电路分析基础第9章

端口电压与电流的相位差角 称为功率因数角。
对于无源二端网络，功率因数角即为网络等效阻 抗Z的阻抗角。
当电路呈感性时， >0； 当电路呈容性时， <0。
总为正，不能体现电路的性质，要加上 “滞后”
或“超前”字样。 滞后是指电流滞后电压， >0 ； 超前是指电流超前电压， < 0。
jX
(b)
•
UX
(c)
•
U
•
I
•
UR
Z可等效为两个元件的串联，如图(b)
•
•
•
•
•
U Z I (R jX ) I U R U X
X>0( >0) ，电路呈感性，称为感性电路； X<0( <0) ，电路呈容性，称为容性电路。
1、电阻的阻抗
•
ZR
UR
•
R
即为电阻
I
2、电容的阻抗
•
ZC
UC
•
I
+
ZC
1 jC
j2 2 90
-
•
+UL-
j4
•
Us
RC i(t)
•
•
+U R- +U C-
2 -j2
•
I
相量模型如图所示，可求得：
Z=ZR+ZL+ZC=2+j4-j2=2+j2=2.8345º
•
•
I
Us Z
100 2.8345
3.53 45 A
•
•
U R ZR I 2 3.53 45 7.06 45 V
方法1：网孔法(KCL和KVL)
•
•
•
(ZL Zc ) I1 Zc I s U s
代入数据解得：
•
I 1 12.99 j17.5 A
•
••
U c Zc (I1 I s ) 37.5 j64.95 75 120 V
uc 75 2 cos(t 120)V •
方法2：节点法
(1
1
•
)U c
•
+UL-
j4
•
Us
•
•
+U R-
U
+
C-
2 -j2
•
I
uC (t) 7.06 2 cos(2t 135)V
可以看到，uL(t)的振幅大于电源电压us(t)的振幅。
各电压及电流的相量图如图所示。
+j
•
UL
o
45
•
45
•
Us
+1
•
UC
I• UR
(a)
•
+j U L
45
•
U
R
o
45 135
••
•
•
U L ZL I 490 3.53 45 14.145 V
•
•
U C ZC I 2 90 3.53 45 7.06 135 V
各相量对应的正弦量：
i(t) 3.53 2 cos(2t 45)A
+
uR (t ) 7.06 2 cos(2t 45)V uL (t ) 14.1 2 cos(2t 45)V
| Z2 |
R22
X
2 L
2 R2
U AB I2
170 10 2
17 2
10 2
17 / 2
R2 X L
8.5 2
§9-4 正弦稳态电路的功率
任意无源二端网络端口电压为u(t)，电流为
i(t)，如图所示。
u(t) Um cos(t ) i(t ) Im cos t
i(t)
+
N
u(t )
三、阻抗和导纳等效变换
Z R jX Y G jB
Z1 或 Y 1
Y
Z
(1) Z→Y
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )( R jX )
R
X
R2 X 2 j R2 X 2 G jB
因此并联相量模型的电导和电纳分别为：
G
R2
R X
2
X B R2 X 2
注意：G并非是R的倒数；B也不是X的倒数。
(2) Y→Z
Z 1 1 G jB Y G jB (G jB)(G jB)
G
B
G 2 B 2 j G 2 B 2 R jX
因此串联相量模型的电阻和电抗分别为：
G R G2B2
B X G2 B2
注意： R 并非是G的倒数； X也不是B 的倒数。
四、阻抗的串联和并联
阻抗的串联：若干个阻抗串联的等效阻抗等 于各串联阻抗之和。
Us
•
Is
ZL Zc
ZL
代入数据解得：U• c 37.5 j64.95 75 120V
uc 75 2 cos(t 120)V
方法3：用戴维宁定理
Zo= ZL= j5
•
•
•
U oc U s ZL I s
500 j51030 5060V
戴维宁等效电路如图所示
•
•
Uc
ZcU oc
37.5 j64.95
一、瞬时功率（吸收）
等于网络端口瞬时电压与瞬时电流的乘积。
p(t) u(t) • i(t) Um cos(t ) • Im cost Um Im cos(t )cost
1 p(t) 2 Um Im[cos(2t ) cos ]
UI[cos(2t ) cos ] UI cos UI cos(2t ) UI cos UI cos cos 2t UI sinsin2t
相量图的一般做法：
先选定参考相量（初相为0），根据支路元件 的VCR确定各相量之间的夹角，根据KCL方程 和KVL方程确定各相量的数量关系。
§9-3 正弦稳态电路的分析
基本思路：
1、复杂正弦交流电路的基本分析方法是“相量法”
2、在相量法中，可以运用分析直流电路的各种 方法和相关的定律、原理。电压和电流以相应的 相量表示，电阻、电感和电容及其组成的交流电 路以复阻抗或复导纳表示，画出电路的等效相量 模型。
•
U C
(a)
•
U C
uc 75 2 sin(t 120)V
(b)
例2、图示电路中，电流表A1读数为10A，电压表 V1读数为100V，求电流表A0和电压表V0的读数， 并画出电流相量图。 解：各电流、电压相量参考方向如图所示。
设
•
U 1 1000V
则：
•
I
1
10
90
A
•
•
I 2 U1/ 10 100 A
3、熟练运用相量图,可使分析问题的过程大大简 化。
例1、电路如图所示 R=5、XL=5、Xc=3
us 50 2 cost V is 10 2 cos(t 30)A
求：uc 解：
先画出等效的相 量模型，如图
ZR=R=5
ZL=jXL= j5 ZC=jXC=- j3
•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U s 500V
•
I s 1030 8.66 j5 A
为端口电压与电流的相位差角。 即网络等效阻抗Z=|Z|的阻抗角。
瞬时功率为两个分量的叠加，其一为恒定分量， 另一为简谐分量。
波形图如图所示。
瞬时功率p有时为正， 有时为负。
u, i, p
p ui
0
p>0时，网络吸收功率；
UIcos
t
p<0时，网络产生功率；
其平均值为正，平均来看网络是吸收功率。
二、有功功率(平均功率)
求：I、XC、XL、R2 解：
以
•
U
AB
为参考相量，
画出相量图
•
U AB U AB0V
•
•
I1
U AB jXC
I190 1090
j10 A
Z2 R2 jX L | Z2 | 45
•
•
•
I2
U AB Z2
|
U Z2 |
AB
45
I2 45 10
10 10 2
2 45 A
•• •
I1
I2
1
1
•
U S 1000V j
-j
•
•
I
US
500 A
Z
Z1
•
I1
1 j
•
I 25 2 45 A
(1 j) (1 j)
•
I2
•
•
45
IU
•
I2
1 j
•
I 25 245 A
45
(1 j) (1 j)
•
I1
§9-2 电路的相量图
相量图可以直观的显示各相量之间的关系， 并可用来辅助电路的分析计算。
Zo Zc
75 120V
uc 75 2 cos(t 120)V
方法4：叠加原理
电压源单独作用如图(a)
•
UC
ZC
•
US
j3
500 75V
ZL ZC
j5 j3
电流源单独作用如图(b)
•
U C
ZC
( ZL ZL ZC
•
IS)
75 60V
•
•
•
U c Uc Uc
37.5 j64.95 75 120V
第九章 正弦稳态电路的分析
主要内容： ▪ 阻抗和导纳的概念 ▪ 电路的相量图 ▪ 正弦稳态电路的分析方法 ▪ 正弦稳态电路的功率
基本要求：
▪牢固掌握阻抗和导纳的概念 ▪熟练应用正弦稳态电路的分析方法 ▪熟练求解正弦稳态电路的功率
§9-1 阻抗和导纳
一、阻抗：无源二端网络端口电压相量与电流相
量之比称为阻抗，记为Z。
1 j 1 jC C
为虚数
3、电感的阻抗 4、电抗
•
ZL
UL
•
jL
I
为虚数
电容、电感的阻抗均为虚数，可统一表示为Z=jX
把X称为电抗，即X=Im[Z]。
二、导纳：无源二端网络端口电流相量与电压相
量之比称为导纳，记为Y。
即
Y 1 Z
或
•
I Y • G jB |Y |
单位为西门子 (S)
U
•
•
四、视在功率
在电工技术中，把UI或1/2UmIm称为视在功率。
用S表示，即
S
1 2 Um Im
UI
单位伏安(V·A)
用来反映发电、变电等电气设备的容量。
有功功率、无功功率和视在功率三者关系：
P S cos Q S sin S P2 Q2
五、功率因数
P cos 称为网络的功率因数。
S
1、电阻元件 = 0 Q UI sin 0
2、电感元件 = 90° Q UI sin UI 3、电容元件 = -90° Q UI sin UI
4、对于一般无源二端网络，网络等效阻抗为
Z=|Z| =R+jX X >0， >0，电路呈电感性，Q >0 ； X <0， <0，电路呈电容性，Q <0 。
i(t)
•
即：
Z
U
•
R
jX
| Z |
I
+
N0
u(t)
-
其中 Z U
I
u i
单位为欧姆 ()
分别称为复阻抗的模和阻抗角（幅角）。
•
•
UZI
称为欧姆定律的相量形式
Z R jX | Z |
Z在复平面上可用直角三角形表示，如图(a)
+j Z jX
0
R +1
(a)
•
I
R
+
•
U -
+
•
U
R
-+ • U-L
• U s U C +1 I
(b)
图(a)和图(b)实质上是一样的，但图(b)更清楚地
表明了
•
•
•
•
Us ULURUC
的关系。
例2、电路相量模型如图所示，求
•• •
I、I 1 、I 2
，并画
电流相量图。
1
•
I
解：Z1
(1 j)(1 j) (1 j) (1 j)
1
Z 1 Z1 2
•
•
I I 1 I 2 j10 10 2 45 100 A
•
•
U R R I 5100 500V
•
•
因此U R 与U AB 同相
I=10A
•
•
•
因U U R U AB
•
•
•
故U 与U R 及U AB 同相
UAB=U-UR =220-50=170V
10
XC
U AB I1
170 17 10
•
••
I 0 I1 I 2 10 2 45 A
电流表A0的读数为14.14A。
•
•
•
U 0 U 1 I 0(5 j5) 100 2 45V
电压表V0的读数为141.4V。
电流相量图如图所示
•
•
I2
U1
45
•
I1
•
I0
例3、电路如图所示，已知：I1=10A、I2=10√2A
U=220V 、R=5、R2=XL
4 、对于无源单口网络，消耗的有功功率 P = 网络内部各电阻消耗的有功功率的总和 = 端口处所接电源提供的有功功率
三、无功功率
def
Q UI sin
物理意义：无功功率表明电源与动态元件之间能 量往返的规模。
单位与功率单位不同，称为乏 ( var，无功伏安) 。
Q UI sin I 2 X I 2 Im[ Z ]
1T
1
P
T
0
p(t)dt 2 Um Im cos UI cos
有功功率等于瞬时功率的恒定分量，单位：瓦(W)
P UI cos I 2R I 2 Re[ Z ]
1、电阻元件 = 0
P UI I 2 R U 2 R
2、电感元件 = 90° P UI cos 0
3、电容元件 = -90° P UI cos 0
Y G jB | Y |
Y在复平面上可用直角三角形表示，如图(a)
+j G +1
0
jB Y
(a)
•
I
+
•
•
•
IG
IB
UG
jB
-
(b)
•
IB
(c)
•
I
•
U
•
IG
Y可等效为两个元件的并联，如图(b)
•
•
•
•
•
I Y U (G jB)U I G I B
B>0( >0) ，电路呈容性，称为容性电路； B<0( <0) ，电路呈感性，称为感性电路。
n
Z Zk k 1
导纳的并联：若干导纳并联的等效导纳等于 各并联导纳之和。
n
Y Yk k 1
例1、 RLC串联电路中， R=2，L=2H，C=0.25F
us (t) 10 2 cos2t V
+L us(t)
-
求电流i(t)及各元件的电压。
解：U• s 100 V ZR=R=2
ZL jL j4 490
I YU
也称之为欧姆定律的相量形式
1、电阻的导纳
YR
1 ZR
1 R
G
即为电导
2、电容的导纳
YC
1 ZC
jC
3、电感的导纳
YL
1 ZL
1 j 1
jL
L
4、电纳 电容、电感的导纳均为虚数，可统一表示为Y=jB 把B称为电纳，即B=Im[Y]。
(1) 容纳 BC Im[ YC ] C
(2) 感纳
1
BL Im[YL ] L