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则
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P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例12:有三个都是独生子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则三个家庭中至少有一个男孩的概率是多少?
• 例16（抽样检验）如果某批产品中有a件次品和b件正品，我们采用有放回抽样和无放回抽样n次，问刚好有k件次品的概率为多少？
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（三）几何概率
• 基本思想：
（１）如果一个随机现象的样本空间充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）大小可以用Ｓ表示；
（２）任意点落入度量相同的子区域内是等可能的.譬如在样本空间中有一单位正方形Ａ和直角三角形Ｂ，而点落入区域Ａ和区域Ｂ是等可能的，因为这两个区域面积相等；

第二章随机变量及其分布随机事件

f ( x)
. x
数学分析
R
称这种定义在样本空间上的实值函数 X=X()为随机变量. 2. 定义(P38 定义1) 设随机试验 E 的样本空间为，若对每一个样本点，有唯一实数 X()与之对应，则称实值函数 X()为随机变量, 简记为 X . 随机变量通常用大写字母 X, Y, Z 或希腊字母 ,η 等表示
pk
p1 p2
…
pk
…
P(X=xk ) 特征性质： 1.P ( X xk ) = P( )= 1 注2 分布列的性质： 0 pk 1； pk 注3 随机变量的分布列不等同于其分布函数，
累积概率函数
k 1 k 1
统称为分布
例2
分布函数
可互相确定？！？
分布列
点概率函数
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量 X , 然后我们可以提出关于X 的各种问题. 如 P(X >1.7 )=？ P(X ≤1.5 )= ? P(1.5<X<1.7) =? 一旦我们实际选定了一个学生并量了其身高之后，我们就得到 X 的一个具体的值，记作 x . 这时要么 x≥1.7, 要么 x <1.7，再求 P(x ≥1.7)就没有意义了. 随机变量 X 所取的值一般采用小写字母 x, y, z 等表示
. ..
.
. ] x
！
1 e x, x 0; 例2(P38 例1) 验证函数 F ( x ) 其它, 0,

分段函数
可以作为某个随机变量的分布函数. 解 (1) 由函数表达式显然有非负有界性 0 F(x) 1，
2
.
0

1.2 随机试验与随机事件

A∩B = C =？
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随机事件与随机变量
C={球的号码是7或9} = {7，9}. 例3 对某一目标进行射击，直至命中为止.
D 设： k = {进行了k次射击}；
Ai = {第i 次射击命中目标}，i=1,2…
Bi = {第i 次射击未命中目标}, i=1,2… 则 D=B1B2…Bk1Ak.
文氏图及例子
(7) 随机事件（集合）运算律交换律: 结合律:
A∪B= B∪A，A∩B=B ∩A；
(A∪B)∪C=A∪(B∪C）; (A∩B)∩C=A∩(B∩C).
电子科技大学
随机事件与随机变量
分配律: 德·摩根律: 吸收律:
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ; (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) .
#
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随机事件与随机变量
E2 旋转一枚硬币，观察其出现正面H和反面T 的情况. A={出现正面}，基本事件 B={出现反面}.

令 A={出现正面}={H }， B={出现反面}={T }. 样本空间 Ω2={H，T}.
#
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随机事件与随机变量
E4 掷两粒均匀骰子，用X 表示第一次掷出的点数，用Y 表示第二次掷出的点数.
赛马比赛，关心比赛结果.
#
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随机事件与随机变量
E1 从 10个标有号码 1, 2,…, 10的小球中任取一个, 记录所得小球的号码. A = {取得的小球号码为偶数}； B = {号码为奇数}；
C = {号码大于3}；
Ai = {号码为i }, i =1,2,·,10. · · 等等; 都是随机事件. Ω ={号码不超过10 } 是必然事件,

第一章随机事件与随机变量

应用举例：随机正弦信号的相位， ADC 的量化误差
3、瑞利分布
⎧ x − x2 ⎪ e 2σ 1）定义： p ( x ) = ⎨ σ 2 ⎪0 ⎩
2
x≥0
其它
2
其实际意义为：两个均值为 0 方差为 σ 的高斯随机变量的平方和。 2） 3）特性： x =
π
π⎞ ⎛ σ ， σ x 2 = ⎜ 2 − ⎟σ 2 2⎠ 2 ⎝
10）条件概率公式
P( A | B) =
P( AB ) （定义为在 B 事件发生的前提下 A P( B)
事件发生的概率）从这个公式中还可以引出乘法公式： P ( AB) = P( A | B) P( B) = P( B | A) P( A) 贝叶斯公式： P ( A | B) =
P ( B | A) P( A) P( B)
$
1.2
随机事件，随机变量与随机过程
本节的内容是对概率论与数理统计中相关内容得复习一、随机事件 1、定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。几种特殊的事件 ¾ 必然事件（ Ω ）与不可能事件（ Φ ） ¾ 基本事件与复合事件 2、随机事件的运算 ¾ 和运算（或运算）：＋或 U ¾ ¾ 差运算： \ 积运算（与运算）：⋅ 或 I
例题：假设在某数字通信系统中，由于传输通道中的干扰，发送‘1’信号而在接收端误接收到‘0’的概率等于 a，发送‘0’信号而在接收端误接收到‘1’的概率同样等于 a。发送系统发出‘1’ 和‘0’的概率个为 50％。现在在接收端接收到的信号为‘1’ ，问在发送端发出信号是‘1’的概率有多大？
解：以 X 表示发送的数据，Y 表示接收到的数据。根据题意，已知：
3、随机事件之间的关系 ¾ 包含： ⊂ ¾ 等价：＝ ¾ 互斥 ¾ 对立： A

概率论与数理统计pdf版

试验人
n
nA
fn（A）
摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
从上表可见，当试验次数 n 大量增加时，事件 A 发生的频率 fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件 A 的频率 fn（A）的稳定值大约是 0.5。
③AA=A
（3）差事件：事件 A 发生而且事件 B 不发生的事件叫事件 A 与事件 B 的差事件，记作（A-B）
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则 A-B=｛5｝
显然有性质：
①
②若
，则有 A-B=Φ
③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件 A 与事件 B 不能都发生，就说事件 A 与事件 B 互不相容（或互斥）即 AB=Φ
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 φ 表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6 的事件一定不出现，它是不可能事件。
（二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用 ω 表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数 1，2，3，4，5，6 分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作 Ω，当然 Ω 是必然事件。
（三）随机事件的关系
（1）事件的包含：若事件 A 发生则必然导致事件 B 发生，就说事件 B 包含事件 A，记作
。
例如，掷一次骰子，A 表示掷出的点数≤2，B 表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。

§2.1 随机变量与随机变量函数

☺ 小结☺
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象，律性的，因此为了方便有力的研究随机现象，就需将随机事件数量化，需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时，事件用数字表示时，就建立起了随机变量的概因此随机变量是定义在样本空间上的一种特念．因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数．殊的函数． 2. 随机变量的分类离散型、连续型随机变量的分类: 离散型、连续型.
S={1，2，3，4，5，6} ，，，，，样本点本身就是数量
X(e) = e
恒等变换
X (1) = 1, X (2) = 2, X (3) = 3, X (4) = 4, X (5) = 5, X (6) = 6,
且有
1 P { X = i } = , ( i = 1,2,3,4,5,6). 6
红色白色
X(e)
S 0
1
R
即有
X (红色 = 1 , X (白色 = 0. 红色) 白色) 红色白色
1, X (e ) = 0,
e = 红色, e = 白色.
红色，这样便将非数量的 S = {红色，白色数量化了红色白色} 数量化了.
实例2 实例则有
抛掷骰子,观察出现的点数抛掷骰子观察出现的点数. 观察出现的点数
• 随机变量与普通函数有何区别？随机变量与普通函数有何区别？ • 试写出几个随机变量. 试写出几个随机变量.
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值由于试验的各个结果的出现具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数但它与普通的函数有着本质的差别普通函数是定义在实数轴上的而随机变量是定义在样本空间上的样本空间的元素不一定是实数

概率论笔记整理

概率论笔记整理
概率论是研究随机现象的数学学科，它为各种随机事件、随机变量和随机过程提供了数学模型和理论框架。

以下是概率论的一些重要概念和笔记整理：
1. 概率空间：概率空间是一个三元组（Ω, F, P），其中Ω是样本空间，F是事件域，P是概率函数。

2. 随机事件：随机事件是样本空间Ω的一个子集，它包含样本点。

3. 概率：概率是一个实数，表示随机事件发生的可能性。

概率函数P定义在事件域F上，满足P(A) ≥ 0且P(Ω) = 1。

4. 条件概率：条件概率是在给定某个事件B发生的情况下，另一个事件A发生的概率。

条件概率记作P(A|B)，它满足P(A|B) ≥ 0，P(Ω|B) = 1，且P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。

5. 独立性：如果两个事件A和B相互独立，则P(A∩B) = P(A)P(B)。

6. 随机变量：随机变量是从样本空间到实数的映射。

常见的随
机变量包括离散型和连续型。

7. 期望值：期望值是随机变量所有可能取值的概率加权和。

期望值的计算公式为E(X) = Σ xP(X=x)。

8. 方差：方差是随机变量与其期望值的差的平方的期望值，即D(X) = E[(X-E(X))^2]。

9. 协方差：协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量。

协方差的计算公式为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。

10. 随机过程：随机过程是一个时间序列或空间序列的随机变量的集合。

常见的随机过程包括马尔科夫链和泊松过程。

以上是概率论的一些基本概念和笔记整理，当然还有很多深入的内容和细节需要进一步学习和掌握。

随机事件及其概率

例17 会面问题：甲乙两人约定在周末８时到９时在某地会面，先到者等候２０分钟，若对方仍未到达，则离去，求两人能会面的概率。
例18 从［０，１］中随机取两个数，求其积不小于２／９其和不大于１的概率。
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例19 P11 蒲丰投针问题（略）
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(四) 概率的公理化定义
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例11：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
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二、概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性
事件A的概率应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？
频率的性质:
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn()＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
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(二）古典概型与概率一个随机试验的样本空间为满足以下性质：（1）样本点总数有限，即有限；（2）每个样本点出现的概率相等，即
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
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2．一般概率的性质性质1：性质2：（有限可加性）设
两两互不相容，则
性质3：
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性质4 设
则
推论：设
则
反之不成立。
推广：
性质5：（并定理）
推论：
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随机变量的通俗理解

随机变量的通俗理解随机变量是概率论中的重要概念，它代表了一个随机事件的结果或取值。

通俗理解来说，随机变量就像是一个魔法帽，里面装满了各种可能的结果，当我们把手伸进去，就会随机地抓取一个结果。

我们生活中的许多事物都可以用随机变量来描述。

比如，抛一枚硬币，正面朝上可以用1表示，反面朝上可以用0表示，这个随机变量就是一个二点分布的随机变量。

再比如，掷一个骰子，出现的点数可以用1、2、3、4、5、6来表示，这个随机变量就是一个均匀分布的随机变量。

随机变量的取值是不确定的，但是它们有一定的概率分布。

概率分布可以告诉我们每个取值出现的可能性有多大。

对于硬币的例子，正面朝上和反面朝上的概率都是0.5。

对于骰子的例子，每个点数出现的概率都是1/6。

随机变量的概率分布可以用分布函数或概率密度函数来表示。

分布函数可以告诉我们随机变量小于等于某个值的概率，概率密度函数可以告诉我们随机变量取某个值的概率密度。

举个例子，对于硬币的例子，分布函数可以告诉我们抛硬币出现正面朝上的概率是多少。

对于骰子的例子，概率密度函数可以告诉我们掷骰子出现某个点数的概率密度是多少。

随机变量还有一些重要的性质，比如期望值和方差。

期望值可以告诉我们随机变量的平均值，方差可以告诉我们随机变量的离散程度。

举个例子，对于骰子的例子，期望值就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5，方差就是[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2]/6≈2.92。

随机变量在实际生活中有许多应用。

比如，统计学中的样本和总体就是随机变量的概念。

当我们从总体中抽取一部分样本进行研究时，样本的某个特征就可以看作是一个随机变量。

通过对样本的统计分析，可以推断总体的特征。

又比如，在金融领域，股票价格的波动可以看作是一个随机变量。

通过对股票价格的统计分析，可以制定相应的投资策略。

随机变量是概率论中的重要概念，它代表了一个随机事件的结果或取值。

用随机变量表示随机事件的方法

用随机变量表示随机事件的方法随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

为了研究随机事件的性质和规律，我们需要引入随机变量来表示随机事件。

随机变量是指在一次试验中可能取不同值的变量。

例如，掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能出现的结果，因此我们可以定义一个随机变量X表示掷硬币的结果，X可以取0或1，其中0表示反面朝上，1表示正面朝上。

又如，抛一颗骰子，可能出现1、2、3、4、5、6六种结果，因此我们可以定义一个随机变量Y表示抛骰子的结果，Y可以取1、2、3、4、5、6六种值。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量是指在一次试验中可能取有限个或无限个离散值的变量，例如上述的掷硬币和抛骰子。

连续随机变量是指在一次试验中可能取无限个连续值的变量，例如身高、体重等。

随机变量的取值可以用概率分布函数来描述。

概率分布函数是指随机变量取某个值的概率，通常用P(X=x)表示。

例如，对于掷硬币的随机变量X，当X=0时，P(X=0)=0.5，当X=1时，P(X=1)=0.5。

对于抛骰子的随机变量Y，当Y=1时，P(Y=1)=1/6，当Y=2时，P(Y=2)=1/6，以此类推。

随机变量的期望值和方差是描述随机变量性质的重要指标。

期望值是指随机变量取值的加权平均值，通常用E(X)表示。

例如，对于掷硬币的随机变量X，E(X)=0.5*0+0.5*1=0.5。

方差是指随机变量取值与期望值之差的平方的加权平均值，通常用Var(X)表示。

例如，对于掷硬币的随机变量X，Var(X)=E[(X-E(X))^2]=0.5*(0-0.5)^2+0.5*(1-0.5)^2=0.25。

总之，随机变量是描述随机事件的重要工具，它可以帮助我们研究随机事件的性质和规律。

通过概率分布函数、期望值和方差等指标，我们可以更加深入地了解随机事件的特点和规律，为实际问题的研究和应用提供有力支持。

随机事件与随机变量

3章-随机数与随机变量PPT

概率函数的名词解释

概率论与数理统计

随机事件与随机变量

随机变量名词解释

随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件

随机试验和随机变量

概率论第一二章随机变量随机事件

随机事件及其概率

第二章随机变量及其分布 随机事件

1.2 随机试验与随机事件

第一章 随机事件与随机变量

概率论与数理统计pdf版

§2.1 随机变量与随机变量函数

概率论笔记整理

随机事件及其概率

随机变量的通俗理解

用随机变量表示随机事件的方法

第二章随机变量及其分布随机事件

第一章随机事件与随机变量