第二章随机变量及其分布函数
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25
例2.2.7 为了保证设备正常工作，需配备适量的 维修工人(工人配备多了浪费,配备少了又要影响生 产),现有同类型的设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的 故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情形),问 至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不 能及时维修的概率小于0.01?
数，则 X ~ bn,1/ 6 .
(1)
P( X
1)
n
1
1 6
5 6
n1
n 5n1Biblioteka Baidu6n
(2) P(X 1) 1 P(X 0) 1 5 n
6
(3) 欲使
1 5 n 1 6 2
必须
n ln 2 3.8 ln 6 ln 5
所以至少要投掷4次.
17
例 2.2.5 一种生物试验的费用比较昂贵，而每次 试验取得成功的概率为 0.4. 如果试验者希望以 0.95 的概率至少取得一次成功，则至少应做几次试验？
解 设至少应做 n 次试验， X 表示 n 次试验中取得
成功的次数，则 X ~ bn,0.4 .因为
P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.6n 0.95
所以
n ln 0.05 5.86
ln 0.6
即至少应做6次试验.
18
例2.2.6 某人进行射击，设每次击中的概率均为 0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
一个 S ，总有一个确定的实数 X () 与其对应，则称 X X () 为随机变量．
通常用字母表后的大写字母 X,Y,Z 等表示随机 变量，其可能的取值用小写字母 x, y, z 等表示．
如果随机变量的所有可能取值是有限的或者是可 列无穷的（可以表示成一个数列），则称它为离散 型随机变量．如果随机变量的可能取值可以充满整 个区间，则称它为连续型随机变量．
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
8
§2.2 离散随机变量的概率分布律
2.2.1 分布律 如果随机变量X的所有可能取值是有限的或者是可
列无穷的（可以表示成一个数列），则称X为离散型 随机变量．
对于离散型随机变量，关键是要确定：
1）所有可能的取值是什么？ 2）取任一可能值的概率是多少？
9
定义 2.2.1 设离散型随机变量 X 的所有可能 取值为 x1, x2, , xk , ，则称
以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻发 生故障的台数,则 X~B(20,0.01).
于是,第一个人来不及维修的概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.99)20 20(0.01)(0.99)19 0.0169
27
设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这 一事件，则有
P X k k e k 0,1,2,
k!
其中参数 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的
泊松分布，记作 X ~ P .
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服
从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之
间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从
参数为0.69的泊松分布。
6
例2.1.1 从一批产品中随机抽取10个进行检验， 其中含有的废品数是一个随机变量，它的所有可能 取值是0,1,…,10，因此它是一个离散型随机变量.
例2.1.2 某商店在某天的顾客数是一个随机变量， 它的所有可能取值是0,1,…，因此它是一个离散型 随机变量.
例 2.1.3 某品牌的电视机的寿命 X 是一个随机变
P(A) P{X 2} 0.0169
再考虑第二种方法
以 Y 表示3个人共同维护的80台机器中同一时刻发 生故障的台数,则 Y~B(80,0.01).于是他们来不及维修的
概率为( np 0.8)
P{Y 4}
(0.8)k e0.8 0.00908 P( A)
k4 k !
按第二种方法 效率更高！
注：当n=1时的二项分布B(1,p)称为0-1分布。
16
例 2.2.4 投掷一个均匀骰子 n 次，求 (1) 恰好得到 一个 6 点的概率；(2) 至少得到一个 6 点的概率；(3) 为了以 0.5 的概率保证至少得到一个 6 点，则至少要 投掷几次？
解 设 X 表示掷一个均匀骰子 n 次出现 6 点的次
np 大小适中时，可以用下列近似公式：
n
k
pk (1
p)nk
k
k!
e
泊松定理表明,当n很大(一般不小于20) p很小
(一般不大于0.05) 时,二项分布可近似的用泊松分 布来表示.这实际上也就表明了大量试验中稀有事 件发生的次数可以用泊松分布来描述.
24
续例2.2.6 现在我们运用泊松定理来做近似计算, 由于此时
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
pi P( X xi ) ， i 1, 2, , n, 为 X 的概率分布或分布律.
离散型随机变量的分布律也可表示为
X x1 x2 xn
或记为
P p1 p2
pn
X
~
x1 p1
x2 p2
xk
pk
10
分布律的基本性质
(1) 非负性： pi 0, i 1, 2, ;
(2) 规范性： pi 1. i 1 这两个性质也是判断一个数列 p1, p2, , pk , 能
量，它的所有可能取值是 0,，因此它是一个连续
型随机变量. 7
用随机变量表示随机事件
例如，若我们用 X 表示某台电视机的寿命，并且 规定寿命超过 10000 个小时的电视机为合格品，则该 电视机为合格品这一事件就可以表示为 {X 10000}；又如，由两个人负责维修 10 台机器， 设 X 为同时出故障的机器数，则机器出故障而来不及 维修这一事件可以表示为{X 2} ；再如，设 X，Y 分别表示甲乙两队在一场篮球对抗赛中的各自的得 分，则甲获胜这一事件可以表示为{X Y}；等等.
26
例2.2.8 设有80台同类型设备,各台工作是相互独 立的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是 由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同维修80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修 的概率的大小.
解 先考虑第一种方法
第二章 随机变量及其分布函数
1
第一节 随机变量
概率论是从数量上来研究随机现象内在 规律性的，为了更方便有力的研究随机现象， 就要用数学分析的方法来研究，因此为了便 于数学上的推导和计算，就需将任意的随机 事件数量化．当把一些非数量表示的随机事 件用数字来表示时，就建立起了随机变量的 概念．
2
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个 球,观察摸出球的颜色.
k!
P(k;) P(k 1;) k
于是，若 不是正整数，则当 k []时，P(k;) 随 k 递增；当 k []时，P(k;) 随 k 递减；当 k [] 时 P(k;) 达到最大值.
若 是正整数，则当 k 时, P(k;) P(k 1;) , 即 P(k;) 在 k 和 k 1处取得最大值.
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为X， 则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400 (0.02)(0.98)399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算
公式。
19
2.2.3 泊松分布
一、泊松分布
若离散型随机变量 X 的分布律为：
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
15
0-1分布或两点分布
若X的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1
或者
X0
1
P 1 p
p
则称随机变量X服从参数为p的0-1分布或两点分布.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
解 设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数
为X,则 X~B(300,0.01).所需解决的问题是确定最小的N,
使得
P{X N} 0.01
查表知,满足上式
由泊松定理 ( np 3) ，有 最小的N是8.因此,为
P{X N} 3k e3 0.01
k N 1 k !
达到上述要求,至少 需配备8个工人.
否成为某个随机变量的分布律的充分必要条件.
11
例 2.2.1 已知随机变量 X 的分布律是
PX
k
c
2 3
k
，k
1, 2,3,
求 (1) 常数 c ；(2)
P
1 2
X
5 2
.
解 (1) 由分布律的性质，有
k 1
pk
c
k 1
2
k
3
c 2/3 1 2 / 3
2c
1
解得， c 1 2
(2)
22
泊松定理
定理 2.2.1 ( 泊松定理) 假设在 n 重贝努里试 验中，随着试验次数 n 无限增大，而事件出现的
概率 pn 无限缩小，且当 n 时有 npn ，
则
n
lim
n
k
pnk (1
pn )nk
k e
k!
23
泊松定理的含义
由于泊松定理是在 npn 条件下得到的，所以在
计算二项分布有关概率时，当 n 很大， p 很小，而
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有 P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6).
6
5
定 义 2.1.1 设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 是 S ， 如 果 X X () 是定义在样本空间 S 上的实值函数，即对于每
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
13
例 2.2.3 掷一个不均匀的硬币，出现正面的概率
为 p 0 p 1，设 X 为投掷到正反面均出现为止时
所需掷的次数，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 2,3,, n,，记 Ai 表示掷第 i 次 硬币时出现正面，则事件 A1, A2, , An , 相互独立，且
所以
X n A1 An1 An A1 An1 An
n 400, p 0.02, 故 np 8 ,于是
因此
P{X 0} e8, P{X 1} 8e8 P{X 2} 1 e8 8e8 0.997
该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大 量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大
的.因此在大数次的试验中,不能忽略小概率事件.
记 Ak {第 k 次取的是白球}，于是
{X i} A1A2 Ai Ai1
由概率的乘法公式，有
P( X i) P( Ai1 | A1 Ai )P( Ai | A1 n m m i 1 m 1 m n i n i 1 n 1 n
Ai1) P( A2 | A1)P( A1)
i 1, 2, , m
P( X n) p n1q pqn1
即X的分布律为
X
2
3
P 2 p1 p p2q pq2
…… ……
n p n1q pq n1
……
……
14
2.2.2 二项分布
定义2.2.2 如果随机变量X的分布律为
PX
k
n
k
pk
1
p nk
k 0,1,2,, n
则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X ~ bn, p
例2.2.7 为了保证设备正常工作，需配备适量的 维修工人(工人配备多了浪费,配备少了又要影响生 产),现有同类型的设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的 故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情形),问 至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不 能及时维修的概率小于0.01?
数，则 X ~ bn,1/ 6 .
(1)
P( X
1)
n
1
1 6
5 6
n1
n 5n1Biblioteka Baidu6n
(2) P(X 1) 1 P(X 0) 1 5 n
6
(3) 欲使
1 5 n 1 6 2
必须
n ln 2 3.8 ln 6 ln 5
所以至少要投掷4次.
17
例 2.2.5 一种生物试验的费用比较昂贵，而每次 试验取得成功的概率为 0.4. 如果试验者希望以 0.95 的概率至少取得一次成功，则至少应做几次试验？
解 设至少应做 n 次试验， X 表示 n 次试验中取得
成功的次数，则 X ~ bn,0.4 .因为
P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.6n 0.95
所以
n ln 0.05 5.86
ln 0.6
即至少应做6次试验.
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例2.2.6 某人进行射击，设每次击中的概率均为 0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
一个 S ，总有一个确定的实数 X () 与其对应，则称 X X () 为随机变量．
通常用字母表后的大写字母 X,Y,Z 等表示随机 变量，其可能的取值用小写字母 x, y, z 等表示．
如果随机变量的所有可能取值是有限的或者是可 列无穷的（可以表示成一个数列），则称它为离散 型随机变量．如果随机变量的可能取值可以充满整 个区间，则称它为连续型随机变量．
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
8
§2.2 离散随机变量的概率分布律
2.2.1 分布律 如果随机变量X的所有可能取值是有限的或者是可
列无穷的（可以表示成一个数列），则称X为离散型 随机变量．
对于离散型随机变量，关键是要确定：
1）所有可能的取值是什么？ 2）取任一可能值的概率是多少？
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定义 2.2.1 设离散型随机变量 X 的所有可能 取值为 x1, x2, , xk , ，则称
以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻发 生故障的台数,则 X~B(20,0.01).
于是,第一个人来不及维修的概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.99)20 20(0.01)(0.99)19 0.0169
27
设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这 一事件，则有
P X k k e k 0,1,2,
k!
其中参数 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的
泊松分布，记作 X ~ P .
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服
从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之
间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从
参数为0.69的泊松分布。
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例2.1.1 从一批产品中随机抽取10个进行检验， 其中含有的废品数是一个随机变量，它的所有可能 取值是0,1,…,10，因此它是一个离散型随机变量.
例2.1.2 某商店在某天的顾客数是一个随机变量， 它的所有可能取值是0,1,…，因此它是一个离散型 随机变量.
例 2.1.3 某品牌的电视机的寿命 X 是一个随机变
P(A) P{X 2} 0.0169
再考虑第二种方法
以 Y 表示3个人共同维护的80台机器中同一时刻发 生故障的台数,则 Y~B(80,0.01).于是他们来不及维修的
概率为( np 0.8)
P{Y 4}
(0.8)k e0.8 0.00908 P( A)
k4 k !
按第二种方法 效率更高！
注：当n=1时的二项分布B(1,p)称为0-1分布。
16
例 2.2.4 投掷一个均匀骰子 n 次，求 (1) 恰好得到 一个 6 点的概率；(2) 至少得到一个 6 点的概率；(3) 为了以 0.5 的概率保证至少得到一个 6 点，则至少要 投掷几次？
解 设 X 表示掷一个均匀骰子 n 次出现 6 点的次
np 大小适中时，可以用下列近似公式：
n
k
pk (1
p)nk
k
k!
e
泊松定理表明,当n很大(一般不小于20) p很小
(一般不大于0.05) 时,二项分布可近似的用泊松分 布来表示.这实际上也就表明了大量试验中稀有事 件发生的次数可以用泊松分布来描述.
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续例2.2.6 现在我们运用泊松定理来做近似计算, 由于此时
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
pi P( X xi ) ， i 1, 2, , n, 为 X 的概率分布或分布律.
离散型随机变量的分布律也可表示为
X x1 x2 xn
或记为
P p1 p2
pn
X
~
x1 p1
x2 p2
xk
pk
10
分布律的基本性质
(1) 非负性： pi 0, i 1, 2, ;
(2) 规范性： pi 1. i 1 这两个性质也是判断一个数列 p1, p2, , pk , 能
量，它的所有可能取值是 0,，因此它是一个连续
型随机变量. 7
用随机变量表示随机事件
例如，若我们用 X 表示某台电视机的寿命，并且 规定寿命超过 10000 个小时的电视机为合格品，则该 电视机为合格品这一事件就可以表示为 {X 10000}；又如，由两个人负责维修 10 台机器， 设 X 为同时出故障的机器数，则机器出故障而来不及 维修这一事件可以表示为{X 2} ；再如，设 X，Y 分别表示甲乙两队在一场篮球对抗赛中的各自的得 分，则甲获胜这一事件可以表示为{X Y}；等等.
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例2.2.8 设有80台同类型设备,各台工作是相互独 立的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是 由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同维修80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修 的概率的大小.
解 先考虑第一种方法
第二章 随机变量及其分布函数
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第一节 随机变量
概率论是从数量上来研究随机现象内在 规律性的，为了更方便有力的研究随机现象， 就要用数学分析的方法来研究，因此为了便 于数学上的推导和计算，就需将任意的随机 事件数量化．当把一些非数量表示的随机事 件用数字来表示时，就建立起了随机变量的 概念．
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实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个 球,观察摸出球的颜色.
k!
P(k;) P(k 1;) k
于是，若 不是正整数，则当 k []时，P(k;) 随 k 递增；当 k []时，P(k;) 随 k 递减；当 k [] 时 P(k;) 达到最大值.
若 是正整数，则当 k 时, P(k;) P(k 1;) , 即 P(k;) 在 k 和 k 1处取得最大值.
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为X， 则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1 (0.98)400 400 (0.02)(0.98)399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算
公式。
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2.2.3 泊松分布
一、泊松分布
若离散型随机变量 X 的分布律为：
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
15
0-1分布或两点分布
若X的分布律为
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1
或者
X0
1
P 1 p
p
则称随机变量X服从参数为p的0-1分布或两点分布.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
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实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
解 设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数
为X,则 X~B(300,0.01).所需解决的问题是确定最小的N,
使得
P{X N} 0.01
查表知,满足上式
由泊松定理 ( np 3) ，有 最小的N是8.因此,为
P{X N} 3k e3 0.01
k N 1 k !
达到上述要求,至少 需配备8个工人.
否成为某个随机变量的分布律的充分必要条件.
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例 2.2.1 已知随机变量 X 的分布律是
PX
k
c
2 3
k
，k
1, 2,3,
求 (1) 常数 c ；(2)
P
1 2
X
5 2
.
解 (1) 由分布律的性质，有
k 1
pk
c
k 1
2
k
3
c 2/3 1 2 / 3
2c
1
解得， c 1 2
(2)
22
泊松定理
定理 2.2.1 ( 泊松定理) 假设在 n 重贝努里试 验中，随着试验次数 n 无限增大，而事件出现的
概率 pn 无限缩小，且当 n 时有 npn ，
则
n
lim
n
k
pnk (1
pn )nk
k e
k!
23
泊松定理的含义
由于泊松定理是在 npn 条件下得到的，所以在
计算二项分布有关概率时，当 n 很大， p 很小，而
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有 P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6).
6
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定 义 2.1.1 设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 是 S ， 如 果 X X () 是定义在样本空间 S 上的实值函数，即对于每
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
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例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
13
例 2.2.3 掷一个不均匀的硬币，出现正面的概率
为 p 0 p 1，设 X 为投掷到正反面均出现为止时
所需掷的次数，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 2,3,, n,，记 Ai 表示掷第 i 次 硬币时出现正面，则事件 A1, A2, , An , 相互独立，且
所以
X n A1 An1 An A1 An1 An
n 400, p 0.02, 故 np 8 ,于是
因此
P{X 0} e8, P{X 1} 8e8 P{X 2} 1 e8 8e8 0.997
该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大 量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大
的.因此在大数次的试验中,不能忽略小概率事件.
记 Ak {第 k 次取的是白球}，于是
{X i} A1A2 Ai Ai1
由概率的乘法公式，有
P( X i) P( Ai1 | A1 Ai )P( Ai | A1 n m m i 1 m 1 m n i n i 1 n 1 n
Ai1) P( A2 | A1)P( A1)
i 1, 2, , m
P( X n) p n1q pqn1
即X的分布律为
X
2
3
P 2 p1 p p2q pq2
…… ……
n p n1q pq n1
……
……
14
2.2.2 二项分布
定义2.2.2 如果随机变量X的分布律为
PX
k
n
k
pk
1
p nk
k 0,1,2,, n
则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X ~ bn, p