邻接矩阵存储结构的Dijkstra算法
邻接矩阵求最短路径c语言
邻接矩阵求最短路径c语言邻接矩阵表示图中各个节点之间的关系，在求解最短路径问题中，邻接矩阵是非常重要的数据结构之一。
下面是一个简单的C语言程序，用于利用邻接矩阵求解最短路径问题。
首先，我们需要定义一个邻接矩阵。
假设我们有一个图，其中有5个节点，节点编号从1到5，邻接矩阵可以表示为一个5x5的二维数组，其中arr[i][j]表示从节点i到节点j的距离。
如果两个节点之间没有直接的边，则arr[i][j]的值为无穷大。
接下来，我们需要使用Dijkstra算法来求解最短路径。
该算法使用贪心策略，在每一次迭代中，选择当前距离源点最近的节点，并以该节点为中心更新其周围的节点的距离。
具体实现如下：1. 定义一个长度为n的数组dist，其中dist[i]表示从源点到节点i的距离。
2. 将dist数组初始化为无穷大，源点的dist值为0。
3. 定义一个长度为n的数组visited，标记已经被访问过的节点。
4. 循环n次，每次选择一个距离源点最近的未被访问过的节点u。
5. 标记节点u为已经访问过。
6. 遍历节点u的所有邻居v，如果从源点到v的距离通过u可以更新，则更新dist[v]的值。
7. 返回dist数组，即为从源点到各个节点的最短距离。
下面是一个简单的C语言程序，用于实现邻接矩阵求最短路径的功能。
```c#include <stdio.h>#define INF 99999#define MAX_N 100int arr[MAX_N][MAX_N]; //邻接矩阵int dist[MAX_N]; //存储最短距离int visited[MAX_N]; //标记已经被访问过的节点int n; //节点数int minDistance() {int minDist = INF;int minIndex = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (visited[i] == 0 && dist[i] < minDist) {minDist = dist[i];minIndex = i;}}return minIndex;}void dijkstra(int start) {//初始化dist数组和visited数组for (int i = 0; i < n; i++) {dist[i] = INF;visited[i] = 0;}dist[start] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int u = minDistance();visited[u] = 1;for (int v = 0; v < n; v++) {if (visited[v] == 0 && arr[u][v] != INF && dist[u] + arr[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + arr[u][v];}}}}int main() {//初始化邻接矩阵n = 5;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {arr[i][j] = INF;}}arr[0][1] = 10;arr[0][4] = 5;arr[1][2] = 1;arr[1][4] = 2;arr[2][3] = 4;arr[3][2] = 6;arr[3][0] = 7;arr[4][1] = 3;arr[4][2] = 9;arr[4][3] = 2;//执行Dijkstra算法dijkstra(0);//输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {printf('从节点0到节点%d的最短距离是%d ', i, dist[i]);}return 0;}```代码中，我们使用了INF表示两个节点之间没有直接的边。
Dijkstra最短路径算法的实现及优化
Ｄｉｊｋｓｔｒａ最短路径算法的实现及优化 施培港 厦门信息港建设发展股份有限公司 厦门市槟榔路１号联谊广场五层 ３６１００４ Ｅｍａｉｌ：ｓｐｇ＠ｘｍｉｎｆｏｐｏｒｔ．ｃｏｍ 摘要：最短路径算法种类繁多，比较有名的算法包括：Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法、Ｆｏｒｄ算法、Ｆｌｏｙｄ算法、Ｍｏｏｒｅ算法、Ａ＊算法、Ｋ值算法，而即使同一种算法也有多种不同的实现方式。
本文就Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法的两种实现方式做一定的分析，并采用一种新的实现方法达到对算法优化的目的。
关键字：Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法 最短路径 网络分析 地理信息系统（ＧＩＳ） １． 何谓最短路径 所谓最短路径就是网络中两点之间距离最短的路径，这里讲的距离可以是实际的距离，也可以引申为其它的度量，如时间、运费、流量等。
因此，从广义上讲，最短路径算法就是指从网络中找出两个点之间最小阻抗路径的算法。
２． Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法介绍 Ｄｉｊｋｓｔｒａ算法本身是一种贪婪算法，它通过分步的方法来求最短路径。
首先，初始产生源点到它自身的路径，其长度为零，然后在贪婪算法的每一步中，产生一个到达新的目的顶点的最短路径。
其算法描述如下（算法中以有向图表示网络结构）： 对于有向图Ｇ ＝（Ｖ，Ｅ），图中有ｎ个顶点，有ｅ条弧，其中Ｖ为顶点的集合，Ｅ为弧的集合，求源点ＶＳ到终点ＶＴ的最短路径。
（１） 用带权的邻接矩阵Ｌ来表示有向图，Ｌ（Ｘ，Ｙ）表示弧＜Ｘ，Ｙ＞的权值，若弧＜Ｘ，Ｙ＞不存在，则设Ｌ（Ｘ，Ｙ）＝∞；用Ｄ（Ｘ）表示源点ＶＳ到顶点Ｘ的距离，除源点ＶＳ的值为０外，其余各点设为∞；用Ｓ表示已找到的从源点ＶＳ出发的最短路径的顶点的集合，其初始状态为空集；用Ｖ－Ｓ表示未找到最短路径的顶点的集合； （２） 选择源点ＶＳ做标记，令Ｙ ＝ ＶＳ，Ｓ ＝ Ｓ ∪ ｛ＶＳ｝； （３） 对于Ｖ－Ｓ中各顶点， 若Ｄ（Ｘ） ＞ Ｄ（Ｙ） ＋ Ｌ（Ｙ，Ｘ），则修改Ｄ（Ｘ）为 Ｄ（Ｘ） ＝ Ｄ（Ｙ） ＋ Ｌ（Ｙ，Ｘ） 其中Ｙ是己确定作标记的点； （４） 选择Ｖｊ，使得Ｄ（ｊ） ＝ ｍｉｎ｛ Ｄ（ｉ） ｜ Ｖｉ ∈ Ｖ－Ｓ ｝ 若Ｄ（ｊ）为∞，则说明ＶＳ到Ｖ－Ｓ中各顶点都没有通路，算法终止；否则，Ｖｊ就是当前求得的一条从源点ＶＳ出发的最短路径的终点，对Ｖｊ做标记，令Ｙ ＝ Ｖｊ，并把Ｖｊ放入集合Ｓ中，即令Ｓ ＝ Ｓ ∪ ｛Ｖｊ｝； （５） 如果Ｙ等于ＶＴ，则说明已经找到从ＶＳ到ＶＴ的最短路径，算法终止；否则，转到３继续执行。
djistra原理
djistra原理Dijkstra算法原理详解Dijkstra算法算是图论中较为基础的算法之一，并且在实际应用中也具有非常广泛的应用。
本文将详细介绍Dijkstra算法的原理。
1. 算法思想Dijkstra算法是从起点开始，逐步扩大已知最短路径的范围，直到扩大到终点为止的过程，即通过已知的最短路径，不断更新和扩大节点的可达范围，找到终点的最短路径。
该算法的具体实现思路如下：1. 初始化时，除起点外，所有节点的最短路径标记为无穷大，起点的最短路径标记为0；2. 选择一个当前最近的（即未确定最短路径的节点中到起点距离最短的节点）节点；3. 根据该节点的邻接节点更新邻接节点的最短路径；4. 标记该节点为已处理，重复执行步骤2-3，直到终点成为已处理节点；5. 所有节点的最短路径就是确定的。
2. 算法优点Dijkstra算法是一种非常通用的最短路径算法，主要应用在路由算法和地图制作等领域。
其优点如下：1. 适用于有权图和无权图；2. 可以处理负权无环图（DAG）；3. 在边的权重不为负数的情况下，能够保证正确性。
3. 算法缺点Dijkstra算法也存在着一些缺点，需要注意：1. 对于边的权重为负数的有向图，该算法可能会出现错误的解；2. 对于大规模的无权图，算法的时间复杂度较高；3. 不支持有负权有环图。
4. 算法应用Dijkstra算法主要应用在以下领域：1. 路由算法；2. 地图制作；3. 人工智能游戏中的寻路算法；4. 矩阵中的最短路径搜索等。
总之，Dijkstra算法在路由算法和地图制作等领域中有非常广泛的应用。
通过对该算法的深入学习，可以有效地提升算法解决问题的能力。
迪杰斯特算法介绍
Dijkstar算法算法简介Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。
注意该算法要求图中不存在负权回路。
算法描述(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b 的边的权值，d(i)即为最短路径值)1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i 之间不存在边)2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转33．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2复杂度分析Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2)空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)问题描述：给定图G，求其顶点t到其他所有点的最短路径。
算法描述：将图所有点的集合S分为两部分，V和S-V。
V集合是已经得到最短路径的点的集合，在初始情况下V中只有一个顶点t，S-V是还未得到最短路径点的集合。
然后，在每一次迭代过程中取得S-V集中到V集合任一点距离最短的点，将其加到V集合，从V-S集合删除。
重复此过程直到S-V集合为空。
时间复杂度：示例：伪代码：算法实现输入输出格式输入格式:第1行:一个数n，代表有n个节点第2-n+1行:每行n个数，代表图的邻接矩阵，没有边相连为-1输出格式:第1行:n-1个数，分别是1号节点到2-n号节点的最短路径算法证明使用数学归纳法，假设在某次迭代（不是第一次迭代）之前，S中的点的权值都是最短路径，我们证明某次迭代之后从Q中取出的点的权值依然是这个点的最短路径。
迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉算法介绍迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展(⼴度优先搜索思想)，直到扩展到终点为⽌。
基本思想通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外，引进两个集合S和U。
S的作⽤是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，⽽U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。
然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
操作步骤(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加⼊到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。
之所以更新U中顶点的距离，是由于上⼀步中确定了k是求出最短路径的顶点，从⽽可以利⽤k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能⼤于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上⾯的理论可能⽐较难以理解，下⾯通过实例来对该算法进⾏说明。
迪杰斯特拉算法图解以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进⾏算法演⽰(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！第1步：将顶点D加⼊到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
dijkstra算法
迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。
迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
定义Dijkstra算法一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。
注意该算法要求图中不存在负权边。
迪克斯特拉算法原理1.首先，引入一个辅助数组(vector)D，它的每个元素D表示当前所找到的Dijkstra算法运行动画过程从起始点（即源点）到其它每个顶点的长度。
例如，D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。
[1] 这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。
[3]2.D的初始状态为：若从到有弧（即从到存在连接边），则D为弧上的权值（即为从到的边的权值）；否则置D为∞。
显然，长度为D = Min{ D | ∈V } 的路径就是从出发到顶点的长度最短的一条路径，此路径为()。
3.那么，下一条长度次短的是哪一条呢？也就是找到从源点到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点，且这条最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是，则可想而知，这条路径要么是()，或者是()。
它的长度或者是从到的弧上的权值，或者是D加上从到的弧上的权值。
4.一般情况下，假设S为已求得的从源点出发的最短路径长度的顶点的集合，则可证明：下一条次最短路径（设其终点为）要么是弧()，或者是从源点出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点的路径。
因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D = Min{ D | ∈V-S }，其中D要么是弧()上的权值，要么是D(，∈S)和弧(，)上的权值之和。
dijkstra算法邻接矩阵
一、概述Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法，可用于解决具有非负权重的有向图或无向图的最短路径问题。
邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它可以方便地用于实现Dijkstra算法。
本文将探讨Dijkstra算法在邻接矩阵中的应用。
二、Dijkstra算法简介1. Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻在1956年提出的，用于解决有权图的单源最短路径问题。
Dijkstra算法采用贪婪的策略，通过逐步扩展已找到的最短路径来逐步确定最终的最短路径。
2. 算法步骤：1) 初始化将起始顶点到自身的距离设为0，其他顶点到起始顶点的距离设为无穷大。
2) 选取起始顶点，并标记为已访问。
3) 更新起始顶点的邻居顶点到起始顶点的距离。
4) 从尚未访问的顶点中选择距离起始顶点最近的顶点，标记为已访问。
5) 重复步骤3-4直到所有顶点都已访问。
3. Dijkstra算法特点：1) 适用于无负权边的图。
2) 时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数，适用于稠密图。
3) 通过堆优化可以达到O(ElogV)的时间复杂度，适用于稀疏图。
三、邻接矩阵1. 邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它是一个二维数组，数组的大小为n*n，n为图的顶点数。
邻接矩阵的行和列分别表示图的顶点，数组中的值表示对应顶点之间的边的权重或者边的存在情况。
2. 邻接矩阵的优点：1) 直观，易于理解。
2) 方便获取顶点之间的关系和权重。
3) 方便实现Dijkstra算法。
3. 邻接矩阵的缺点：1) 浪费空间，对于稀疏图来说，矩阵中大部分元素为0，浪费了大量内存空间。
2) 在图中存在大量边的情况下，矩阵的大小过大。
四、Dijkstra算法在邻接矩阵中的应用1. 初始化邻接矩阵在使用Dijkstra算法求解最短路径问题时，首先需要构建图的邻接矩阵。
对于有权图，将存在的边的权重填入对应位置，对于不存在的边，可以用无穷大表示。
迪杰斯特拉(dijkstra)算法
初 始 时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则 退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}
(完整)Dijkstra算法的流程图
Dijkstra算法的流程图需求和规格说明：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低.算法本身并不是按照我们的思维习惯——求解从原点到第一个点的最短路径,再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点出发的各有向路径的从小到大的排列，但是算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，可以说这是个副产品,对于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜.清楚了算法的这种巧妙构思后，理解算法本身就不是难题了.实现注释：想要实现的功能：Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。
在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。
在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。
用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径.已经实现的功能:在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。
在该程序中设置一个全局变量的二维数组,用它来存储任意两个顶点之间的边的权值。
然后通过最短路径的计算,输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。
用户手册：对于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化,即将要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。
这样程序就可以自动的计算出任意两个顶点之间的最短路径并且进行输出.设计思想：s为源，w［u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果保存在 dist［]初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。
循环n-1次：1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展.2. 对于每个与u相邻的点v，如果dist［u] + w［u，v] < dist［v］，那么把dist ［v]更新成更短的距离dist［u］ + w[u，v]。
Dijkstra算法求解单源最短路径问题
Dijkstra算法求解单源最短路径问题一、单源最短路径问题描述给定一个带权有向图G=(V,E),其中每条边的权都是非负数。
给定V中的一个顶点，称为源。
计算从源到所有其他定点的最短路径长度。
这里的路径长度就是指各边权之和。
该问题称为单源最短路径问题（Single-Source Shortest Paths）。
二、Dijkstra算法思想将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。
以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v, T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。
然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。
直到T集合为空为止。
三、算法描述（步骤）1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径：①记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。
②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[]，path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点。
2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。
3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。
因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。
调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。
4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。
四、算法实现（数据结构）1、算法实现输入：一个大于1的整数n.输出：●一个随机生成的有向图G=（V，E），对于每一条边，有一个非负数字c(u，v)与之相关。
●对于每个顶点v∈V,得到从v0到v的最短路径的长度。
dijkstra算法邻接矩阵 -回复
dijkstra算法邻接矩阵-回复什么是dijkstra算法？Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的有效算法。
它基于图论的概念，用于在以加权图为模型的网络中找到从源节点到目标节点的最短路径。
在Dijkstra算法中，我们定义一个数组dist[]来存储从源节点到其他节点的最短距离的估计值。
初始时，dist[]数组中的所有元素均设为无穷大。
同时，我们定义一个集合visited[]，用来记录已经找到最短路径的节点。
Dijkstra算法的工作原理可归纳为以下几个步骤：1. 初始化：创建一个空的dist[]数组以存储从源节点到其他节点的最短距离的估计值，将所有元素初始化为无穷大。
2. 将源节点的最短距离估计值设置为0，并将其标记为visited。
3. 对于源节点的所有邻居节点，更新其最短距离估计值。
如果新的估计值小于当前的最短距离估计值，则更新该节点的最短距离估计值。
4. 从尚未访问的节点中选择距离最短的节点，将其标记为visited。
5. 对于该节点的所有邻居节点，如果通过该节点到达邻居节点的距离小于邻居节点的当前最短距离估计值，则更新邻居节点的最短距离估计值。
6. 重复步骤4和步骤5，直到所有的节点都被标记为visited，或者没有可以到达的节点为止。
7. 最终，dist[]数组中存储的值即为从源节点到目标节点的最短路径的长度。
在图的表示方法中，常使用邻接矩阵来表示图的连接关系。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示图中两个节点之间连接的权重。
在Dijkstra算法中，我们也可以使用邻接矩阵来表示加权图，从而找到最短路径。
考虑一个邻接矩阵为M的图，其中M[i][j]表示节点i和节点j之间边的权重。
我们可以使用一个dist[]数组来存储从源节点到其他节点的最短距离估计值。
初始时，我们将所有节点的最短距离估计值设为无穷大。
源节点的最短距离估计值设为0。
首先，我们从源节点开始，更新其邻居节点的最短距离估计值。
Dijkstra算法
Dijkstra算法定义G=(V,E)，定义集合S存放已经找到最短路径的顶点，集合T存放当前还未找到最短路径的顶点，即有T=V-SDijkstra算法描述如下：(1) 假设用带权的邻接矩阵edges来表示带权有向图，edges[i][j]表示弧<Vi, Vj>上的权值。
若<Vi, Vj>不存在则置edges[i][j]=∞（计算机上用一个允许的最大值代替）。
S为已经找到的从Vs出发的最短路径的终点集合，它初始化为空集。
那么，从Vs出发到图上其余各顶点（终点）Vi可能达到的最短路径长度的初值为：D[i]=deges[s][i] Vi∈V(2) 选择Vj，使得D[j]=Min{D[i]|Vi∈V-S}，Vj就是当前求得的一条从Vs出发的最短路径的终点。
令S=S∪{Vj}(3) 修改从Vs出发到集合V-S上任一顶点Vk可达的最短路径长度。
如果D[j]+edges[j][k]<D[k]则修改D[k]为D[k]=D[j]+edges[j][k]重复操作(2)(3)共n-1次。
由此求得从Vs到图上其余各顶点的最短路径。
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用O PEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的A* 算法和D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。
其采用的是贪心法的算法策略大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
数学模型 DjiST算法 最短路径
∙一、基本思想：按路径长度递增顺序求最短路径算法。
二、数据的存储结构：有向连通网络: G ，采用带权邻接矩阵cost[ ][ ]存储三、算法具体步骤：设V0是起始源点，U=已求得最短路径终点集合。
V-U=未确定最短路径的顶点的集合(1)初始U={v0}, 辅助数组dist[N]（对已经找到最短路径终点的顶点vi ( i ∈U )，vi 所对应的数组分量dist[i]的值为负数；对从v0出发，尚未确定为最短路径终点的顶点vj （j ∈ V - U )，vj 所对应的数组分量dist[j]的值为从v0出发，考虑途经已确定为终点的顶点，到达vj (∈ V - U )的最短路径）。
初始时，对j ∈ V - U ，有dist[j]=cost[v][j]; 而对U={v}, 则有dist[v]= - cost[v][v] 。
(2)扫描dist[ ]数组，找出非0、非负且最小的dist[j]（j∈V-U)，即从v0出发到vj（j∈V-U)的路径是最短的。
(3)vj并入U ，则dist[j]=-dist[j]。
(4)调整dist[k](k∈V-U)，考虑从v0出发，途经vj到达vk是否更短。
比较:若-dist[j]+cost[j][k]<disk[k], 则dist[k]= -disk[j]+ cost[j][k] 。
(5)重复(2)(3)(4)共n-1次。
四、源代码：void dijkstra( int cost[][N], int v ,int t)//起点为v，终点为t{int dist[N],i,j,wfor (i=0; i<N; i++)dist[i]=cost[v][i]; //初始化dist[v]=-dist[v];for( i=0; i<N; i++){j=mincost(dist);//找非0、非负且最小的dist[j]if(( j==0)||(j==t));break;dist[j]=-dist[j];// vj并入U中for(k=0;k<N;k++) // 调整dist[k]if(dist[k]>0) // vk是尚未到达的终点if(-dist[j]+cost[j][k]<dist[k])dist[k]=-dist[j]+cost[j][k];//途经vj到达vk的距离更短}for ( i=0; i<N; i++)if(dist[j]<0)printf(“%d, %d: %d\n”,v,i,-dist[i]);}int mincost( int dist[ ])// 在V-U 集合中找顶点j，dist[j]是dist[ ]中的最小值{int i, min, j;min=MAX;j=0;for(i=0;i<N;i++)if(dist[i]>=0&& dist[i]<min){min=dist[i];j=i; }return(j);}五、小结(1) “按路径长度递增顺序”是因为，扩展下一个永久标记节点总是从U中节点的邻接节点中找到。
dijkstra算法过程
dijkstra算法过程
Dijkstra算法是一种用于计算从一个特定节点到其他所有节点的
最短路径的算法，这也是属于贪心算法范畴。
此算法基于一个启发式
方法，根据每个节点距离源节点的距离不断更新最优解。
步骤：
1. 从源节点开始，将当前节点标记为已访问，并将其加入路径树中。
2. 计算从源节点出发可以到达的所有邻接点的距离，如果某个邻
接点的距离小于当前已知的距离，更新最短路径树，并标记邻接点为
被访问状态。
3. 重复第2步，直到所有邻接点都被访问，或者所有邻接点都在
最短路径树上，则停止。
4. 根据最短路径树，从源节点出发，可以依次到达目的节点，即
可得到最短路径。
Dijkstra算法的性能主要取决于图的存储结构，采用邻接矩阵存
储的话，时间复杂度是O(n^2)，采用邻接表存储的话，时间复杂度是
O(nlogn)。
空间复杂度与存储结构无关，都是O(n)。
该算法可以用于
求解有向图或无向图的最短路径问题，也可以用于多源最短路径问题。
Dijkstra算法详细介绍
Dijkstra算法详细介绍Dijkstra算法详细介绍1,算法特点：迪科斯彻算法使⽤了⼴度优先搜索解决赋权有向图或者⽆向图的单源最短路径问题，算法最终得到⼀个最短路径树。
该算法常⽤于路由算法或者作为其他图算法的⼀个⼦模块。
2.算法的思路Dijkstra算法采⽤的是⼀种贪⼼的策略，声明⼀个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和⼀个保存已经找到了最短路径的顶点的集合：T，初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 (dis[s] = 0）。
若对于顶点 s 存在能直接到达的边（s,m），则把dis[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为⽆穷⼤。
初始时，集合T只有顶点s。
然后，从dis数组选择最⼩值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加⼊到T中，OK，此时完成⼀个顶点，然后，我们需要看看新加⼊的顶点是否可以到达其他顶点并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否⽐源点直接到达短，如果是，那么就替换这些顶点在dis中的值。
然后，⼜从dis中找出最⼩值，重复上述动作，直到T中包含了图的所有顶点。
3.举例实现这次来介绍指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。
例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。
我们⾸先要建⽴⼀个⼆维数组来记录点与点之间的关系，如下图所⽰：同时我们还需要⽤⼀个⼀维数组 dis 来存储源点（这⾥我们⽤使⽤1号点）顶点到其余各个顶点的初始路程，我们可以称 dis 数组为“距离表”，如下图所⽰：既然是求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找⼀个离 1 号顶点最近的顶点。
通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。
当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。
既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点有哪些出边呢。
Dijkstra算法的流程图
Dijkstra算法的流程图Dijkstra算法的流程图需求和规格讲明：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于运算一个节点到其他所有节点的最短路径。
要紧特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历运算的节点专门多，因此效率低。
算法本身并不是按照我们的思维适应——求解从原点到第一个点的最短路径，再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点动身的各有向路径的从小到大的排列，然而算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，能够讲这是个副产品，关于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜。
清晰了算法的这种巧妙构思后，明白得算法本身就不是难题了。
实现注释：想要实现的功能：Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。
在该实验中，我们用邻接矩阵来储备图。
在该程序中设置一个二维数组来储备任意两个顶点之间的边的权值。
用户能够将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序能够自动求出这两个顶点之间的最短路径。
差不多实现的功能：在该实验中，我们用邻接矩阵来储备图。
在该程序中设置一个全局变量的二维数组，用它来储备任意两个顶点之间的边的权值。
然后通过最短路径的运算，输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。
用户手册：关于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化，立即要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。
如此程序就能够自动的运算出任意两个顶点之间的最短路径同时进行输出。
设计思想：s为源，w[u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果储存在dist[]初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。
循环n-1次：1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
最短路径算法——Dijkstra 算法
最短路径算法——Dijkstra算法一、最短路径问题最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
在带权图（即网络）G=（V,E）中，若顶点v i，v j是图G的两个顶点，从顶点v i到v j 的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。
从顶点v i到v j可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点v i到v j的最短路径。
求最短路径具有很高的实用价值，在各类竞赛中经常遇到。
一般有两类最短路径问题：一类是求从某个顶点（即源点）到其他顶点（即终点）的最短路径；另一类是求图中每一对顶点间的最短路径。
本讲主要讲述一种单源最短路径（Single source shortest path）算法——Dijkstra 算法，用于解决非负权有向图的单源最短路径问题。
二、Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率偏低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想对于图G=（V，E），假设（u，v）是E中的边，c u,v是边的长度（即边权）。
如果把顶点集合V划分为两个集合S和T：S中所包含的顶点，他们到u的距离已经确定；T中所包含的顶点，他们到u的距离尚未确定。
最短路径dijkstra 邻接矩阵 邻接表
最短路径算法Dijkstra是一种常用的图论算法，用于求解一个节点到其他所有节点的最短路径。
它采用了一种贪心的策略，通过逐步扩展已找到的最短路径集合来逐步逼近所有节点的最短路径。
在这篇文章中，我将从最短路径算法的基本概念开始，逐步深入介绍Dijkstra算法的原理和具体实现，并对邻接矩阵和邻接表两种表示图的方式进行详细的比较和分析。
1. 最短路径算法的基本概念最短路径算法是图论中的一个重要问题，它的核心任务就是寻找图中两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如交通规划、网络路由等领域。
在这个问题中，最短路径通常指的是路径上的权重之和最小，也就是从一个起点节点到其他节点的距离最短。
2. Dijkstra算法的原理和实现Dijkstra算法是一种经典的最短路径算法，它的核心思想是通过维护一个集合，逐步扩展已找到的最短路径集合来获得所有节点的最短路径。
具体实现时，Dijkstra算法使用了一个优先队列来维护待选节点和其对应的最短距离，然后逐步从优先队列中选取最短距离的节点进行扩展，直到所有节点都被扩展。
3. 邻接矩阵和邻接表的比较在实际应用中，图的存储方式有很多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一种二维数组，其元素表示了图中节点之间的关系，而邻接表则是通过链表等数据结构来表示图的边。
在实际应用中，邻接矩阵具有更快的边查询速度，而邻接表则更适合稀疏图的存储。
总结回顾通过本文的介绍，相信读者对最短路径算法Dijkstra有了更深入的理解。
我们从最短路径算法的基本概念开始，介绍了Dijkstra算法的原理和实现，并对邻接矩阵和邻接表进行了详细的比较和分析。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择最适合的图的表示方式，以便更高效地解决最短路径问题。
个人观点和理解作为一种经典的最短路径算法，Dijkstra算法在实际应用中有着广泛的价值。
通过对图的逐步扩展，Dijkstra算法能够高效地求解出图中节点之间的最短路径，可应用于交通规划、网络路由等众多领域。
迪杰斯特拉算法空间复杂度
迪杰斯特拉算法空间复杂度迪杰斯特拉算法空间复杂度概述迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于解决带权重图的单源最短路径问题的贪心算法。
它通过构建一个有向无环图来表示图中各节点之间的关系，并通过不断更新每个节点到起点的最短距离和路径来求解最短路径。
在实际应用中，迪杰斯特拉算法被广泛应用于计算机网络、交通运输、电信等领域。
空间复杂度迪杰斯特拉算法的空间复杂度主要包括以下几个方面：1. 图的存储方式在实现迪杰斯特拉算法时，需要将图中各节点之间的关系以及边权重等信息存储下来。
常见的图的存储方式包括邻接矩阵和邻接表两种。
邻接矩阵是一种二维数组，其中每个元素代表两个顶点之间是否存在边，如果存在则记录边权重。
邻接矩阵的空间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中节点数。
邻接表则是一种链表数组，其中每个链表代表一个顶点，链表中存储该顶点所连的边及其权重。
邻接表的空间复杂度为O(E+V)，其中E表示图中边数。
因此，在实现迪杰斯特拉算法时，需要根据具体情况选择适合的图的存储方式，以便在满足算法要求的同时，尽可能减少空间复杂度。
2. 距离数组和标记数组在迪杰斯特拉算法中，需要使用一个距离数组和一个标记数组来记录每个节点到起点的最短距离和是否已经访问过该节点。
距离数组是一个一维数组，其中第i个元素表示从起点到节点i的最短距离。
标记数组也是一个一维数组，其中第i个元素表示节点i是否已经被访问过。
因此，在实现迪杰斯特拉算法时，需要申请两个一维数组来存储距离和标记信息。
这两个数组的空间复杂度均为O(V)，其中V表示图中节点数。
3. 优先队列在迪杰斯特拉算法中，需要使用一个优先队列来存储待访问的节点，并根据节点到起点的距离大小进行排序。
常见的优先队列包括二叉堆、斐波那契堆等。
优先队列的空间复杂度取决于具体实现方式。
例如，二叉堆的空间复杂度为O(V)，斐波那契堆的空间复杂度为O(E+VlogV)。
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int v0=0;
int i,j;
PathMatrix Path[N][N];
ShortPathTable Dist[N];
CreatUDN(G);
typedef int PathMatrix;
typedef int ShortPathTable;
typedef struct ArcCell
{ EType adj;
InfoType info;
}ArcCell,AdjMatrix[N][N];
typedef struct
i=vi;
j=vj;
G.arcs[i][j].info=w;
}
return (OK);
}
void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix Path[N][N],ShortPathTable Dist[N])
}
printf("请输入每条边对应的两个顶点的(输入格式为:v,w,info):\n");
for(k=0;k<G.arcnum;++k)
{ printf("请输入第%d条边的顶点序号: ",k+1);
scanf("%d,%d,%d",&vi,&vj,&w);
printf("请输入顶点数和边数(输入格式为:顶点数,边数):\n");
scanf("%d,%d",&(G.vexnum),&(G.arcnum));
for(i=0;i<G.vexnum;++i)
for(j=0;j<G.vexnum;++j)
{ G.arcs[i][j].info=INFINITY;
printf("%5d",i);
printf("\n");
printf("第 %d 步 :",v0+1);
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
printf("%5d",Dist[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<G.vexnum;i++)
if(Dist[v]<INFINITY)
{ Path[v][v0]=TRUE;
Path[v][v]=TRUE;
}
}
Dist[v0]=0;
final[v0]=TRUE;
printf("顶点 ");
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
printf("邻接矩阵为\n");
for(i=0;i<G.vexnum;++i)
{
for(j=0;j<G.vexnum;++j)
printf("%5d",G.arcs[i][j].info);
printf("\n");
Path[w][j]=Path[v][j];
Path[w][w]=TRUE;
}
printf("%5d",Dist[w]);
}
printf("oid main()
for(w=0;w<G.vexnum;w++)
{if(!final[w]&&(min+G.arcs[v][w].info<Dist[w]))
{ Dist[w]=min+G.arcs[v][w].info;
for(j=0;j<G.vexnum;j++)
}
ShortestPath_DIJ(G,v0,Path,Dist);
getch();
}
{
int i,j,v,w,min,final[N];
for(v=0;v<G.vexnum;++v)
{ final[v]=FALSE;
Dist[v]=G.arcs[v0][v].info;
for(w=0;w<G.vexnum;++w)
Path[v][w]=FALSE;
# define OK 1
# define ERROR 0
# define FALSE 0
# define TRUE 1
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN} GraphKind;
typedef int EType;
typedef int InfoType;
typedef int VertexType;
{ min=INFINITY;
for(w=0;w<G.vexnum;w++)
if(!final[w])
if(Dist[w]<min)
{ v=w;
min=Dist[w];
}
final[v]=TRUE;
printf("第 %d 步 :",i+1);
//ShortestPath_DIJ.cpp
# include <iostream.h>
# include <stdio.h>
# include <malloc.h>
# include <conio.h>
# define INFINITY 1000
# define MAX_VERTEX_NUM 20
{ VertexType vexs[N];
AdjMatrix arcs;
int vexnum,arcnum;
GraphKind kind;
}MGraph;
int CreatUDN(MGraph &G)
{ int i=0,j=0,k,vi,vj,w;