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数学实验插值方法导言

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作者：张建生改… 文章来源：本站原创点击数：530 更新时间：2006-12-4

在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据

(x i,y i), i=0,1,…,n,...

揭示出自变量x与因变量y之间的关系.

一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。

拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小、较好地反映观测数据的近似函数，并不保证或追求所得到的函数一定满足y i=f(x i)。侧重于从整体上把握问题，拟合的方法将在下一章讨论。

插值则要求函数在每个观测点处一定要满足y i=f(x i).，本章主要介绍插值方法。

插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均。插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现象的统计分析等等。

本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何利用MATLAB软件作插值计算；针对实际问题，进行建模、求解与分析；最后给出实验题目。

数学实验插值方法引例

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作者：张建生改… 文章来源：本站原创点击数：769 更新时间：2006-12-4

4.2.1 引例1:函数查表问题

标准正态分布函数值Φ(2.3456789)等于多少？

一般是通过查表的方法.先对自变量作近似,2.3456789≈2.35,再查表得到Φ(2.35)=0.99061,所以(2.3456789)≈Φ(2.35)=0.99061.

在对精度要求较高时,这种处理方法可能受到质疑,2.3456789介于2.34与2.35之间,不适于用

Φ(2.35)作为近似值吗.于是改进,函数值取二者的中点,即

Φ(2.3456789)≈[(Φ(2.34)+Φ(2.35))]/2=0.990485

比起前面的处理,此结果应该更好一些.但是精度究竟如何呢？如果需要更精确的结果,注意到能够利用的信息只有标准正态分布函数值表.

上面的问题变为利用一个表格给出的函数值，计算表格中未给出的函数值。这实质上就是插值问题。

4.2.2 引例2:绘制地图

你曾使用过的地图最初从何而来？世界上第一张地图是如何绘制的？

对某一地区国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图？设想已经得到了一系列关于某地区地理边界的测量数据，边界点在地球上的经纬度属于球面坐标，对于不是太大的一个地区可以近似为平面坐标(x n,y n).剩下来的问题就是根据平面上一系列点，绘制一条封闭的平面曲线（地图的边界线）。这也是一个插值问题

最简单的方法是：首先在平面上画出所有这些点(称为节点，有序)，然后，用线段依次将相邻的节点两两连结起来，得到一条由折线段构成的封闭曲线——地图的边界！这种方法实质上就是用两点间的直线段近似地代替未知的曲线段，也就是对每段曲线上的未知函数值，用直线段上相应的函数值来代替，这种方法称为分段线性插值。

在边界上的测量点不是太多的情况下，绘制出来的地图效果可能不是很好。通过增大测量点的数量，问题可以得到改善。但是这样的边界是折线，一般是不光滑的，这与实际使用的地图有较大差异。并且光滑性的要求在其他某些实际问题中非常重要，例如飞机、轮船等的外形曲线设计就需要足够的光滑程度。

如何改进地图边界的绘制呢？可以考虑在每两点之间，采用已知类型的曲线段连接，并根据实际情况，加上衔接点处的光滑性要求。例如采用三次（多项式）曲线，这就给出了所谓的样条曲线和三次样条插值。

它们的表达式（分段函数，并且是分很多段）都很复杂。究竟这两种方法优劣如何？下面就来具体介绍这些插值方法上面提到的两种插值

数学实验 MATLAB插值计算

作者：张建生改… 文章来源：本站原创点击数：5384 更新时间：2006-12-4

计算插值的软件很多,这里我们只介绍如何用MATLAB做一维插值和高维插值.

4.4.1 一维插值

MATLAB中的插值函数为interp1(),其调用格式为

yi=interp1(x,y,xi, 'method')

其中x,y为观测数据点,xi为插值(自变量)向量,yi为xi的插值结果(函数值).'method '表示采用的插

值方法.MATLAB提供的插值方法有几种: 'nearest' 最邻近插值; 'linear '线性插值; 'spline' 三次样条插值; 'cubic ' 立方插值.缺省时表示线性插值.

注意:所有的插值方法都要求x是单调的,并且xi不能够超过x的范围.

例4.2 在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度为(摄氏度)

12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13

推测在每一秒时的温度.并利用不同的插值方法描绘温度曲线

键入：

x=0:2:24;

y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];

xi=0:1/3600:24;

yi=interp1(x,y,xi,'nearest');

hold on

plot(xi,yi,'r');

yi=interp1(x,y,xi,'linear');

plot(xi,yi,'g');

yi=interp1(x,y,xi,'spline');

plot(xi,yi,'b');

yi=interp1(x,y,xi,'cubic');

plot(xi,yi,'y');

还有其他的插值函数,如interplq ,interpft, spline, intep2, interp3, interpN.