高考数学复习第02关以平面向量为背景的选择填空题(解析版)

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高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)

高中数学平面向量选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5．下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。

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A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。

，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。

=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。

=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。

= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。

一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。

高考数学真题汇编---平面向量(有解析)

高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。

高三数学平面向量多选题复习题及答案

高三数学平面向量多选题复习题及答案一、平面向量多选题1．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.2．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误；对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.3．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-，设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<，故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.4．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C CC C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于32:11cos42A OA OD π=⨯⨯=；故正确．对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误．故选：AB ．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．6．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（）A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=，则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确；则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos,2||||1a a ba a ba a b⋅-〈-〉====-⨯，所以，a与a b-的夹角为4π.所以C 选项正确；故选：BC.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式2+a x y＝(2)若向量a b，是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式22•a a a a＝＝或2222||)2?(a b a b a a b b＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcosa b＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.9．在ABC中，()2,3AB=，()1,ACk=，若ABC是直角三角形，则k的值可以是（）A．1-B．113C D【答案】BCD【分析】由题意，若ABC是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若A∠为直角，则AB AC⊥即0AC AB⋅=230k∴+=解得23k=-若B为直角，则BC AB⊥即0BC AB⋅=()()2,3,1,AB AC k==()1,3BC k∴=--2390k∴-+-=解得113k=若C∠为直角，则BC AC⊥，即0BC AC⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得3132k ±=综合可得，k 的值可能为211313313,,,33+-- 故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。

高三数学二轮复习理科过关专题填空题：平面向量

二轮复习常考题分类过关专题（全国卷理数）填空题：平面向量1.已知向量()3,1a =,(),2b x =-,且,a b 共线,则a b ⋅=______；2.给出下列命题:①两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等; 其中所有正确命题的序号为_____________.已知向量,a b 满足|||a b a +=-其中b 是单位向量a 在b 方向上的投影为()a b a -⊥,则实数 x 已知正四面体ABCD 的棱长为1,点,E F 分别是BC 的中点, (1,0),(1,1)a b ==, a b λ+与a 垂直，则实数已知向量(1,),(1,1),(2)a x b x a b a ==--⊥,则sin ,a b 〈〉____________.(2,5)=-a 已知向量()3,2a =-，答案以及解析1.答案：-20解析：,a b 共线,所以60x --=,解得6x =-.所以()6,2b =--,182=20a b ⋅=---.故答案为：20- 与DC 方向相同故AB DC =,故③正确||||b c =,且b 与c 方向相同12||1,|||2|b a b a b =+=-211244,2a a b a a b a b ∴++⋅=+-⋅∴⋅=在b 方向上的投影是12||a b b ⋅=. 2. 解析：因为(3a b -=-5.答案：14解析：如图，∵四面体ABCD 是正四面体，∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1， ∴1()cos604AE AF AB BE AF AB AF AB AF ⋅=+⋅=⋅=︒=. 故答案为：14 6.答案：1-解析：∵向量(1,0),(1,1)a b ==，∴(1,)a b λλλ+=+由向量a b λ+与a 垂直可得，(,)10a b a λλ+⋅=+=，解得1λ=-7.答案：22解析：2(2)(2)2a b a a b a a b a -⊥⇔-⋅=-⋅()2201210x x x =⇔+-+-=1x ∴=,所以2cos ,2a b 〈〉=,2sin ,2a b ∴〈〉=.8.答案：2解析：()⊥+a a 2b ，∴(2)|20⋅+=+⋅=2a a b a |b a ，∴21||22⋅=-=-b a a ，由向量a 在向量b 上的投影为1-知，1||⋅=-a b b ，∴=-⋅b a b =2 9.答案：45解析：由题意可得2250-⨯+=m ,则45=m 10.答案：32- 解析：∵向量()()3,2,,1a b m =-=，∴()232,4a b m -=--，∵()2//a b b-，∴432m m-=-，∴32 m=-.故答案为：3 2 -.。

高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》图文答案

【最新】数学高考《平面向量》专题解析一、选择题1．如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v（）A ．43AD BE +u u uv u u u vB ．53AD BE +u u uv u u u vC ．4132AD BE +u u uv u u u vD ．5132AD BE +u u uv u u u v【答案】B 【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题2．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r在向量BC uuu r 方向上的投影为（）A ．2B ．32C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r ，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r ，即可得到本题答案. 【详解】因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r . 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.3．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（）A ．35B ．25C ．1415D ．910【答案】B 【解析】【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u u r 为基底表示出AP u u u r即可得到结论. 【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．4．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v（）A ．3B 3C 3D 3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r，∴33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．5．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则PO 的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r. 由3PB PA =u u u r u u u r可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=，故选：C. 【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.6．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r（）A ．2133BA AC +u uu r u u u rB ．2133BA AC -u uu r u u u rC ．1233BA AC +u uu r u u u rD ．4233BA AC +u uu r u u u r【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（） A ．4 B．C ．2D【答案】A 【解析】【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >，由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >，由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题9．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.10．平面向量a →与b →的夹角为π3，()2,0a →=，1b →=，则2a b →→-=（）A ．23B ．6C ．0D ．2【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】()2,0a →=Q ，||2a →∴=22222(2)||4||444421cos 43a b a b a b a b π→→→→∴-=-=+-⋅=+-⨯⨯⨯=r r r r ，|2|2a b ∴-=r r，故选：D 【点睛】本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.11．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）A 323-+ B 323+ C 31 D 31+【答案】B 【解析】【分析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值．【详解】解：1AC =Q ，3AB =，30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,122D ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． ()3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r ，∴13,122AD ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴132312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴36312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，2313λμ∴+=+．故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．12．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.13．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-，所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.14．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（） A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D 【解析】【分析】计算25AC a b =+u u u r r r，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r，即()253a b a mb λ+=+r r r r ，∴235mλλ=⎧⎨=⎩，解得23152mλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选：D.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PCuuu r()PB PD+⋅u u u r u u u r的最小值为（）A．1-B．3-C．12-D．32-【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131 ()(2)(22)(2)(22)222222 PC PB PD x x y y x y⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y==时，PCuuu r()PB PD+⋅u u u r u u u r的最小值为1-.故选：A．【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（） A ．若//a b r r ，则1tan 2α= B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α= C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r 的最大值为51+ 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.【详解】A 选项，若//a b r r，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确. B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确. C 选项，若()f a b α=⋅r r 取得最大值时，则()5sin()f ααϕ=+，取得最大值时，()sin 1αϕ+=，2,2k k Z παϕπ+=+∈，又tan 2ϕ=，则1tan 2α=，则C 正确. D 选项，()()()22||sin 1cos 2625sin a b αααφ-=-+-=-+r r 的最大值为62551+=+，选项D 正确.故选：B .【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.17．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r【答案】D【解析】【分析】【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，18．已知向量OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r ，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.19．已知向量a v ，b v 满足a v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（）A ．2B ．3CD 【答案】D【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12a b ⋅=r rcos ,4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.20．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C【解析】【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =，∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

(完整版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

全国卷高考—平面向量试题带答案资料讲解

5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( )A ．B ．21 C ．21 D ．二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【2011，13】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（）A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（）A. -1B. 0C. 1D. 2（2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=uu u r uu u r _______.（2012·15）已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |= .（2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .5．平面向量（解析版）一、选择题【2015，2】解：(3,1),u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A【2014，6】解：+EB FC EC CB FB BC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =111()222AC AB AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选A 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【解析】23．由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅．因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--，解得23||=．【2011，13】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b ．又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量（解析版）一、选择题此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（2017·4）A 解析：由||||+=-a b a b r r r r 平方得2222()2()()2()++=-+a ab b a ab b r r r r r r r r ，即0=ab r r ，则⊥a b r r ，故选A.（2015·4）C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.（2014·4）A 解析：2222||210.||2 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r r r r r r r r Q Q Q 两式相减，则 1.ab =r r二、填空题（2016·13）-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．（2013·14）2解析：在正方形中，12AE AD DC =+uu u r uuu r uuu r ，BD BA AD AD DC =+=-uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2012·15）∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）（2011·13）k = 1解析： (a +b )·(k a -b )=0展开易得k =1.。

高考数学二轮复习平面向量多选题测试附解析

高考数学二轮复习平面向量多选题测试附解析一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（） A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．423+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立；必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =，所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=，由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC 选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=；（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ；观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -，设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--，故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．下列命题中真命题的是（）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.4．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上C ．线段PG 长的最大值为1D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y ，2AB =G 为弦AB 的中点，GB ∴=，而()()22:114C x y +++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确；对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确；对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误；故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.5．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=，222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.8．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.二、立体几何多选题9．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，平面11A C B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的有（）A ．异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B ．1BD ⊥平面11AC B C ．球O 的表面积为36πD ．三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ，1A B ，通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ；通过反证法证明B ；由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长，进而求出内切球的表面积可判断C ；利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ，连接11A C ，1A B ，由正方体1111ABCD A B C D -，可知11//A C AC ，11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角，设正方体边长为a ，则1111AC A B BC ==，由等边三角形知1160A C B ∠=，即异面直线AC 与1BC 所成的角为60，故A 正确；对于B ，假设1BD ⊥平面11A C B ，又1A B ⊂平面11A C B ，则11BD B A ⊥，设正方体边长为a ，则11A D a =，12A B a =，1BD 3a =，由勾股定理知111A D B A⊥，与假设矛盾，假设不成立，故1BD 不垂直于平面11A C B ，故B 错误；对于C ，设正方体边长为a ，则112AC a =，内切球半径为2a，设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O '，由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心，则111623332332O A AC a a =⨯'=⨯=，又132OA a =，∴球心O 到面11A C B 的距离为12122232633a a a OA O A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-='-，又球心与截面圆心的连线垂直于截面，∴截面圆的半径为2236626a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，又截面圆的面积2624S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=，解得12a =，则内切球半径为6，内切球表面积214644S ππ==⨯，故C 错误；对于D ，由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，从而求出正方体的棱长，进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于较难题.10．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +的最小值为1705【答案】AD【分析】 DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-，所以217042222()105AC '=+-⨯⨯⨯-=. 故选：AD.【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．。

新高考高中数学名师预测考前押题精品平面向量(选择与填空)(解析版)

精选04 平面向量（选择与填空）1．向量共线：对于向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线，且x 1y 2－x 2y 1=0．2．三点共线：若存在实数λ，使AB =λAC ，则A ，B ，C 三点共线．3．求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.4．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA 、OB 不共线，满足OP =x OA ＋y OB （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1．5．计算数量积的方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义．要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.6．已知非零向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ：一、单选题1．已知向量(5,)a t =-，(1,3)b =，(2)a b b +⊥，则t 的值为 A ．2- B ．2 C ．1-D ．0【答案】D【解析】依题意，22(5,)a b t +=-(1,3)(9,23)t +=-+，又(2)a b b +⊥，所以(2)(9,23)(1,3)a b b t +⋅=-+⋅93(23)0t =-++=，解得0t =．故选 D.2．已知向量(1,2),(0,2),(1,)a b c λ==-=-，若(2)//a b c -，则实数λ的值为 A ．13- B ．3- C ．13D ．3【答案】B【解析】由题意得，2(2,4)a =，2(2,6)a b -=，又(2)a b c -∥，(1,)c λ=-，则260λ+=，解得3λ=-．故选B ．3．已知点P 是ABC 所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，则A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+ C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-【答案】D【解析】由题意，,PA BA PB PA AC PC -=+=，而 0PA PB PC ++=，所以30PA BA AC -+=，又AC BC BA =-，即320PA BA BC -+=，所以2133PA BA BC =-．故选D ． 4．已知单位向量,a b 满足23,b a -=则a b ⋅= A ．12- B ．2- C ．12D ．2【答案】C【解析】由题意，单位向量,a b ，即1,1a b ==，又由()2222244543b a b ab a b a a b -=-=-⋅+=-⋅=，解得12a b ⋅=．故选C ．5．在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =点F 为边CD 的中点，若0AF DF ⋅=，则BF AC ⋅=C ．2D ．1【答案】C【解析】因为0AF DF ⋅=，所以AF AB ⊥，如图建立平面直角坐标系，()()()0,2,1,2,2,0F C B ，所以()()1,2,2,2AC BF ==-，所以242BF AC ⋅=-+=，故选C6．已知向量(1,2),(2,)a b m =-=，若//a b ，则m = A ．4- B ．12- C ．12D ．4【答案】A【解析】因为(1,2),(2,)a b m =-=，//a b ，所以1220m -⨯-⨯=，4m =-，故选A7．如图，在ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，点P 是以BC 为直径的圆上的动点，则AB AP ⋅的最大值为A ．18B ．20【答案】C【解析】如下图，AP 在AB 方向上的投影的最大值为311422AH =+=，故22AB AP AB AH ⋅≤⋅=，故AB AP ⋅的最大值为22．故选C ．8．几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割．毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题．如图，一个边长为4的正五边形ABCDE 有5条对角线，这些对角线相交于,,,,A B C D E '''''五点，它们组成了另一个正五边形，则AC AC '⋅的值为(参考数值：πcos5=)A 1B 1C ．4D ．4【答案】C【解析】由正五边形的性质知3πππ,555EAB CAC EAC ''∠=∠=∴∠=，，在AEC '中，2πcos5AC '=，在ABC 中，2AC =⨯ππ4cos8cos 55=，故π2π||||cos 8cos cos 4π55cos 5AC AC AC AC CAC '''⋅=⋅⋅∠=⨯⨯=．故选C ．9．已知向量a 与b ，3a =，2b =，19a b +=，则已知向量a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．5π3D ．2π3【答案】B【解析】设向量a 与b 的夹角为α，因为3a =，2b =，()2219a b +=，所以9232cos 419α+⨯⨯+=，所以1cos 2α=，[]0,απ∈，所以π3α=．10．在边长为3的正方形ABCD 中，以点A 为圆心作单位圆，分别交AB ，AD 于E ，F 两点，点P 是EF 上一点，则PB PD ⋅的取值范围为A ．12⎡⎤--⎣⎦B ．1,2⎡--⎢⎣⎦C ．2,1⎡-⎣D ．1⎡-⎣【答案】A【解析】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知()0,0A ，()3,0B ，()3,3C ，()0,3D ．设点()cos ,sin P θθπ02θ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()()3cos ,sin cos ,3sin PB PD θθθθ⋅=--⋅--()()cos 3cos sin 3sin 13sin 3cos θθθθθθ=-⋅---=--π14θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又π02θ≤≤，则ππ3π444θ≤+≤，所以πsin 124θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π1124θ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，即PB PD ⋅的取值范围为12⎡⎤--⎣⎦，故选A ．11．已知向量()1,2a =，()sin ,cos b θθ=，且//a b ，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】B 【解析】()1,2a =，()sin ,cos b θθ=，由//a b ，cos 2sin 0θθ∴-=，即cos 2sin θθ=，则sin cos 3sin 3sin cos sin θθθθθθ+==---，故选B ．12．已知A ，B ，C 是单位圆O 圆周上的三等分点，则()OA OB OC +⋅= A ．1 B ．1- CD．【答案】B【解析】因为A ，B ，C 是单位圆O 圆周上的三等分点，所以23AOC BOC π∠=∠=， 2π2π()11cos11cos 133OA OB OC OA OC OB OC ∴+⋅=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=-．故选B. 13．在△OAB 中，点P 为边AB 上的一点，且2AP PB =，点Q 为直线OP 上的任意一点(与点O 不重合)，且满足12OQ OA OB λλ=+，则12λλ= A ．1B ．2C ．1-D ．12【答案】D【解析】如图，因为点O ，P ，Q 三点共线，且点Q 与点O 不重合，所以存在非零实数λ满足OQ OP λ=，又2AP PB =，所以212333OP OA AP OA AB OA OB =+=+=+，则233OQ OP OA OB λλλ==+，又12OQ OA OB λλ=+，所以122,33λλλλ==，所以1212λλ=．故选D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是边CD 的中点，N 是AM 的一个三等分点（AN NM <），若存在实数λ和μ，使得BN AB AD λμ=+，则λμ+=A ．54 B ．12C ．12-D ．54-【答案】C【解析】因为N 是AM 的一个三等分点（AN NM <），所以13AN AM =．因为M 是边CD 的中点，所以1122DM DC AB ==．又13BN AN AB AM AB =-=-=()111332AD DM AB AD AB AB ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭5163AB AD -+，所以511632λμ+=-+=-．故选C ． 15．在ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且2AE EC =，则DE = A ．1126AB AC - B ．1126AB AC -+C ．1223AB AC - D ．1223AB AC -+ 【答案】B【解析】如图，可知()111111232362DE DC CE BC AC AC AB AC AC AB =+=-=--=-．故选B16．已知3AB =，2AC =，若关于m 的不等式AB AC AB mAC +≤+恒成立，则sin BAC ∠=A ．4B ．3C ．13D ．23【答案】B【解析】因为3AB =，2AC =，且关于m 的不等式AB AC AB mAC +≤+恒成立，所以22AB AC AB mAC +≤+，所以29412cos 9412cos BAC m m BAC ++∠≤++∠，整理得23cos 3cos 10m m BAC BAC +∠-∠-≥，所以()229cos 12cos 43cos 20BAC BAC BAC ∆=∠+∠+=∠+≤，所以3cos 20BAC ∠+=，2cos 3BAC ∠=-，又0πBAC ≤∠<，所以sin 3BAC ∠=，故选B. 17．平面直角坐标系xoy 中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点(A B ，若整点P 满足||||4PA PB PA PB ⋅+⋅≤，则点P 的个数为A ．10B ．11C ．14D ．15【答案】D【解析】设(,)P x y ，则(,)PA x y =--，(6,)PB x y =-，4PA PB PA PB ⋅+≤为2264x y -+，2210x y ≤--，平方整理得2248x y +≤，所以P 点在椭圆22182x y +=内部（含椭圆上），椭圆22182x y +=内部（含椭圆上）的整点有：(2,1),(2,0),(2,1),(1,1),(1,0),(1,1)--------， (0,1),(0,0),(0,1)-，(1,1),(1,0),(1,1)-，(2,1),(2,0),(2,1)-共15个．故选D ．18．已知圆O 的半径为1，A ，B 是圆O 上两个动点，2OA OB OA OB +=-⋅，则OA ，OB 的夹角为A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】22222cos ,OA OB OA OB OA OB OA OB +=++⋅=+，22cos ,OA OB OA OB -⋅=-，得22cos ,2cos ,OA OB OA OB +=-，解得cos ,1OA OB =或1cos ,2OA OB =-，由题意得cos ,0OA OB ≤，故2,3OA OB π=，故OA ，OB 的夹角为23π．故选B ．19．ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足3BD DC =，则AD =A ．1344AB AC B ．3144AB AC C ．1344ABACD ．3144ABAC【答案】A 【解析】3BD DC =，则()3AD AB AC AD -=-，解得1344AD AB AC =+，故选A ． 20．在平行四边形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上，且满足14AE AC =，23CF CD =，则EF =A ．13124AB BC + B ．13124AB BC -- C ．13124AB BC -D ．13124AB BC -+【答案】A【解析】3232()4343EF EC CF AC CD AB BC BA =+=+=++ 3213()43124AB BC AB AB BC =+-=+，故选A 21．G 是ABC 的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若30aGA bGB cGC ++=，则角A = A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【答案】D【解析】因为G 是ABC 的重心，所以有0GA GB GC ++=．又303aGA bGB cGC ++=，所以a ∶b ∶3c ＝1∶1∶1，设c 则有a ＝b ＝1，由余弦定理可得，cos A2=，所以A ＝30°，故选D ． 22．,a b 为非零向量，且a b a b +=+，则 A ．//a b ，且a 与b 方向相同 B ．,a b 是共线向量 C ．a b =-D ．,a b 无论什么关系均可【答案】A【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向与,a b 的方向都不相同，且a b a b +<+；向量a 与b 同向时，a b +的方向与,a b 的方向都相同，且a b a b +=+；向量a 与b 反向且a b <时，a b +的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且a b b a +=-，综上，//a b ，且a 与b 方向相同．故选A ．23．已知向量,a b 满足||1,(1,2)a b ==-，且||2a b +=，则cos ,a b 〈〉=A ．B ．-CD 【答案】B【解析】1,5a b ==，2222()4241+2+5=4a b a b a a b b a b +=⇒+=⇒++=⇒，所以1a b =-，cos ,15a b a b a b<>===⨯．故选B ．24．已知三角形ABC 的边长分别为3AB =，4AC =，5BC =，3BC BD =，则AD BC ⋅= A ．1 B ．23 C ．3D ．23-【答案】D 【解析】3AB =，4AC =，5BC =，满足222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，则AB AC ⊥，3BC BD =，()13AD BC AB BD BC AB BC BC ⎛⎫∴⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭()2211cos 33AB BC BC AB BC B BC π=⋅+=⋅⋅-+2312355533⎛⎫=⨯⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭．故选D ．25．设向量()1,2a =，(),1b m =-，且()a b a +⊥，则实数m = A ．3-B ．32C ．2-D ．32-【答案】A【解析】由题意，向量()1,2a =，(),1b m =-，可得()1,1a b m +=+，因为()a b a +⊥，可得()120a b a m +⊥=++=，解得3m =-．故选A ．26．已知平面向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，则()a a b ⋅-= A ．13 B ．1 C ．1-D ．11-【答案】A【解析】因为()()2,1,3,2a b =-=-，所以()5,3a b -=-，所以()()()251313a a b ⋅-=⨯+-⨯-=，故选A ．27．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，DE AB ⊥，垂足为E ，F 是DE 中点，则DF DB ⋅= A ．12-B ．32-C ．32D ．1【答案】C【解析】因为4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，所以cos 42cos 4AB AD A A =⨯=，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，因为DE AB ⊥，所以6ADE π∠=，所以112AE AD ==，DE == 所以413=-=-=BE AB AE ，所以在Rt EBD 中，BD ===所以1cos 2DE EDB BD ∠===，因为F 是DE 中点，所以12DF DE ==，13cos 222DF DB DF DB EDB ⋅=∠==，故选C28．已知ABC 三个顶点都在抛物线28x y =上，且F 为抛物线的焦点，若()13AF AB AC =+，则AF BF CF ++= A ．6 B ．8 C ．10D ．12【答案】D【解析】由28x y =得焦点()0,2F ，准线方程为2y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由()13AF AB AC =+得()()()112121313111,2,,33x y x x y y x x y y --=--+--，则()12131123y y y y y -=-+-，化简得1236y y y ++=，所以123236612A y F BF C y y F ++=+++⨯=+=，故选D29．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=A ．94B ．4C ．92D ．6【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则()4,0A ，()0,3B ，()0,0C ，32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()0,3CB =，32,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3902322CB CP ⋅=⨯+⨯=故选C30．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接BD ，可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，BD =，设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅()()AD DE BD DE =+⋅+2()AD BD DE AD BD DE =⋅+⋅++232BD DE DE =+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，故选A ． 31．已知向量(2,1)=-m λ，(2,5)=-n λ且22m n m n +=-，则λ= A ．53-B ．32-C ．1D ．32【答案】A【解析】由题意：2(2,1)2(2,5)(24,211)m n λλλλ+=-+-=+-，2(2,1)2(2,5)(24,29)m n λλλλ-=---=--+，又22m n m n +=-，所以2282813785297λλλλ-+=-+，解得53λ=-，故选A ． 32．已知0,0a b >>，且a ，1，b 构成等差数列，若向量1m a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭，0n b ⎛=+ ⎝，，则m n +的最小值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由a ，1，b 构成等差数列，得2a b +=，因为1m a a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎭，0n b ⎛=+ ⎝，，所以m n +=2===，当且仅当1a b ==时，等号成立．故选C ．33．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心．已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 【答案】A【解析】取AB 的中点D ，则()CO BA CD DO BA CD BA ⋅=+⋅=⋅，()211()()16622CA CB CA CB a =+⋅-=-=，所以2a =，又由222cos 2c b a A bc21211288c c c c +⎛⎫==+≥⎪⎝⎭c =时等号成立，所以06A π<≤，故选A ．34．已知ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=，12BC =，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN CN ⋅的最小值为A ．365-B ．725-C ．185-D ．545-【答案】C【解析】由45ABC ACB ∠=∠=，可知90BAC ∠=．以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则()0,0A 、(M 、(C ，设1,2N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0x ≤≤1,2AN x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,2CN x x ⎛=- ⎝，故22115224AN CN x x x x ⎛⋅=+-=- ⎝．令()254f x x =-，0x ≤≤5x =时，函数()f x 有最小值，且()max185f x f ==-⎝⎭，即AN CN ⋅的最小值为185-，故选C ．【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．35．在ABC 中，4AB =，6AC =，3AC AM =，CN NB =，3AN BM ⋅=-，则AB AC ⋅=A ．32B ．3C ．6D ．15【答案】B【解析】如图所示，因为3AC AM =，所以13BM AM AB AC AB =-=-．因为CN NB =，所以1()2AN AC AB =+，所以1113223AN BM AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221113623AC AB AB AC --⋅=-，又222236,16AC AC AB AB ====，所以3AB AC ⋅=．故选B ．36．已知a ，b 是非零向量且满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，()2220a b a a a b ∴-⋅=-⋅=，()2220b a b b a b -⋅=-⋅=，222a b a b ∴==⋅，设a 与b 的夹角为θ，1cos 2a b a bθ⋅==， []0,θπ∈，3πθ∴=，故选B ．【名师点睛】求解向量夹角长选择夹角公式cos a b a bθ⋅=，还要注意向量的夹角范围[]0,π．37．若向量(1,2),(0,1)a b ==，且ka b -与2a b +共线，则实数k 的值为 A ．1- B ．12-C ．1D ．2【答案】B 【解析】(1,2),(0,1)a b ==，∴()()()=1,20,1,21ka b k k k --=-，()()()2=1,2+20,11,4a b +=，ka b -与2a b +共线，∴()4210k k --=，解得12k =-．故选B ．【名师点睛】已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b ，则12210x y x y -=． 38．若向量π，n 满足π2﹣n 2＝4，且＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，则|π|+2|n |的最小值是A BCD【答案】B【解析】设π＝a b +，n ＝a b -，＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，可得,a b <>＝3π，向量π，n 满足π2﹣n 2＝4，可得a b ⋅＝1，所以2a b =，所以2224a b a b +≥=，所以222222222n a b a b a b a b π+=++-=++++-≥=B ．【名师点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查向量的模的计算，考查基本不等式的应用，解题的关键是由＜π+n ，π﹣n ＞＝3π，得,a b <>＝3π，由π2﹣n 2＝4，得a b⋅＝1，2a b =，从而可得222222222n a b a b a b a b π+=++-=++++-≥=39．在平行四边形ABCD 中，已知12DE EC =，12BF FC =，2AE =6AF =，则AC BD ⋅= A ．9- B ．92-C ．7-D ．72-【答案】B 【解析】因为12DE EC =，12BF FC = 所以13AE AD DE AD AB =+=+，13AF AB BF AD AB =+=+，而2AE =6AF =，所以1=23AD AB +，1=63AD AB +，所以2221239AD AD AB AB +⋅+=，2212693AD AD AB AB +⋅+=，两式相减得2288499AD AB -=-，所以2292AD AB -=-．所以()()2292AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-．故选B ． 40．已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ∉，若正实数x 、y 满足42OP xOA y OB →→→=+，则2x yxy+的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】因为42OP xOA y OB →→→=+，所以24x y OP OA OB →→→=+，由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，所以124x y+=，又0x >，0y >，由基本不等式得2121212244x y x y x yxy x y x y y x⎛⎫+⎛⎫=+=++=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2y x =时取等号．故选B ．【名师点睛】设,OA OB →→是平面内不共线的斜率，若存在实数12,λλ使得12OC OA OB λλ→→→=+，则当12=1λλ+时，,,A B C 三点共线，反之，当,,A B C 三点共线时，12=1λλ+．二、多选题41．如果平面向量(2,4)(6,12)a b =-=-，，那么下列结论中正确的是 A ．||3||b a = B ．//a bC ．a 与b 的夹角为30D ．a 在b 方向上的投影为【答案】AB【解析】因为(2,4)(6,12)a b =-=-，，所以3a b =-．在A 中，由3a b =-，可得||3||b a =，故A 正确；在B 中，由3a b =-，可得//a b ，故B 正确；在C 中，由3a b =-，可得a 与b 的夹角为180︒，故C 错误；在D 中，a 在b 方向上的投影为||(6)a b b ⋅==--，故D 错误．故选AB ．42．已知向量,a b 满足||||1a b ==，且|2|5b a -=，则下列结论正确的是 A ．a b ⊥B ．||2a b +=C ．||2a b -=D ．,60〈〉=︒a b【答案】AC【解析】因为|2|5b a -=，所以()22b a-=22||4||45b a a b +-⋅=，又||||1a b ==，所以0a b ⋅=，所以a b ⊥，A 正确；因为222()22a b a b a b +=++⋅=，所以||2a b +=，B 不正确；因为222()22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，C 正确；因为a b ⊥，所以,90a b 〈〉=︒，D 不正确．故选AC ．43．已知不共线的两个单位向量,a b ，若向量2a kb -与2a kb +的夹角为锐角，则符合上述条件的k 值可以是 A ．1- B ．1 C ．2D ．3【答案】AB【解析】因为向量2a kb -与2a kb +的夹角为锐角，所以()()222222440a kb a kb a k b k -⋅+=-=->且22a kb a kb -≠+，所以22k -<<且0k ≠，即20k -<<或02k <<，观察各选项可知符合条件的k 值可以是1-，1．故选AB ．44．已知a ，b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且(a ﹣c )·(b ﹣c )=0，则下列结论中正确的有A ．1a b +=B ．1a b -=C ．3c <D ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】BC【解析】如图，OA a =，OB b =，1OA OB ==，3AOB π∠=，则1AB OA ==，即1a b -=，B 正确；OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．AB 中点是M ，则23a b OM +==，A 错；c OC =的最大值为122OM MC +=+<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．D 错误．故选BC ．【名师点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．45．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则 A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【解析】对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误；对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确．故选CD ．【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．46．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若,,3(,0)BC CE ED DA AB BF λμλμ===>，则A ．3144EB EF EA =+ B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1D ．49EC AD EB EA⋅≥-⋅【答案】ABD【解析】选项A ．由3AB BF =，可得34AB AF = 所以()33134444EB EA AB EA AF EA AE EF EA EF =+=+=++=+，故A 正确．选项B ．过B 作//BG FD 交AE 于点G所以,AF AD BC DG FB DG CE DE ==，由这两式可得AF BC AD DG ADFB CE DG DE DE ⨯=⨯= 由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===，则4AF FB =，BC CE λ=，1AD DE μ=所以14λμ=，即14λμ=，故B 正确．选项C ．由B 可得()1144λμλμλμλμ++==+≥= 当且仅当λμ=，即12λμ==时取得等号，故C 不正确．选项D ．由,,3BC CE ED DA AB BF λμ===得()1EB EC CB EC λ=+=+，()()11EA ED DA DA AD μμ=+=+=-+()()()()11511114EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμ⋅⋅==-=-++⋅-++⋅++由555914444λμ++≥=+=，当且仅当λμ=，即12λμ==时取得等号所以14594EC AD EB EA λμ⋅=-≥-⋅++，故D 正确．故选ABD 【名师点睛】本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关键是过B 作//BG FD 交AE 于点G ，得到,AF AD BC DGFB DG CE DE==，()()11EC AD EC ADEB EA EC ADλμ⋅⋅=⋅-++⋅，属于中档题．47．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,IAQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是 A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12I I =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD【解析】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线x y e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线x y e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅， 2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确．故选ABD【名师点睛】利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键． 48．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【解析】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ；观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -，设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--，故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=．故选BC.49．如图，已知点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，()n F n N *∈为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()n G n N*∈满足()1223nn n n n G D aG A a G E +=⋅-+，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【解析】E 为AB 中点，2n n n G E G A G B ∴=+，即2n n n G B G A G E =-+，,,n D G B 三点共线，2n n n n G D G B G A G E λλλ∴==-+，又()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+，()12232n n a a λλ+=-⎧∴⎨-+=⎩，化简得123n n a a +=+，()1323n n a a +∴+=+，{}3n a ∴+是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，B 正确；113422n n n a -+∴+=⋅=，123n n a +∴=-，C 错误；则432313a =-=，A 正确；()()223122122223324312nn n n S n n n ++-∴=++⋅⋅⋅+-=-=---，D 错误．故选AB ．【名师点睛】本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解． 50．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是 A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM AB ⊥，AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==，故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =，即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直．故B 错误；设BC 的中点为D ，则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，因为E ，F ，G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=，故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=，∴cos cos AB ACAB BAC C+与BC 垂直，又AH BC ⊥，所以cos cos AB ACAB BAC C+与AH 共线，故D 正确．故选ACD ．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定．三、填空题51．已知单位向量a 与b 的夹角为4π，则||+=a __________．【解析】因为单位向量a 与b 的夹角为4π，所以||||1a b ==，π||||cos 4⋅==b a a b因此||a52．若(0,0),(1,2)O A 且2OA OA '=，则A ′的坐标为__________．【答案】(2,4)【解析】设(,)A x y '，则(,)OA x y '=，(1,2)OA =，因为2OA OA '=，所以(,)2(1,2)(2,4)x y ==，则2,4x y ==，即A '坐标为()2,4．故答案为()2,4．53．已知a ，b 都是平面向量．若(1,1)a =-，(3,2)a b -=-，则a b ⋅=__________．【答案】3-【解析】因为()(1,1)(3,2)(2,1)b a a b =--=---=-，所以(1,1)(2,1)3a b ⋅=-⋅-=-．故答案为3-．54．已知向量()3,cos a α=，()sin ,1b α=，且a b ⊥，则sin 2α=__________．【答案】35【解析】因为a b ⊥，所以3sin cos 0αα+=，即1s 3in cos αα=-，又22sin cos 1αα+=，所以29cos 10α=，所以223sin 22sin cos cos 35αααα==-=-．故答案为35． 55．已知向量1,,()()1,a m b m ==-，若(2)a b b -⊥，则b =__________．【答案】2【解析】2(23,,23)0)(a b m a b b m -=-⋅=-+=，得23m =，所以212b m =+=．故答案为2．56．设向量(,3),(1,2),(1,1)a m b c ===-，若()a b c -⊥，则实数m =__________．【答案】2【解析】由向量的坐标运算得(1,1)a b m -=-，因为()a b c -⊥，所以()0a b c -⋅=，即()()111120m m -⨯+-⨯=-=，解得2m =．故答案为2【名师点睛】已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120a b x x y y ⋅=+=57．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD 中，3AF AE =．设AF AB AD x y =+，则x y +的值为__________．【答案】65【解析】过点F 作FM AB ⊥，垂足为M ，根据正方形的性质，可知DA AB ⊥，因此//FM AD ，由题意可知ADE ABF ≌，所以AE BF =，由题意可知EFGH 是小正方形，因此可知ABF 是直角三角形，设大正方形ABCD 的边长为1，AE BF a ==，因为3AF AE =，所以33AF AE a ==，由勾股定理可知2222219AB AF BF a a a =+⇒=+⇒=，由310sin 11010BF FM FAB FM AB AF ∠==⇒=⇒=，由910cos 11010AF AM FAB AM AB AF ∠==⇒=⇒=，因为931010AF AM MF AB AD ==++，所以391261010105x y +=+==，故答案为6558．已知平面向量,,a b c ，若a b a c ⋅=⋅，则__________．（填你认为正确的结论）【答案】0a =或b c =或()a b c ⊥-【解析】若a b a c ⋅=⋅，则()0a b c ⋅-=，可得0a =或b c =或()a b c ⊥-．故答案为0a =或b c =或()a b c ⊥-．59．已知||2a =，(1,3)b =，(2)10a b b +⋅=，则a 与b的夹角为__________．【答案】3π 【解析】因为2134b =+=，所以||2b = 因为2(2)2810a b b a b b a b +⋅=⋅+=⋅+=，所以2a b ，所以21cos ,42a b a b a b〈〉===⨯，因为[],0,a b π〈〉∈，所以a 与b 的夹角为3π．故答案为3π． 60．已知平面向量(3,3a =，则与a 夹角为45°的一个非零向量b 的坐标可以为__________．（写出满足条件的一个向量即可）【答案】(1,0)【解析】设(,)b x y =，3a b x ∴⋅=+=，x y =+，0xy ∴=，且b 为非零向量，x 1∴=，y 0=满足题意，(1,0)b ∴=．故答案为(1,0)．61．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1b =，()231a b b -⋅=-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为__________．【答案】12【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，由()231a b b -⋅=-，可得21231221cos 31cos 2a b b θθ⋅-=-⇒⨯⨯⨯⇒-=-=．故答案为1262．已知向量(1,2),(,3)a b m ==，若()a a b ⊥-，则a 在b 方向上的投影为__________．【解析】由(1,2),(,3),a b m ==可得(1,1)a b m -=--，因为()a a b ⊥-，所以()1201a a b m m ⋅-=--=⇒=-，所以(1,3)b =-．所以a 在b 方向上的投影为2||(1)a b b ⋅===-．． 63．已知平面向量a ，b 满足2244a b ==，()231a b b -⋅=-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为__________．【答案】12【解析】由2244a b ==，得2a =，1b =，设向量a 与b 的夹角为θ，由()231a b b -⋅=-可得2231a b b ⋅-=-，即1a b ⋅=又cos 21cos 1a b a b θθ⋅=⋅⨯=⨯⨯=，所以1cos 2θ=故答案为1264．若向量a 与b 的夹角为60，4b =，()()2372a b a b +-=-，则a =__________．【答案】6【解析】因为向量a 与b 的夹角为60，4b =，()()2372a ba b +-=-22672a a b b =-⋅--∴22cos 76620a a b b ∴=---⋅，即21496272a a -⨯-=-整理得22402a a -=-，解得6a =或4a =-（舍去）故答案为665．平面向量a 与b 的夹角为60°，0,2a ，1b =，则2a b +=__________．【答案】【解析】因为2a =，1b =，a 与b 的夹角为60°，则1||||cos602112a b a b ⋅=⋅=⋅⋅=，所以()222244a b a b a ba b +=+=++⋅==故答案为66．已知向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则cos α=__________．【答案】725-【解析】因为向量3,2cos 2a α→⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,52b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且a b ⊥，所以3cos 052α-+=，即3cos 25α=，所以27cos 2cos 1225αα=-=-．故答案为725-．【名师点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．向量垂直的坐标表示：已知()()1122,,,a x y b x y →→==，若a b →→⊥，则12120a b x x y y →→⋅=+=．67．如图，已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，EF 是圆O 的一条弦，且2EF =，点P 在线段EF 上，则PA PB ⋅的最小值是__________．【答案】1-【解析】连接OP ，由题可知，()()224PA PB PA PBPA PB +--⋅=222224444PO BOPO BO PO -==--=，连接,OE OF ，在OEF 中，当OP EF ⊥时，OP 最小，由于2OE OF EF ===，所以OP =因此PA PB ⋅的最小值为1-，故答案为1-．【名师点睛】把求PA PB ⋅最小值问题转化为求解点到线的最短距离问题是解决本题的关键． 68．平面向量(1,2),(4,2),()a b c ma b m ===+∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =__________．【答案】2【解析】由题意得()4,22,145,16425c ma b m m a b =+=++=+==+=， 58,820a c m b c m ⋅=+⋅=+．因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，c a c bc a c b⋅⋅∴=，=，解得2m =．故答案为2．69．点D 为△ABC 的边BC 上一点（不含端点），且满足32x yA AB D AC +=，则12x y +的最小值为__________．．【解析】由题意，点D 为△ABC 的边BC 上一点，且32x yA AB D AC +=，根据平面向量的基本定理，可得030)21(,x x yy =>>+，则12124244()()3232333x y y x x y x y x y ++=++=++≥+=，当且仅当223y xx y=时，即3y =所以12x y +的最小值为43+．． 70．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且2MN =，P 为MN 的中点，AP AB AD λμ=+，则11λμ+的最大值是__________．【答案】43【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设()2,2M a ，()2,2N b ，则()1,1P b a ++．由2MN =可得()()22111a b -+-=，所以可设1cos a θ=+，1sin b θ=+，,2πθπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．因为(1,1),(2,0),(0,2)AP b a AB AD =++==，由AP AB AD λμ=+可得12b λ+=，12a μ+=，所以()()82sin cos 112222112sin 2cos 42sin cos sin cos b a θθλμθθθθθθ+++=+=+=+++++++．设sin cos t θθ+=，1t ⎡⎤∈-⎣⎦，则2111644477744444t t t t t t t λμ++===≤+++++-++即当4t =时，11λμ+．故答案为43．【名师点睛】一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值．。

2020年最新高考数学--以平面向量为背景的选择填空题(解析版)

专题一压轴选择填空题第2关以向量为背景的选择填空题【名师综述】平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．【典例解剖】类型一平面向量数量积在三角形中的应用典例1．（2020上海徐汇区一模）设H 是ABC V 的垂心，且3450HA HB HC ++=u u u r u u u r u u u r r，则cos BHC ∠的值为（）A ．10-B ．5-C ．6-D ．【答案】D 【解析】【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得HB =u u u r ，HC =u u u r 由向量的夹角公式即可求解．【详解】由三角形垂心性质可得，HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，不妨设HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rx ，∵3HA +u u u r 4HB +u u u r 50HC =u u u r r，∴23450HA HB HB HC HB ⋅++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴HB =u u u r HC =u u u r HB HC cos BHC HB HC ⋅∠==u u u r u u u r u u u r u u u r D ．【名师点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出HB HC u u u r u u u r,，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题．【举一反三】在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的最小值为______．【答案】169【解析】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 为x 、y 轴建立直角坐标系，设(),0B t ，∵122ABC S AB AC ∆=⋅=，4AC t =，40,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴8,33t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,33t N t ⎛⎫⎪⎝⎭，2223216999AM AN t t ⋅=+≥=u u u u r u u u r ，当且仅当2223299t t =即2t =时取“=”，()min169AM AN⋅=u u u u r u u u r ．故答案为169．类型二几何图形中的向量问题典例2．（2020上海华师大二附中高三）如图，B 是AC 的中点，2BE OB =u u u r u u u r，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且()OP xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，．有以下结论：①当x ＝0时，y ∈[2，3]；②当P 是线段CE 的中点时，1522x y =-=，； ③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x ﹣y 的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．【答案】②③④【解析】对于①，当OP yOB u u u r u u u r=，据共线向量的充要条件得到P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故①错；对于②，当P 是线段CE 的中点时，()132OP OE EP OB EB BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=++()11532222OB OB AB OA OB =+-+=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故②对；对于③，x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对；对于④，()OP xOA yOB xOA y OB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，令OB OF -=u u u r u u u r，则()xOA y OF OP =-u u u r u u u r u u u r ，当,,P A F 共线，则1x y -=，当AF 平移到过B 时，x ﹣y 的最大值为﹣1，故④对，故答案为②③④。

高三数学平面向量多选题复习题附解析

高三数学平面向量多选题复习题附解析一、平面向量多选题1．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是（）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确；当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.2．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（） A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB 【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案.【详解】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.3．下列说法中错误的为（）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.4．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（）A ．()0a b c -⋅= B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=【答案】ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.5．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.6．在ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．0AB AC AD+-=B．0DA EB FC++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD 是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------111111222222AB AC AB BC AC BC=--+-++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC+为BAC∠的平分线表示的向量.因为3||||||AB AC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA在BC的投影为cosBDBA B BA BDBA，所以BD是BA在BC的投影向量，故选项C正确.对选项D，如图所示：因为P在AD上，即,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤.又因为12BD BC=，所以(1)2tBP tBA BC.因为BP BA BCλμ=+，则12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t≤≤.令21111()2228t ytt ，当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.7．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.8．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确；对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.二、立体几何多选题9．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为343（）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则(13,211A 底面法向量()(10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|143AA n θ===⨯，故B 错误；对于C ：三棱柱的侧棱垂直于底面时，则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则1115cos |cos ,|||10||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 为球心，6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（） A ．11//A D 平面EFGH B ．1A C ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点. 同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点. 因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点，如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面.由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确.因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ，所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EF EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8，故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.。

(完整word版)平面向量(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（）A ．5B ．10C ．25D ．102 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量.（）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=（）A ．13B ．23 C ．43D ．24 ．（2012年高考（四川文））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（）A ．||||a b =且//a bB ．a b =-C ．//a bD ． 2a b =5 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =（）A ．—1B ．—12C ．12D ．16 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=ab （）A ．12B ．1C ．32D ．527 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,28 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =9 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（）A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b -D ．4455a b -二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。

(完整word版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，Θ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

第02讲平面向量的线性运算(3个知识点+4种题型+强化训练)解析版

第02讲平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）知识点一、向量加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．对于零向量与任意向量a 规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a b 在平面内任取一点A 作AB →＝a BC →＝b 则向量AC →叫做a 与b的和记作a ＋b 即a ＋b ＝A B →＋BC →＝A C →.平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作AB →＝a AD →＝b 以AB → AD →为邻边作▱ABCD 则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是向量的相加满足三角形法则而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．知识点二、向量减法1．相反向量(1)定义：与向量a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量． (2)性质：①－(－a )＝a .②对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ③若a b 互为相反向量则a ＝－b a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O 作OA →＝a OB →＝b 则向量BA →＝a －b 如图所示．思考：在什么条件下|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a b至少有一者为0或a b非零且反向时成立．知识点三、向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作：λa它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λμ为任意实数则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a b以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.(4) 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0则实数λ可以是任意实数；若a＝0b≠0则不存在实数λ使得b＝λa.知识复习题型一、向量的加法一、单选题1．在平面四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC CD+B．AD DC CB++C．CA CB+--D．CB DA DC【答案】B【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.【详解】AC C AD+=不符合题意.D++=+=符合题意.AD DC CB AC CB ABCA CB BA-=不符合题意.=+-+≠不符合题意.CB DA DC CB CA AB故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是()①()()++=++；a b c a c b②0+=；AB BA③AC DC AB BD=++.A．②③B．②C．①D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于① ()()++=++正确；a b c a c b对于② 0+=错误；AB BA对于③ DC AB BD AB BD DC AC++=++=正确.故选：B3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H则OP OQ+=（）A．OE B．OF C．OG D．OH【答案】B【分析】根据平行四边形法则即可求.【详解】以OP OQ 为邻边作平行四边形可知OF 为所作平行四边形的对角线故由平行四边形法则可知OF 对应的向量OF 即所求向量．故选：B4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD 为菱形则下列等式中成立的是（） A ．AB BC CA += B ．AB AC BC += C ．AC BA AD += D ．AC AD DC +=【答案】C【分析】根据菱形的性质结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A AB BC AC += 故A 错误；对于B 因为AB BC AC += 所以2AB AC AB BC +=+ 故B 错误；对于C AC BA BA AC BC AD +=+== 故C 正确；对于D 因为AD DC AC += 所以2AC AD AD DC +=+ 故D 错误. 故选：C5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量()AB OM BO MB +++= （） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++= 故B 正确. 故选：B. 二、填空题6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量a 表示“向东航行3km” b 表示“向南航行3 km” 则a b +表示 .【答案】向东南航行32km. 【分析】根据向量加法法则分析即可.【详解】根据题意由于向量a 表示“向东航行3km” 向量b 表示“向南航行3km” 那么可知a b +表示向东南航行223332+=km. 故答案为：向东南航行32km 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）AB BC CD ++= ；（2）AB BC CD DE EF ++++= ；（3）AB CB AC --= ；（4）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+= ．【答案】 AD AF 0 1n A A 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）AB BC CD DE EF AC CD DE EF ++++=+++AD DE EF AE EF AF =++=+=；（3）0AB CB AC AB BC AC AC AC --=+-=-=；（4）122311311111n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==+=.故答案为：AD ；AF ；0；1n A A . 三、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）如果0AB BC CA ++= 那么A B C 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？【答案】不一定【分析】考虑A B C 三点是否共线即可回答.【详解】当A B C 三点共线也有0AB BC CA ++= 所以A B C 三点不一定是一个三角形的三个顶点.9．（2024下·全国·高一专题练习）如图已知a 、b 、c 求作向量a b c ++．【答案】作图见解析【分析】在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a b c ++.【详解】作法：如图所示在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 则OC OA AB BC a b c =++=++．题型二、向量的减法一、单选题1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量a b “0a b +=”是“a b ∥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相反向量一定是共线向量共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】由0a b +=得0a b += 所以a b =- 则a b ∥；由a b ∥得a 与b 方向相同或相反模长不一定相等所以0a b +=不一定成立所以“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件. 故选:A.2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量AB CB DA -+=（） A ．BD B ．CDC ．DCD ．0【答案】C【分析】根据向量的概念以及向量加减法的运算律即可得出答案. 【详解】由AB CB DA AB BC DA AC AD DC -+=++=-=. 故选：C.3．（2024下·全国·高一专题练习）已知,a b 为非零向量则下列说法错误的是（） A ．若||||||a b a b +=+ 则a 与b 方向相同B ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 方向相反C ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 有相等的模D ．若||||||a b a b -=- 则a 与b 方向相同【答案】C【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.【详解】由向量三角不等式可知只有当非零向量,a b 同向时有||||||a b a b +=+||||||a b a b -=- 故A D 正确；只有当非零向量,a b 反向时有||||||||b b a a +=- ||||||a b a b +=- 故B 正确 C 错误．故选：C ．二、多选题4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（） A ．BO OM MB ++ B ．AB BC +C ．C BO OB O CO +++D ．AB AC BD CD -+-【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A 0O M BO M B MO OM ++=+= A 是；对于B AB BC AC += AC 不一定是零向量 B 不是；对于C ()()000BO O OB OC CO B O C BO C O +++=+++=+= C 是；对于D ()0AB AC BD CD AB AD AD BD AC CD -+-=+-+=-= D 是. 故选：ACD 5．若a 、b 为相反向量且1a = 1b = 则a b += a b -= . 【答案】 0 2【分析】利用相反向量的定义结合平面向量的加、减法可求得结果. 【详解】因为a 、b 为相反向量且1a = 1b = 则0a b += 2a b a -= 因此 0a b += 22a b a -==. 故答案为：0；2.6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量a 与b 共线且1==a b 则+=a b ．【答案】0或2【分析】由题可知a 与b 相等或互为相反向量据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线且a b = ∴a 与b 相等或互为相反向量当a 与b 相等时 22a a b ==+ 当a 与b 互为相反向量时 0=0a b =+．故答案为：0或2．7．（2022·高一课时练习）如图所示中心为O 的正八边形1278A A A A 中()11,2,,7i i i a A A i +== ()1,2,,8j j b OA j == 则25257a a b b b ++++= ．（结果用i a ib 表示）【答案】6b【分析】根据向量的加减运算即可求得答案. 【详解】由题图可知 25257a a b b b ++++2356257A A A A OA OA OA =++++()()2235567OA A A OA A A OA =++++367OA OA OA =++36366OA OA OA OA b =+-==,故答案为：6b8．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的∴ABC 的形状是三角形. 【答案】等边【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∴四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形. 四、解答题9．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)()()BA BC ED EC ---； (2)()()AC BO OA DC DO OB ++--- 【答案】(1)DA(2)0【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；（2）首先化简出两个向量的结果再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得()()()BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA ---=+-+=-=+=（2）由平面向量的加减运算法则可得()()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO ++---=+-++()0BC DC BD BC BC =-+=-=题型三、向量的数乘运算一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知向量,a b 则()()2a b a b +--=（） A ．a b + B ．a b - C ．3a b + D ．3ab【答案】D【分析】直接由向量的线性运算即可求解.【详解】由题意()()2223a b a b a b a b a b +--=+-+=+. 故选：D.2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=则ABC 的面积是ABD △的面积的（） A ．5倍 B ．4倍C ．3倍D ．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M 因为102DA DB DC ++=所以2()CD DA DB =+ 所以4CD DM = 所以点D 是线段CM 的五等分点所以5ABC ABDCM S SDM==,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍．故选：A.3．（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在ABC 中点M 是AB 的中点 N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E 设,AB a AC b == 则向量AE =（）A．1132a b+B．1223a b+C．2155a b+D．3455a b+【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N三点共线所以存在Rλ∈使得()113AE AB AN AB ACλλλλ-=+-=+同理,,C E M三点共线所以存在Rμ∈使得()112AE AC AM AC ABμμμμ-=+-=+由平面向量基本定理可得1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得21,55λμ==所以2155AE a b=+.故选：C.4．（2023·湖南永州·统考二模）在ABC中若1,2AB AC CA CB+=+=则ABC的面积的最大值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【分析】设,E F分别为,BC AB的中点结合三角形相似推出43ABC ACEFS S=四边形由题意可得1||,||12AE CF==确定四边形ACEF面积的最大值即可得答案.【详解】设,E F分别为,BC AB的中点连接EF则EF AC∥则BEF△∴BCA故14BEF ABCS S=,则34ABC ACEF S S =四边形故43ABCACEFSS =四边形又1,2AB AC CA CB +=+= 则21,22AB AC AE CA CB CF +==+== 故1||,||12AE CF ==当AE CF ⊥时四边形ACEF 面积最大最大值为1111224⨯⨯=故ABC 的面积的最大值为411343⨯=故选：D 5．（2024下·全国·高一专题练习）在ABC 中 D 为AC 上一点且满足 12AD DC =，若P 为BD 的中点且满足 AP AB AC λμ=+，则λμ+的值是 . 【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图因为12AD DC = 所以13AD AC =则11111112222326AP AB AD AB AC AB AC =+=+⨯=+ 所以12λ=16μ= 23λμ+=.故答案为：23.6．（2024下·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD 中对角线交于点O 若125,3BC e DC e == 则OC = . 【答案】12 5322e e +【分析】利用向量的线性运算可得OC 的表达形式.【详解】因为ABCD 是矩形所以1111122222OC AC AB BC DC BC ==+=+ 所以125322OC e e =+.故答案为：125322e e +7．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中点G 在AC 上且满足3AC AG = 若DG mAB nAD =+ 则m n -= .【答案】1【分析】利用向量线性运算求得1233DG AB AD =- 与题干对照即可求解. 【详解】()11123333DG AG AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 则13m = 23n =-所以1m n -=. 故答案为：1 三、解答题8．（2024下·全国·高一专题练习）若向量x y 满足23x y a += 32x y b -= a 、b 为已知向量求向量x y ．【答案】231313=+x a b 321313=-y a b 【分析】根据23x y a += 32x y b -= 列方程组求解. 【详解】解：由方程组2332x y ax y b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得231313=+x a b 321313=-y a b .题型四、平面向量共线定理及应用一、单选题1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知平面向量a 与b 不共线向量(),32m xa b n a x b =+=+- 若//m n 则实数x 的值为（）A ．1B ．13-C ．1或13-D ．1-或13【答案】C【分析】根据平面共线定理由向量平行求得x 满足满足的方程求解即可. 【详解】由//m n 且,m n 均不为零向量则()32,m n a x b λλλλ==+-∈R可得()132x x λλ=⎧⎨=-⎩ 则()3210x x --= 整理得23210x x 解得1x =或13x ．故选：C ．2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知a 与b 为非零向量,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+ 若,,A B C 三点共线则2λμ+=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线由此结合向量的相等列式求解即得答案. 【详解】由题意知 ,,A B C 三点共线故2,(2)(1)AB a b BC a b λμ=-=-++, 且,AB BC 共线故不妨设,(0)A k B k BC =≠ 则1(2)2(1)k k λμ=-⎧⎨-=+⎩ 所以122μλ+-=- 解得23λμ+=故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知21,e e 为两个不共线的向量若向量12122,23a e e b e e =+=-+ 则下列向量中与向量2a b +共线的是（） A ．1252e e -+ B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +【答案】B【分析】根据向量线性运算表示12225a b e e +=+ 然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量122a e e =+ 1223b e e =-+ 所以12225a b e e +=+．又()1212410225e e e e +=+ 所以12410e e +与2a b +共线．故选：B ．二、填空题4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中 O 是边BC 的中点 AP t AO = 过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点且,AM mAB AN nAC == 则11m n+= . 【答案】2t【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】由题意：().222t t tAP t AO AB AC AB AC ==+=+ 由,,M P N 三点共线知 ()()11AP AM AN mAB nAC λλλλ=+-=+-. ()212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒ 212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ 得112m n t+=. 故答案为：2t5．（2022上·河南·高二校联考期末）已知ABC 中点D 在线段AB （不含端点）上且满足()R CD xCA yCB x y =+∈, 则12x y+的最小值为 .【答案】322+/223+【分析】根据向量共线可得1x y += 即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】∴(),R CD xCA yCB x y =+∈ 由于D 在线段AB （不含端点）上故,,A D B 三点共线所以1x y +=且00，x y >>则()121223322y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y x xy=时即21,22x y =-=-时取等号故12x y+有最小值322+. 故答案为：322+.6．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示在ABC 中 14AN NC =P 是BN 上的一点若611AP AB mAC =+ 则实数m 的值为．【答案】111【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为14AN NC = 所以5AC AN = 所以6651111AP AB mAC AB mAN =+=+ 因为P B N 三点共线所以65111m += 解得111m =.故答案为：111. 7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在ABC 中 M N 分别是边AB AC 上的点且23AN AC =13AM AB = 点O 是线段MN 上异于端点的一点且满足340(0)OA OB OC λλ++=≠ 则λ= ．【答案】8【分析】用OA 、AN 表示出OC 、OB 从而得到6977AO AN AM λλ=+++ 再根据M O N 三点共线得到69177λλ+=++ 解得即可. 【详解】解：因为23AN AC =13AM AB =所以()23AN OC OA =- ()13AM OB OA =- 即32OC AN OA =+ 3OB AM OA =+因为340OA OB OC λ++= 所以()333402OA AM OA AN OA λ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭即()769AO AN AM λ+=+ 即6977AO AN AM λλ=+++ 因为M O N 三点共线故69177λλ+=++ 解得8λ=．故答案为：8 8．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设,a b 是不共线的两个向量. (1)若2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 求证：A B C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线求实数k 的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)±4.【分析】（1）要证明三点共线即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 得3(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 3(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-因此//AB BC 且有公共点B 所以A B C 三点共线.（2）由于8a kb +与2ka b +共线则存在实数λ 使得8(2)a kb ka b λ+=+ 即(8)(2)0k a k b λλ-+-= 而,a b 是不共线因此8020k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得2,4k λ==或2,4k λ=-=- 所以实数k 的值是4±.9．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图在ABC 中 D 是BC 上一点 G 是AD 上一点且2AG BD DG CD== 过点G 作直线分别交,AB AC 于点,E F .(1)用向量AB 与AC 表示AD ； (2)若54AB AE = 求ACAF 和EG EF的值.【答案】(1)1233AD AB AC =+ (2)138AC AF = 1318EG EF =.【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）设AC AF μ= 利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【详解】（1）2221233333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.（2）因为54AB AE = 所以54AB AE =．设AC AF μ= 22122454333399189AG AD AB AC AB AC AE AF μ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为,,G E F 三点共线所以541189μ+= 解得138μ= 所以138AC AF =.因为48513EF EA AF AB AC =+=-+424264134859945918513EG EA AG AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭所以1318EG EF =即1318EG EF =. 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图在平行四边形ABCD 中 ,,AB a AD b M ==为AB 中点 N 为BD 上靠近点B 的三等分点求证：,,M N C 三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求证明//CM CN即可.【详解】∴,AB a AD b==∴BD AD AB b a=-=-．∴N是BD上靠近点B的三等分点∴11()33BN BD b a==-．∴在平行四边形中BC AD b==∴112()333CN BN BC b a b a b =-=--=--．①∴M为AB的中点∴111,()222MB a CM MC MB BC a b a b⎛⎫=∴=-=-+=-+=--⎪⎝⎭．②由①②可得32CM CN=．由向量共线定理知//CM CN．又∴CM与CN有公共点C ∴,,M N C三点共线．。

高考数学二轮复习数学平面向量多选题试题及解析

高考数学二轮复习数学平面向量多选题试题及解析一、平面向量多选题1．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.2．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =，对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确；对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.3．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.4．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，10cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,10AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-，设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<，故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.5．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 3【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan 2θ=-A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确； 2cos sin a b θθ+==3)θϕ+， a b 3D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan 2θ=-A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+== 3sin()θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b 的最大值为3，故D 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（）A ．()0a b c -⋅= B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=【答案】ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.7．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-，所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=，所以()11322n n n n a a a a +--=-，易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线，由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.二、立体几何多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（）A ．//HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒D ．11:1:3D G GC = 【答案】ABD 【分析】面面平行性质定理可得出A 正确；等体积法求得B 正确；直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠，求其正切值不等于1即可得出C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出11,D G GC 长度即可得出D 正确. 【详解】解：对于A.在正方体1111ABCD A B C D -中平面11//ADA D 平面11BCB C ，又平面11ADA D 平面BMN HF =，平面11BCB C ⋂平面BMN BE =，有平面与平面平行的性质定理可得//HF BE ，故正确；对于B.因为1:1:2A F FA =，所以111332B M A B ==，又E 为棱1CC 上的中点，所以14B N =, 所以1111234432B BMN N B BM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故正确；对于C.由题意及图形可判定直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠，结合B 选项可得1114tan 13B N B MN B M ∠==≠，故错误；对于D.同A 选项证明方法一样可证的11//GC B M ，因为E 为棱1CC 上的中点，1C 为棱1B N 上的中点，所以1113=22GC B M =所以11G=2D ，所以11:1:3D G GC =，故正确. 故选：ABD【点睛】求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.10．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V【答案】BCD【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可.【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形；故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC 中，MN =2，NQ=2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM PE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F 是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==，G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -= ，所以123=V V ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.。

高考数学平面向量多选题复习训练题(含答案解析)

高考数学平面向量多选题复习训练题（含答案解析）1．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知实数m 、n 和向量a 、b ，下列结论中正确的是（） A ．()m a b ma mb −=− B ．()m n a ma na −=−C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =【答案】ABD 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABCD 选项. 【详解】对于A 选项，()m a b ma mb −=−，A 对；对于B 选项，()m n a ma na −=−，B 对；对于C 选项，若ma mb =，则()0m a b −=，所以，0m =或a b =，C 错；对于D 选项，若()0ma na a =≠，则()0m n a −=，所以，0−=m n ，即m n =，D 对. 故选：ABD.2．（2021·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，6BC =，D ，E 是BC 的三等分点，且4AD AE ⋅=，则（）A ．2133AE AB AC =+ B ．1122AD AB AE =+ C ．4⋅=−AB AC D ．2228AB AC +=【答案】BCD 【解析】【分析】由向量的线性运算即可判断A ，B,取DE 的中点G ，由6BC =，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，计算可得2214AD AE AG DE ⋅=−，进而得出25AG =，计算可判断选项C,由C 可知2AB AC AG +=，两边平方，化简计算可判断选项D .【详解】对于A ，()11123333AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+−=+，故选项A 不正确；对于B ，由题意得D 为BE 的中点，所以1122AD AB AE =+，故选项B 正确；对于C ，取DE 的中点G ，由6BC =，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，且2DE =，所以221114224AD AE AG DE AG DE AG DE ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以25AG =，22111594224AB AC AG BC AG BC AG BC ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；对于D ，由G 是BC 的中点得2AB AC AG +=，两边平方得22224AB AB AC AC AG +⋅+=，所以2220828AB AC +=+=，故选项D 正确.故选：BCD.3．（2021·山东·二模）若,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，则||a b c +−的值可能为（）A 1B ．1CD ．2【答案】AB 【解析】【分析】由0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，得到()1c a b +≥r r r ，再由a b c +−=r r r.【详解】因为,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，所以2()0a b c a b c ⋅−++≤r r r r r r ，即()1c a b +≥r r r，所以a b c +−r r r1，故选：AB4．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）在ABC 中，有如下四个命题正确的有（） A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若BA BC AC +=，则ABC 的形状为直角三角形C ．ABC 内一点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC 的重心D ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 必为ABC 的外心【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由0AC AB ⋅>可得角A 为锐角，从而可判断，对于B ，对BA BC AC +=两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C ，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D ，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断【详解】解：对于A ，由0AC AB ⋅>，得s 0co AC AB A >，所以cos 0A >，所以角A 为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A 错误，对于B ，因为BA BC AC +=，所以2222BA BA BC BC AC +⋅+=，即2222cos BA BA BC B BC AC +⋅+=，所以222cos cos 2BA BC ACB B BA BC+−−==,得cos 0B =，因为(0,)B π∈，所以2B π=，所以三角形为直角三角形，所以B 正确，对于C ，因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC +=−，所以2GD GC =−（D 为BA 的中点），所以,,G C D 三点共线，所以点G 在BA 边的中线CD 上，同理，可得点G 在其它两边的中线上，所以G 是ABC 的重心，所以C 正确，对于D ，因为PA PB PB PC ⋅=⋅，所以0PA PB PB PC ⋅−⋅=，()0PB PA PC PB CA ⋅−=⋅=,所以PB CA ⊥，所以点P 在边CA 的高上，同理可得点 P 也在其它两边的高上，所以点P 为ABC 的垂心，所以D 错误，故选：BC5．（2021·全国·模拟预测）下列说法正确的是（） A ．若,,a b c 为平面向量，//,//a b b c ，则//a c B ．若,,a b c 为平面向量，,a b b c ⊥⊥，则//a cC ．若1,2a b ==r r ，()a b a +⊥r r r ，则a 在b 方向上的投影为12−D ．在ABC 中，M 是AB 的中点，AC ＝3AN ，BN 与CM 交于点P ，AP ＝AB λ+AC μ，则λ＝2μ 【答案】CD 【解析】【分析】利用向量共线的概念判断A 、B ，；利用向量数量积的定义可判断C ；利用向量共线的推论即可判断D. 【详解】A ，若0b =，则0与任意向量共线，所以a 与c 不一定平行，故A 错误；B ，若,a b b c ⊥⊥，则0a b ⋅=，0b c ⋅=，当,,a b c 共面时，//a c ，若,,a b c 不共面时，a 与c 不平行，故B 错误；C ，若()a b a +⊥r r r ，则()0a b a +⋅=r r r ，所以21a b a ⋅=−=−，a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=−r r r ，故C 正确； D ，AP AN NP =+，设NP aNB =, 则()1133AP AC aNB AC a NC CB =+=++ ()112333AC aNC aCB AC aAC a CA AB =++=+++ 1233AC aAC aCA aAB =+++1133a AC aAB ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，设a λ=，则1133μλ=−，即31μλ=−，①12AP AM MP AB MP =+=+，设MP bMC =， 1111122222AP AB bMC AB b AB BA AC b AB bAC ⎛⎫⎛⎫=+=+++=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1122λμ=−，即21λμ=−，②由①②可得25λ=，15μ=，即2λμ=，故D 正确. 故选：CD6．（2021·江苏南京·一模）设()0,0O ，()1,0A ，()0,1B ，点Р是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=uu u r uu u r，若OP AB PA PB ⋅⋅≥，则实数λ的值可以为（） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】ABC 【解析】【分析】设出P 点的坐标，结合OP AB PA PB ⋅⋅≥求得λ的取值范围. 【详解】设(),P x y ，由()01AP AB λλ=≤≤得()()()1,1,1,x y λλλ−=−=−，所以()11,x P y λλλλ−=−⎧⇒−⎨=⎩，由OP AB PA PB ⋅⋅≥得()()()()1,1,1,1,1λλλλλλ−⋅−≥−⋅−−，()()111λλλλλλ−+≥−−−，222122,241011λλλλλλ−≥−−+≤⇒≤≤由于01λ≤≤，所以11λ≤≤.111,,123⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ABC 正确，D 错误.故选：ABC7．（2022·江苏·海安高级中学二模）关于平面向量a b c ，，，下列说去不正确的是（） A ．若··a c b c =，则a b = B ．·(··)a b c a c b c =++ C ．若22a b =，则··a c b c = D ．()()····a b c b c a = 【答案】ACD 【解析】【分析】令0=c 时可判断A ；利用()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，可判断B ；由22=a b 可知a 与b 的模长相等，但()−⋅a b c 不一定为0可判断C ；()⋅⋅a b c 与c 共线的向量，()·b c a ⋅与a 共线，可判断D ．【详解】0=c 时，0⋅=⋅=a c b c ，a 与b 可任取，故A 错；()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，故B 对；22=a b 可知a 与b 的模长相等，()−⋅a b c 不一定为0，∴⋅≠⋅a c b c ，故C 错；()⋅⋅a b c 与c 共线的向量，()·b c a ⋅与a 共线的向量． ∴()()⋅⋅≠⋅⋅a b b c a c ，D 错．故选：ACD.8．（2022·山东潍坊·一模）已知向量()1,2OP =，将OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP的位置，则（）. A ．130OP OP ⋅= B ．12PP PP =C ．312OP OP OP OP ⋅=⋅D ．点1P 坐标为⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】根据向量的夹角判断A ，再由全等三角形可判断B ，根据向量的数量积的定义判断C ，根据向量的模相等判断D. 【详解】因为OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP ，所以1OP →与3OP →的夹角为90︒，故130OP OP ⋅=，A 选项正确；由题意知，12△△OPP OPP ≅,所以12PP PP =，即12PP PP =，故B 正确；因为312,60,,60OP OP OP OP →→→→<>=︒<>=︒,312||||||||OP OP OP OP →→→→===, 所以由数量积的定义知312OP OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；若点1P 坐标为⎝⎭，则1||||OP OP →→=≠D 不正确. 故选：ABC9．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ⋅为定值B ．OA OC ⋅的取值范围是[]2,0−C ．当AC BD ⊥时，AB CD ⋅为定值 D ．AC BD ⋅的最大值为12【答案】AC 【解析】【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC 的正误，取AC 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B 的正误，根据直径的大小可判断D 的正误. 【详解】如图，设直线PO 与圆O 于E ，F .则()()222PA PC PA PC EP PF OE PO OE PO PO EO ⋅=−=−=−−+=−=−,故A 正确.取AC 的中点为M ，连接OM ，则()()22OA OC OM MA OM MC OM MC ⋅=+⋅+=−()222424OM OMOM =−−=−，而2202OM OP ≤≤=，故OA OC ⋅的取值范围是[]4,0−，故B 错误.当AC BD ⊥时，()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅ 24AP CP PB PD EP PF =−−=−=−，故C 正确.因为4,4AC BD ≤≤，故16AC BD ⋅≤，故D 错误. 故选：AC10．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形D ．若()()0b c a b a c +−⋅+−=r r r r r r，则ABC 为直角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】利用正弦定理判断选项A ，利用数量积的性质判断选项B 和C ，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D ．【详解】解：A ：若a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >， sin sin A B ∴>，则 A 正确；B ：若0a b ⋅>，则cos()0ACB π−∠>， cos 0ACB ∴∠<，即ACB ∠为钝角， ABC ∴为钝角三角形，故 B 错误；C ：若0a b ⋅=，则AC BC ⊥，ABC ∴为直角三角形，故 C 正确；D ：若()()0b c a b a c +−⋅+−=r r r r r r ，则22()0b a c −−=r r r，2222a c b a c ∴+−=⋅r r r r r ，222cos 2a c b Ba c +−=−r r r r r ，由余弦定理知222cos 2a c bB a c +−=r r r r r， cos cos B B ∴=−，则cos 0B =，(0,)B π∈，2B π∴=，ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选：ACD ．11．（2022·全国·模拟预测）如图，直角三角形ABC 中，D ，E 是边AC 上的两个三等分点，G 是BE 的中点，直线AG 分别与BD ， BC 交于点F ，H 设AB a =，AC b =，则（）A ．1123AG a b =+B ．1136AF a b =+C ．1123EG a b =− D ．3255AH a b =+【答案】ACD 【解析】【分析】以A 为坐标原点，分别以AC ，AB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，特别联立方程组解得H ，再根据选项一一判断即可．【详解】以A 为坐标原点，分别以AC ，AB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，设AB a =，AC b =，则()0,0A ，,03b D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,03b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0C b ，()0,B a ，,32b a G ⎛⎫⎪⎝⎭．又F 为ABE △的重心，则2,93b a F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AG 的方程为32a y x b =，直线BC 的方程为1x y b a +=，联立解得23,55H b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,32b a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2,93b a AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,32b a EG ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，23,55AH b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为()0,a AB a ==，(),0b AC b ==，所以1123AG a b =+，1239AF a b =+，1123EG a b =−，3255AH a b =+．故选：ACD ．12．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB 的半径为1，2AOB π∠=，点C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且1CD =，点E 为AB 上的任意一点，则下列结论正确的是（）A ．OE AB ⋅的最小值为0 B ．EA EB ⋅的最小值为1C ．⋅EC ED 的最大值为1 D ．⋅EC ED 的最小值为0【答案】BCD 【解析】【分析】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，得()01，B ，()10，A ，设EOA θ∠=，则()cos sin 0,2，πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭E ，求出2sin 4πθ⎛⎫⋅=− ⎪⎝⎭AB OE ，利用θ的范围可判断A ；求出EA 、EB 的坐标，由14πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭EA EB ，利用θ的范围可判断B ；设()[](),00,1∈C t t ，可得(D ，求出EC 、ED ，由⋅EC ED ()1sin θϕ=−+，利用 t 、ϕ、θ，的范围可判断CD. 【详解】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，所以()01，B ，()10，A ，设EOA θ∠=，则()cos sin 0,2，πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭E ，()cos sin ，θθ=OE ， ()11，=−AB ，所以sin cos 4πθθθ⎛⎫⋅=−=− ⎪⎝⎭AB OE ，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,444πππθ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πθ⎡⎛⎫−∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以[]1,1⋅∈−AB OE ，OE AB ⋅的最小值为1−，故A 错误； ()1cos ,sin θθ=−−EA ，()cos ,1sin θθ=−−EB ，所以22cos cos sin sin 14πθθθθθ⎛⎫⋅=−+−+=+ ⎪⎝⎭EA EB ，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以114πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，1⎡⎤⋅∈⎣⎦EA EB ，EA EB ⋅的最小值为1B 正确；设()[](),00,1∈C t t ，又1=CD ，所以OD (D ，()cos ,sin θθ=−−EC t ，()cos sin θθ=−ED ，所以()22cos cos sin 1cos θθθθθθ⋅=++=−EC ED t t()1sin θϕ=−+，其中cos ϕϕ==t ，又[]0,1t ∈，所以[]cos ,sin 0,1ϕϕ∈，所以0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,ϕθπ+∈，()[]sin 0,1ϕθ+∈，()[]sin 1,0ϕθ−+∈−，所以[]0,1⋅∈EC ED ， ⋅EC ED 的最小值为0，故CD 正确.故选：BCD.13．（2022·辽宁·东北育才学校二模）对于非零向量m ，n ，定义运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉.已知两两不共线的三个向量a ，b ，c ，则下列结论正确的是（） A ．若a b ⊥，则⊗=a b a b B ．()()a b c a b c ⊗=⊗ C ．()a b a b ⊗=−⊗ D ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗【答案】AC 【解析】【分析】A. 由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；B.举例()()()1,0,0,1,0,1===−a b c 求解判断；C.设,a b 的夹角为θ，则,−a b 的夹角为πθ−，由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；D.举例()()()1,0,0,1,1,1===a b c ，由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；【详解】A. 因为a b ⊥，所以,90=a b ，则sin ,⊗==a b a b b a b a ，故正确；B. 若()()()1,0,0,1,0,1===−a b c ，则()()0,1,()0⊗=−⊗=a b c a b c ，所以()()⊗≠⊗a b c a b c ，故错误；C.设,a b 的夹角为θ，则,−a b 的夹角为πθ−，所以()sin ,()sin sin θπθθ⊗=−⊗=−−=a b a b a b a b a b ，则()a b a b ⊗=−⊗，故正确； D. 若()()()1,0,0,1,1,1===a b c ，则()0()()2,+=+=⊗⊗⊗a b c a c b c ，所以()()()+≠+⊗⊗⊗a b c a c b c ，故错误；故选：AC14．（2022·山东·模拟预测）已知在△ABC 中，AB =，2AB AM =uu u r uuu r，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM −C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒【答案】BC 【解析】根据条件先推出,M N 是中点，利用中线向量的表达式可判断AB 选项，利用0AN BC ⋅=可以判断C 选项，根据C 选项和题目条件可判断D 选项.【详解】因为2AB AM =uu u r uuu r，2CM CN =，所以,M N 分别为,AB CM 的中点，所以()1122AN AM AC =+=111242AB AC AB AC ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以24AB AC AN +=，故选项A 错误；由222AB AC AM AC −=−=2CM ，得()2AB AC CM −，故选项B 正确；因为AB =，()()12AN BC AC AM AC AB ⋅=+⋅− ()221111*********AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+⋅−=−−⋅=−⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AB AC ⊥，故选项C 正确；由AB AC ⊥，得tan 2AM AB ACM AC AC ∠== 则45ACM ∠≠︒，故选项D 错误. 故选：BC.15．（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3255AF AB AD →→→=+C ．1255BF AB AD →→→=−+ D ．13105CF AB AD →→→=− 【答案】ABD 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.对于A 选项，1122AE AB BE AB BC AB AB AD DC →→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+−++ ⎪⎝⎭11312242AB AB AD AB AB AD →→→→→→⎛⎫=+−++=+ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；对于B 选项，因为B ，F ，D 三点共线，设()1AF x AB x AD →→→=+−，由AF AE →→∥，所以存在唯一实数λ，使得AF AE λ→→=，结合A 可知，()3131114242x AB x AD AB AD x AB x AD λλλ→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=+⇒−=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为,AB AD →→不共线，所以303415102x x x λλ⎧−=⎪⎪⇒=⎨⎪−+=⎪⎩，所以3255AF AB AD →→→=+，故B 选项正确；对于C 选项，结合B ，2255BF AF AB AB AD →→→→→=−=−+，故C 选项错误；对于D 选项，结合B ，132********CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→=++=−−++=−，故D 选项正确. 故选：ABD.16．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（） A ．AG BG CG +=− B ．若2133AE AB AC =+，则EAC 的面积是ABC 面积的13C ．若2AB AC ==，3BC =，则76AB AG ⋅=D ．若2AB AC ==，3BC =，则当EA EB ⋅取得最小值时，37||2EA =【答案】AC 【解析】【分析】利用平面向量的基底表示，结合重心的性质，判断选项AB ，利用余弦定理计算角，根据平面向量的基底表示计算向量的数量积，从而判断选项CD.设AB 的中点为D ，则2GA GB GD +=，则2AG BG GD CG +=−=−，即2CG GD =，由重心性质可知成立，故A 正确；32AE AB AC =+，则22AE AC AB AE −=−，即2CE EB =，所以E 为边BC 上靠近点B 的三等分点，则EAC 的面积是ABC 面积的23，故B 错误；在ABC 中，由余弦定理得1cos 8A =−，则()211()33AB AG AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅=117422386⎡⎤⎛⎫+⨯⨯−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；由余弦定理得3cos 4ABC ∠=，所以2()EA EB EB EB BA EB EB BA ⋅=⋅+=+⋅=2||||EB EB BA +⋅22339cos()||||2416ABC EB EB EB π⎛⎫−∠=−=−− ⎪⎝⎭，则当3||4EB =时，EA EB ⋅取得最小值916−，此时()229337||422cos 16416=−=+−⨯⨯⨯∠=EA EB AB ABC ，37||4=EA ，故D 错误. 故选：AC【点睛】一般计算平面向量的数量积时，如果不能采用定义或者坐标公式运算时，可利用向量的基底表示，根据向量的线性运算法则将所求向量表示为已知向量的和或差进行计算.17．（2022·广东茂名·一模）已知点A 是圆C :()2211x y ++=上的动点，O 为坐标原点，OA AB ⊥，且||||OA AB =,O ，A ，B 三点顺时针排列，下列选项正确的是（）A ．点B 的轨迹方程为()()22112x y −+−= B ．||CB的最大距离为1C ．CA CB ⋅1 D ．CA CB ⋅的最大值为2 【答案】BD 【解析】【分析】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且，设点(),B x y ，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为()()22112x y ++−=，可判断A ；根据点到圆上距离的最值求解，可判断B ；设[0,90]CAO ,∠=θθ∈，将向量的数量积表示成关于θ的函数，可判断C ，D ；【详解】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且则点()1,0C −，设点()00,A x y ，设xOA α∠=，则2xOD πα∠=−，设||OA a =，所以，0cos x a α=，0sin y a α=，所以，0cos sin 2D x a a y παα⎛⎫=−== ⎪⎝⎭，0sin cos 2D y a a x παα⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭，即点()00,D y x −，因为()0000,OB OA OD x y y x =+=+−，设点(),B x y ，可得0000x x y y y x =+⎧⎨=−⎩，解得0022x y x x y y −⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为点A 在圆()2211x y ++=上，所以()220011x y ++=，将0022x y x x y y −⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入方程()220011x y ++=可得221122x y x y −+⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()()22112x y ++−=，所以A 是错的，所以CB的最大距离为1B 是对的，设,090CAO θθ︒∠=≤≤，2o ()1||||cos(90)CA CB CA CA AB CA CA AB CA AB ⋅=⋅+=+⋅=+⋅−θ 1|OA |sin 12cos sin 1sin 22=+=+=+≤θθθθ所以CA CB ⋅的最大值为2，D 是对的. 故选：BD18．（2021·全国·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是线段BC 上的两个三等分点（D ，E 两点分别靠近B ，C 点），则下列说法正确的是（） A ．AB AC AD AE +=+ B ．若F 为AE 的中点，则1344BF AC AB =− C ．若0AB AC ⋅=，1AB =，2AC =，则109AD AE ⋅=D ．若3AB AC AB AC +=−，且AB AC =，则60CAB ∠=︒ 【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点M ，则M 也是DE 的中点，根据向量的加法运算即可判断A ；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B ；根据平面向量数量积的运算律即可判断C ；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D. 【详解】解：对于A ，取BC 的中点M ，则M 也是DE 的中点，则有()()1122AM AB AC AD AE =+=+，所以AB AC AD AE +=+，故A 正确；对于B ，若F 为AE 的中点，则111251223363BF BA AF AB AE AB AB AC AB AC ⎛⎫=+=−+=−++=−+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为D ，E 分别为线段BC 上的两个三等分点，所以()()()111333AD AE AB BD AC CE AB BC AC BC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅+=+−=+− ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()221212122533333999AC AC AB AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−=+⋅+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，()21014099AC =⨯++=，故C 正确；对于D ，由A 选项得，2AB AC AM +=，由AB AC CB −=，因为3AB AC AB AC +=−，所以32AM CB =，即AM CM = 因为AB AC =，所以AM BC ⊥，AM 平分BAC ∠，在Rt AMC 中，tan AM ACB CM∠=60ACB ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以60CAB ∠=︒，故选：D. 故选：ACD.19．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G 为ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，AD mAB =，AE nAC =，0m >，0n >，记ADE ，ABC ，四边形BDEC 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A ．113m n+= B ．12S mn S = C ．1345S S ≥ D ．1345S S ≤ 【答案】ABC 【解析】【分析】连接AG 并延长交BC 于点M ，由三角形重心结合向量运算探求m ，n 的关系，再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答. 【详解】连接AG 并延长交BC 于点M ，如图，因G 为ABC 的重心，则M 是BC 边的中点，且23AG AM =uuu r uuu r，又D ，G ，E 三点共线，即(01)DG tDE t =<<，则有(1)AG t AD t AE =−+，而AD mAB =，AE nAC =，又()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，于是得11(1)33t mAB tnAC AB AC −+=+，而AB 与AC 不共线，因此，11(1),33t m tn −==，113(1)33t t m n+=−+=，A 正确；ADE 边AD 上的高为sin AE BAC ∠，ABC 边AB 上的高为sin AC BAC ∠，则121sin 2·1sin 2AD AE BAC S AD AEmn S AB ACAB AC BAC ⋅∠===⋅∠，B 正确；由A可知，11133m n =+≥23m n ==时取“=”，则有49mn ≥，即1249S S ≥，而121S S <，于是得11213212121141145119S S S S S S S S S S ==−=−≥=−−−−，C 正确，D 错误. 故选：ABC20．（2021·全国·模拟预测）已知向量()3,2a =−，()2,1b =r，(),1c λ=−，R λ∈，则（）A ．若()2a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=− C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(),1−∞− 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，根据两向量垂直时其数量积为0可求得λ的值；对于B ，根据向量相等建立方程组可求得λ、t 的值，即可得t λ+的值；对于C ，由模的计算公式求出a b μ+，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D ，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于0且两向量不共线即可求出λ的范围．【详解】对于A ，因为()21,4a b +=，(),1c λ=−，()2a b c +⊥，所以()()21410a b c λ+⋅=⨯+⨯−=，解得4λ=，所以A 正确；对于B ，由a tb c =+，得()()()()3,22,1,12,1t t t λλ−=+−=+−，则3221t t λ−=+⎧⎨=−⎩，解得93t λ=−⎧⎨=⎩，故6t λ+=−，所以B 正确；对于C ，因为()()()3,22,123,2a b μμμμ+=−+=−+，所以(2a b μμ+=− 则当45μ=时，a b μ+取得最小值为C 正确；对于D ，因为()1,3a b +=−，()24,1b c λ+=+，因为向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，所以()()()214310a b b c λ+⋅+=−⨯++⨯>，解得1λ<−；由题意知向量a b +与向量2b c +不共线，()11340λ−⨯−⨯+≠，解得133λ≠−．所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫−∞−⋃−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确．综上可知，选ABC ．故选：ABC.21．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，则（） A ．若π3C =，则6AB AO ⋅=uu u r uuu r B ．若()2BC BA AC AC +⋅=，则AB 为圆O 的一条直径C ．若OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，则OA ，OB 的夹角π3θ=D ．若20OA AB AC ++=，则22BC =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，结合正弦定理求出AB ，过点O 作⊥OD AB 于D ，得0DO AB ⋅=，然后将AB AO ⋅转化为()AB AD DO ⋅+uu u r uuu r uuu r 即可求解；对于B ，根据平面向量运算法则可由()20BC BA AC AC +⋅−=uu u r uu r uu u r uu u r 得到20BA AC ⋅=uu r uu u r，由此可作出判断；对于C ，将OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r 两边平方，利用向量的数量积运算求出cos θ的值，从而结合0OA OB ⋅>求得角θ；对于D ，由题设条件并结合平面向量的线性运算得到0OB OC +=，由此可作出判断. 【详解】对于A ，由正弦定理，得π2sin 22sin3AB R C ==⨯=过点O 作⊥OD AB 于D ，则0DO AB ⋅=，所以()AB AO AB AD DO AB AD AB DO ⋅=⋅+=⋅+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(22110622AB =+=⨯=uu u r ，故A 正确；对于B ，()()()220BC BA AC AC BC BA AC AC BC BA CA AC BA AC +⋅−=+−⋅=++⋅=⋅=uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r uu r uu u r ，所以AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的一条直径，故B 不正确；对于C ，由OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，两边平方，得288cos 16cos θθ−=，解得1cos 2θ=或cos 1θ=−，易知，0OA OB ⋅>，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，故C 正确；对于D ，由20OA AB AC ++=，得0OA AB OA AC OB OC +++=+=，所以点O 是线段BC 的中点，所以4BC =，故D 不正确.综上可知，选AC. 故选：AC22．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足2=a ，()2,2b =，且26a b +=，则下列结论正确的是（） A ．a b ⊥ B ．23a b +=C ．(2,a =或(2,a =−D ．a 与2a b +的夹角为45°【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，由26a b +=，两边平方求解判断；对于B ，由a b +平方求解；对于C ，设(),a x y =，由26a b +=求解判断；对于D ，利用夹角公式求解判断. 【详解】对于A ，由()2,2b =，得22b =，因为26a b +=，所以224436a b b a ⋅+=+，又2=a ，所以0a b ⋅=，a b ⊥，故A 正确；对于B ，因为22224812a b b a b a +⋅=+++==，所以23a b +=，故B 正确；对于C ，设(),a x y =，则2(4,4)a b x y +=++，22(4)(4)36x y +++=，解得0x y +=，从而(2,a =或(2,a =−，故C 正确；对于D ，()241cos ,22632a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，故D 错误. 故选：ABC23．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在直角三角形ABC 中，90,A AB AC ===点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则（）A ．点P 所在圆的半径为2B ．点P 所在圆的半径为1C ．PB PC ⋅的最大值为14D ．PB PC ⋅的最大值为16【答案】AC 【解析】【分析】Rt ABC 斜边BC 上的高即为圆的半径；把求PB PC ⋅的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求42PA PM +⋅的最大值，从而判断出P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时取最大值. 【详解】设AB 的中点为M ，过A 作AH 垂直BC 于点H ，因为90,A AB AC ===所以5BC =，52AM =，所以由1122AB AC BC AH =，得2AB AC AH BC ==，所以圆的半径为2，即点P 所在圆的半径为2，所以选项A 正确，B 错误；因为PB PA AB =+，PC PA AC =+，0AC AB ⋅=，所以()()2·PB PC PA AB PA AC PA PA AC AB PA ⋅=++=+⋅+⋅ ()242AC A PA PA PA B PM =+⋅+=+⋅ ，所以当P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时，2P PA M ⋅取最大值，且最大值为()max52222102PA P PM A PM ⋅=⋅=⨯⨯=，所以PB PC ⋅的最大值为41014+=，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC.24．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中2,333COD OC OA π∠===，动点P 在CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）图1 图2 A ．若y x =，则23x y += B ．若2y x =，则0OA OP ⋅= C ．2AB PQ ⋅≥− D ．112PA PB ⋅≥【答案】ABD 【解析】【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈ ，可得(3cos ,3sin )P θθ，由OQ xOC yOD =+，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C ，D. 【详解】如图，作OE OC ⊥ ,分别以,OC OE 为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则13(1,0),(3,0),((22A C B D −− ,设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈ ，则(3cos ,3sin )P θθ,由OQ xOC yOD =+可得3cos 3,sin 2x y y θθ=−= ，且0,0x y >> ，若y x =，则22223cos sin (3))12x x θθ+=−+=，解得13x y == ，（负值舍去），故23x y +=，A 正确；若2y x =，则3cos 302x y θ=−=，(1,0)(0,1)0OA OP ⋅=⋅=，故B 正确；3((2cos ,2sin )3cos )23AB PQ πθθθθθ⋅=−⋅=−=− ，由于[0,]3θ2π∈，故[,]333πππθ−∈−，故)33πθ−≥−，故C 错误；由于1(3cos 1,3sin ),(3cos ,3sin 2PA PB θθθθ=−=+，故1(3cos 1,3sin )(3cos ,3sin 2PA PB θθθθ⋅=−⋅+173sin()26πθ=−+ ，而5[,]666πππθ+∈，故173sin(17)2611322PA PB πθ⋅=−+≥−=，故D 正确，故选：ABD25．（2022··一模）平面向量,,a b c →→→，满足1a →=，2b →=且a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，20→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a c b ，则下列说法正确的是（）A ．2→→+=a b B ．a →在b →方向上的投影是1C ．c →1 D ．若向量m →满足2→→⋅=m a ，则→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值是54【答案】ACD 【解析】【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A 选项；根据a →在b →方向上的投影是cos a b a bθ→→→→⋅=进行计算，即可判断B 选项；设,,OA a OB b OC c →→→→→→===，根据题意可知OA BA ⊥，并取2→→=OD OA ，从而得出动点C 在以BD 为直径的圆上，设BD 的中点为E ，从而得出max 1=+OC OE ，即可判断C 选项；设→→=OM m ，由2→→⋅=m a 可知故M 在垂线l 上，根据向量的加减法运算得出22→→→→→⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭m m b MF OF ，过F 作l 的垂线，垂足为1M ，可知2221924+⎛⎫≥== ⎪⎝⎭OD AD MF M F ，即可求出→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值，从而可判断D 选项. 【详解】解：因为1a →=，2b →=且a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，则20a a b →→→−⋅=，所以1a b →→⋅=，又221,4→→==a b ，则22224412→→→→→→+=+⋅+=a b a a b b ，则2→→+=a b A 正确；由于a →在b →方向上的投影是1cos 2θ→→→→⋅==a ba b，故B 错误；设,,OA a OB b OC c →→→→→→===，由于a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，即→→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭OA OA OB ，故OA BA ⊥，因为20→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a c b ，取2→→=OD OA ，则0→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OC OD OC OB ，所以0→→⋅=DC BC ，所以动点C 在以BD 为直径的圆上，如图， 1,2==OA OB ，则2OD =，2BD =，设BD 的中点为E ，OB 的中点为F ，过D 作OD 的垂线l ，则max 1=+OC OE ，因为OE =c →1，故C 正确；设→→=OM m ，因为2→→⋅=m a ，即2→→⋅=OM OA ，则cos 2→→⋅∠=OM OA AOM ，所以cos 2→∠==OM AOM OD ，故M 在垂线l 上，而→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅−=⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭m m b OM BM MF FO MF FB ，又F 是OB 的中点，所以→→=−FB FO ，则22→→→→→⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭m m b MF OF ，过F 作l 的垂线，垂足为1M ，则2221924+⎛⎫≥== ⎪⎝⎭OD AD MF M F ，又1OF =，所以2295144→→→→→⎛⎫⋅−=−≥−= ⎪⎝⎭m m b MF OF ，所以→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值是54，故D 正确.故选：ACD.。

高考数学平面向量多选题复习题附解析

高考数学平面向量多选题复习题附解析一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1，以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确，同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P为Rt△ABC的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．如图，A､B分别是射线OM､ON上的点，下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（）A．2OA OB+B．1123 OA OB+C．3143OA OB+D．3145OA OB+【答案】AC【分析】利用向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，等价于存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP uOA vOB=+成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB=+，且u>0，v>0，u+v>1.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP uOA vOB=+成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB=+，且u>0，v>0，u+v>1.证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''，而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确；对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确；对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确；对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确；故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.3．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（）A ．13BF FC =B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以11cos,sin,cos,sin33FD FEαααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8 cos,FD FEFD FEFD FE-⋅<>==⋅⎛，84(1,]5---，故正确；D. 由FC FD FEλμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OFλμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．下列说法中错误的为（）A．已知(1,2)a=，(1,1)b=，且a与a bλ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞⎪⎝⎭B．向量1(2,3)e=-，213,24e⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C．若//a b，则a在b方向上的投影为||aD．非零向量a和b满足||||||a b a b==-，则a 与a b+的夹角为60°【答案】ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a=，(1,1)b=，a与a bλ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a bλλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a与a bλ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A错误；对于B，向量12(2,3)4e e=-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅，则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.6．下列各式结果为零向量的有（） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误；对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =，则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题8．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.9．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD 【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -，(),0C a ，则()3PA x a y =--，(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+2222xy =+-即()PA PB PC ⋅+22232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥- 故选：BCD. 【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（）A ．1-B ．113C ．32+ D ．32【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。

平面向量部分填空题练习(含答案)

平面向量部分填空题练习1、若向量),(8λ=a 的长度为17，则λ的值是。

2、把函数22x y -=的图象按a平移，得到1422---=x x y 的图象，则=a 。

3、已知下列命题： ①0=++CA BC AB ；②若向量),(43-=,则AB 按向量),(12-=a平移后的坐标仍是),(43-；③向量b 与向量a 的方向相反,是b 是a 的相反向量的充分不必要条件；④已知点M是△ABC 的重心，则0=++MC MB MA ，其中正确命题的序号是（写出符合条件的全部序号）4、设向量a =(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b = 。

5、已知：|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb -a 垂直，则λ= 。

6、已知|a |=3,|b |=5，如果a ∥b ，则a ²b = 。

7、在菱形ABCD 中，（+）²（-）= 。

8、若)1,0(),0,1(==，则与43+垂直的单位单位向量是_____________________.9、若5||,8||==，则||的取值范围是______________.10、已知点)542,(),4,6(),2,4(---x C B A 三点共线,则C 点分AB 的比λ=____________, x =______________.11、若直线20x y m ++=按向量(1,2)a =--平移后与圆22:240c x y x y ++-=相切，则实数m 的值为．12、已知向量→a ，→b 满足2a =，3b =，两向量的夹角为60°，则a b a b+=- . 13、设j ,是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，47,24+=-=，63+=，则四边形ABCD 的面积是 .14、非零向量（a ＋b ）与（2a －b ）互相垂直，（a －2b ）与（2a －b ）互相垂直，则向量与的夹角为 ;15、抛物线y ＝4x 2按向量a ＝（1，2）平移后，其顶点在一次函数y ＝2b x 21+的图象上，则b ＝；16、在△ABC 中，sinA : sinB : sinC ＝2 : 3 : 4，则∠ABC ＝（结果用反三角函数值表示）。

高考数学平面向量多选题知识点及练习题附解析

高考数学平面向量多选题知识点及练习题附解析一、平面向量多选题1．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确；13,63ED ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，13,2BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.2．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()21225a e e =+==B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为327a b b-⋅==，故D 正确。