等差数列与等比数列复习教案
等差数列与等比数列教案
等差数列与等比数列教案本文为等差数列与等比数列教案，按照教案的格式进行书写。
教案主题：等差数列与等比数列一、教学目标1. 了解等差数列和等比数列的定义；2. 掌握求解等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够应用等差数列和等比数列解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容及方法1. 等差数列a. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
b. 公式：第n项公式为an = a1 + (n-1)d。
c. 求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。
d. 实例演练：通过练习题让学生熟悉等差数列的求解过程。
2. 等比数列a. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
b. 公式：第n项公式为an = a1 * r^(n-1)。
c. 求和公式：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中r不等于1。
d. 实例演练：通过练习题让学生掌握等比数列的求解方法。
三、教学步骤1. 等差数列教学a. 引入：通过引入一组连续的数字，介绍等差数列的概念，并引发学生对等差数列的思考。
b. 定义：给出等差数列的定义，并通过示例展示等差数列的规律。
c. 公式推导：由示例引出等差数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。
d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等差数列的求解方法。
e. 总结归纳：引导学生总结等差数列的性质和应用场景。
2. 等比数列教学a. 引入：通过一组倍增或倍减的数字，介绍等比数列的概念，并引发学生对等比数列的思考。
b. 定义：给出等比数列的定义，并通过示例展示等比数列的规律。
c. 公式推导：由示例引出等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。
d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等比数列的求解方法。
e. 总结归纳：引导学生总结等比数列的性质和应用场景。
四、教学资源1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、练习题；2. 学生使用：练习题、作业本。
等差数列与等比数列数学教案
等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。
其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。
它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。
本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。
一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。
其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。
2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。
通项公式为an=a1+(n-1)d。
案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。
3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。
（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。
案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。
二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。
其中，a1为首项，q为公比，n为项数。
案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。
2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。
通项公式为an=a1 * q^(n-1)。
案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。
3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。
高中数学教案等差数列与等比数列
等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。
二、知识要点（一）、等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n +认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)(2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3．主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。
等差数列和等比数列(教案)
第2讲 等差数列和等比数列一、高考要求①理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题； ②理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．二、知识结构等差数列与等比数列的类比技巧1．若数列n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*k ∈N ，那么k S ，2k k S -S ，3k 2k S -S 成 数列。
如下图所示：⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3k2k kk3k 2kS 123k k+12k 2k+13kS -S S S -S a +a +a ++a +a ++a +a ++a技巧2． 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*k ∈N ，那么k S ，2k k S -S ，3k 2k S -S 成 数列。
如下图所示：⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3k2k kk3k 2kS 123k k+12k 2k+13kS -S S S -S a +a +a ++a +a ++a +a ++a三、典型例题例1 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是解: 由条件可知：20070a >，20080a <．考虑200720080a a +>及等差数列性质知14014401402a a +⨯>，即40140S >； 考虑20080a <及等差数列性质知200820081401540154015022a a a a++⨯=⨯<，即40150S <， 故使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是 4014例2 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知366=S ，324=n S ，若)6(1446>=-n S n ，则n 的值为 ．解: 由条件知54321-----+++++n n n n n n a a a a a a =1801443246=-=--n n S S ， 又123456636a a a a a a S +++++==， 651a a a a n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-， ∴21618036)(61=+=+a a n ， ∴361=+a a n ，3242362)(1=⨯=+=n a a n S n n ，∴n =18．例3 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f )(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则=)2007(f ．解: 由)1(2)()2(+=++x f x f x f 知函数*(),()f x x N ∈当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(f f f 形成一个首项为2，公差为4的等差数列，∴(2007)2(10041)44014f =+-⨯=．例4 已知数列}{n a 的前n 项和(0,1,n n S aq a q q =≠≠为非零常数），求数列}{n a 的通项公式并判断}{n a 是否等比数列.解 当1=n 时，aq S a ==11，当2≥n 时，111(1)n n n n n n a S S aq aq aq q ---=-=-=- ∴1,(1)(1),(2)n n aq n a aq q n -=⎧=⎨-≥⎩ 又)1(1-=+q aq a nn ，∴)2(1≥=+n q a a nn 为常数, 但21(1)1a aq q q q a aq-==-≠， ∴数列}{n a 不是等比数列.例5 设数列}{n a 、}{n b 满足：na a a ab nn ++++=321(n ∈N *)．（Ⅰ）若2+=n b n ，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若}{n b 是等差数列，求证}{n a 也是等差数列． 解：设}{n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）由题意：2+==n nS b nn ，即)2(+=n n S n )(*N n ∈ ① 当2,*≥∈n N n 时，有)1)(1(1+-=-n n S n ② 由①②两式相减可得：12+=n a n ，当1=n 时，311==S a ，也可用12+=n a n 表示， ∴ 对任意的*N n ∈都有：12+=n a n ． （Ⅱ）若}{n b 是等差数列，设首项为1b ，公差为d ，由n S b n n =可得d n b nSn )1(1-+=，于是 d n n nb S n )1(1-+= ① 当2,*≥∈n N n 时，有 d n n b n S n )2)(1()1(11--+-=- ② 由①②两式相减可得：d n b a n 2)1(1⋅-+=，当1=n 时，111b S a ==，也可用d n b a n 2)1(1⋅-+=表示， ∴ 对任意的*N n ∈都有：d n b a n 2)1(1⋅-+=， 而d a a n n 21=--（2,*≥∈n N n ），由等差数列的定义知：}{n a 也是等差数列．例6 设数列}{n a 的首项114a a =≠,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,41,,211为奇数为偶数n a n a a n nn ，记.,3,2,1,4112⋅⋅⋅=-=-n a b n n （Ⅰ）求2a ，3a ； （Ⅱ）判断数列}{n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解： （Ⅰ）414112+=+=a a a ，81212123+==a a a ； （Ⅱ）∵ 83214134+=+=a a a ， ∴163412145+==a a a ． ∴0414111≠-=-=a a b ，)41(214132-=-=a a b ，)41(414153-=-=a a b ． 猜想，}{n b 是公比为21的等比数列． 证明如下： ∵ )(,21)41(2141)41(21412141*12122121N n b a a a a b n n n n n n ∈=-=-+=-=-=--++ ∴}{n b 是首项为41-a ，公比为21的等比数列． 过关练习一、填空题1．已知}{n a 是首项11=a ，公差3=d 的等差数列，如果2008=n a ，则序号n 等于 670 2．在等差数列}{n a 中，836a a a +=，则=9S 0⇒⇒⇒63811115a =a +a a +5d =a +2d +a +7d a +4d =0a =03． 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21n2-1.解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ =+++n a a a 21212121n n -=--. 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 -1 （用数字作答）。
等差和等比级数的性质教案
等差和等比级数的性质教案一、教学目标通过本教案的学习，学生应能够：1. 理解等差数列和等比数列的概念；2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式；3. 理解等差数列和等比数列的前n项和公式；4. 运用等差数列和等比数列的性质解答问题。
二、教学内容1. 等差数列的基本概念a. 定义：等差数列是指相邻两项之间的差值相等的数列；b. 通项公式：对于等差数列{an}，其通项公式为an=a1+(n-1)d；c. 前n项和公式：对于等差数列{an}，其前n项和Sn=(a1+an) * n / 2。
2. 等比数列的基本概念a. 定义：等比数列是指相邻两项之间的比值相等的数列；b. 通项公式：对于等比数列{an}，其通项公式为an=a1 * r^(n-1)；c. 前n项和公式：对于等比数列{an}，其前n项和Sn=a1 * (1 -r^n) / (1 - r)。
3. 等差数列和等比数列的性质a. 等差数列的性质：等差数列的性质包括公差的计算、等差数列的性质及应用等；b. 等比数列的性质：等比数列的性质包括首项、公比的计算、等比数列的性质及应用等。
三、教学过程1. 引入等差数列和等比数列的概念，通过例题引导学生理解。
a. 例题1：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，求第n项an的表达式；b. 例题2：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为r，求第n项an的表达式。
2. 讲解等差数列的通项公式和前n项和公式，并通过实例演示应用。
a. 案例分析1：给定等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值；b. 案例分析2：给定等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求等差数列前10项的和Sn。
3. 讲解等比数列的通项公式和前n项和公式，并通过实例演示应用。
a. 案例分析1：给定等比数列{an}的首项a1=2，公比r=3，求第10项a10的值；b. 案例分析2：给定等比数列{an}的首项a1=2，公比r=3，求等比数列前10项的和Sn。
高三数学《等差等比数列》复习教案 必修
芯衣州星海市涌泉学校光泽第一中学高三数学必修五等差、等比数列复习教案光泽一中江居明【教材内容分析】假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示〔0 q〕。
【学情分析】学生可以掌握根本的结论，但学生由于缺少系统性的练习，不可以准确的找到解题思路，所以需要进展全面的复习。
【教学目的】(1)理解等差、等比数列的定义与断定． (2)掌握等差、等比数列的通项公式． (3)理解等差中项、等比中项与性质．(4)掌握等差、等比数列的前n 项和公式及其运用． 【重点、难点】【课时安排】一课时【教学方法】启发式教学、讲练结合 【教学过程和步骤】 1.等差数列等差数列的定义：假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
等差中项： 假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
即：2ba A +=或者者b a A +=2 等差数列的断定方法: 〔1〕定义法：对于数列{}n a ，假设da a nn =-+1(常数)，那么数列{}n a 是等差数列。
〔2〕等差中项：对于数列{}n a ，假设212+++=n n n a a a ，那么数列{}n a 是等差数列。
等差数列的通项公式： 假设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么等差数列的通项为dn a a n)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 等差数列的性质： 〔1〕对于等差数列{}n a ，假设q p m n +=+，那么q p mn a a a a +=+。
等差数列与等比数列教学设计
高三第一轮专题复习一、课程说明(一)教学目标：1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。
2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
（二）教材分析教材上基础知识详细，基本方法归纳基本到位，但对等差数列与等比数列的性质运用及通项公式，求和公式例题讲解不足。
而数列作为一种特殊的，函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备，所以在本次复习中要弥补教材上的不足。
（三）学习者特征分析高三学生，随着高二一年的学习，对于等差数列与等比数列的一些基础知识有点模糊，对性质运用，基本方法不够深入，但是基础知识还是比较好，而且思维敏捷，所以本次复习也有了针对性。
（四）教学重点1.等差数列、等比数列概念，性质，和公式的理解。
2.求等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式的基本方法。
（五）教学难点1. 等差数列、等比数列性质的灵活运用。
2.求等差数列、等比数列通项公式,前n项和公式方法的相互渗透。
二、课前准备（一）教学方法启发引导回顾旧知，通过常见重难题的讲练结合，让学生在自我探究合作、交流中掌握等差数列和等比数列的知识，并能在高考中得分；（二）教学器材（根据辅导地点所定）若是教室则为多媒体设备，投影仪，扩音器；若在家中则借助小白板即可。
（三）时间分配虽内容较多，但重难点突出，且有针对性，所以用三分之一的时间复习基础知识，用三分之二的时间重点讲解和练习性质及方法的运用，课后会有适量的作业巩固课堂所学。
三、课程设计（教学过程）（一）基础知识巩固有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）等差数列、等比数列性质的灵活运用典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2（由学生和老师共同完成）设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n－1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3（由学生和老师共同完成） 等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩ ① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得 解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五 根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m－S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210（三）十种求数列通项公式的方法（归纳总结，不用于课堂讲解，只是根据学生的掌握情况，个别指导，弥补学生没有掌握的那种方法）3((2221](1)1a a n ++-++⨯+++++-+3(a a ++-2222(33213()331)13a a ++-+++++++22(33a a ++-的通项公式。
(精品)等差数列与等比数列的性质教案
等差数列与等比数列的性质教案教学目标：1、 复习等差、等比数列的定义与性质。
2、 灵活应用等差、等比数列的定义与性质解决各种常见题型。
教学重点：灵活应用等差、等比数列的定义与性质教学难点：等差、等比数列的定义与性质的应用一、 知识回顾二、 知识应用Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为 或者 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 也可以设为三、 典型例题例1. 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aqaq例2. 已知互不等比数列{ n a }的前三项之积为-8，且132,,a a a 成等差，求123,,a a a例3（1）已知等差数列{ n a }满足 ，则 ( )（2）已知等差数列{ n a }前m 项和为30，前2m 项和为 100，则前3m 项和为( )（3）已知在等差数列{n a }的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.121010a a a ++⋅⋅⋅+=1101A. 0a a +>2100B. 0a a +<399C. 0a a +=51D. 51a=例4. 数列{ n b }中， ， ，若{ n a }是等差数列， 且 ，求{n a }的通项公式四、 基础练习1.在等比数列中,463a a += ,则5357(2)a a a a ++= _____2. 在等差数列{n a }中,若4681012120a a a a a ++++=, 则10122a a -= （ ）A.20B.22C.24D.28 123218b b b ++=12318b b b =1()2na nb =3.已知数列{n a }中, 1a =1,并且1331n n a a +-= ,则301a = （ ）A.100B.101C.102D.1034. 若｛n a }是等比数列，且n a >0,243546225a a a a a a ++=, 那么35a a +的值等于 （ ）A.5B.1C.15D.105.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10五、 知识回顾六、 课后作业综合测评P91-P931、等差数列、等比数列的通项公式以及通项公式的推广2、等差数列与等比数列的性质n S n 3、a 与的关系。
(全国通用)高三数学第22课时第三章数列等差数列、等比数列的基本运算专题复习教案
第 22 课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的基本运算一．课题：等差数列与等比数列的基本运算二．教课目的： 掌握等差数列和等比数列的定义， 通项公式和前 n 项和的公式， 并能利用这些知识解决相关问 题，培育学生的化归能力．三．教课要点：平等差数列和等比数列的判断，通项公式和前 n 项和的公式的应用．四．教课过程： （一）主要知识：1．等差数列的观点及其通项公式，等差数列前 n 项和公式； 2．等比数列的观点及其通项公式，等比数列前 n 项和公式；3．等差中项和等比中项的观点． （二）主要方法：1．波及等差（比）数列的基本观点的问题，常用基本量 a 1 , d ( q) 来办理；2．使用等比数列前 n 项和公式时，一定弄清公比 q 能否可能等于1 仍是必不等于 1，假如不能确立章需要议论；3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 a d , a , a d ；若偶数个成等差数列且和为定 值时，可设中间两项为a d , a d ，其他各项再依据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列近似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题剖析：例 1．（1）设数列 { a n } 是递加等差数列，前三项的和为 12 ，前三项的积为 48 ，则它的首项为2 ．（ 2）已知等差数列 { a n } 的公差 da 1 a 3 a 9 13 0 ，且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列，则a 4a10．a 216例 2．有四个数，此中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的 和是 16 ，第二个数与第三个书的和是12 ，求这 四个数．2a ( a d ) 2解：设这四个数为： a d , a , a d ,(a d )d16，则aa2 ad 12a 4a 9 4, 4,12,36 ；或 15,9,3,1 ．解得：或 d，因此所求的四个数为：d8 6例 3．由正数构成的等比数列{ a n } ，若前 2n 项之和等于它前 2 n 项中的偶数项之和的11 倍，第3项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍，求数列 { a n } 的通项公式．解：当 q 1 时，得 2na 1 11na1不可立，∴ q 1 ，2 n 2 na1 (1 q ) 11 a1 q (1 q ) ①∴ 1 q 1 q 22 3 3 ②a1 qa1 q 11 a1 q a1 q由①得 q 1 ，代入②得 a1 10 ，10∴ a n ( 1 ) n 2 ．10说明：用等比数列前 n 项和公式时，必定要注意议论公比能否为1．例 4．已知等差数列 110,116,122,，（1）在区间 [450, 600] 上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间 [450, 600] 上，该数列有多少项能被 5 整除？并求它们的和 .解： a n 110 6( n 1) 6 n 104 ，（ 1）由 450 6 n 104 600 ，得 58 n 82 ，又 n N * ,∴该数列在 [450, 600] 上有25 项, 其和S n 1 a82 ) 25 13100 ( a58 ．2（ 2）∵ a n 110 6( n 1) ，∴要使 a n能被 5 整除，只要 n 1 能被 5 整除，即 n 1 5 k ，∴ n 5 k 1 ，∴ 58 5 k 1 82 ，∴ 12 k 16 ，∴在区间 [450, 600] 上该数列中能被 5 整除的项共有5( a 61 a 81 )5 项即第 61, 66, 71, 76,81 项，其和 S 2650 ．2。
第1讲 等差数列、等比数列(教案)
第1讲 等差数列、等比数列1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现．2．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一 等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·q n －1.2．求和公式等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ； 等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)． 3．性质若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .例1 (1)(2017届江西师大附中、临川一中联考)已知数列{}a n ，{}b n 满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{}b n 是等差数列，且a 9a 2 009＝4，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 017等于( )A ．2 016B ．2 017C ．log 22 017D.2 0172答案 B解析 由题设可得log 2a 9＋log 2a 2 009＝2，即b 9＋b 2 009＝2，由等差数列的通项的性质，可得b 9＋b 2 009＝b 1＋b 2 017＝2，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 017＝2 017(b 1＋b 2 017)2＝2 017， 故选B. (2)(2017届四川省成都市诊断性检测)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6, a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5等于( )A ．12B ．18C ．24D ．36答案 B解析 由于a 3＋a 5＋a 7＝a 3＋a 3q 2＋a 3q 4＝6(q 4＋q 2＋1)＝78，得q 4＋q 2－12＝0，得q 2＝3或q 2＝－4(舍去)，则a 5＝a 3q 2＝6×3＝18，故选B.思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1 (1)(2017·河北省曲周县第一中学模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－4，S 6＝6，则S 5等于( )A ．0B ．－2C ．4D ．1答案 A解析 由题设可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ＝－4，6a 1＋6×52d ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2， 则S 5＝－4×5＋5×42×2＝0，故选A. (2)(2017届长沙一模)等比数列{}a n 的公比为－2，则ln ()a 2 0172－ln ()a 2 0162＝________.答案 ln 2解析 ln ()a 2 0172－ln ()a 2 0162＝ln ⎝⎛⎭⎫a 2 017a 2 0162＝ln q 2＝ln 2. 热点二 等差数列、等比数列的判定与证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．(2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．例2 (2017届东北三省三校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n .(1)证明：{a n －n }为等比数列；(2)数列{c n }满足c n ＝a n －n (b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)证明 ∵a n ＋1＝2a n －n ＋1，∴a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，又a 1－1＝2，∴{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解 由(1)知a n －n ＝(a 1－1)·2n －1＝2n ，∵b n ＋1＝b n ＋a n －n ，∴b n ＋1－b n ＝2n ，⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－b 1＝21，b 3－b 2＝22，…，b n －b n －1＝2n －1，累加得到b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n (n ≥2)． 当n ＝1时，b 1＝2，∴b n ＝2n ，∴c n ＝a n －n(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1. ∴T n ＝13－12n ＋1＋1. 思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．a n＋1 a n ＝q和a2n＝a n－1a n＋1(n≥2)都是数列{a n}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．(2)跟踪演练2 (2017届吉林省长白山市模拟)在数列{}a n 中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，且a 1＝1.(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .(1)证明 由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1，∴{}b n 是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝a n 2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2，得2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.热点三 等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12， ∴T m ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m 1－12＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m ， ∵⎝⎛⎭⎫12m 随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8.又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n ) ＝－12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －922－814， 故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．跟踪演练3 (2017·北京)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 21q 4＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________． 答案 4解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.2．(2017·浙江改编)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的________条件．答案 充要解析 方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d .若d ＞0，则21d ＞20d,10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，即S 4＋S 6＞2S 5.若S 4＋S 6＞2S 5，则10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，即21d ＞20d ，∴d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件．方法二 ∵S 4＋S 6＞2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)⇔a 6＞a 5⇔a 5＋d ＞a 5⇔d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件．3．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 答案 1解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3， 由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2. ∴a 2b 2＝a 1＋d b 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 答案 32解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.押题预测1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13押题依据 等差数列的性质和前n 项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力．答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.2．(2017·安庆模拟)等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )A ．3B ．2或3C ．2D ．6押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点． 答案 C解析 设公比为q,5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，可得10a 4＝12a 3＋2a 5,10a 3q ＝12a 3＋2a 3q 2，得10q ＝12＋2q 2，解得q ＝2或3.又a 3－3a 2＝2，所以有a 2q －3a 2＝2，所以有q ＝2，故选C.3．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43押题依据 本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向． 答案 A解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎫2 4m n ·n m ＋5＝32， 当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32. 4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④押题依据 先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉．答案 C解析 由等比数列性质得，a n a n ＋2＝a 2n ＋1.①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝22122222n n n n n a a a a a ++++=≠ ＝f 2(a n ＋1)；③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．故选C.A 组 专题通关1．(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 3＝4，则a 4＋a 5等于( )A ．17B ．16C ．15D ．14答案 A解析 设等差数列公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝－1，a 1＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3， 所以a 4＋a 5＝2a 1＋7d ＝2×(－2)＋7×3＝17，故选A.2．(2017·河北省衡水中学三调)已知{a n }是等比数列，且a 2＋a 6＝3，a 6＋a 10＝12，则a 8＋a 12等于( ) A ．12 2 B ．24 C ．24 2 D ．48 答案 B解析 a 6＋a 10a 2＋a 6＝a 2q 4＋a 6q 4a 2＋a 6＝q 4＝123＝4，q 2＝2，a 8＋a 12＝a 6q 2＋a 10q 2＝q 2(a 6＋a 10)＝2×12＝24， 故选B.3．(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 答案 A解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.故选A.4．(2017届三湘名校教育联盟联考)一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 B解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2，∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212， ∴n ＝12.5．(2017届福建省福州文博中学期中) 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚， S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5等于( ) A ．311516B ．321516C ．331516D ．2612答案 B解析 大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列{a n }，{b n }，公比分别为2，12，首项都为1，所以S 5＝1×(1－25)1－2＋1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝321516.故选B.6．(2017届河南省高中毕业年级考前预测)在等差数列{a n }中，d >0, S n 是它的前n 项和，若a 1＋a 2＝a 42，且a 2与a 6的等比中项为4，则S 8＝________. 答案 46解析 由题意，得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝a 1＋3d2，(a 1＋d )(a 1＋5d )＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝32，则S 8＝8×12＋8×72×32＝46.7．(2017届三湘名校教育联盟联考)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为______． 答案 16解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝⎛⎭⎫822＝16，当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．8．(2017届内蒙古包头十校联考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1S n ＋1＝S n ，则S n ＝__________.答案 －1n解析a n ＋1S n ＋1＝S n ⇔a n ＋1＝S n S n ＋1⇔S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，整理为1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，即S n ＝－1n.9．(2017·北京市石景山区月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝－2(n ＝1,2,3，…)，那么a 8＝________. 答案 －2解析 由数列的递推公式，可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－2，n 为偶数，据此可得a 8＝－2.10．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．B 组 能力提高11．(2017·安徽省蚌埠市教学质量检查)数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．3 C. 5 D ．6 答案 B解析 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b，得c n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－b n －a1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab(1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋ab n ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a 1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.12．(2017届吉林省吉林市普通中学调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________. 答案 2n解析 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a .∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ， 则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1 ＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2 ， ∴ 数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a n ＝2·2n －1＝2n .13．(2017届石家庄模拟)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝3·2n －1，n ∈N *.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为______． 答案 (－∞，2]解析 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则由a n ＋1＋a n ＝3·2n －1，得a 2＋a 1＝3，a 3＋a 2＝6，所以q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝2，所以2a 1＋a 1＝3，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1, S n ＝1－2n1－2＝2n －1.因为不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，即2n －1>k ·2n －1－2，解得k ≤2.14．(2017届江西鹰潭一中月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足12n a －＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，a·b ＝24，得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2， 因此数列的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以M n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n 6n ＋9. (2)因为12n a －＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3，可得T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ，此时有b n b n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。
等差等比数列教学设计
教学设计：一、课题：等差数列等比数列复习课(高二学考复习课)二、教学目标：1、理解并能熟记等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质。
2、能熟练运用相关公式，综合解题。
3、渗透函数与方程的数学思想方法。
三、教学重点：等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质的理解与运用。
四、教学难点：综合运用等差数列等比数列的重要公式。
五、课前准备：多媒体，白板，课件。
六、教学程序：1、对比回顾复习：等差数列等比数列的定义、通项公式。
2、探究等差数列公式特点：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
3、对比回顾复习：等差数列等比数列的重要性质；等差中项和等比中项。
4、例1.⑴｛a n｝是首项a i= 1,公差d = 3的等差数列，若a n = 2005,则n =()⑵在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是( )5、例2.求下列各等比数列的通项公式：(1)a1= —2, a3 ——8; (2) a1= 5,且2a n+1 ——3a n.6、练习：(1)等比数列｛a n｝，a2=2,a6=162,求q, a 4(2)等比数列｛a n｝, a a+2 a3a?+ a4a10=36 , a n>0, 求a3+ a?(3)等差数列｛a n｝，a1+a4+a?=39,a2+a5+a8=33,求a s+a s+a o(4)数列｛a n｝，a1=1,a n-a n-1 =2,求a n7、思考题：1 、求4和8的等比中项x,公比q2 、知数列｛an｝满足a1 —1，a n+1—2a n + 1.(1) 求证数列｛a n+1｝是等比数列；(2) 求｛a n｝的表达式.&小结、作业布置。
等差数列与等比数列复习教案
所有数列：
等差数列
等比数列
定义
通项公式
前n项和
公式
中项公式
a,A,b成等差数列
a,G,b成等比数列
判定
性质
①
①
②
②
③在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按原来的顺序排列，仍是等差数列。
如：
③在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按原来的顺序排列，仍是等比数列。
如：
④在等差数列中，每连续m项之和构成的数列仍是等差数列。如： 仍是等差数列。
4.（2010安徽）设数列 的前n项和 ，则 的值为________， =________
5、已知三个数成等差数列，它们的和是15，如果把这三个数依次加上1，3，5，则成等比数列，求这三个数。
2、(2011福建)等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3= （I）求数列{an}的通项公式；
填空：
1.（2010重庆）在等差数列 中， ，则 的值பைடு நூலகம்________
2.（2009湖南）设 是等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 等于______
3.（2010全国Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则 =_______
④在等比数列中，每连续m项之和或积构成的数列仍是等比数列。如： 仍是等比数列。
也仍是等比数列。
⑤在有穷等差数列中：
⑤在有穷等比数列中：
三个数成等差数列的数中，一般设为：
三个数成等差数列的数中，一般设为：
1、(2011辽宁)已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列{an}的通项公式
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课题：等差数列与等比数列
『三维目标』
1.知识与能力：
①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；
②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。
2.过程与方法：
通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：
通过公式的简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
『教学重点』等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及应用
『教学难点』等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及应用
『课型』复习课
『教学过程』
一、基础知识巩固
二、例题分析
◆例1．(2011辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式
◇练一练(2011福建)等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=
13
3
（I ）求数列{a n }的通项公式； ◆例2．（2009北京）若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；8S =
◇练一练（2012合肥三模)已知数列{}n a 满足122n n n a a a ++=-（*
n N ∈）2151,75a S =-=,则5a =_______
◆例3. (2011浙江)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，
且11a ，21a ，4
1
a 成等比数列 （I ）求数列{}n a 的通项公式及n
S
1.（2010重庆）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为________
2.（2009湖南）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于______
3.（2010全国Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =_______
4.（2009江西）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
63S S =3，则96
S
S =______ 5.（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为
________ 1．数列{}n a 中，若满足11a =，
111
2n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是_______数列， 数列{}n a 的通项公式n a =________
2. 数列{}n a 中，若11a =，121n n a a +=+，求数列{}n a 通项公式n a
三、归纳小结：等差、等比数列是数列的基础内容，也是高中数学重点内容。
对于基本概念、公式、性
质我们要熟练掌握，在遇到基本概念等问题时通用的办法是用基本量1,()a d q 来处理。
另在用等比数列前n 项和公式时，注意一下公比q ，若不确定则可能需要讨论。
四、课后练习：学业水平测试数列单元模拟卷
五、课后反思：。