传染病传播和控制的数学建模
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传染病传播和控制的数学建模 讲座一
佛罗里达大学公共卫生学院 新发病原研究所 Ira Longini
讲座一
• 传染病模型的建立和描述
• 输入传染病模型 参数：基本再生数R0 ，流行性和地方性阈 值，人群免疫力，临界接种比例 • 在流感、霍乱、登革热和其他重要传染病
中的应用。
流行性传染病
美国的流感大流行
• 接种的范围和大小，以减轻全球大流行？
• 对哪些人接种？
霍乱
• R0 2 6 • 环境卫生和疫苗接种
• 流行性霍乱
•大范围接种？ •环形接种？ •高危地区接种？
•和卫生工作相结合？
• 地方性霍乱
• 每年的接种范围？ • 接种哪些人？
登革热
R • 四种血清学类型， 0 5
• 疫苗研发出来了么？ • 接种哪些人群呢？
0
• 对下一代进行如上重复，更新状态
• 当S0 0或I 0 0时，停止
* 最早由Elveback和Varma在1965年完成
下一讲详细讲解三大传染病
预览
流感大流行
• R0 1.1 2.4
• 抗病毒药
• 在疫源区使用抗病毒药的范围和速度？
• 疫苗
• 在疫源区使用抗病毒药的范围和速度？
• 接种范围多大？
• 接种策略？
讲座二、突发性流感的控制
在流感的流行上
• “上帝不投色子”——爱因斯坦
• “除了流感……” ——我 • “如果你看到了一次流感流行，你（也只
是）看到了一次流感流行！”（无明显的
个性特征）
H5N1禽流感和人类
• 2013年5月，442例确诊禽流感病例
—死亡262人
农村人口
• 人口和非市区的 住房面积、年龄 分布相匹配
预览：流行传播
预览：流行传播
• 传染因子的自然史 • 社会接触结构
• 随机混合 • 随机权重图
• 干预措施
• 抗病毒药 • 疫苗 •扩大社交距离
局部特征
• 28个村庄，每个村庄有138户人家，500 个居民 • 村庄有聚集性
在这些聚集区：
随机过程：离散状态空间和时间 0 , t1 , t2 ... t
Reed-Frost模型
传染病致病因子的自然史
在一个时间单元内有传染性
社会接触结构
随机混合
p 1 q ，两个人可能足以实现接触传播
R0 (n 1) p
Reed-Frost模型
Reed-Frost模型
• L. Reed & W.H. Frost (1930)：以随机形式；但是以随
机实验来模拟。
• H. Abbey (1952)：第一个将其作为马尔科夫链进行
分析。
• L. Elveback, J.P. Fox, E. Ackerman (1960)：以电脑来实
现该模型。
Reed 和 Frost
都是约翰· 霍普金斯大学公共卫生学院前院长
如果70%的人群接种，那么80%的TAP可以有效控
制流感在 R0 2 的疫源区的大流行，有高达56天的
滞后期。
• 家庭和邻里检疫对R0 1.7 的区域是有效的，
但是对 R0 2.1 的区域无效
• 80%TAP和检疫相结合对 R0 高达2.4的区域仍 是有效的，而在此基础上增加预接种则更 有效，滞后期高达56天
• 人类的暴露因素
—中东的未知哺乳动物 —亲密接触 —医院病例
NOVEL CORONAVIRUS
英国和法国的病例或是到阿拉伯半岛旅行过，或是和到阿拉伯半岛 旅行而感染冠状病毒的人有过接触。
建模之目标
• 包括疫源地中重
组或变异的流感
病毒。
• H5N1是最有可能 的病毒 • 疫源地在东南亚
泰国有500,000的
基本再生数R0
•
R0=cpd
c为接触率； p为每次接触的传播率；
d为平均病程长度
• 阈值定理（其实是一个比较通俗的定理）
如果 R0≤1，无疾病流行
如果 R0 >1，疾病流行
一些常见传染病的R0值
有效再生数R（概念）
• R=(1-ρ) R0
ρ=f VEs（非易感人群比例）
f是接种比例 VE是疫苗的效力 • 临界接种比例（CVF）f
90%GTAP
结论
R • 80%的TAP和90%的GTAP可以有效控制流感在 0 1.4
的疫源地的大流行。
第一个被检测出的病例之后，有高达21天的滞后期，
第一个感染病例之后，有25天的滞后期 至少需要70%的TAP或GTAP
一般不超过120,000个c来自百度文库urse
R • 如果疫源地的 0 1.7，那么无论是80%的TAP还
是90%的GTAP都不能有效限制流感大流行
一般需要350,000个course
以一种低效疫苗对人群进行预接种，即使
只有50%的覆盖率，也可以产生重大作用
如果50%的人群接种，那么80%的TAP可以有效控
制流感在R0 1.7 的疫源区的大流行，有高达56天的
滞后期。预接种可以在流行之前降低有效R值
政策含义
• 当探测到第一个感染聚集区时，就应该快速建立和
部署一个奥司他韦移动储存库。
• 需要10万个course，而不是几百万个。
• 如果传染率比较低（R0 1.4 ），而且在首发病例出 现后的21天内实行干预，那么爆发就可以被针对性 的抗病毒预防方法所抑制。 • 局部检疫和其他的扩大社交距离的措施对遏制高传 染性（ R0 1.7 ）的病毒有重要作用。
f * ((1 / VEs )(1 (1 / R0 ))
*
• 求解 1 (1 f *VEs ) R0 ，可得：
* 1 (1 / R0 )
临界接种比例（CVF） R=2.3
一些临界接种比例
从数学的视角近观一个简单的 历史性模型
Reed-Frost模型的历史
• P. D. En’ko (1889)： 以确定的形式作为微分方程。
—死亡率达59% • 人类的暴露因素
—家禽农场
—活禽市场 —家畜
H7N9禽流感和人类
• 2013年5月，130例确诊禽流感病例
—死亡36人
—死亡率达28% • 人类的暴露因素
—家禽农场
—活禽市场
大部分发生于中国
地理分布
重症急性呼吸道感染（SARI） 冠状病毒（NCOV）
• 2013年5月，41例确诊禽流感病例，死亡20人 —死亡率达50%
R0 (n 1) p
• 阈值理论：
当R0 1, 无流行， 1 I0 当R0 1, 有约为1（ ）的概率会流行 R0
模拟Reed-Frost模型*
• 设定初始值 (S0 , I 0 1)
• 对于每一个 S0 ，产生[0,1]之间的随机数X • 如果 X q I ，个体将被感染
I1 ( t )
(1 p2 )
I2 (t )
(1 p3 )
I3 ( t )
P(t ) 1 Q(t )
• 为每一个混合组产生一个间于[0,1]的随机数 • 为该天的每个易感者重复以上操作
不同年龄组和R0下的感染率（未干预）
无干预，R0 1.4
R 80%TAP，滞后14天， 0 1.4
儿童首次接种，12月下旬发病高峰
儿童首次接种，12月下旬发病高峰
地方性传染病
泰国Bang Phae县登革热
2009-2010H1N1大流行
基本概念
• 基本再生数 R0
• 在全易感人群（所有人都是易感者的人群）中，
一个典型的感染者平均感染的人数。
• 或者说是： • 人群二代发病率（续发率） • 下代矩阵的最大特征值
政策含义
• 对潜在的、能在危险人群中引起大流行的
菌株疫苗的研发和部署，越快越好！ • 对于全世界所有的潜在危险区而言，流感
传播的监测和早期探测极其重要！
谢谢！
• • • 住宅也有聚集性 小的和大的托儿所 小学、中学低年级和高年级学校混合聚 集区
•
•
社会性聚集区
工作聚集区
感染传播过程
流感的自然史模型
每天的传染率
• 比如在某天t，易感者没有服用抗病毒药或接种疫苗 • 伯努利试验序列 • 逃逸（未受感染）概率
Q(t ) (1 p1 )
• 感染概率
佛罗里达大学公共卫生学院 新发病原研究所 Ira Longini
讲座一
• 传染病模型的建立和描述
• 输入传染病模型 参数：基本再生数R0 ，流行性和地方性阈 值，人群免疫力，临界接种比例 • 在流感、霍乱、登革热和其他重要传染病
中的应用。
流行性传染病
美国的流感大流行
• 接种的范围和大小，以减轻全球大流行？
• 对哪些人接种？
霍乱
• R0 2 6 • 环境卫生和疫苗接种
• 流行性霍乱
•大范围接种？ •环形接种？ •高危地区接种？
•和卫生工作相结合？
• 地方性霍乱
• 每年的接种范围？ • 接种哪些人？
登革热
R • 四种血清学类型， 0 5
• 疫苗研发出来了么？ • 接种哪些人群呢？
0
• 对下一代进行如上重复，更新状态
• 当S0 0或I 0 0时，停止
* 最早由Elveback和Varma在1965年完成
下一讲详细讲解三大传染病
预览
流感大流行
• R0 1.1 2.4
• 抗病毒药
• 在疫源区使用抗病毒药的范围和速度？
• 疫苗
• 在疫源区使用抗病毒药的范围和速度？
• 接种范围多大？
• 接种策略？
讲座二、突发性流感的控制
在流感的流行上
• “上帝不投色子”——爱因斯坦
• “除了流感……” ——我 • “如果你看到了一次流感流行，你（也只
是）看到了一次流感流行！”（无明显的
个性特征）
H5N1禽流感和人类
• 2013年5月，442例确诊禽流感病例
—死亡262人
农村人口
• 人口和非市区的 住房面积、年龄 分布相匹配
预览：流行传播
预览：流行传播
• 传染因子的自然史 • 社会接触结构
• 随机混合 • 随机权重图
• 干预措施
• 抗病毒药 • 疫苗 •扩大社交距离
局部特征
• 28个村庄，每个村庄有138户人家，500 个居民 • 村庄有聚集性
在这些聚集区：
随机过程：离散状态空间和时间 0 , t1 , t2 ... t
Reed-Frost模型
传染病致病因子的自然史
在一个时间单元内有传染性
社会接触结构
随机混合
p 1 q ，两个人可能足以实现接触传播
R0 (n 1) p
Reed-Frost模型
Reed-Frost模型
• L. Reed & W.H. Frost (1930)：以随机形式；但是以随
机实验来模拟。
• H. Abbey (1952)：第一个将其作为马尔科夫链进行
分析。
• L. Elveback, J.P. Fox, E. Ackerman (1960)：以电脑来实
现该模型。
Reed 和 Frost
都是约翰· 霍普金斯大学公共卫生学院前院长
如果70%的人群接种，那么80%的TAP可以有效控
制流感在 R0 2 的疫源区的大流行，有高达56天的
滞后期。
• 家庭和邻里检疫对R0 1.7 的区域是有效的，
但是对 R0 2.1 的区域无效
• 80%TAP和检疫相结合对 R0 高达2.4的区域仍 是有效的，而在此基础上增加预接种则更 有效，滞后期高达56天
• 人类的暴露因素
—中东的未知哺乳动物 —亲密接触 —医院病例
NOVEL CORONAVIRUS
英国和法国的病例或是到阿拉伯半岛旅行过，或是和到阿拉伯半岛 旅行而感染冠状病毒的人有过接触。
建模之目标
• 包括疫源地中重
组或变异的流感
病毒。
• H5N1是最有可能 的病毒 • 疫源地在东南亚
泰国有500,000的
基本再生数R0
•
R0=cpd
c为接触率； p为每次接触的传播率；
d为平均病程长度
• 阈值定理（其实是一个比较通俗的定理）
如果 R0≤1，无疾病流行
如果 R0 >1，疾病流行
一些常见传染病的R0值
有效再生数R（概念）
• R=(1-ρ) R0
ρ=f VEs（非易感人群比例）
f是接种比例 VE是疫苗的效力 • 临界接种比例（CVF）f
90%GTAP
结论
R • 80%的TAP和90%的GTAP可以有效控制流感在 0 1.4
的疫源地的大流行。
第一个被检测出的病例之后，有高达21天的滞后期，
第一个感染病例之后，有25天的滞后期 至少需要70%的TAP或GTAP
一般不超过120,000个c来自百度文库urse
R • 如果疫源地的 0 1.7，那么无论是80%的TAP还
是90%的GTAP都不能有效限制流感大流行
一般需要350,000个course
以一种低效疫苗对人群进行预接种，即使
只有50%的覆盖率，也可以产生重大作用
如果50%的人群接种，那么80%的TAP可以有效控
制流感在R0 1.7 的疫源区的大流行，有高达56天的
滞后期。预接种可以在流行之前降低有效R值
政策含义
• 当探测到第一个感染聚集区时，就应该快速建立和
部署一个奥司他韦移动储存库。
• 需要10万个course，而不是几百万个。
• 如果传染率比较低（R0 1.4 ），而且在首发病例出 现后的21天内实行干预，那么爆发就可以被针对性 的抗病毒预防方法所抑制。 • 局部检疫和其他的扩大社交距离的措施对遏制高传 染性（ R0 1.7 ）的病毒有重要作用。
f * ((1 / VEs )(1 (1 / R0 ))
*
• 求解 1 (1 f *VEs ) R0 ，可得：
* 1 (1 / R0 )
临界接种比例（CVF） R=2.3
一些临界接种比例
从数学的视角近观一个简单的 历史性模型
Reed-Frost模型的历史
• P. D. En’ko (1889)： 以确定的形式作为微分方程。
—死亡率达59% • 人类的暴露因素
—家禽农场
—活禽市场 —家畜
H7N9禽流感和人类
• 2013年5月，130例确诊禽流感病例
—死亡36人
—死亡率达28% • 人类的暴露因素
—家禽农场
—活禽市场
大部分发生于中国
地理分布
重症急性呼吸道感染（SARI） 冠状病毒（NCOV）
• 2013年5月，41例确诊禽流感病例，死亡20人 —死亡率达50%
R0 (n 1) p
• 阈值理论：
当R0 1, 无流行， 1 I0 当R0 1, 有约为1（ ）的概率会流行 R0
模拟Reed-Frost模型*
• 设定初始值 (S0 , I 0 1)
• 对于每一个 S0 ，产生[0,1]之间的随机数X • 如果 X q I ，个体将被感染
I1 ( t )
(1 p2 )
I2 (t )
(1 p3 )
I3 ( t )
P(t ) 1 Q(t )
• 为每一个混合组产生一个间于[0,1]的随机数 • 为该天的每个易感者重复以上操作
不同年龄组和R0下的感染率（未干预）
无干预，R0 1.4
R 80%TAP，滞后14天， 0 1.4
儿童首次接种，12月下旬发病高峰
儿童首次接种，12月下旬发病高峰
地方性传染病
泰国Bang Phae县登革热
2009-2010H1N1大流行
基本概念
• 基本再生数 R0
• 在全易感人群（所有人都是易感者的人群）中，
一个典型的感染者平均感染的人数。
• 或者说是： • 人群二代发病率（续发率） • 下代矩阵的最大特征值
政策含义
• 对潜在的、能在危险人群中引起大流行的
菌株疫苗的研发和部署，越快越好！ • 对于全世界所有的潜在危险区而言，流感
传播的监测和早期探测极其重要！
谢谢！
• • • 住宅也有聚集性 小的和大的托儿所 小学、中学低年级和高年级学校混合聚 集区
•
•
社会性聚集区
工作聚集区
感染传播过程
流感的自然史模型
每天的传染率
• 比如在某天t，易感者没有服用抗病毒药或接种疫苗 • 伯努利试验序列 • 逃逸（未受感染）概率
Q(t ) (1 p1 )
• 感染概率