概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布函数

（0 - 1）分布的分布函数
p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x) 1 1-p
0 , x0 F ( x ) 1 p, 0 x 1 1 , x1
0
1
x
设随机试验E的只有两个样本点： A, A ，其中 P( A) p(0 p 1), 则称这种试验为贝努利试验(Bernoulli experiment)。 显然，贝努利试验服从（0 - 1）分布 若将一个贝努利试验 独立 重复 地做 n 次，则称之为 n 重贝努利试验。
③ 概率 P ( X 1) P (3 X 2)
当 x 4 时，在 (, x] 内不含X的任何取值
4
2.5
2
1.5
F ( x) P( X x) 0
当 4 x 2.5 时， 在 (, x] 内含X的一个取值
4
2.5
2
1.5
F ( x ) P ( X x ) P ( X 4) 1
解：
P (3 X 2)
4c 3c 2c 3c 1
所以有：
c 1
2
12
X 4 pk 1 3
2.5
1.5
1 4
1 6 1 4
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X 4 pk 1 3
求：② 分布函数 F(x) 解：
2.5
2
1.5
1 4
1 6 1 4
F ( x) P( X x) x
若连续有放回的取 n 次，那么这是一个 n 重贝努利试验。
注意：不放回抽样取 n 次，不是 n 重贝努利试验！ 问题：n 重贝努利试验服从什么分布？ 假设在 n 重贝努利试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数 那么 X 是一个离散型随机变量，其可能取值为 0,1,2…，n
例如：设 X={某路口在一段时间内通过的车辆数}
A = {通过的车辆数不超过 4} {0 X 4} B = {通过至少 6 辆车} { X 6} 设 X={取到次品的件数} 今后，我们用 随机变量的取 值和取值范围 来表示随机事 件！
{ X 2} { X 2}
= {至多取到 2件次品}= A = {恰好取到 2 件次品}= B
又因为 F ( ) lim (ae x b )
x
b1
3、F(-∞)=0, F(+∞)=1
故
a 1, b 1
§2.1 离散型随机变量 Discrete random variable
一、概念 定义1 若随机变量 X 的全部可能取值为有限个或可列无限 个可能值 x1 , x2 ,, xn ,则称 X 为离散型随机变量. 定义2 设离散型随机变量X所有可能取值为 x1 , x2 ,, xn, 且X取各个可能值的概率为
(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
Figure 1 The distribution function
【例1】给定离散型R.V.X的分布列如下： 2 X 4 2.5
1.5
pk
4c
3c
2c
3c
②
求：① 常数 C； ② 分布函数 F(x)
p
k 1

k
1
③ 概率 P ( X 1)
X 4 pk 1 3
2.5
2
1.5
1 4
1 6 1 4
求：③ 概率 P ( X 1) P (3 X 2) 解： 因为 X的可能取值中没有1， 所以
P ( X 1) P () 0
P( X x )
xi x
P( X x ).
i
P (3 X 2)
【例1】设随机变量X的分布函数为
F ( x) A B arctan x( x ),
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。 〖解〗（1）由
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim ( A B arctan x )
P ( X 2.5) P ( X 2) P ( X 1.5) 1 1 1 2 4 6 4 3
§2.2 常用离散型随机变量的分布
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为 1 X 0
pk 1 p
pk PX xk (k 1,2,)
Discrete Distribution
称为离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列). 注意：离散型随机变量 X 的概率分布(分布律或分布列) 与分布函数 F ( x ) P ( X x ) 不是一回事！
分布列的表示方法:
数列:
Ω5={正品，次品}
§2.1 随机变量及其分布函数
E4：在土地里种下一粒种子。 Ω4={发芽，不发芽}
随机试验的结果 虽然不是数量， 但是可以将它数 量化！
E5：在工厂生产的零件中任取一件。
Ω5={正品，次品}
在样本空间上定义一个集合函数 X X ( ),
0, 不发芽, X X ( ) 1, 发芽.
试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。
1 1 解：已知分布函数为： F ( x ) arctan x ( x ). 2
（2）由分布函数计算事件概率公式得：
P (a X b)
P{1 X 1} F (1) F (1) 1 1 1 1 ( ) 4 2 4 2
1 . 2
F (b) F (a )
【例2】设随机变量X的分布函数为
ae x b, x 0 F ( x) x0 0,
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
x 所以 lim F ( x ) lim ( ae b) a b 0 x 0 x 0
对于任意区间（a，b] (, b] (, a]
P(a X b) P ((, b] (, a])
定义2
设X为随机变量,x为任意实数,函数
F ( x) P{X x}
为随机变量X的分布函数(distribution function)。
Definition 2 Let X be a random variable on the sample space . Then the function ������ ������ = ������ ������ ≤ ������ ������ ∈ ������ is called the distribution function of X.
2.5
2
1.5
F ( x ) P( X x ) P( X 4) P( X 2.5) P( X 2)
1 1 1 3 3 4 6 4
当 x 1.5 时，在 (, x] 内含有X的全部取值
4
2.5
2
1.5
F ( x ) P ( X x ) P ( X 4) P ( X 2.5) P ( X 2) P ( X 1.5) 1 1 1 1 1 3 4 6 4
各次试验的结 果互不影响 每次试验中 P(A)=p
例如：① 抛一枚硬币，观察正反面出现的次数。 这是一个一重贝努利试验。 ② 若将一枚硬币连抛 n 次，观察正反面出现的次数。 令 A 表示出现正面，那么这是一个 n 重贝努利试验。
③ 袋中有 a 个红球，b 个白球，任取一球，观察其颜色，
a 令 A 表示“取到红球”，则 P ( A) ab
3
当 2.5 x 2 时， 在 (, x] 内含X的2个取值
4
2.5
2
1.5
F ( x ) P ( X x ) P ( X 4) P ( X 2.5)
1 1 7 3 4 12
当 2 x 1.5
4
时， 在 (, x] 内含X的3个取值
分布函数F(x)是随机事件{X≤x}的概率,它是一个普通函数, 因而可用微积分的方法来研究随机变量.
分布函数
随机点
F ( x) P{X x}
X
x 实数点
x
利用概率性质等知识可以证明分布函数具有下列性质:
1、0≤F(x)≤1; 图像值域范围
2、F(x) 在其间断点处是右连续. 间断点右连续(离散型)
1, 次品, X X ( ) 1, 正品.
由于试验的结果 是随机的，因而 X=X(ω)的取值 也是随机的，所 以将X=X(ω)称 为随机变量！
定义1设随机试验 E 的样本空间为 Ω={ω},称定义在������上的单 值实值函数 为随机变量,记为 R.V.X.(random variable X) 。
x
F ( ) lim ( A B arctan x )
x
解得：
于是，分布函数为：
1 1 A ,B . 2
1 1 F ( x) arctan x( x ). 2
【例1】设随机变量X的分布函数为
F ( x) A B arctan x( x ),
②取值或取值范围的概率？
例如：将一枚硬币连抛三次，观察正反面向上的情况。 样本空间 ������={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT} 设 X={正面向上的次数}
0, TTT
更为一般的，
我们来讨论随机事件 {a < ������ ≤ ������} 的概率 ������(������ < ������ ≤ ������)
E1：记录一个路口在一段时间内经过的车辆数
Ω1={0，1，2，3，……} E2：扔一个骰子，出现的点数 Ω2={1，2，3，4，5，6} E3：检验灯泡的寿命
Ω3={t|t≥0}
随机试验的结果 虽然不是数量， Ω4={发芽，不发芽} 但是可以将它数 E5：在工厂生产的零件中任取一件。 量化！
E4：在土地里种下一粒种子。
Chapter 2
随机变量及其分布
Random variable and Distribution
目录CONTENTS
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量
2.3 常用的连续型随机变量
2.4 随机变量函数的分布
§2.1 随机变量及其分布函数 Random variable and distribution 引例:
p
k 1

k
1
[规范性]用于确定待定参数
F ( x) P( X x)
随机点
xi x
P( X x ).
i
X
x 实数点
x
注 意 Attention
对离散随机变量的分布函数 distribution function 应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点;
综上所述：
x 4 0 , 1 3 , 4 x 2.5 7 F ( x) P( X x) , 2.5 x 2 12 3 , 2 x 1.5 4 x 1.5 1 ,
1
3
7
4
12
1
4 2.5
2
3
1.5
x x0 0
lim F ( x ) F ( x0 0) F ( x0 )
3、F(-∞)=0, F(+∞)=1
图像左右趋势
4、F(x)是单调不减函数,即对任意实数x1,x2(x1<x2), 有F(x1)≤ F(x2) ; 5、P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1) 图像自左至右呈上升 利用分布函数计算事件概率
pk PX xk (k 1,2,);
表格:
X
x1
p1
x2
p2
1


P
xn
pn


pk
概率分布图：
0.5
x4
x3
x1
x2
X
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
① ② ③
pk
满足下列特征性质: k 1
pk 0(k 1,2,)
[非负性]
Nonnegativity Normalization Additivity