向量的减法运算及其几何意义教案 .doc
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量的减法
C
b
ab
ab
a
发现：
以不共线向量a, b为邻边的平行四边形中， 一条对角线表示两个向量的和向量， 另一条对角线表示两个向量的差向量.
例3、不共线向量a, b, 满足什么条件时下列结论成立？
1 a b a b ； a b
b
ab
C
2a b a b ；a b
ab
3
ab
平分a与b之间的夹角； a
CD AE c BC AC AB b a BE AE AB c a CE AE AC c b BD AD AB AC AE AB b c a 或BD BC CD b a c
练习
1．梯形 ABCD 中，AB∥DC，AC 与 BD 交于点 O，则A→D－B→D＋
∴D→E＝E→A，B→F＝F→C. ∴E→F＋E→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F ＝D→E＋A→O＋O→B＋F→C＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F ＝(A→O＋O→B)＋(D→A＋A→O＋O→B＋B→C) ＝A→B＋(D→O＋O→C)＝A→B＋D→C. [规律方法] (1)本例用向量的加减运算解决，而不必考虑图形是 平面图形还是空间图形，体现了向量的优点． (2)本结论可以看作梯形中位线定理的推广．
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
4 AC BO OA DC DO OB ___0___；
ห้องสมุดไป่ตู้
向量的减法运算(教学设计)
6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7． 学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量的减法运算概念，掌握向量减法的运算规则。
2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 向量的减法定义：已知两个向量a和b，则向量a减去向量b，记作a-b，其结果是一个向量。
2. 向量减法的运算规则：(1) 交换律：a-b = b-a(2) 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)(3) 分配律：a-(b+c) = (a-b)-c3. 向量减法的几何意义：(1) 表示起点相同，终点不同的两个向量之间的“差”。
(2) 表示从一个向量的终点返回到起点的“反向向量”。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的减法定义、运算规则及几何意义。
2. 教学难点：向量减法的运算规则及几何意义的理解和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的向量减法运算。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固向量减法的知识和技能。
五、教学步骤1. 导入新课：回顾向量的基本概念，引导学生思考向量的减法运算。
2. 讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。
3. 分析实际问题，运用向量减法解决问题。
4. 布置练习题，让学生巩固向量减法的知识和技能。
5. 总结本节课的主要内容和知识点，强调向量减法的重要性和应用价值。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量减法概念、运算规则及几何意义的理解和掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对向量减法的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的沟通能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 向量加法与减法的关系：引导学生思考向量加法与减法之间的联系和区别。
2. 向量减法在实际问题中的应用：举例说明向量减法在物理学、工程学等领域的应用。
3. 向量减法的进一步研究：引导学生探讨向量减法的性质和规律，提高学生的研究能力。
2. 2. 2向量减法运算及其几何意义
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教案重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教案难点：减法运算时方向的确定.教案思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，.二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法<1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a。
易知-(-a> = a.<2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. 。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a> = 0如果a、b互为相反向量，则 a = -b， b = -a，a + b = 0<3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a 与b的差.即：a-b = a + (-b> 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-bA作法：在平面内取一点O，作= a，= b 则= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1︒表示a-b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
b5E2RGbCAP2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a +(-b>4．探究：OABaBb-bBa+abO abBaba-b１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a -b ？ 三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 例2、平行四边形中，a，b ， 用a、b 表示向量、.p1EanqFDPw 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？ 变式三：a+b 与a -b 可能是相等向量吗？A OOB C5． 练习：1。
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
向量减法运算及其几何意义(数学-优秀课件)说课讲解
做一做
1、若 a , b 是互为相反向量,那么
a =_–_b__, b =_–__a_, a + b =_0___
2 、– ( – a)=___a___
a + b 的相反向量是_–_(_a__+_b_) a +(– b)的相反向量是_–_[a__+_(_–__b_)_]
a
b
Oa A
b
a-b
B
特点:1.同一起点，向被减
小结
1、向量减法的定义及运算 不共线
2、向量减法的作图 共线
同向
不同向
2.减法化加法
学案例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
B D
书本87 第1题
A
d cd
b
C a
c
O
向量的减法 书本87 第2题
1.共线同向 a
2.共线反向 a
AC
B
B
AC
若 a ， b 方 向 相 反 ， |a b | |a | |b | 若 a ， b 方 向 相 同 ， |a b | |a | |b （ | 或 |b | |a |）
若 a ， b 不 共 线 ， 则 | a b | | a | | b |
任 意 向 量 a ， b ， 有 | | a | | b | | | a b | | a | | b |
例2：选择题
D
C
例3：如图，平行四边形ABCD，AB= ，
AD= ，用 、 表示向量AC、DB。
D
2.2.2《向量减法运算 及其几何意义》
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
教学设计3：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排：1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？ 引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量． 于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ， 所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a ∥b ，怎样作出a －b 呢？ 讨论结果：①AB →＝b －a . ②略．应用示例例1 如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量． 作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . 则BA →＝a －b ，DC →＝c －d . 变式训练在ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →－BC →＝0【解析】A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →－BC →＝AD →＋DA →＝0正确． 【答案】C例2 如图4，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系． 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ， 同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b . 变式训练1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C.a ＋b －c D ．a －b －c解析：如图5，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图5答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线且AB ＝a ，AD ＝b .图6由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . 由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直) ③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等) ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟. 例3 判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同． (2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点． (4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同； 若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量， 此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论． (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |. 综上所述，只有(2)正确．例4 若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13) 【解析】BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13. 【答案】C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解. 变式训练已知a 、b 、c 是三个非零向量，且两两不共线，顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且两两不共线， (1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ， 另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 由于CA →与AC →是一对相反向量， ∴有AC →＋CA →＝0， 故有a ＋b ＋c ＝0.(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0， ∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．作业课本习题2.2 A 组6、7、8.设计感想1．向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．。
数学高中向量的减法教案
数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。
教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。
教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。
二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。
2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。
三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。
2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。
四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。
在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
2.2.2向量减法运算及其几何意义
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：李水尧 审阅人：高一数学备课组 2010-3-181 §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义一、学习目的：1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物之间可以相互转化的辩证思想.二、教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.三、自学设计1、与向量a 的向量，叫做a 的相反向量，记作 ， 零向量的相反向量是 。
2、()a -- = ，a +（a - ）= 。
3、若a 、b 是相反向量，则a = ，b = ，a +b = 。
4、向量a 加上b 的相反向量，记作：a b - = ，即减去一个向量， 等于加上这个向量的_______________。
5、如右图，根据向量加法，____BC a += ，从而有_________a =-6、向量减法的几何意义：a b - 可以表示为从_____的终点指向_______的终点的向量。
在右图中作出c d - 。
7、阅读例3，例4.四、达标练习（A ）1、完成P87练习1，2，32、化简：____AB C B -= ；O P -Q P +PS+SP ____= ；()()____AB C D AC BD ---=（B ）3、在矩形ABCD 中，AC =A ．BC +BAB ．AB+DAC ．AD +CD D ．AD +DC4、平行四边形ABCD 中， AB + CA + BD 等于（ ）.A.ABB.CDC.DCD. BA5、若向量||2,||3a b == ，则||a b - 的最大值是_________，最小值是______________.五、课后拓展延伸如图，平行四边形ABCD 中，O 为对角线交点，设,O A a O B b ==用,a b 表示,,,O C B O A D A B 。
第二章__2[1].2.2__向量的减法运算及其几何意义
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第二章 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图. 教学难点：对向量减法定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）熟记：=+及封闭图形的加法。
2.特殊情况：共线向量的加法用三角形法则：abba +ba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+003.≤|a +b |≤|a |+|b |当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|+|<||+||;当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.4.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加如：封闭图形的向量和为零向量。
注意：非0 5.熟记：=+6．向量加法的交换律：可以证明：+=+ 7．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )8．回答速度、位移、力等向量的量须讲清大小和方向。
回顾讨论：用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：如图所示，设O 是四边形ABCD 两条对角线的交点，且OA=OC ，OB=OC ，即AO =OC ,BO =OD .因为AD =AO +OD =OC +BO =BO +OC =BC且A 、D 、B 、C 不在同一直线上，故四边形ABCD 是平等四边形。
二、讲解新课： 向量的减法：1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 2．为加法的逆运算 3．求作差向量：用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )可简化为：减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作= a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减向量，熟记：CB AC AB =-2︒ a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b三、讲解范例：例1．（P86例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .a -bABB’ a -ba ab bO A OBa -bBA O-b解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2．（P86例4）平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：= a + b ， = - = a -b记忆：AB AD DB -=箭头指向被减向量实际上a - b 是平行四边形的另一条对角线练习：P87 1、2（教师讲解）并(1):0(2):()()()0AB AC BD CDCB BD CD CD CD OA OC BO COOA BO OC CO OA OB BA-+-=+-=-=+++=+++=-+=化简解原式化简解原式 回顾例2并探究1：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 探究2：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 探究3：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？当且仅当0b =时成立.探究4：证明：b a b a b a +≤±≤-,并说明什么时候取等号？当a 、b不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得b a +=<=+b a -=->=+ ABCbad cDOA BD C即b a b a b a +<+<-探究5：)2+=例3,,120||||3||||o AB a AD b DAB a b a b a b如图已知向量，，且，求和==∠===+-||||3||||||||12060||3|O OAB AD ABCD AD AB AC a b DB a bAC a b DB a b DAB DAC ADC AC AOD OD ===+=-=+=-∠=∠=∆=∆解：以、为邻边作平行四边形，由于，故此四边形为菱形由向量的加减法知 ，故，因为，所以所以是正三角形，则由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，|||sin 603||3o AD a b ===+=所以，由)2++=+，得||a b -=备用1：例4 如右图所示，P 、Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP=QC ，求证：+=+AQ证明：)()()(=+=-+-=+-+∴-=∴=QC BP所以+=+AQ备用2：如图三角形ABC 外接圆的圆心为O ，三条高线的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：（1）=+（2）=++证明：1）因为=-所以=-=+ 2）因为BD 是直径，所以︒=∠=∠90BCD BAD ，所以AE //CD ，AD//CH所以四边形AHCD 为平等四边形，所以=AH DC ，所以=+=+=++方法二：OH OA AH =+四.小结：向量减法的定义、作图法|五.作业：P91 A组第4⑷⑸⑹⑺、6、7、8、11、题；作业本：P34 2.2.2。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班 制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的 向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有 －（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量 ，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量。 又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能 用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学案
2.2.2向量的减法运算及其几何意义 学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； .学习过程一、课前准备P87）复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则. 二、新课导学※ 探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a r 的向量，叫做a r 的相反向量，记作a -r .零向量的相反向量仍是 . 问题2：任一向量a r 与其相反向量a -r 的和是什么？ 如果a r 、b r 是互为相反的向量，那么a =r ， b =r ，a b +=r r .1、 向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+v v a b 是互为相反的向量，那么v a =____________，v b =____________，+v v a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-r r 的作图方法.3、已知v a ，v b ，在平面内任取一点O ，作==u u v v u u v v ,OA a OB b ，则__________=-v v a b ，即-v v a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量v a 的终点到v b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 例1、阅读并讨论P86例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A. AB →＝DC → B. AD →＋AB →＝AC→ C. AB →－AD →＝BD → D. AD →＋CB→＝ 例2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+u u u r u u u r u u u r ；⑵OE OA EA -+u u u r u u u r u u u r .变式：化简AB FE DC ++u u u r u u u r u u u r .三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差； -起点，终点和指向。
2.2.2--向量减法运算及其几何意义(2)
思考2：如果向量 与a 反b向，如何作出向量 a b?
b
a
ab
第9页，共25页。
思考3：设向量 与a 不b共线， 作OA a,OB b,由
OB BA OA可得什么结论？aO Nhomakorabeaa
A
b
b
ab
B BA OA OB.
第10页，共25页。
思考4：设向量 a与不b 共线，作 OA=a，OB=b，OC=－b，
向量 AC，DB 吗？
D
C
解：由向量加法的平行四
b
边形法则，
得 AC a b;
A
B
a
由向量的减法可得，
DB AB AD a b.
注意向量的方 向
第17页，共25页。
1.如图，已知 a,b, 求作 a b.
（2）
（1） a
ab
a
b
（3）
b
a
（4）
ab
a
b
b
a
ab
b b
第18页，共25页。
a b b a； (a b) c a (b c)； | a＋b || a |＋| b |； | a+b ||| a |－| b || .
第3页，共25页。
向量是否有减法？如何理解向量的减法？
我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数， 向量的减法是否也有类似的法则？
第4页，共25页。
0； a.
思考2：a 的相反向量是什么？零向量 0的相反向量
是什么？
-(-a) a, 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
第6页，共25页。
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个
数的相反数.据此原理，向量 a可－以b怎样理解？
4.向量的减法运算及其几何意义
方法技巧感悟
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算，在用三角形法则
作向量减法运算时，一定要把两向量起点平移至同一点，
同时注意差向量的箭头指向被减向量的终点．2.运用向量
减法法则运算的常用方法
3.化简向量表达式时，注意运用下列技巧． (1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．
课时小结:
(一)知识 1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则 (二)重点 向量减法的定义、向量减法的三角形法则
b
A
a
c
O
C
B
证明： b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
→ → → 思考：若在本例 4 中，令AB＝a，BC＝ b，OD → ＝ c，又如何求证 c＋a－b＝OB呢？
→ → → → → 证明：∵c＋a＝OD＋AB＝AB－OB＝AO， → → → → → 而 b＋OB＝BC＋OB＝OC＝AO， → → ∴c＋a＝b＋OB，即 c＋a－b＝OB.
3.如图所示， D、 E、 F 分别是△ ABC 的边 AB、 → → BC、 CA 的中点，则AF－DB等于(
→ A.FD → C.FE → B.FC → D.BE
D
)
→ → → → 解析：选 D.由题图可知DB＝AD，则AF－DB → → → ＝ AF － AD ＝ DF . 又由三角形中位线定理知 → → DF＝BE.
３、任一向量和它相反向量的和是零向量
向量的减法 (1)定义：a－ b＝ a＋ (－b)，即减去一个向量相
相反向量 当于加上这个向量的 _______________ ．
(2)几何意义：已知 a、 b，在平面内任取一点 → → → O，作OA＝ a，OB＝ b，则BA＝a－b，即 a－ b
高中数学向量减法教案
高中数学向量减法教案
教学目标：
1. 了解向量减法的定义与性质；
2. 熟练掌握向量减法的运算方法；
3. 能够解决相关的数学问题。
教学重点：
1. 向量减法的定义；
2. 向量减法的运算方法。
教学难点：
1. 理解向量减法的几何意义；
2. 运用向量减法解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备课件、黑板、白板笔等教学工具；
2. 学生准备笔记本、铅笔等学习工具。
教学步骤：
一、导入：通过引导学生回顾前几节课的知识，复习向量的定义和向量的加法，激发学生对本节课内容的学习兴趣。
二、讲解：介绍向量减法的定义和性质，引导学生理解向量减法的几何意义，并演示向量减法的运算方法。
三、练习：让学生进行相关的练习，包括计算向量的减法并求解具体的数学问题。
四、拓展：引导学生思考向量减法在实际生活中的应用，并提出相关问题，让学生运用向量减法解决实际问题。
五、总结：对本节课的内容进行总结，强调向量减法的重点及运用方法，帮助学生加深对向量减法的理解。
六、作业：布置相关的作业，让学生巩固向量减法的知识点，并在下节课前完成作业。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握向量减法的定义与性质，熟练运用向量减法的运算方法，并能够解决相关的数学问题。
同时，应该能够加深对向量减法的理解，提高解决实际问题的能力。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.2向量的减法运算及其几何意义
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
③若 a 与 b 反向，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
本 课 时 栏 目 开 关
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
研一研·问题探究、的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：
仍是零向量
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
对比项 对 比
本 课 时 栏 目 开 关
实数的减法
向量的减法
(3)互为相反数的 (3) 两个相反向量的和是 和是零
零向量
内 容
(4)实数的减法：减 (4)向量的减法：减去一个 去一个数等于加上 向量相当于 加上这个向量 这个数的相反数
的相反向量
根据相反向量的含义，完成下列结论： → → (1)－AB＝___ a； BA ；(2)－(－a)＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
3．向量减法的平行四边形法则 → → 以向量AB＝a，AD＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则
本 课 时 栏 目 开 关
→ → 对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b. 4．向量减法的三角形法则 → → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b， 即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
本 课 时 栏 目 开 关
请你利用平行四边形法则作出差向量 a－b.
解 利用平行四边形法则． → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
→ → → 作OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四 → 边形 OAEC，则OE＝a－b.
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2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转
化的辩证思想 .
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中，CB BA AD . 解：
CB BA AD CA AD CD
二、提出课题：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法
（ 1）“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量 .记作 a
（ 2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0
如果 a、 b 互为相反向量，则 a = b， b = a， a + b = 0
（ 3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .
即： a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：
若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量 a b
∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a
a O a
作法：在平面内取一点O，
b
作 OA = a，AB = b 则 BA = a b b
a b
B
即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 . 注意： 1 AB表示 a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2 用“相反向量”定义法作差向量， a b = a + ( b)
B’
a b a+ ( b)
O a
b A
b b
B
4．探究：
１）如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.
２）若 a∥ b，如何作出 a b？
a a
b a b
O B A B’O BA
b
a a
b a b
b O A b B B O A
三、例题：
例一、（ P86 例三）已知向量a、 b、 c、d ，求作向量 a b、 c d.
解：在平面上取一点O，作OA = a，OB = b，OC = c，OD = d，
作BA，DC，则 BA = a b，DC= c d
A B
D D C
d
b
a
c
A B
C
O
例二、平行四边形ABCD 中， AB a，AD b，用 a、 b 表示向量AC、DB .
解：由平行四边形法则得：AC = a + b，DB = AB AD = a b
变式一：当a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|）
变式二：当a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b| ？（ a， b 互相垂直）
变式三： a+b 与 a b 可能是相等向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）
例 3. 如图，已知一点 O到平行四边形 ABCD
的三个顶点 A、B、C的向量分别为 a、b、c，
试用向量 a、b、c表示 OD.
练习： 1。
Ｐ 87 面 1、2 题
2．在△ ABC 中，BC =a，CA =b，则AB等于( B)
A.a+b
B.-a+(-b)
C.a-b
D.b-a 四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：《习案》作业十九。