空间的角-课件

P_作__另__一__个__面__的___垂__线__，__过__垂__足__A__作__棱__的__垂__线__，__垂____ _足___为__B_连__P_B____.于是∠PBA(或其补角)是二面角的
平面角．
(3) 垂 面 法 ： 过 二 面 角 的 棱 上 一 点 作 平 面 __与__棱__垂__直__，分别交两个面的交线，构成二面角的 平面角． 常用面积的射影定理来求二面角，即_S_c_o_s_θ_＝S 射， 它的优点是不必作出二面角的平面角．
(2)取 AD 的中点 F 连 CF、D1F ∵E 是 BC 的中点，∴CE 綊 AF
∴CF∥AE，CF 和 CD1 所成的角为所求
在△ D1FC 中，D1F＝ 25a，CF＝ 217aD1C＝ 5
a∴，cos∠D1CF＝5a22＋1547a2127－a254a2＝8
85 85
即异面直线所成角的余弦值为8
由已知 AC＝2 6，则 AB＝
2 6× 22＝2 3. 由13×(2 3)2×OS＝12，解得 OS＝3.
在 Rt△SOE 中，tan∠SEO＝
OOES＝
3＝ 3
3，
∴∠SEO＝π3，即侧面与底面 所成二面角等于π3.
【答案】
π 3
5．如图所示，已知 AB 为平 面 α 的一条斜线，B 为斜足， AO⊥α，O 为垂足，BC 为 α 内 的 一 条 直 线 ， ∠ABC ＝ 60°，∠OBC＝45°，则斜线 AB 和平 面 α 所成的角为 ________．
(4)向量法：两个半平面的法向量的夹__角__或__补__角__为
二面角的平面角．
• 1．平面α的斜线与α所成的角为30°， 则此斜线和α内所有不过斜足的直线 中所成的角的最大值为( )
• A．30°
B．60°
• C．90°
D．150°
• 【解析】 本题易误选D，因斜线和α
内所有不过斜足的直线为异面直线，
故最大角为90°.
• 【答案】 C
2．空间四边形 ABCD 中，已知 AB＝3，
BC＝2 5，CD＝4，AD＝ 5，BD＝2，则
AC 与 BD 所成角的大小是( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】 ∵( 5)2＋22＝32， 22＋42＝(2 5)2， 即 AD2＋BD2＝AB2，DC2＋BD2＝BC2， ∴BD⊥AD，BD⊥DC. ∴BD⊥平面 ADC. 又 AC ⊂平面 ADC， ∴BD⊥AC，即异面直线 AC 与 BD 所成角为 90°.
∴PD＝ 3.于是 P(0,0， 3)，B( 6，0,0)，C(0，
6，0)， A(0，－ 6，0)，A→C＝(0,2 6，0)． 设平面 PBC 的法向量 n＝(a，b，c)，P→B＝( 6，
0，－ 3)， P→C＝(0， 6，－ 3)，
由 n⊥P→B，及 n⊥P→C得
6a－ 6b－
3c＝0， 3c＝0，
成的角成为相交直线的交角；
• (2)当直接过异面直线上的点平移直线 有困难时，可利用题设中的特殊点(如 中点等)将异面直线分别平移至该点或 考虑两异面直线是否垂直；
• (3)通过构造辅助平面、辅助几何体来 平移直线．
[教师选讲]如图所示，在直三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， ∠ACB ＝ 90°， AA1 ＝ 2 ， AC ＝BC＝1，则异面直线 A1B 与 AC 所 成 角 的 大 小 是 ________(结果用反三角函数 值表示)
∴PB⊥平面 AFC. ∴平面 AFC⊥平面 PBC，交线是 CF. ∴直线 AC 在平面 PBC 内的射影为直线 CF， ∠ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角． 在等腰 Rt△ABC 中， ∵AB＝BC＝2 3，∴DA＝DC＝DB＝ 6. 在 Rt△PDC 中，∵PC＝3，∴PD＝ 3.
斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的
一切直线所成角中__最__小__的__角___．
公式 cos θ＝_c_o_s_θ_1_·c_o_s__θ_2 _.
斜线 AB 与平面 α 所成的角为 θ1，A 为斜足， AC 在 α 内，且与 AB 的射影成 θ2 角，∠BAC ＝θ，则有_c_o_s_θ_＝__c_o_s_θ_1_·c_o_s__θ_2 .
(2)过点 C 在平面 VCD 内作 CH⊥VD 于
H，则由(1)知 CH⊥平面 VAB.
连结 BH，于是∠CBH 就是直线 BC 与
平面 VAB 所成的角，
在
Rt△CHD
中，CH＝
2 2 asin
θ，
设∠CBH＝φ，在 Rt△BHC 中，
CH＝asin
φ，∴
2 2 sin
θ＝sin
φ.
∵0＜θ＜π2，∴0＜sin θ＜1,0＜sin φ＜
不失一般性不妨取 n＝(1,1， 2)，
设 AC 与平面 PBC 所成角为 θ，
sin θ＝|cos〈A→C，n〉|＝|A→A→CC|··n|n|
＝0＋2 2
66·2＋0＝12.
∴θ 为 30°，即 AC 与平面 PBC
所成角为 30°.
求直线与平面所成角的方法： (1)几何法：过直线上一点作平面的垂线，连结 垂足和斜足得射影，则斜线和射影所成的角即 为所求； (2)cos θ＝cos θ1·cos θ2 来求；(公式图示如图) (3)向量法：将直线与平面所在的角转化为直线 的方向向量与平面的法向量的夹角(或其补角) 的余角．
【答案】
arccos
6 6
直线与平面所成的角
三棱锥 P—ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，PA＝PB＝PC＝3. (1)求证：AB⊥BC； (2)设 AB＝BC＝2 3，求 AC 与平面 PBC 所 成角的大小．
• 【思路点拨】 (1)面面垂直→线面垂 直→线线垂直
• (2)找角—求解三角形或用向量法
第四节 空间的角
1.掌握两条直线所成的角的
考纲 点 击
概念. 2.掌握直线和平面所成的角
的概念．
3.掌握二面角、二面角的平
面角的概念．
热 点 提 示
1.以客观题考查异面直线所成 的角．
2.以解答题考查直线和平面所 成的角及二面角，特别是求 二面角的平面角.
1．异面直线所成的角
在空间取一点 O，过 O 点分别作两异面直线 的平___行_线所成的__锐__角__或__直__角___叫做两条异 面直线所成的角．其取值范围是__0_，__π2_ _.
∠SAO＝ASAO＝
3 6.
【答案】 A
4．已知正四棱锥的体积为 12，底面对角 线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面 角等于________．
【解析】 如图所示，S—ABCD 为正四棱锥， 连结 AC、BD 交于 O 点，点 E 为 BC 边的中 点，再连结 OS、OE、SE，则∠SEO 为侧面 与底面所成二面角的平面角，SO 为棱锥的高
在 Rt△PDB 中，DF＝PDP·BDB＝
3× 3
6＝
2，
在 Rt△FDC 中，tan∠ACF＝DDFC＝
2＝ 6
33，
∴∠ACF＝30°，即 AC 与平面 PBC 所成角为
30°.
方法二：如图所示，∵AB＝BC， ∴BD⊥AC. ∴以 D 为坐标原点，分别以 DB、DC、DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 在等腰 Rt△ABC 中， ∵AB＝BC＝2 3，∴DA＝DC ＝DB＝ 6. 在 Rt△PDC 中，∴PC＝3，
1．如图所示，在三棱锥 V—ABC 中，VC⊥底面 ABC， AC⊥BC，D 是 AB 的中点，且 AC ＝ BC ＝ a ， ∠VDC ＝
θ0＜θ＜π2. (1) 求 证 ： 平 面 VAB⊥ 平 面 VCD； (2)当角 θ 变化时，求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值 范围．
【解析】 (1)证明：∵AC＝BC＝a ∴△ABC 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点． ∴CD⊥AB，又 VC⊥底面 ABC， ∴VC⊥AB.于是 AB⊥平面 VCD， 又 AB⊂平面 VAB，∴平面 VAB⊥平面 VCD.
(1)求证：MN∥平面 ADD1A1； (2)求异面直线 AE 和 CD1 所成角的余弦值．
【思路点拨】 (1 )挖掘图形中的平行关系， 然后利用“线线平行 线面平行 面 面平行”相互转化． (2)求异面直线所成的角，需要平行移动空 间直线，给出中点的问题常借助于三角形 的中位线平移．
【自主解答】 (1)证明：取 CD 的中点 K， 连结 MK，NK. ∵M，N，K 分别为 AE，CD1，CD 的中点， ∴MK∥AD，NK∥DD1， ∴MK∥面 ADD1A1，NK∥面 ADD1A1， ∴面 MNK∥面 ADD1A1， 又∵MN⊂面 MNK， 从而 MN∥面 ADD1A1.
【答案】 A
3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于
()
3 A. 6
3 B. 4
2 C. 2
3 D. 2
【解析】 如图所示，正三棱锥 S—ABC
中设底边长为 a，侧棱长为 2a，O 为底
面中心，易知∠SAO 即为所求
∵AO＝
3 3a
∴在 Rt△SAO 中
cos
作二面角的平面角的常用方法有：
(1) 定 义 法 ： 根 据 定 义 ， 以 棱 上 任 一 点 为 端 点 ，
分__别___在__两__个__面__内__作__垂__直___于__棱__的__射__线__，则形成二面角
的平面角．
(2) 三 垂 线 法 ： 从 二 面 角 一 个 面 内 某 个 特 殊 点
【解析】 由斜线和平面所成的角的定义，
可知∠ABO 为 AB 和 α 所成的角．因为 cos
∠ABO＝ccooss∠∠ACBBCO＝ccooss