平面向量的减法运算
平面向量的加减法
平面向量的加减法在学习数学的过程中，平面向量是一个非常重要的概念。
平面向量的加减法是我们在解决各种问题时必须掌握和运用的技巧。
本文将详细介绍平面向量的加减法原理、方法和应用。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
记作AB→，其中A是向量的起点，B是向量的终点，箭头表示向量的方向。
平面向量也可以用坐标表示。
对于平面上的点A(x1，y1)和B(x2，y2)，它们之间的向量AB→的坐标表示为：AB→ = (x2 - x1, y2 - y1)二、平面向量的加法原理平面向量的加法满足以下原理：向量的加法可以看作是平移操作，将一个向量平移至另一个向量的终点，起点不变，终点变为两个向量终点相连的点。
具体来说，设有向量AB→和向量CD→，它们的和向量为EF→，则有：EF→ = AB→ + CD→三、平面向量的加法方法通过平面向量的加法原理，我们可以得到两个有向线段的和向量。
具体操作如下：1. 将两个向量的起点放在同一点上。
2. 将其中一个有向线段平移至另一个有向线段的终点。
3. 连接起点和平移后的有向线段的终点，得到和向量。
四、平面向量的减法原理平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
即，向量的减法可以看作是将一个向量平移至另一个向量的终点，起点不变，终点变为两个向量的起点相连的点。
具体来说，设有向量AB→和向量CD→，它们的差向量为EF→，则有：EF→ = AB→ - CD→五、平面向量的减法方法通过平面向量的减法原理，我们可以得到两个有向线段的差向量。
具体操作如下：1. 将两个向量的起点放在同一点上。
2. 将其中一个有向线段平移至另一个有向线段的终点。
3. 连接平移后的有向线段的起点和另一个有向线段的终点，得到差向量。
六、平面向量的应用平面向量的加减法在几何、物理等各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 平面向量的位移：可以用于描述物体在平面上的位移和路径。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的加法与减法性质
平面向量的加法与减法性质平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以进行加法和减法运算。
平面向量的加法与减法性质是研究向量运算规律的重要内容。
一、平面向量的表示与加法1. 平面向量的表示平面向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度代表向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
用大写字母表示向量，例如 A、B、C。
2. 平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有两个平面向量 A 和 B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 P，终点为 Q，则向量 A+B 的起点为 O，终点为 Q，即 A+B 的表示是由 A 和 B 的起点连线和连接 A 的终点和 B 的起点的线段组成。
3. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A，其中 0 为零向量，零向量的大小为 0，方向可以是任意方向。
二、平面向量的减法平面向量的减法运算可以转化为加法运算。
设有两个平面向量 A 和B，A 的起点为 O，终点为 P，B 的起点为 O，终点为 Q，则向量 A-B可以表示为向量 A 的起点为 O，终点为 Q，再将向量 B 倒转180°，起点为 Q，终点为 P，即 A-B = A+(-B)。
三、平面向量的性质1. 平面向量的加法性质（1）交换律：A+B = B+A（2）结合律：(A+B)+C = A+(B+C)（3）零向量：对于任意向量 A，有 A+0 = 0+A = A2. 平面向量的减法性质（1）减去一个向量等于加上该向量的相反向量：A-B = A+(-B)（2）零向量：对于任意向量 A，有 A-0 = A3. 平面向量的数乘性质平面向量的数乘运算是指将向量的大小和方向同时进行数倍的运算。
设有一个平面向量 A 和一个实数 k，则 kA 的大小为 |k|*|A|，方向与 A的方向相同（当 k>0）或相反（当 k<0）。
平面向量的基本运算知识点总结
平面向量的基本运算知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在代数表示中，可以使用向量的分量或坐标表示。
平面向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。
本文将对这些运算进行总结并给出相应的示例。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的和向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ + BₓCᵧ = Aᵧ + Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其和向量 C = A + B。
解：Cₓ = 2 + 4 = 6Cᵧ = 3 + (-1) = 2因此，C = (6, 2)。
二、向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
向量的减法可以视为向量加法的逆运算。
设 A 和 B 分别为两个向量，则它们的差向量 C 的分量满足以下关系：Cₓ = Aₓ - BₓCᵧ = Aᵧ - Bᵧ示例：已知向量 A = (2, 3) 和 B = (4, -1)，求其差向量 C = A - B。
解：Cₓ = 2 - 4 = -2Cᵧ = 3 - (-1) = 4因此，C = (-2, 4)。
三、数量乘法数量乘法指的是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个实数，则数量乘法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = k * AₓBᵧ = k * Aᵧ示例：已知向量 A = (2, 3)，求其数量乘法的结果向量 B = 2A。
解：Bₓ = 2 * 2 = 4Bᵧ = 2 * 3 = 6因此，B = (4, 6)。
四、数量除法数量除法指的是将一个向量的每个分量都除以一个实数得到一个新的向量。
设向量 A 为一个向量，k 为一个非零实数，则数量除法的结果向量 B 的分量满足以下关系：Bₓ = Aₓ / kBᵧ = Aᵧ / k示例：已知向量 A = (4, 6)，求其数量除法的结果向量 B = A / 2。
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法一、向量的概念与表示在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量可以表示为一个有序的数对（a，b），其中a是向量在x 轴上的分量，b是向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，例如：→a。
二、向量的加法要进行向量的加法，我们需要将两个向量的对应分量分别相加。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的和向量→c = →a + →b可以表示为：→c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
三、向量的减法向量的减法与向量的加法类似，但是需要将相应分量相减。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的差向量→c = →a - →b 可以表示为：→c = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
四、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即对于任意向量→a和→b，→a + →b = →b + →a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
3. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的分量均为0，通常用0或者→0表示。
对于任意向量→a，→a + →0 = →a。
4. 逆向量：对于任意向量→a，存在一个与之相反的向量−→a，使得→a + (−→a) = →0。
5. 数乘：向量的数乘指将向量的每个分量都乘以一个常数。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和常数k，k * →a = (k * a₁, k * a₂)。
五、向量的应用1. 位移向量：向量可以表示物体在平面上的位移。
例如，一个物体在平面上从点A移动到点B，可以用向量→AB来表示，它的分量为B的横坐标减去A的横坐标，以及B的纵坐标减去A的纵坐标。
2. 力学应用：向量在力学中有着广泛的应用。
例如，力可以用向量来表示，向量的方向表示力的作用方向，向量的大小表示力的大小。
第33课 平面向量的减法
第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法： 当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆 思考 辨析 思考 归纳引导启发 学生 思考 仔细 分析 关键 词语 “首尾 相接“ 进一步 理解 加深 记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知， （1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考 归纳 理解 记忆观察 思考 主动 求解 归纳 领会 掌握观察 学生 是否 理解 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 强化 思想 及时 练习 巩固 所学 知识四、随堂练习 强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、 课堂小结 归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业 拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察 思考领会 掌握 主动 求解 归纳 总结记录检验 学生 学习 效果 关注 学生 练习 中的 错误 使得 学生 在总 结中 提高 分层次 要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
平面向量的加法和减法运算
交换律：向量加法满足交换律，即a+b=b+a
向量加法的几何意义：表示平行四边形的对角线
向量加法的代数表示：表示两个向量的坐标之和
结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)
02
平面向量的减法运算
向量减法的定义
向量减法满足三角形法则，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量
在物理中的应用
力的合成与分解
电磁学中的洛伦兹力
速度与加速度的合成与分解
力的平衡与扭矩
在解析几何中的应用
平面向量加法和减法在解析几何中用于表示点的移动和变化
平面向量加法和减法可以用于表示和解决一些几何变换问题，如平移、旋转等
平面向量加法和减法可以用于解决解析几何中的一些问题，如求交点、求轨迹等
平面向量加法和减法可以用于计算两点之间的距离和方向
在日常生活中的应用
物理中的向量加法和减法：解释力和运动的合成与分解
经济学中的成本和收益分析：通过向量加法和减法进行优化
地理学中的风向和风速测量：利用向量加法和减法计算风向角和风速大小
生物学中的遗传和变异研究：通过向量加法和减法分析基因型和表现型之间的关系
汇报人：XX
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向量减法可以表示为连接起点和终点的有向线段
向量减法的结果与减数的方向有关
向量减法的运算律
பைடு நூலகம்
向量减法满足结合律：a-b-c=a-(b+c)
向量减法满足数乘分配律：λ(a-b)=λa-λb
向量减法满足向量的模运算律：|a-b|≤|a|+|b|
向量减法满足交换律：a-b=-b+a
03
平面向量公式 有哪些公式
平面向量公式有哪些公式平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
那么平面向量公式都有什么？平面向量公式有哪些公式1平面向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
7.2.2平面向量的减法运算及其几何意义
√
小结
1、向量的减法可以转化为向量的加法进行： 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2、向量减法仍遵循三角形法则，它的规律是： 把两个向量平移到同一起点，再连结这两个向量 的终点，则差向量的大小就是连结两终点的线段 的长，方向指向被减向量的终点。 “共起点，连终点，指向被减向量” 3、在解题中要注意转化思想和数形结合思想的应用.
a
（1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？ 练习：
(1) A B A D D B （2）当 a 共线时，怎样作 a b 呢？ ， b (3) C B A B (4) O D O A A D A C O A B a O A O B b (5) O A B A O B
a b
本例中，当
a 满足什么条件时， ,b
a与 b互 相 垂 直
变式训练 如图, A B C D 三
你能用
D a A
中, A O = a , O B = b ,
a , b 表示向量AB和AD吗?
C
O
解:AB=a + b; AD=a - b
b
B
练习:2
(1) 化简 AB AC BD CD 解 : 原 式 CB BD CD CD CD 0
( 2 ) 化简 OA OC BO CO 解 : 原 式 (O A B O ) (O C C O ) (O A O B ) 0 B A
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反 的向量叫做 a 的相反向量。 记作： a
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是指在二维平面上具有大小和方向的箭头。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点积。
本文将详细介绍这些运算的定义、性质和计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、平面向量的定义和表示在平面直角坐标系中，设点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)，则向量AB的表示为→AB = (x, y)。
其中，x = Bx - Ax表示向量在x轴上的分量，y = By - Ay表示向量在y轴上的分量。
向量的大小用向量的模或长度来表示，记作|→AB|或|→a|。
二、平面向量的加法设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a + →b的定义为：→a + →b = (a1 + b1, a2 + b2)。
即将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
三、平面向量的减法设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a - →b的定义为：→a - →b = (a1 - b1, a2 - b2)。
即将两个向量的对应分量相减得到新的向量。
四、平面向量的数乘设向量→a = (a1, a2)，数k为实数，则向量k→a的定义为：k→a = (ka1, ka2)。
即将向量的每个分量都乘以实数k得到新的向量。
五、平面向量的点积设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a · →b的定义为：→a · →b = a1b1 + a2b2。
即将两个向量的对应分量相乘并求和。
六、平面向量的运算性质1. 加法的交换律：→a + →b = →b + →a2. 加法的结合律：→a + (→b + →c) = (→a + →b) + →c3. 减法的定义：→a - →b = →a + (-→b)4. 数乘的结合性：k(→a + →b) = k→a + k→b5. 数乘的分配律：(k + m)→a = k→a + m→a6. 数乘的分配律：k(→a · →b) = (k→a) · →b = →a · (k→b)7. 点积的交换律：→a · →b = →b · →a8. 点积的分配律：→a · (→b + →c) = →a · →b + →a · →c七、平面向量的计算方法1. 求向量的模：|→a| = √(a1^2 + a2^2)2. 求两个向量的夹角θ：cosθ = (→a · →b) / (|→a| |→b|)，其中0 ≤ θ≤ π3. 求两个向量的夹角θ的余弦值：cosθ = (→a · →b) / (|→a| |→b|)，其中-1 ≤ cosθ ≤ 14. 判断两个向量是否垂直：→a · →b = 0，则→a与→b垂直5. 判断两个向量是否平行：→a × →b = 0，则→a与→b平行，其中×表示叉积运算符6. 求两个向量的和：→a + →b7. 求两个向量的差：→a - →b8. 求向量的数乘：k→a八、平面向量的应用平面向量的基本运算在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是数学中的重要概念，用于描述平面内的位移、力、速度等物理量。
平面向量具有大小和方向两个属性，可以进行基本的运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
本文将介绍平面向量的基本运算方法和性质。
一、平面向量加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A加向量B的结果为C（Cₓ, Cᵧ），其中Cₓ = Aₓ + Bₓ，Cᵧ = Aᵧ + Bᵧ。
这意味着加法运算分别对向量的横坐标和纵坐标进行相加。
二、平面向量减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A减向量B的结果为D（Dₓ, Dᵧ），其中Dₓ = Aₓ - Bₓ，Dᵧ = Aᵧ - Bᵧ。
这意味着减法运算分别对向量的横坐标和纵坐标进行相减。
三、平面向量数量乘法平面向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有一个平面向量A，其坐标为（Aₓ, Aᵧ），实数k。
则向量A乘以实数k的结果为E（Eₓ, Eᵧ），其中Eₓ = k * Aₓ，Eᵧ = k * Aᵧ。
这意味着数量乘法运算对向量的横坐标和纵坐标分别进行相乘。
四、平面向量点乘平面向量的点乘是指将两个向量的对应坐标分别相乘后再相加，得到一个实数。
设有两个平面向量A和B，其坐标分别为（Aₓ, Aᵧ）和（Bₓ, Bᵧ）。
则向量A点乘向量B的结果为F = Aₓ * Bₓ + Aᵧ * Bᵧ。
点乘运算得到的是一个实数，而不是一个向量。
平面向量的点乘在几何意义上可以用来计算向量之间的夹角。
设有两个非零向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cosθ = (Aₓ * Bₓ + Aᵧ * Bᵧ) / (|A| * |B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模。
平面向量的基本运算方法和性质为解决平面几何问题提供了有力工具。
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法平面向量是研究平面上几何问题的重要工具之一，它可以描述平面上的位移、力量以及速度等物理量。
平面向量有两种基本运算，即加法和减法。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算规则以及应用。
一、平面向量的表示平面向量通常用有向线段表示，其中有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
一般用大写字母加箭头表示向量，例如向量AB用记作⃗AB。
二、平面向量的加法若有向线段AB和有向线段BC，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段AC，即线段AC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量AC为向量AB与向量BC的和，记作⃗AC = ⃗AB+ ⃗BC。
计算平面向量的加法非常简单，只需将两个向量的起点和终点连在一起即可得到它们的和向量。
例如，向量⃗AB = (3, 2)和向量⃗BC = (-1, 4)，根据加法运算规则，我们可以得到向量⃗AC = ⃗AB + ⃗BC = (3 + (-1), 2 + 4) = (2, 6)。
三、平面向量的减法若有向线段AC和有向线段AB，它们的起点和终点相连，得到一个有向线段BC，即线段BC使得A、B和C三点共线且满足线段的方向规定，则称向量BC为向量AC减去向量AB，记作⃗BC = ⃗AC -⃗AB。
平面向量减法的计算方法与加法类似，只需将减去的向量的起点和终点与被减向量的起点和终点连在一起即可得到减法的结果向量。
例如，向量⃗AC = (2, 6)和向量⃗AB = (3, 2)，根据减法运算规则，我们可以得到向量⃗BC = ⃗AC - ⃗AB = (2 - 3, 6 - 2) = (-1, 4)。
四、平面向量的性质1. 交换律：两个向量的加法满足交换律，即⃗AB + ⃗BC = ⃗BC+ ⃗AB。
2. 结合律：三个向量的加法满足结合律，即(⃗AB + ⃗BC) + ⃗CD= ⃗AB + (⃗BC + ⃗CD)。
3. 零向量：定义了一个特殊的向量，它的坐标为(0, 0)，任何向量与零向量相加都得到其本身，即⃗AB + ⃗0 = ⃗AB。
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、基本概念平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量有起点和终点，可以表示为两个点之间的有向线段。
加减法是指将两个或多个数值相加或相减的运算。
对于平面向量，加法和减法也是有规则的。
二、平面向量的加法1.定义设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a+b表示从O出发先沿着a到达A，再沿着b到达C，则C就是a+b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。
3.几何意义将一个向量加上另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
三、平面向量的减法设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a-b表示从B出发先沿着-b到达O，再沿着a到达C，则C就是a-b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
3.几何意义将一个向量减去另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量，并将这个新的向量旋转180度。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
四、平面向量加减法的性质1.交换律a+b=b+a，a-b≠b-a2.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c=a-(b+c)3.分配律k(a+b)=ka+kb，k为常数对于任意平面向量a，存在唯一的平面向量-b，使得a+(-b)=0。
五、应用举例平面向量加减法在物理学、力学、几何学等领域有广泛应用。
例如，在力学中，可以用平面向量表示物体所受到的力和加速度；在几何学中，可以用平面向量表示线段和角度等概念。
六、总结平面向量加减法是基本的运算规则，在数学和其他领域都有广泛应用。
掌握了平面向量加减法的性质和应用方法，可以更好地理解和解决相关问题。
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B
uuur r r
uBuAur=
a
b r
r
AB = b a
特例:
r ra b
(1)
uuur r OA = a
(1) O A B
r ar b (3)
rr
ab
(3) B
OA
uuur r OB = b
r a r b
(2)
rr ab
O B A (2)
r ra b
(4)
rr ab
A
O
(4)
B
说明：1.关于相反向量
1、在平行四边形ABCD中，若
C AB +AD = AB -AD 则：
A、 AD =0 C、ABCD是矩形
思路分析：
B、AB =0或AD =0 D、ABCD是正方形
在平行四边形ABCD中，AB+AD = AB-AD ，
即 AC = DB ，可得ABCD是特殊的平行四边形 即是矩形。?
2 如图所示，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD
记作 a .
r r 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 0=0
2.任一ar向量(与ar其)相=反(向ar量) 的 和ar 是= 零0r 向量；
uuur uuur 重要提示 : AB = BA
1.什么叫r 做向r量的差?什么是向量r 的r减法? 向量a加r 上rb的r相反r向量，叫做 a与b的差，
即: a b = a (b)
r
求两个向量差的运算叫做向量的减法
a
rr
rr
2.已知向量
r
ra,
b
,如何作出 向量
a - br?r
r b
r
3.差向量 a - b 的方向与原来两个向量 a
向有什么关系?如何用一句话来表达?
, b的方r
b
OaA rr
ab
向量减法的角形法则： 共起点,箭头指向被减向量
r r r r r rr
(1) (ra)r= a, a (a) = (a) a = 0
(2) r 0 = 0r
rr
rr r
(3) a = b, b = a, a b = 0
ar2.向量减法的平r行四Ouu边Cur 形= ar法则br
rB b
C
b
uuur r r BA = a b
O
r aA
例题分析：
例１、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d。
b
d
a
c
d b a
c
课堂练习：
1、如图，已知a、b，求作a-b。
(1)
(2)
b a
(3)
a
a
b
b
2、填空： AB-AD= DB BA-BC= CA BC-BA= AC OD-OA= AD OA-OB= BA
(4)
a
b
能力训练：
温故
1.向量加法的三角形法则: 2.平行四边形法则:
首尾相连，由首至尾
C ab b
A a B
共起点
Ba
b
a
b
C
b
O
a
A
3.向量加法的交换律
:arຫໍສະໝຸດ r b=r b
ar .
4.向量加法的结合律
: (ar
r b)
cr
=
ar
r (b
cr )
r
r
与r向量 a长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，
的交点。若 AB =a,BC =b,OB=c,试证明：
a-( b+c)=- OD.
D
C
O cb
A
a
B