第二章-1分布函数

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a − 0) P(a < X < b) = F(b − 0) − F(a) P(a ≤ X < b) = F(b − 0) − F(a − 0)
概率论
二、分布函数的性质 (1) F( x) 在(− ∞,+∞) 上是一个不减函数 ,
即对 ∀ x1 , x2 ∈(− ∞,+∞) 且 x1 < x2 , 都有 F( x1 ) ≤ F( x2 ) ;
概率论
F(x)的分布函数图
y
1பைடு நூலகம்
22 35 34 35
0
1
2
x
例4 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 ， 上任意投掷一个质点， X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比， 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数 的分布函数. 的分布函数， 解 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x < 0 时，F(x) = P(X
x→x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数 也就是说，性质 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 是鉴别一个函 的分布函数的充分必要条件. 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件
概率论
例1 设有函数 F(x)
0 = lim F( x) = lim ( A+ Barctgx) = A− B x→−∞ x→−∞ 2
π
π
概率论
解方程组
π A− 2 B = 0 π A+ B = 1 2
得解
1 1 A= ， B= ． 2 π
概率论
只是次品， 在其 例3 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品， 中取三次，每次任取一只，作不放回抽样， 中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数， ） X 的分布函数， 表示取出次品的只数， （1） （ 求 的分布函数， （2）画出分布函数的图形。 ）画出分布函数的图形。
概率论
F( x) = P( X ≤ x), − ∞ < x < ∞
注 意: (1) F(x) 是r.v X 取值不大于 x 的概率，其取值是确定的 的概率，其取值是确定的.
分布函数是一个普通的函数， 分布函数是一个普通的函数， 正是通过它， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量. 学的工具来研究随机变量
当 当
x<0 时，{ X
22 F(x) = P{X≤x} = P{X = 0} = 35 )[ ) x 0 x1 2 x X X
当 1 ≤x < 2 时，
0 ≤x < 1 时，
≤x } = φ， 故
F(x) =0
概率论
34 F(x) = P{X = 0} + P{X = 1} = 35
当
x ≥2 时，
F(+∞) = lim F( x) = 0
x→+∞
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是 的分布函数 也不能是 不满足性质 ， 可见 也不能是r.v 的分布函数.
概率论
都是分布函数， 练习 F1(x)和F2(x)都是分布函数，为使 1F1(x) –C2F2(x)是 和 都是分布函数 为使C 是 分布函数， 和 应取下列哪组值 应取下列哪组值（ 分布函数，C1和C2应取下列哪组值（ ）。
概率论
x) ≤ =0
0
a
当 x > a 时，F(x) =1 x a 当 0 ≤ ≤ 时， P(0 ≤X ≤x) = kx
(k为常数 ) ka=1，k =1/a 由于 P(0 ≤X ≤a) = 1 ⇒ ，
F(x) = P(X ≤ = P(X<0) + P(0 ≤X ≤x) =x / a x)
概率论
故
F ( x2 ) − F ( x1 ) = P{ x1 < X ≤ x2} ≥ 0
概率论
(2) F(−∞) = lim F ( x) = 0
F(+∞) = lim F ( x) = 1
x→+∞
x→−∞
o X
(3) F(x) 右连续，即 右连续，
x
x
F( x + 0) = lim F( x) = F( x0 ) +
概率论
随机变量的分布函数
随机变量分布函数的定义 分布函数的性质
概率论
一、分布函数的定义
设 X 是一个 r.v，称 ，
F( x) = P( X ≤ x) (−∞ < x < +∞)
为 X 的分布函数 , 记作 F (x) .
] o X X x
x
看作数轴上随机点的坐标， 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (−∞, x] 内的 概率.
x 0.5(1 − e − x ), C） F ( x ) = 0,
x
x>0 x≤0
2
π
D） F ( x ) = ∫− ∞ f ( t )dt ，其中 ∫− ∞ f ( t )dt = 1
由 解： F(x)的性质 0 ≤ F( x) ≤ 1 F(x) 不减
+∞
F(−∞) = 0
F(+∞) = 1
0, x < 0 x F( x) = , 0 ≤ x ≤ a a x>a 1,
这就是在区间 [0，a]上服从均匀分布的随机变量 ， 上服从均匀分布的随机变量 的分布函数. 的分布函数
概率论
三、布置作业
1. 《概率统计》练习册 习题 概率统计》 习题6; 2.《概率统计》P59:3,5,6; 《概率统计》 3.《概率论与数理统计》（浙大第四版） 《概率论与数理统计》 浙大第四版） P57:19,20(1);
F(x) 右连续
以及 f ( x) ≥ 0 得 B 正确
概率论
例2 设随机变量 X 的分布函数为
F( x) = A+ Barctgx
(− ∞ < x < +∞)
试求常数A 试求常数A、B。
解： 由分布函数的性质， 由分布函数的性质，我们有
1 = lim F( x) = lim ( A+ Barctgx) = A+ B x→+∞ x→+∞ 2
解
F(x) = P(X ≤ x)
X的所有可能取值为： = 0,1,2 的所有可能取值为： 的所有可能取值为 X 3 22 C13 P{X = 0} = 3 = 35 C15 2 1 C13C2 12 P{X = 1} = 3 = C15 35
1 2 C13C2 1 P{X = 2}= 3 = C15 35
概率论
P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
P( X > a) = 1 − P( X ≤ a) = 1 − F(a)
P( X = a) = lim P(a − ε < X ≤ a) = lim[F(a) − F(a − ε )] = F(a) − F(a − 0)
ε →0 ε →0
请 填 空
sin x 0 ≤ x ≤ π F( x) = 0 其它
试说明F(x)能否是某个 的分布函数 能否是某个r.v 的分布函数. 试说明 能否是某个 解 上下降， 注意到函数 F(x)在 [π / 2 , π ] 上下降， 在 不满足性质(1)， 不能是分布函数. 不满足性质 ，故F(x)不能是分布函数 不能是分布函数 或者
概率论
(2) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间 x1 , x2 ]内的 随机点落在区间( 内的 概率为： 概率为：
P{ x1 < X ≤ x2 } = P{X ≤ x2 } − P{ X ≤ x1} = F( x2 ) − F( x1 ).
] x2 因此，只要知道了随机变量X的分布函数 的分布函数， 因此，只要知道了随机变量 的分布函数， 它 的统计特性就可以得到全面的描述. 的统计特性就可以得到全面的描述 （ ] （ x1
F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1
0
1
[
x2x x X X
)[
概率论
故
x<0 0, 22 35, 0 ≤ x < 1 F( x) = 34 , 1≤ x < 2 35 1, x≥2
下面我们从图形上来看一下. 下面我们从图形上来看一下
注意右连续
= 3 2 = 1 2
(A) C
1
C
2
√
(B ) C1
2 = 3
C2
1 = − 3
2
(C ) C 1 = −
3 2
C2 =
1 2
(D ) C1 =
2 3
C
=
1 3
x→+∞
lim [C1F1 ( x) − C2F2 ( x)] = C1 − C2 = 1
概率论
3）下列函数中，可作为某一随机变量的 下列函数中， B 分布函数是 1 1 1 A） F ( x ) = 1 + 2 B） F ( x ) = + arctan x