数学：24.2《相似三角形的判定》同步练习(沪科版九年级上)

24.2相似三角形的判定第1题. 如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为F ，交AC 于E 点．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由．答案：解：（1）因为90A A AFE ACB ∠=∠∠=∠=， 所以AFE ACB △∽△．（2）因为90AEF DEC AFE DCE ∠=∠∠=∠=，， 所以AFE DCE △∽△． 所以A D ∠=∠．（3）因为A D ∠=∠，90AFE DFB ∠=∠=， 所以AFE DFB △∽△．（4）因为D A ∠=∠，90DCE ACB ∠=∠=， 所以DCE ACB △∽△．（5）因为D A ∠=∠，90DFB ACB ∠=∠=， 所以DFB ACB △∽△．（6）因为D A ∠=∠，90DCE DFB ∠=∠=， 所以DCE DFB △∽△．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第2题.如图，一艘军舰从点A 向位于正东方向的C 岛航行，在点A 处测得B 岛在其北偏东75，航行75nmile 到达点D 处，测得B 岛在其北偏东15，继续航行5n mile 到达C 岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B 岛？答案：解：根据题意，可得1590A CBD BCD ACB ∠=∠=∠=∠=，．所以.BCD ACB △∽△ 由相似三角形对应边成比例，得BC AC DC BC =，即805BC BC=． ＡＦＢＣＤＥＡＤ所以240020BC BC ==，．要求军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，因此航行速度至少是200.540=÷(n mile/h)知识点：三角形相似的条件 试题类型：应用题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第3题. 如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点O ，若B D ∠=∠， 则图中相似三角形有几对？分别写出来说明理由． 答案：2对BAC DAE BOE DOC △∽△，△∽△．理由略知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：容易考查目标：基本技能 第4题. 如图，已知:3:4DE BC AD DB =∥，，若5DE =cm ，求BC 的长． 答案：353cm 知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第5题. 如图，已知ABC ACB ∠=∠，若3AD =cm ，7AB =cm ，试求AC 的长．21cm知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能第6题. 如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．答案：解：由12cm BC =，O 为BC 的中点，得6BO CO ==cm ．由4cm 9cm AO DO ==，，得23AO BO CO DO ==． 因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似， 所以AOB COD △∽△． 由相似三角形对应边成比例，得AB AO CD CO =，即523CD =． ＡＣＯ Ｄ ＢＥ ＡＤＥＣ Ｂ Ａ ＤＣＡＢＯＣ所以537.52CD ==×(cm)． 因此，CDO △的周长是67.5922.5++=(cm)．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第7题. 已知ABC △的三条边长之比为3:7:9，与其相似的另一个A B C '''△最大的边长为18cm ，则A B C '''△最小的边长为cm ，周长为cm ． 答案：6 38知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第8题. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC =cm ．答案：6知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：中等 考查目标：基本技能第9题.如图，点D E 、分别为边AB AC 、的三等分点（即：1133AD AB AE AC ==，），若22.5cm ADE S =△，求ABC S △的大小．答案：222.5cm知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第10题. 如图，在ABC △中，345AB AC BC D ===，，，是AB 上的一点，2AD =，在AC 上是否存在一点E ，使A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出AE 的长；如果不存在，请说明理由．答案：解：存在．因为22225AB AC BC +==，所以ABC △是直角三角形，90A ∠=． 设所求AE 的长为x ，在ADE △与ABC △中，90A A ∠=∠=， （1）若AD AEAB AC=，则ADE △∽ABC △． ＡＥ ＢＤ ＡＤ Ｅ Ｃ Ｂ ＡＤ ＢＣ此时234x =． 解得83x =．（2）若AD AEAC AB =，则ADE ACB △∽△． 此时243x =．解得32x =．所以，当AE 取83或32时，A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第11题. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（ ） (A)AB ADBC CD=(B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =答案：(A)知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第12题. 已知：如图，点C D ，在线段AB 上，PCD △是等边三角形．（1）当AC CD DB ，，满足怎样的关系式时ACP PDB △∽△；（2）当ACP PDB △∽△时，求APB ∠的度数．答案：解：（1）当2CD AC DB =时，ACP PDB △∽△； （2）当ACP PDB △∽△时，120APB ∠=．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：数学思考第13题. 在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=，，，， 3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？（填“是”或“不是”）． 答案：是知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第14题. 下列四组图形中不一定相似的是． Ａ．有一个角等于40的两个等腰三角形ＡＣ Ｄ Ｂ ＰＡ Ｃ Ｄ ＢＢ．有一个角为50的两个直角三角形Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 Ｄ．有一个角是60的两个等腰三角形 答案：Ａ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第15题. 能判定ABC △与A B C '''△相似的条件是．Ａ．ABAC A B A C =''''Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ Ｃ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠ 答案：Ｃ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第16题.已知：如图，9086ABD BCD AB BD ∠=∠===，，，当BC 为多少时，图中的两个三角形相似． 答案：BC 为3.6或4.8知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用第17题. 如图，线段AC BD ，相交于点O ，要使AOB DOC △∽△，已具备条件，还需要补充的条件是，或或．答案：BO OAAOB DOC B C A D OC OD ∠=∠∠=∠∠=∠=，，，知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第18题.如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下列条件中的（ ）Ａ．AC AB CD BD =Ｂ．2AB BD BC = Ｃ．AB BC CD AD=Ｄ．2AC CD CB = 答案：Ｂ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第19题. 如图，已知1234∠=∠∠=∠，． （1）图中有哪几对相似三角形？把它们写出来；ＡＢＣＡ ＤＯＢ ＡＢＤ（2）证明你所写出的结论．答案：（1）解：图中的相似三角形有三对，它们分别是AOD BOC AOBDOC △∽△，△∽△， ABD EBC △∽△ （2）证明：12AOD BOC ∠=∠∠=∠，，AOD BOC ∴△∽△，AO OD OB OC =，即AO OBOD OC=， 又DOC AOB ∠=∠，AOB DOC ∴△∽△又34∠=∠，43EBD EBO ∴∠+∠=∠+∠即ABD EBC ∠=∠ABD EBC ∴△∽△．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第20题. 如图12，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x t =，使它与直线y x =和直线122y x =-+分别交于点D E 、（E 在D 的上方），且PDE △为等腰直角三角 形．若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明原因．答案：解：存在．方法一：当x t =时，y x t ==；当t =时，112222y x t =-+=-+． E ∴点坐标为1(2)2t t -+，，D 点坐标为(t t ，． E 在D 的上方，132222DE t t t ∴=-+-=-+，且43t <．3分PDE △为等腰直角三角形，PE DE PD DE PE PD ∴===或或． 若022t PE DE t t >=-+=3，时，， 4182.525t t ∴=-+=，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若3022t PD DE t t >=-+=，时，， ＤＡＣ ＢＯ Ｅ1 234图12O122y x =-+y x = y x4.5t P ∴=∴点坐标为405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PE PD >=，时，即DE 为斜边，322.2t t ∴-+= 47t DE ∴=，的中点坐标为114t t P ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，，点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，． 若0t PE DE PD DE <==，和时，由已知得32402DE t t t t =--+=-=>，， （不符合题意，舍去）， 此时直线x t =不存在．若0t <，PE PD =时，即DE 为斜边，由已知得32222DE t t t =--+=-，， 14104t t P ∴=-+=∴，，点坐标为(00)，． 综上所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为(00)，． 方法二：设直线122y x =-+交y 轴于点A ，交直线y x =于点B ，过B 点作BM 垂直于y 轴，垂足为M ，交DE 于点N ．x t =平行于y 轴，MN t ∴=．43142..23y x x y x y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-+⎪⎪=⎩⎪⎩，，解得B ∴点坐标为444.333BM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，， 2分当0x =时，1222y x A =-+=∴，点坐标为(02) 2.OA ∴=，，3分PDE △为等腰直角三角形，.PE DE PD DE PE PD ∴===或或如图４，若0t PE DE >=，和PD DE =时，PE t PD t DE OA ∴==，，∥，BDE BOA ∴△∽△，DE BNOA BM∴=．443.4253t t t -∴=∴=，当45t =时，1842.255y x y x =-+===，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PD PE >=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==．.DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴∴=∥，△∽△， 42434273MNMN MN t DE -∴=∴==，，中点的纵坐标为181.47t P +=∴点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭， 如图5，若0t PE DE PD DE <==，或时，DE OA ∥，.DE BNBDE BOA OA BM∴∴=△∽△， 4DE =-（不符合题意，舍去），此时直线x t =存在． 10分若0t PE PD <=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==-..DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴=∥，△∽△4213 4.4104243MNMN MN t t +∴=∴=∴=-+=，，P ∴点坐标为（０，０）． 综上述所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当 4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（０，０）． 知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：合情推理题 试题难度：较难 考查目标：数学思考图5OyxDNMEABx 图4OyD N MEAB………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 第21题.如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C P 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件 的直线共有（ ）条Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：C知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：数学思考第22题. ．如图５，ABCD 是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形 共有（ ） (A)１个 (B)２分(C)３个(D)4个答案：B知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于A ．4B ．6C ．8D ．10答案：B试题号：13094 知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 录入时间：2005-9-15(13134)第24题. 如图，AF CE ⊥，垂足为点21O AO CO EO FO ====，，． （1）求证：点F BC 为的中点； （2）求四边形BEOF 的面积． 答案：解：（1）连结EF AC ， ∵21AO CO EO FO ====，， 12EO FO OCOA==∴． EF AC ∴∥．BＡＢCDE F图５第12题 OCFEBAOFEB………………………………………………最新资料推荐………………………………………12BF EF EO BC AC OC ===∴． F BC ∴为的中点．（2）由（1）知，F BC 为的中点．113(21)1222BEF CEFSSCE OF ===⨯+⨯=∴． 又11111222OEF S OE OF ==⨯⨯=，∴31222BEF OEF BEOF S S S =+=+=四边形知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第25题. 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我 就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明； （2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明． 解：答案：解：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最 高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =，12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >． 如图（2）所示，BD a =米，AE a =米BO OA BO a OA a =∴+=+，，即DO OE =．地面Ｐ第23题图ＯＡＢＥ………………………………………………最新资料推荐………………………………………11 / 1112DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OPDE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度， 跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍， 所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO 长度不变．将 OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半． 使12AE OA =，则25BO BE =． 由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF= 1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''=''，△∽△，又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A A C''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米． （注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用第26题. 在△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC =． 答案：9知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基础知识ＯＣ Ａ（3）FＥA '（4）CP 'B 'O '。