Mathematica表达式及其运算规则
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
另外，在刚开始使用Mathematica时，一般对 有关数学运算命令及数学公式的输入都不是太熟悉， 这时可以通过菜单File→Palettes的各个下级子菜单 输入相关命令及公式，不过这种输入方法效率不高， 建议还是少用为好。
500 ! N 1.220136825991110 ´ 101134
A := Table 1
1
L < <@ @ 8 8 DD H
i + j , i, 1, 8 , j, 1, 8 ; Det A
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4702142622508202833251304734720000000
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
@D D @@DD @ @ < 8 D @D
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作为集合，有下面的各种集合运算。
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•Append[list,element]在集合list的末尾加入元素 element •Apply[Plus,list]将集合list中的所有元素加在一起 •Apply[Times,list]将集合list中的所有元素乘在一起 •Complement[list1,list2]求在list1中而不在list2中元素 集合 •Delete[list,{i,j}]删除集合第i,j处的元素
Mathematica表达式及其运算规则
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
在本节中，我们将主要介绍Mathematica进行数 学运算的基本工作原理及特殊符号的输入方式。 １、 西腊字母及命令的直观输入 在Notebook中，有两种输入西腊字母的方法，一 种是调用File→Palettes→BasicInput、BaiscTypesetting 或CompleteCharacters→Letters→Greek菜单，此时 会弹出一个含有西腊字母的数学工具面板，单击此 面板的符号即可；另一种是直接通过键盘输入西腊 字母所代表的标准名称，其格式为\[Greek_name]， 例如，在Notebook中输入\[Beta]后(注意大小写)，将 会显示β，下面是一些常用西腊字母的标准名称表。
•Union[list]合并集合list中的重复元素
•Union[list1,list2,…]这是数学意义下的求集合的并集 命令 下面是有关集合方面的一些运算:
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
s = Table i ^2 + 1, i, 0, 7 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50
HL L H HL
2+ I
3 5
-
-
1 + 2 I ^2 4ä
5
2 - 11 I
其中//N表示取表达式的数值解，默认精度为16 位，它等价于N[expr],一般形式为N[expr,n]，即取表 达式n位精度的数值解。如
N Det A , 30
@@ D D
355 113
2.12669006510607072000158763622 ´ 10-37
•P*A+q*B 矩阵与数的乘法运算
•A*B A与B的对应元素相乘
•M^2 将矩阵M中的每个元素平方
•P.Q 矩阵乘法运算,其中P为m×k阶矩阵，Q为k×n 阶矩阵
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•Det[M] 求方阵M的行列式
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•MatrixForm[A] 以矩阵的形式显示Ａ •MatrixPower[M,n] 矩阵M的n次幂 •Transpose[A] 矩阵A的转置矩阵 •Eigenvalues[M] 求矩阵M的特征值
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@ D 9< = = 89 9
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
因此，在进行数学计算中，如果可能的话，就尽量 用精确数，即整数或有理数。另外，“==”称为逻 辑等号，定义一个等式要用逻辑等号。
A :=
2 9
8 > <>< <@ < 88 >D 8 : :
Solve x ^3 - 2 x^ 2 + 3 x - 6 0, x
x ® 2 , x ® -ä 3 , x® ä 3
上面的行列式|A|的计算结果，系统给出的是一 个分数值，在Mathematica中，不同类型的数进行运 算，其结果是高一级的数，如有理数与实数运算的 结果是实数，复数与实数的运算结果是复数，依此 类推。由于整数与有理数的运算级别最低,
@D @ D
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
Mathematica中的变量以字母开头，变量中不能 含有空格及下划线，因此，上面的2I表示2*I(I为虚 数)，乘号可用空格代替，在很多情况下，乘号可以 省略，如(1+I)(1+2I)中的两个乘号。如果某个表达式 的结果为复数，Mathematica就会给出复数的结果。 对下面的３次方程
8<
1, 17
17 ,
26 ,
37 , 5
2
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
其次，对于一维表，可以理解成数学意义下的向 量，对于二维表，可以理解成矩阵，因此，有如下 的矩阵函数，其中a,b为向量，p,q为常量，M为方 阵，A,B为同阶普通矩阵,具体例子参见下一节。 •Dot[a,b]或a.b 向量a与b的数量积 •Cross[a,b] 向量a与b的矢量积
•Length[list]集合list中元素的个数
•list[[i,j]]集合list中第i个子集合的第j个元素
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•list[[i]]集合list中第i个元素
•Partition[list,n]将集合list分成n个元素一组 •Prepend[list,element]在集合list的开头加入元素 element •ReplacePart[list,element,{i,j}]替换list中的第i,j处的元 素 •ReplacePart[list,element,i]替换集合list中的第i个元 素 •Reverse[list]翻转集合list中的元素 •Sort[list]将集合list中的元素按升序排序
•Eigenvectors[M] 求矩阵M的特征向量
•Eigensystem[M] 求矩阵M的特征值与特征向量
•IdentityMatrix[n] 建立一个n×n的单位阵
•DiagonalMatrix[list] 建立一个对角阵，其对角线 元素为表list
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
N p , 50 3.1415926535897932384626433832795028841971693993
使用Rationalize[expr,error]命令可将表达式转 换为有理数，其中error表示转换后误差的控制范围。 例如
Rationalize 3.1415926, 10^ - 5
5, 1, 2 , 1, 2, 6 , 1, 2, 7
1 3 , 2 9 , 1 9 , 11 3 ,28 9
B :=
其中Inverse[]是求逆矩阵命令。在Mathematica中， 一行中可以输入多个命令,各命令间用分号分隔。另 外，分号还有一个作用是通知Mathematica，只在内 存中计算以分号结尾的命令，但不输出此命令的计 算结果。
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•Table[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]建立二维表或矩 阵
•Table[f,{i,imin,imax}]建立一个一维表或向量 •Take[list,{m,n}] 给出list中从m到n之间的所有元素 •Take[list,n] 给出前n个，Take[list,-n] 给出后n个
Print "length s=", Length s , "
@ 8 @ @ @D < DD D 8@ @ D < DD @@== D 9 9 = = 9 9 @D
s 4
=", s 4
length s=8
1, 2 ,
s
4
=10
s1 = Partition Sqrt s , 2
5, 10 ,
@ = DD 9 @ D = 9 @
17 , 26 , 37 , 5 2
s1
3, 2
26 s2 = Flatten s1
1, 2, 5,
10 ,
17 ,
26 ,
37 , 5
2
s3 = Insert s2, 17, 4
1, 2, 5 , 17, 10 ,
Intersection s, s3
•Inverse[M] 求方阵M的逆矩阵
•LinearSolve[A,b] 求线性方程组AX=b的解
•NullSpace[A] 求满足方程AX=0的基本向量组，即零 解空间
•RowReduce[A] 将矩阵A进行行变换 •QRDecomposition[M] 矩阵M的QR分解 •SchurDecomposition[M] 矩阵M的Schur分解
Plus Times , 2, 上面的{1,2,3,4}称为表(List)，表是 , 4 FullForm 1a, b 3,c List 1, x Head Sin2, 3, 4 Sin
Mathematica中非常有用的结构。首先， 表可以理解成数学意义下的集合，例如 对集合{1,{2,3},4,{5,6,7},8,9},它是含有6 个元素的子集合,其中{2,3}及{5,6,7}此集 合的子集合。
•JordanDecomposition[M] 矩阵M的Jordan分解
•LUDecomposition[M] 矩阵M的LU分解
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３、Mathematica中数的类型与精度
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
在Mathematica中，进行数学运算的“数”有四 种类型，它们分别是Integer(整数)、Rational(有理数)、 Байду номын сангаасeal(实数)、Complex(复数)。不带有小数点的数，系 统都认为是整数，而带有小数点的数，系统则认为是 实数。对两个整数的比，如12/13，系统认为是有理 数，而a+b*I形式的数，系统认为是复数。 Mathematica可表示任意大的数和任意小的数，其它 计算机语言比如C、Basic是做不到这一点的，例如
•Delete[list,i]删除集合list的第i个元素
•Flatten[list]展开集合list中的各个子集，形成一个一 维表
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•FlattenAt[list,n]展开集合list中的第n级子集
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•Insert[list,element,{i,j}]插入第i个子集合的第j 个元素 处 •Insert[list,element,i]在list第i个元素的前面插入 element •Intersection[list1,list2,…]这是数学意义下的求交集命 令 •Join[list1,list2,…]将集合首尾相连，形成一个新的集 合
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２、 表达式与表结构
哈 工 程 大 学 数 • 值 计 算 软 件 电 子 教 案
Mathematica能够处理多种类型的数据形式：数 学公式、集合、图形等等，Mathematica将它们都称 为表达式。使用函数及运算符(+, -, *, /,^等)可组成各 种表达式。
FullForm[]可显示出表达式在系统内部 FullForm a * b + c存贮的标准格式，而Head[]可得到某个 表达式的头部，这对我们确定表达式的 类型很有用处。
8 < << @ 8 8< 8 8 < < 8
; Inverse A
,, 0, - 1, 1
5.0, 1, 2 , 1, 2, 6 , 1, 2, 7
; Inverse B
0.222222, - 0.333333, 0.222222 ,
-0.111111, 3.66667, -3.11111 , 0., -1., 1.
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
另外，在刚开始使用Mathematica时，一般对 有关数学运算命令及数学公式的输入都不是太熟悉， 这时可以通过菜单File→Palettes的各个下级子菜单 输入相关命令及公式，不过这种输入方法效率不高， 建议还是少用为好。
500 ! N 1.220136825991110 ´ 101134
A := Table 1
1
L < <@ @ 8 8 DD H
i + j , i, 1, 8 , j, 1, 8 ; Det A
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4702142622508202833251304734720000000
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@D D @@DD @ @ < 8 D @D
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作为集合，有下面的各种集合运算。
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•Append[list,element]在集合list的末尾加入元素 element •Apply[Plus,list]将集合list中的所有元素加在一起 •Apply[Times,list]将集合list中的所有元素乘在一起 •Complement[list1,list2]求在list1中而不在list2中元素 集合 •Delete[list,{i,j}]删除集合第i,j处的元素
Mathematica表达式及其运算规则
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
在本节中，我们将主要介绍Mathematica进行数 学运算的基本工作原理及特殊符号的输入方式。 １、 西腊字母及命令的直观输入 在Notebook中，有两种输入西腊字母的方法，一 种是调用File→Palettes→BasicInput、BaiscTypesetting 或CompleteCharacters→Letters→Greek菜单，此时 会弹出一个含有西腊字母的数学工具面板，单击此 面板的符号即可；另一种是直接通过键盘输入西腊 字母所代表的标准名称，其格式为\[Greek_name]， 例如，在Notebook中输入\[Beta]后(注意大小写)，将 会显示β，下面是一些常用西腊字母的标准名称表。
•Union[list]合并集合list中的重复元素
•Union[list1,list2,…]这是数学意义下的求集合的并集 命令 下面是有关集合方面的一些运算:
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
s = Table i ^2 + 1, i, 0, 7 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50
HL L H HL
2+ I
3 5
-
-
1 + 2 I ^2 4ä
5
2 - 11 I
其中//N表示取表达式的数值解，默认精度为16 位，它等价于N[expr],一般形式为N[expr,n]，即取表 达式n位精度的数值解。如
N Det A , 30
@@ D D
355 113
2.12669006510607072000158763622 ´ 10-37
•P*A+q*B 矩阵与数的乘法运算
•A*B A与B的对应元素相乘
•M^2 将矩阵M中的每个元素平方
•P.Q 矩阵乘法运算,其中P为m×k阶矩阵，Q为k×n 阶矩阵
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•Det[M] 求方阵M的行列式
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•MatrixForm[A] 以矩阵的形式显示Ａ •MatrixPower[M,n] 矩阵M的n次幂 •Transpose[A] 矩阵A的转置矩阵 •Eigenvalues[M] 求矩阵M的特征值
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@ D 9< = = 89 9
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因此，在进行数学计算中，如果可能的话，就尽量 用精确数，即整数或有理数。另外，“==”称为逻 辑等号，定义一个等式要用逻辑等号。
A :=
2 9
8 > <>< <@ < 88 >D 8 : :
Solve x ^3 - 2 x^ 2 + 3 x - 6 0, x
x ® 2 , x ® -ä 3 , x® ä 3
上面的行列式|A|的计算结果，系统给出的是一 个分数值，在Mathematica中，不同类型的数进行运 算，其结果是高一级的数，如有理数与实数运算的 结果是实数，复数与实数的运算结果是复数，依此 类推。由于整数与有理数的运算级别最低,
@D @ D
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Mathematica中的变量以字母开头，变量中不能 含有空格及下划线，因此，上面的2I表示2*I(I为虚 数)，乘号可用空格代替，在很多情况下，乘号可以 省略，如(1+I)(1+2I)中的两个乘号。如果某个表达式 的结果为复数，Mathematica就会给出复数的结果。 对下面的３次方程
8<
1, 17
17 ,
26 ,
37 , 5
2
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其次，对于一维表，可以理解成数学意义下的向 量，对于二维表，可以理解成矩阵，因此，有如下 的矩阵函数，其中a,b为向量，p,q为常量，M为方 阵，A,B为同阶普通矩阵,具体例子参见下一节。 •Dot[a,b]或a.b 向量a与b的数量积 •Cross[a,b] 向量a与b的矢量积
•Length[list]集合list中元素的个数
•list[[i,j]]集合list中第i个子集合的第j个元素
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•list[[i]]集合list中第i个元素
•Partition[list,n]将集合list分成n个元素一组 •Prepend[list,element]在集合list的开头加入元素 element •ReplacePart[list,element,{i,j}]替换list中的第i,j处的元 素 •ReplacePart[list,element,i]替换集合list中的第i个元 素 •Reverse[list]翻转集合list中的元素 •Sort[list]将集合list中的元素按升序排序
•Eigenvectors[M] 求矩阵M的特征向量
•Eigensystem[M] 求矩阵M的特征值与特征向量
•IdentityMatrix[n] 建立一个n×n的单位阵
•DiagonalMatrix[list] 建立一个对角阵，其对角线 元素为表list
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N p , 50 3.1415926535897932384626433832795028841971693993
使用Rationalize[expr,error]命令可将表达式转 换为有理数，其中error表示转换后误差的控制范围。 例如
Rationalize 3.1415926, 10^ - 5
5, 1, 2 , 1, 2, 6 , 1, 2, 7
1 3 , 2 9 , 1 9 , 11 3 ,28 9
B :=
其中Inverse[]是求逆矩阵命令。在Mathematica中， 一行中可以输入多个命令,各命令间用分号分隔。另 外，分号还有一个作用是通知Mathematica，只在内 存中计算以分号结尾的命令，但不输出此命令的计 算结果。
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哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•Table[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]建立二维表或矩 阵
•Table[f,{i,imin,imax}]建立一个一维表或向量 •Take[list,{m,n}] 给出list中从m到n之间的所有元素 •Take[list,n] 给出前n个，Take[list,-n] 给出后n个
Print "length s=", Length s , "
@ 8 @ @ @D < DD D 8@ @ D < DD @@== D 9 9 = = 9 9 @D
s 4
=", s 4
length s=8
1, 2 ,
s
4
=10
s1 = Partition Sqrt s , 2
5, 10 ,
@ = DD 9 @ D = 9 @
17 , 26 , 37 , 5 2
s1
3, 2
26 s2 = Flatten s1
1, 2, 5,
10 ,
17 ,
26 ,
37 , 5
2
s3 = Insert s2, 17, 4
1, 2, 5 , 17, 10 ,
Intersection s, s3
•Inverse[M] 求方阵M的逆矩阵
•LinearSolve[A,b] 求线性方程组AX=b的解
•NullSpace[A] 求满足方程AX=0的基本向量组，即零 解空间
•RowReduce[A] 将矩阵A进行行变换 •QRDecomposition[M] 矩阵M的QR分解 •SchurDecomposition[M] 矩阵M的Schur分解
Plus Times , 2, 上面的{1,2,3,4}称为表(List)，表是 , 4 FullForm 1a, b 3,c List 1, x Head Sin2, 3, 4 Sin
Mathematica中非常有用的结构。首先， 表可以理解成数学意义下的集合，例如 对集合{1,{2,3},4,{5,6,7},8,9},它是含有6 个元素的子集合,其中{2,3}及{5,6,7}此集 合的子集合。
•JordanDecomposition[M] 矩阵M的Jordan分解
•LUDecomposition[M] 矩阵M的LU分解
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３、Mathematica中数的类型与精度
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
在Mathematica中，进行数学运算的“数”有四 种类型，它们分别是Integer(整数)、Rational(有理数)、 Байду номын сангаасeal(实数)、Complex(复数)。不带有小数点的数，系 统都认为是整数，而带有小数点的数，系统则认为是 实数。对两个整数的比，如12/13，系统认为是有理 数，而a+b*I形式的数，系统认为是复数。 Mathematica可表示任意大的数和任意小的数，其它 计算机语言比如C、Basic是做不到这一点的，例如
•Delete[list,i]删除集合list的第i个元素
•Flatten[list]展开集合list中的各个子集，形成一个一 维表
上页 下页 退出
•FlattenAt[list,n]展开集合list中的第n级子集
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件 电 子 教 案
•Insert[list,element,{i,j}]插入第i个子集合的第j 个元素 处 •Insert[list,element,i]在list第i个元素的前面插入 element •Intersection[list1,list2,…]这是数学意义下的求交集命 令 •Join[list1,list2,…]将集合首尾相连，形成一个新的集 合
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２、 表达式与表结构
哈 工 程 大 学 数 • 值 计 算 软 件 电 子 教 案
Mathematica能够处理多种类型的数据形式：数 学公式、集合、图形等等，Mathematica将它们都称 为表达式。使用函数及运算符(+, -, *, /,^等)可组成各 种表达式。
FullForm[]可显示出表达式在系统内部 FullForm a * b + c存贮的标准格式，而Head[]可得到某个 表达式的头部，这对我们确定表达式的 类型很有用处。
8 < << @ 8 8< 8 8 < < 8
; Inverse A
,, 0, - 1, 1
5.0, 1, 2 , 1, 2, 6 , 1, 2, 7
; Inverse B
0.222222, - 0.333333, 0.222222 ,
-0.111111, 3.66667, -3.11111 , 0., -1., 1.