高考数学复习第02关 以平面向量为背景的选择填空题(解析版)

专题一 压轴选择填空题

第2关 以向量为背景的选择填空题

【名师综述】

平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．

【典例解剖】

类型一 平面向量数量积在三角形中的应用

典例1．（2020上海徐汇区一模）设H 是ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（ ）

A ．10

-

B ．5

-

C ．6

-

D ．【答案】D 【解析】

【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得2HB =

-，HC =-

由向量的夹角公式即可求解． 【详解】由三角形垂心性质可得，HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，不妨设HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅=x ，∵3HA +4HB +50HC =，∴23450HA HB HB HC HB ⋅++⋅=，

∴2HB =-HC =-14HB HC cos BHC HB HC ⋅∠==-，故选D ．

【名师点睛】

本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出

HB HC ,，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题．

【举一反三】

在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅的最小值为______．

【答案】

169

【解析】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，

∵122ABC S AB AC ∆=

⋅=，4AC t =，40,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，∴8,33t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,33t N t ⎛⎫

⎪⎝⎭，

2223216

999

AM AN t t ⋅=+≥=，当且仅当2223299t t =即2t =时取“=”，()

min

16

9

AM AN

⋅=

．故答案为

169

． 类型二 几何图形中的向量问题

典例2．（2020上海华师大二附中高三）如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且()OP xOA yOB x y R =+∈，．有以下结论： ①当x ＝0时，y ∈[2，3]；

②当P 是线段CE 的中点时，1

522

x y =-=

，； ③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x ﹣y 的最大值为﹣1；

其中你认为正确的所有结论的序号为_____．

【答案】②③④

【解析】对于①，当OP yOB =，据共线向量的充要条件得到P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故①错； 对于②，当P 是线段CE 的中点时，

()132OP OE EP OB EB BC =+=+

+()

115

32222

OB OB AB OA OB =+-+=-+，故②对； 对于③，x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对；

对于④，()OP xOA yOB xOA y OB =+=--，令OB OF -=，则()

xOA y OF OP =-，当,,P A F 共线，则1x y -=，当AF 平移到过B 时，x ﹣y 的最大值为﹣1，故④对，故答案为②③④。

【名师点睛】

本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件，考查运算求解能力及推理能力，考查数形结合思想． 【举一反三】

1．（2020上海青浦中学月考）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个()1,2,3,4,5,6i λ=取遍±1时，

125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最大值是____________．

【答案】【解析】

【分析】可采用建系法，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，表示出对应向量的坐标公式，再结合λ的取值特点和表达式综合分析求解最值即可 【详解】

如图，则(1,0)AB =，(0,1)BC =，(1,0)CD =-，(0,1)DA =-，(1,1)AC =，(1,1)BD =-，

令123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++=

又因为()1,2,3,4,5,6i λ=取遍±1，所以当134561λλλλλ=====，2

1λ

=-时，有最小值min 0y =；

因为

()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值无关联，6

1λ

=或61λ=-，

所以当

()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，

所以当1

2561λλλλ====，341λλ==-时，有最大值max y ===故答案为

【名师点睛】

本题考查建系法求解向量，向量的模长公式，分类讨论求解最值，综合性强，着重考查分类能力，归纳整理能力，属于中档题

类型三 不等式中的向量问题

典例3．（2020上海大同中学月考）平面直角坐标系中，e 为单位向量，a 向量满足3

a e λ⋅=，其中λ为正常数，若2||||a a te λ≤+对任意实数t 成立，则||a 的取值范围是________

【答案】

13||2a λλ≤≤． 【解析】

【分析】将2||||a a te λ≤+两边平方后，化为关于t 的一元二次不等式恒成立，由判别式小于等于零，再解关于||a 的不等式可得．

【详解】由2||||a a te λ≤+两边平方得4222||(||2)a a ta e t λ≤+⋅+，

得223224||||02t t a a λλλ+

+-≥对任意实数t 都成立，所以322224()4(||||)02

a a λλ--≤， 所以

6222434(||||)04a a λλλ--≤，所以42243||||016a a λλ-+≤，所以222213(||)(||)044

a a λλ--≤， 因为0λ>，所以22213

||44a λλ≤≤，所以13||2a λλ≤≤，故答案为： 13||2a λλ≤≤． 【名师点睛】

本题考查了平面向量的数量积及其性质、一元二次不等式恒成立问题，考查等价转化思想，属于中档题． 【举一反三】