机械振动 第2章(习题)

第二章 单自由度系统

习题

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：ω2

n

=g/δ

运动微分方程（式2.5）：x +ω2

n

x=0

初始条件：x (0)=3δ,x (0)=0 由式2.8有： A=2

020

)

(ω

n

x x

+=3δ

ϕ=arctg

n

x x

ω

00 =0

由式2.7有： 响应：x =3δcos(

δ

g t)

2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 解：ω2

n

=g/δ=9.8/0.2=49

运动微分方程（式2.5）：x +ω2

n

x=0

初始条件：x (0)=-0.2,x (0)=0 由式2.8有：

振幅：A=2

020)

(ω

n

x

x

+=0.2

ϕ=arctg

n

x x

ω

00 =0

由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2π/ωn

弹簧刚度：k=mg/δ=1⨯9.8/0.2=49(N/m) 最大弹簧力：F Smax =-kA=-49⨯0.2=9.8(N)

2.3 重物m l 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m 2从高度为h 处自由落到m l 上而无弹跳，如图T —2.3所示，求其后的运动。

图 T —2.3

解：ω2

n

=k/(m 1+m 2)

运动微分方程（式2.5）：x +ω2

n

x=0

初始条件：x (0)=- m 2g/k m 2gh=21

(m 1+m 2)x 2(0)⇒ x (0)

(以下略)

2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆

心受到一弹簧k 约束，如图T —2.4所示，求系统的固有频率。

图 T —2.4

解：系统的势能：U=21

kr 2θ2

系统的动能：E t =21

I ∙

θ2

+21

mr

2

∙

θ

2

由d(U+E t )=0得：（I+ mr 2

）∙

∙θ+kr 2θ=0

ω2

n

=2

2

mr I kr

+

2.5 均质杆长L 、重G ，用两根长h 的铅垂线挂成水平位置，如图T —2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO 微幅振动的周期。

图 T —2.5

解：系统的势能：U=21k ⨯(21

a θ)2

+21k ⨯(21

a θ)2

=41

ka 2θ2

系统的动能：E t =21

I ∙

θ2

由d(U+E t )=0得：I ∙

∙θ+21

ka 2θ=0

ω2

n

=

I

ka

22

T=2π/ωn

2.6 求如图T —2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，

且k 2＝2k 1，k 3=k 1。

图 T —2.6

解：设k 1=k

则12

1k =1

1k +2

1k =k 1+k 21⇒k 12=32

k

系统的势能：U=21

k 12x 2

+21

k 3x 2

=65

kx 2

系统的动能：E t =21

m ∙

x 2

由d(U+E t )=0得：m ∙

∙x +35

kx=0

ω2n

=m k

35

T=2π/ωn

2.7 如图T —2.7所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

图 T —2.7

解：系统的势能：U=mg(R-r)(1-cos θ)=21

mg(R-r)θ2 {说明：21

mg(R-r)θ2为重心变化引起的势能； 由于重心变化引起的势能为：mg(R-r) (1-cos θ)； 由三角函数的的倍角公式：cosa=1-2sin 2（a/2），

且当a 很小时，sina ≈a

⇒cos θ=1-2sin 2（θ/2）=1-2（θ/2）2=1-θ2/2 ⇒ mg(R-r)(1-cos θ)=21

mg(R-r)θ2}

系统的动能：E t =21

m(R-r)2

∙

θ

2

+21

I （

r

r R -）

2

∙

θ

2

{说明：

圆柱质心点的速度:(R-r)∙

θ=r ∙

ψ⇒∙

ψ=r

r R -∙

θ

}

由d(U+E t )=0得柱体的摆动方程： [m(R-r)2

+ I （

r

r R -）2

] ∙

∙θ+ mg(R-r)θ=0

对于均质圆柱：I=21

mr 2

2

3m(R-r)2

θ∙

∙+ mg(R-r)θ=0

ω2

n

= 2g/[3(R-r)2]

2.8 横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为

γ的液体中。设从平衡位置压低距离x (见图T —2.8)，然后

无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。