第四讲 印度与阿拉伯数学及近代数学的兴起

第四讲印度与阿拉伯的数学及近代数学的兴起

第一部分印度与阿拉伯的数学

一、印度数学

1921年--1922年间，印度河流域莫亨佐•达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”。这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右。大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。

印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324-前185)、笈多王朝(320-540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下。公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪-3世纪)。公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。

如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响。雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前世纪)兴起的佛教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围。

印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(公元前3000-前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪—前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪—12世纪)。

1、古代《纯法经》

关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测纯的法规》，即《纯法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。

2、“巴克沙利手稿”与零号

关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。

用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算。“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法。

印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号。到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其可施行运算的一个独立的数。婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦逻的著作中都有关于零的运算法则的记述。

印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。零号的传播则要晚些。

3、“悉檀多”时期的印度数学

悉檀多(原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿耶波多(476-约550)、波罗摩笈多(598-665)、马哈维拉(9世纪)和婆什迦罗(1114-约1185)等。

(一)阿耶波多。阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世。该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法(原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。

(二)婆罗摩笈多。婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出今天所谓佩尔方程的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。

(三)马哈维拉。7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变。这期间的代表是马哈维拉的《计算方法纲要》，与中国的《九章算术》相同或相近。

(四)婆什迦罗。婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作。他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》。

关于《莉拉沃蒂》书名，有一个美丽动人的传说：莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字(原意是“美丽”)，占星家预言她终身不能结婚。也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时，也就是他女儿的吉日来临之际。女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她的名字命名，以使她的名字随同这本书一起流芳百世，该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴(1556-1605在位)的授意下，由菲济译成波斯文。这个传说来源于菲济的记载。

《莉拉沃蒂》共有13章。该书中很多数学问题是用歌谣的形式给出的。

由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。

二、阿拉伯数学

“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所写的阿拉伯文及波斯文等数学著作。

穆斯林在穆罕默德的鼓舞下，在他死后(632)不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本统一。755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达。西部王国，则定都西班牙的哥尔多华。909年，在北非突尼斯又建立一个新的哈里发国家，973年迁都埃及开罗。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前