2.3 函数的值域与.最值课件(北师大版必修一)

(2)由
⇒ab>0.

①0<a<b时，由(1)可知：x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f(1)＝2，所以

≤2⇒a≥1，
即1≤a<b，由(1)可知：x∈[a，b]时f(x)递 减，

3x－x3＝ ⇒x4－3x2＋2＝0⇒x1＝1；x2 ＝ ，所以a＝1，b＝ .

②a<b<0时，由(1)可知：x∈(－∞，0)时 f(x)递增，
5 2
使用此法求解，该函数的值域为[ , ＋
∞) ．

8．求导法——当一个函数在定义域上可 导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－
x，x∈[0,2]的值域为

．

9．数形结合法——当一个函数图象可作 [0，＋∞)
时，通过图象可求其值域和最值；或利 用函数所表示的几何意义，借助于几何




解析：本小题主要考 查正六棱柱的概念与 性质，以及函数的相 关知识，考查考生运 用导数知识解决实际 问题的能力． 设被切去的全等四边 形的一边为x，如图 所示，则正六棱柱的 底面边长为1－2x， 高为 x，


所以正六棱柱的体积
V＝6×
(1－2x)2×
x(0<x<
)，
化简得V＝ (4x3－4x2＋x)． 又V′＝ (12x2－8x＋1)， 或 x＝ .


3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数 的值域由函数的定义域及其对应法则唯 一确定． 4．当函数由实际问题给出时，函数的值 域由问题的实际意义确定．



四、求函数的值域是高中数学的难点， 它没有固定的方法和模式．常用的方法 有： [2，＋∞) 1．直接法——从自变量x的范围出发，推 出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域 为 ． (0，＋∞) 2．配方法——配方法是求“二次函数类” 值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋ bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配 方法，如y＝4x＋2x的值域为 ．
当a<0时，值域为 3．y＝ (k≠0且x≠0)的值域

(0，＋∞) 4．y＝ax(a>0，且a≠1)的值域 R
是
． .
[－1,1] [－1,1] 5．y＝logaxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa>0，且a≠1)的值域是

6．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分 别为
三、确定函数的值域的原则 1．当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的 值域是指表格中实数y的集合． 2．当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的 图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．? 值域是指
所以


相减得3＋a2＋ab＋b2＝ ；相加得3＋a2 －ab＋b2＝ ，所以ab＝0，无解．

综合①②，存在a＝1，b＝
使f(x)在区
间[a，b]上的取值范围为

．
[总结评述] 本题考查了导数及其运用， 以及函数值域的讨论．

如图所示，将边 长为1的正六边形 铁皮的六个角各 切去一个全等的 四边形，再沿虚 线折起，做成一 个无盖的正六棱 柱容器．当这个 正六棱柱容器的 底面边长为
6．不等式法——利用基本不等式：a＋
b≥2
(a、b∈R＋)求函数的值域．用不
等式法求值域时，要注意均值不等式的 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
使用条件“一正、二定、三相等”，如
y＝x＋
为
的值域
．

7．单调性法——确定函数在定义域(或某个
定义域的子集)上的单调性求出函数的值
域．形如y＝ 的函数的值域均可


[解析] (1)(配方法)：由3＋2x－x2≥0，得 －1≤x≤3. ∵y＝4－ ， ∴当x＝1时，ymin＝4－2＝2. 当x＝－1或3时，ymax＝4. ∴函数值域为[2,4]． (2)(换元法)：令t＝ (t≥0)，则x＝ ∵y＝－t2＋t＋1＝－(t－ )2＋ ， ∵当t＝ 即x＝ 时，ymax＝ ，无 最小值．





答案：换元法 (－∞， ] 三角换元法 [－1， ] 解析：y＝x＋ ，令 ＝t，x ＝1－t2 ∴y＝－t2＋t＋1，t∈[0，＋∞) ∴y∈(－∞， ]， y＝x＋ ，令x＝sinθ， θ∈[－ ， ] ∴y＝sinθ＋cosθ＝ sin(θ＋ )， ∴y∈[－1， ]．



∴y≥
＋
＝1，故选C.
答案：C

3．值域是(0，＋∞)的函数是 ( )


A．y＝x2－x＋1
C．y＝3 ＋1
B．y＝(
)1－x
D．y＝|log2x2| ，＋∞)，C中y＞1，D
解析：A中y∈[ 中y≥0，故应选B.

5．(2008·重庆)函数f(x)＝
的最大
值为(

)
B. C. D．1

【例2】
求下列函数的值域：

(1)y＝
；(2)y＝
.

[解析] (1)解法一：(反函数法)由y＝ 解出x，得x＝ ，∵2y＋1≠0，∴函数
的值域为{y|y≠－ ，且y∈R.}

(2)(判别式法)：由y＝
得

yx2－3x＋4y＝0，当y＝0时，x＝0，当
y≠0时，由△≥0得－ ≤y≤
定义域为R， ，∵函数
由V′＝0，得x＝
∵当x∈(0， )时，V′>0，V是增函数； 当x∈( ， )时，V′<0，V是减函数．



1．求值域无程序化方法，应在熟练掌握 几种基本方法的基础上，对具体的题目 作具体的分析，选择最优的方法解决． 2．求函数的值域不但要重视对应法则的 作用，而且要特别注意定义域对值域的 制约作用． 3．遇到含有字母系数或参数区间的一类 求值域问题时，应对字母进行合理的分 类讨论．

解析：先求出函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义
域：

⇒ ⇒1≤x≤3. ∴函数的定义域为[1,3]，
又y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋

三、区分求函数值域的方法 4．求函数y＝x＋ 与y＝x＋ 的值域，虽然形式上接近但采用方法却 不同，前者采用的方法为________，值 域为________；后者采用的方法为 ________，值域为________．

●易错知识 一、值域求解失误 1．求y＝sin2x＋sinx＋1的值域结果为[， ＋∞)对吗？ 答案：[，3] 2．已知函数f(x)＝log2(x2＋ax－a)的值域 为R，则实数a的取值范围__________． 答案：(－∞，－4]∪[0，＋∞)



二、忽视定义域对值域的制约作用而失 误 3．已知f(x)＝2＋log3x，其中x∈[1,9]，当 x＝________时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有 最大值，最大值为________． 答案：x＝3 13
如y＝
[－2,1]
(a1，a2不同时为零)
的函数的值域常用此法求解．如y＝ 的值域为 ．

5．换元法——运用代数或三角代换，将所
给函数化成值域容易确定的另一函数，
从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋ [1，＋∞)
b±
(a、b、c、d均为常数，且
a≠0)的函数常用此法求解，如y＝x＋
的值域为 ．


∴函数y＝
的值域为
.

[总结评述] ①反函数的定义域即为原函
数的值域，形如y＝ (a≠0)的函数值
域可用反函数法，也可用配凑法．

②把函数转化成关于x的二次方程F(x，y) ＝0，通过方程有实根，判别式△≥0，从 而求得原函数的值域，这种方法叫判别 式法．形如y＝ (a1，a2不同
时为0)的函数的值域常用此法．此类问题

●基础知识 一、函数的值域的定义
函数值
在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y
值域
值叫做

，函数值的集合叫做函数 的 ．

二、基本初等函数的值域
R
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域为
.


2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是
当a>0时，值域为
{y|y∈R且y≠0}
； .

3．反函数法——利用函数和它的反函数的
定义域与值域的互逆关系，通过求反函 数的定义域，得到原函数的值域．形如y
＝
(a≠0)的函数的值域，均可使
(－1,1)
用反函数法．此外，这种类型的函数值 域也可使用“分离常数法”求解，如：y

4．判别式法——把函数转化成关于x的二
次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判 别式△≥0，从而求得原函数的值域．形

【例3】
(2007·重庆模拟)已知：f(x)＝3
x－x2|x|(x∈R.

(1)求f(x)的最大值； (2)是否存在实数a，b使f(x)在区间[a，b] 上的取值范围为 ．

[解析] (1)f(x)＝3x－x2|x|＝ 当x≥0时，f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)， 所以当x∈(0,1)，f′(x)>0，所以x∈(0,1)时 f(x)递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，所以 x∈(1，＋∞)时f(x)递减． 当x<0时，f′(x)＝3＋3x2>0，所以x∈(－∞， 0)时f(x)递增． 因为函数f(x)在x＝0处连续，所以x∈(－ ∞，1)时f(x)递增，x∈(1，＋∞)时f(x)递 减．
分为两大类：一类为分子和分母没有公 因式一般可使用判别式△≥0解得，但要