中考数学专题动态几何与函数问题

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中考数学专题8 动态几何与函数问题

【前言】

在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。

第一部分 真题精讲

【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.

（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.

（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.

【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k

y k x

=>的图象与AC 边交于点E ．

（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

⊥于BC

【思考1】已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q 分别从A,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是______、面积是______、高BE 的长是_____； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度 为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的 函数关系式，以及S 的最大值；

②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单 位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一 边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒 时的情形，并求出k 的值.

【思考2】已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ， 运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这几个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。

教学反思 课后作业

学生对于本次课评价：

○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定：

1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化

2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化

教师签字： 教务主任签字： ________

龙文教育教务处

O

x

y A

B

C D

E

C

P

Q B

A M

N