九年级数学自主招生模拟试题

江苏省九年级数学自主招生模拟试题毕业学校： 准考证号： 姓名：本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟．试卷满分150分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把所选项前的字母代号填在答题卡．．．上的对应题的表格内） 1．关于x 的不等式x －m ＞0，恰有两个负整数解，则m 的取值范围是（ ▲ ） A ．-3＜m ＜-2B ．-3≤m ＜-2C ．-3≤m ≤-2D ．-3＜m ≤-22．如图，已知AB ∥DE ,∠ABC =75°，∠CDE =145°，则∠BCD 的值为（ ▲ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．70°3．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝30°，则BD ׃ DC 等于（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．4．已知△ABC 的周长是24，M 为AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积为（ ▲ ）A ．12B ．16C ．24D ．305．对于方程x 2－2|x |+2=m ，如果方程实根的个数为3个，则m 的值等于（ ▲ ）A ．1B ．C ．2D ．2.56．某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格上升了 （ ▲ ）A ．10%B ．9.9%C ．8.5%D ．8.9%7．已知点P （1－2m ，m －1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0 ，bx 2+cx +a =0 ，cx 2+ax +b =0332221-31-3AB CD第3题第2题ABCDE恰有一个公共实数根，则的值为 （ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知x 、y 均为实数，且满足xy +x +y =5，x 2y +xy 2=6，则代数式 x 2+x y + y 2的值为（ ▲ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1110．四边形ABCD 内部有1000个点，以顶点A 、B 、C 、D 、和这1000个点能把原四边形分割成n 个 没有重叠的小三角形，则个数n 的值为 （ ▲ ）A ．2002B ．2001C ．2000D ．1001二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把结果直接填在答题卡．．．上的对应题中的横线上）11．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则－|a －b |= ▲ ．12．当x =a 或x =b （a ≠b ）时，代数式x 2－4x +2的值相等，则当x =a +b 时，代数式x 2－4x +2的值为 ▲ ．13．分解因式9－6y －x 2+y 2= ▲ ．14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，四边形ODEF 和四边形ABCD 都是正方形，点F在y 轴的正半轴上，点C 在边DE 上，反比例函数的图象过点B 、E ．则 AB 的长为 ▲ ．15．如图，已知M （3，3），⊙M 的半径为2，四边形ABCD 是⊙M 的内接正方形，E为AB 中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，△OME 的面积最大值为 ▲ ．16．如图，在矩形ABCD 中，AD =5，AB =15，E 、F 分别为矩形外两点，DF =BE = 4，AF =CE =3，则EF 等于 ▲ ．abc ac b bc a 222++2a 4y x=xba第14题xy BE AD OF CABC DMExy O 第15题17．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且，DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB = ▲ ．18．如图，四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =78︒，∠BCD =162︒，设AD 、BC 延长线交于E ，则∠AEB = ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中a =.20．（本题满分6分）如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CN // AB ，DN 交AC 于点M ，MA = MC ． 求证：CD = AN ．[21．（本题满分8分）已知关于x 的不等式2m +x 3≤4mx －12的解是x ≥, 求m 的值．23=EB AE 21|31|()2sin 602----2121(1)1a a a a++-⋅+21-61NMBCADA BCD FEG第17题第16题D CE BFAEBADC第18题22．（本题满分10分）一个暗箱中有大小相同的1只黑球和n 只白球（记为白1、白2、…、白n ），每次从中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙是从暗箱中一次性取出2只球．(1) 若n =2，分别求甲取得3分的概率和乙取得3分的概率；（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）若乙取得3分的概率小于，则白球至少有多少个？（请直接写出结果） 23．（本题满分8分） 已知关于x 的方程只有一个实数根，求实数a 的值．24．（本题满分10分）如图，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA ＝GE .(1)求证：AG 与⊙O 相切；(2)若AC ＝5，AB ＝12，BE ＝，求线段OE 的长．25．（本题满分12分）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度（千米/小时）与时间t （小时）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点作横轴的垂线，梯形OABC 在直线左侧部分的面积即为t （小时）内污染所经过的路程S （千米）．(1) 当时，求的值；(2) 将随变化的规律用数学关系式表示出来（t ≤30）；(3) 若乙城位于甲地的下游，且距甲地174 km ，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城，如果会，在河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城？如果不会，请说明理由．201)1(411++=+++x x a x x x x x 313v (,0)T t l l 3=t s s t A v （km/h ）B lB26．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，P 是AC 上一点，过P 作PD ⊥AB 于点D ，将△APD 绕PD 的中点旋转180°得到△EPD .（设AP =x ） （1）若点E 落在边BC 上，求AP 的长； （2）当AP 为何值时，△EDB 为等腰三角形．27．（本题满分12分）已知二次函数y =ax 2－4ax +a 2+2（a ＜0）图像的顶点G 在直线AB 上，其中A （- 32，0）、B （0，3），对称轴与x 轴交于点E ．(1) 求二次函数y =ax 2－4ax +a 2+2的关系式；(2) 点P 在对称轴右侧的抛物线上，且AP 平分四边形GAEP 的面积，求点P 坐标； (3) 在x 轴上方，是否存在整数m ，使得当＜ x ≤时，抛物线y随x 增大而增大，若存在，求出所有．．满足条件的m 值；若不存在，请说明理由． 23m +252+m Gy DBCPA EBCABCA28．（本题满分12分）如图，在直角坐标系中，一次函数y =x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，平行四边形ABCD 中，D （6，0），函数y =x +m 图象过点E （4，0），与y 轴交于G ，动点P 从O 点沿y 轴正方向以每秒2个单位的速度出发，同时，以P 为圆心的圆，半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小，设运动时间为t ． （1）若⊙P 与直线EG 相切，求⊙P 的面积；（2）以CD 为边作等边三角形CDQ ，若⊙P 内存在Q 点，求t 的取值范围．3343P AB CD F xyO EGAB CDF x yO EGP（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把所选项前的字母代号填在答题卡．．．上的对应的题括号内）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把结果直接填在答题卡．．．上的对应题中的横线上）11．－b 2．12 13．(3-y +x )(3-y -x ) 1415. 3 16.17．18．21°三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分） （1） 原式= 3 －1－4－2×32……… 2分 =－5 ……… 4分20．（本题满分6分）证明：∵CN ∥AB ，∴∠DAC =∠NCA ， (1)分∵在△AMD 和△CMN 中，， ∴△AMD ≌△CMN （ASA ） …………3分 ∴AD =CN ， 又∵AD ∥CN ， ∴四边形ADCN 是平行四边形， ………5分1394⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CMN AMD MCMA NCADAC∴CD =AN ………（6分）21．（本题满分8分）解: 原不等式可化为: 4m +2x ≤12mx －3 即(12m－2)x≥4m +3 ……… 4分 又因原不等式的解为x ≥, 即6x ≥1, 比较得: 612m －2=14m +3,解得m =－53…………………………8分 22．（本题满分10分）（1）得3分，即为黑球、白球各1个， …………………………1分甲从暗箱中有放回地依次取出2只球， 第一次： ………………………2分第二次： 甲取得3分的概率，…………4分乙是从暗箱中一次性取出2只球. 第一次： …………………5分第二次：∴甲取得3分的概率，………………………7分619432黑 白1白1 白2 黑 黑白1 白2 黑白2白1 白2 黑白1白2白1白2黑白2白1黑（2）（，n >38）39 . …………………………10分 23．（本题满分8分）解：去分母得整式方程，2x 2－2x +1－a =0，△=4（2a －21220n <+当x 2=－1时，即（1－）=－1，得：a =5. …………………………7分综上，当a =，1，5时原方程只有一个实数根. …………………………8分 24．（本题满分10分）解：(1) 证明：如图 连接OA ，∵OA ＝OB ，GA ＝GE ， ∴∠ABO ＝∠BAO ，∠GEA ＝∠GAE . ………………1分∵EF ⊥BC ，∴∠BFE ＝90°，∴∠ABO ＋∠BEF ＝90°. 又∵∠BEF ＝∠GEA ，∴∠GAE ＝∠BEF . ……………2分∴∠BAO ＋∠GAE ＝90°，∴OA ⊥AG ，即AG 与⊙O 相切． …………………………4分(2)解：∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∵AC ＝5，AB ＝12，∴BC ＝13. ∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，∴△BEF ∽△BCA . …………………………6分∴BFBA＝BE BC＝EF CA，∴EF ＝，BF ＝4， …………………………8分∴OF ＝OB －BF ＝－ 4＝ . ∴OE ＝EF 2＋OF 2＝. ………………………10分 25．（本题满分12分）解：(1)由图象可知；当t ＝3时，v ＝2×3＝6，所以s ＝12×2×6＝6. …………………2分(2)当0≤t ≤5时，s ＝12·t ·2t ＝t 2； ………………… 4分当5＜t ≤10时，s ＝12×5×10＋10(t －5)＝10t －25； …………………6分当10＜t ≤30时，s ＝12×5×10＋10×5＋(t －10)×10－12×(t －10)×(t －10)2112 a 213521325136521O 10Av （km/h ）B5 1030 t （h ）Cl＝－t 2＋15t －50. …………………8分 综上可知s ＝ …………………9分 (3)当t ∈[0，5]时，S max ＝52＝25＜174. 当t ∈(5，10]时，S max ＝10×10－25＝75＜174. …………………10分 当t ∈(10，30]时，令－t 2＋15t －50=174， …………………11分4122051025,51011550,10304t t t t t t t ⎧⎪≤≤⎪-<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩41解得t 1＝28，t 2＝32，10＜t ≤30，故t ＝28，所以河流污染发生28h 后将侵袭到乙城. …………………12分26．（本题满分10分）解：（1）由题意，∠C =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10∵ AP =DE =x ，∴AD =PE =x ，PD =x ， …………………1分点E 落在边BC 上，PE ∥AB ，∴=，∴= ∴ x = …………………3分（2）∵△EDB 为等腰三角形①若DE =EB （如图）作EM ⊥AB 于M ，则DM =DB =PE =AD =， ∴x=，∴ x =，∴AP =………………………5分②若BD =DE （如图）x =10－x ，解之x =，∴AP =。