模糊数学-模糊集的基本运算共61页
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模糊集的基本概念
§1.2 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 μA ：U→[0,1] x → μA(x)
确定了一个U上的模糊子集A， μA 称 为 模 糊 集 A 的 隶 属 函 数 （ membership function），μA(x)表示 x 对A的隶属程度 （grade of membership）。常记 μA = A 。
也可用Zadeh表示法
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
设 A FU ,记
sup pA u u U , A(u) 0 ker A u u U , A(u) 1
t
At
,
At
t
t
At
.
(5) A A .
证：
x At t
t0 , x At0
t0 , At0 ( x)
At(x)
x1
x2
xn
（级数表示法）。
若U是无限集
，
则 A A( x) （积分表示法）。
Ux
注1：级数表示法中，隶属度为0的项 0 可以
略去不写。
xi
4、向量表示法
若U是有限集 U x1, x2 , , xn ，
则 A A( x1), A( x2 ), , A( xn )
5、图示法
At (x)
t
x At t
定义1
设 0,1, A F(U), 定义 A F(U ), 其隶
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 μA ：U→[0,1] x → μA(x)
确定了一个U上的模糊子集A， μA 称 为 模 糊 集 A 的 隶 属 函 数 （ membership function），μA(x)表示 x 对A的隶属程度 （grade of membership）。常记 μA = A 。
也可用Zadeh表示法
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
设 A FU ,记
sup pA u u U , A(u) 0 ker A u u U , A(u) 1
t
At
,
At
t
t
At
.
(5) A A .
证：
x At t
t0 , x At0
t0 , At0 ( x)
At(x)
x1
x2
xn
（级数表示法）。
若U是无限集
，
则 A A( x) （积分表示法）。
Ux
注1：级数表示法中，隶属度为0的项 0 可以
略去不写。
xi
4、向量表示法
若U是有限集 U x1, x2 , , xn ，
则 A A( x1), A( x2 ), , A( xn )
5、图示法
At (x)
t
x At t
定义1
设 0,1, A F(U), 定义 A F(U ), 其隶
模糊数学
1 0.8
50 60
90
类似，Y = 年轻，Y : X → [0,1]规定为：
1 x ≤ 25 2 −1 Y ( x) = x − 25 25 < x ≤ 100 1 + 5
随着x增加，Y (x)减小 Y (25) = 1, Y (30) = 0.5 Y (60) = 0.02
hgt ( A)
X
第二节 模糊集运算的推广
A, B ∈ P( X ) A, B ∈ F ( X )
χ A∩ B ( x) = min( χ A ( x), χ B ( x))
( A ∩ B )( x) = min( A( x), B ( x))
χ A∩ B ( x) = χ A ( x) χ B ( x) χ 事实上， A∩ B ( x) = 1 ⇔ x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A且x ∈ B
∀x ∈ X , ( A ∩ ( A ∪ B ))( x) = min( A( x), ( A ∪ B )( x)) = min( A( x), max( A( x), B( x))) = A(x)
再证： A ∪ B )c = Ac ∩ B c ( ∀x ∈ X , ( A ∪ B)c ( x) = 1 − ( A ∪ B )( x) = 1 − A( x) ∨ B( x) = (1 − A( x)) ∧ (1 − B( x)) = Ac ( x) ∧ B c ( x) = ( Ac ∩ B c )( x) 故( A ∪ B)c = Ac ∩ B c
T 规定： 规定： ≤ T ' ⇔ ∀x, y ∈ [0,1], T ( x, y ) ≤ T ' ( x, y ).
则 T0 ≤ TL ≤ Tπ ≤ Tmin
模糊集合及其运算讲解
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
U
~
x A( x) [0,1]
A
~
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数，A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度，简称隶属度。
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
模糊集合及其运算
确定性
—— 经典数学
量
随机性 —— 随机数学
不确定性
模糊性 —— 模糊数学
随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生
不确定 。 （事件是否发生不确定）
明天有雨，掷一枚骰子出现6点
模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件
发生与否。（事件本身的状态不确定）
青年人，高个子
模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念 （或现象）处处存在。 有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年 男人” 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也 具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模 糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。 一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，
模糊矩阵的幂 A2 A A
例：
设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , 0.3
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
, 则
0.6
A B 0.5 0.6 0.3 0.3
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3
二、模糊计算
§2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算定义2.3.1 模糊集合的包含、相等设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有)()(~~x x BAμμ≥，则称A ~包含B ~，记作B A ~~⊇。
如果B A ~~⊇，且A B ~~⊇，则说A ~与B ~相等，记作B A ~~=。
由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。
若对于X 上的所有元素x ，都有)()(~~x x BAμμ=，模糊集合A ~与B ~相等。
定义2.3.2 模糊空集设A ~为论域X 上的模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有0)(~=x Aμ，则称A ~为模糊空集，记作φ=A ~。
定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，令B A ~~ 、B A ~~ 、C A ~分别表示模糊集合A ~与B ~的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为B A~~ μ、B A ~~ μ、C A~μ，对于X 的任一元素x ，定义： )(V )()(B ~A ~B ~A~x x x μμμ∆ (2.3.1) )()()(B ~A~B ~A~x x x μμμΛ∆ (2.3.2)补算子 (2.3.3) 式中“V ”表示取大运算，“Λ”表示取小运算，称其为Zadeh 算子。
在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算①)](,)(max[B ~A ~B ~A~x x μμμ= 并算子 (2.3.4) )](,)(min[B ~A~B ~A~x x μμμ= 交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合A ~和B ~，见图2.3.1(a)。
其中A ~为高斯分布，B ~为三角分布，二者的并、交运算结果如图2.3.1(b)的图2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。
模糊数学(清晰易懂)
定义：设 A (aij )mn , 对任意的 [0,1],称
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
1, 0,
aij aij
显然，截矩阵为Boole矩阵。
34
第34页，共105页。
1 0.5 0.2 0
例6：设A
0.5 0.2
1 0.1
0.1 1
并： (A B)(x) A(x) B(x),x U 表示取大；
交： ( A B)( x) A( x) B( x),x U 表示取小。 补： Ac ( x) 1 A( x),x U
14
第14页，共105页。
并交余计算的性质
1. 幂等律 A A A, A A A, 2. 交换律 A B B A, A B B A,
6. 0-1律 A A, A , A U U , A U A
7. 还原律 ( Ac )c A,
8. 对偶律 ( A B)c Ac Bc ,( A B)c Bc Ac ,
17
第17页，共105页。
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U；
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
2
第2页，共105页。
模糊数学绪论
• 涉及学科
模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
3
第3页，共105页。
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离 屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。
模糊数学第二讲 模糊集合及其运算
实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽 的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些 概念,普通集合就无能为力.
7
2014-8-15
定义1 ：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A[0,1]称 为U上的隶属函数。 对于任意的xU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论 域U上的模糊集合。
( A B) C ( A C ) ( B C )
论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。
包含： AB ：对于任意xA ,必有yB. 空集：若对于任意集合A,都有A,则称是任意集合A的空集.
幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集， 记为P(U). 例如,U={a,b,c},则
P(U)={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}
2014-8-15
两个模糊子集的交并运算还可以推广到任意多个 模糊集合的情形。
定义3 设At F (U ), t T , T 是指标集.u U , 规定 ( ( 称
tT tT tT
At )(u ) At (u ) sup At (u );
tT tT tT
At )(u ) At (u ) inf At (u ).
A U U , A U A,
A AC A B) c Ac B c ,
2014-8-15
( A B) c Ac B c
5
特征函数
特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若uA, 则CA(u) =1;若 uA ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到{0,1}的一 个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为
模糊集合的基本运算-Read
第六章 模糊数学基础
第六章 模糊数学基础
§6.1 概述 §6.2 模糊集合与隶属度函数 §6.3 模糊逻辑与模糊推理
§6.1 概述
§6.1.1 传统数学与模糊数学 §6.1.2 不相容原理
§6.1.2 不相容原理
1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh） 教授首先提出用隶属度函数(membership function)来描 述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了 基础。 不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特 性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到 达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会 相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认 识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深 刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十 多年来模糊数学的发展历史所证实。
F ( x) min(F (a), F (b)) ， a, b U , x [a, b]
语言变量用一个有五个元素的集合(Ｎ,T(N),U,G,M) 来表征，其中 (1)Ｎ是语言变量的名称，如年龄、数的大小等； (2)U为语言变量N的论域； (3)T(Ｎ)为语言变量的值Ｘ的集合，其中每个Ｘ都是 论域U上的模糊集合，如 T( Ｎ ) ＝ T( 年 龄 )=“ 很 年 轻 ” +“ 年 轻 ” +“ 中 年”+“较老”+“很老” ＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X4+X5
x 50 0， 1 ， x 50 老 ( x) 2 x 50 1 5 其中修饰词的隶属度函数为：极A= A4 ， 非常A = A2 ， 相当A= A1.25 ， 比较A= A0.75 ， 略A= A0.5 ， 稍微A=
第六章 模糊数学基础
§6.1 概述 §6.2 模糊集合与隶属度函数 §6.3 模糊逻辑与模糊推理
§6.1 概述
§6.1.1 传统数学与模糊数学 §6.1.2 不相容原理
§6.1.2 不相容原理
1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh） 教授首先提出用隶属度函数(membership function)来描 述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了 基础。 不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特 性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到 达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会 相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认 识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深 刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十 多年来模糊数学的发展历史所证实。
F ( x) min(F (a), F (b)) ， a, b U , x [a, b]
语言变量用一个有五个元素的集合(Ｎ,T(N),U,G,M) 来表征，其中 (1)Ｎ是语言变量的名称，如年龄、数的大小等； (2)U为语言变量N的论域； (3)T(Ｎ)为语言变量的值Ｘ的集合，其中每个Ｘ都是 论域U上的模糊集合，如 T( Ｎ ) ＝ T( 年 龄 )=“ 很 年 轻 ” +“ 年 轻 ” +“ 中 年”+“较老”+“很老” ＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X4+X5
x 50 0， 1 ， x 50 老 ( x) 2 x 50 1 5 其中修饰词的隶属度函数为：极A= A4 ， 非常A = A2 ， 相当A= A1.25 ， 比较A= A0.75 ， 略A= A0.5 ， 稍微A=
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
模糊数学1第二讲-模糊集合与模 糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
模糊数学 (第一讲)
13模糊集合的运算12模糊集合与隶属函数551813模糊集合的运算12模糊集合与隶属函数55132模糊集合的运算及其性质由于经典集合是模糊集合的特例即经典集合的特征函数是一种特殊的隶属函数
模糊数学
福州大学 数学与计算机科学学院
1
第一章 模糊集合及其运算
第一讲 1.1 经典集合与特征函数 1.2 模糊集合与隶 经典集合与特征函数; 属函数; 属函数 1.3 模糊集合的运算
0 O(u) = u − 50 −2 −1 (1+ ( 5 ) )
0 ≤ u ≤ 25 25 < u ≤ 200
0 ≤ u ≤ 50 50 < u ≤ 200
例如: 例如 Y (30) = 0.5 , O(30) = 0 , Y(60) = 0.02, O(60) = 0.8.
10
16
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算 1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.2 设 A , B , C ∈ P ( U )，则 定理 ， (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; 幂等律： ∪ (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; 交换律： ∪ ∪ (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), 结合律： ∪ ∪ ∪ ∪ ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; 吸收律： ∪ ∪ (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), 分配律： B∪ )∪ A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); ∪ ∪ (6) 复原律： (A′ )′= A ; 复原律： ′ ′ (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; 两极律： ∪ ∪ ∅ (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′ ; 律 ∪ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (9) 排中律 互补律 ： A∪A′ = U , A∩A′ = ∅ . 排中律(互补律 互补律)： ∪ ′ ′
模糊数学
福州大学 数学与计算机科学学院
1
第一章 模糊集合及其运算
第一讲 1.1 经典集合与特征函数 1.2 模糊集合与隶 经典集合与特征函数; 属函数; 属函数 1.3 模糊集合的运算
0 O(u) = u − 50 −2 −1 (1+ ( 5 ) )
0 ≤ u ≤ 25 25 < u ≤ 200
0 ≤ u ≤ 50 50 < u ≤ 200
例如: 例如 Y (30) = 0.5 , O(30) = 0 , Y(60) = 0.02, O(60) = 0.8.
10
16
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3 模糊集合的运算 1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.2 设 A , B , C ∈ P ( U )，则 定理 ， (1) 幂等律：A∪A = A , A∩A = A ; 幂等律： ∪ (2) 交换律：A∪B = B∪A , A∩B = B∩A ; 交换律： ∪ ∪ (3) 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ), 结合律： ∪ ∪ ∪ ∪ ( A∩B )∩C = A∩( B∩C ); (4) 吸收律：( A∩B )∪B = B , ( A∪B )∩B = B ; 吸收律： ∪ ∪ (5) 分配律：A∩( B∪C ) = ( A∩B )∪( A∩C ), 分配律： B∪ )∪ A∪( B∩C ) = ( A∩B )∪( A∩C ); ∪ ∪ (6) 复原律： (A′ )′= A ; 复原律： ′ ′ (7) 两极律： A∪U = U , A∩U = A , A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ; 两极律： ∪ ∪ ∅ (8) De Morgan律： ( A∪B )′ = A′∩B′ , ( A∩B )′ = A′∪B′ ; 律 ∪ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (9) 排中律 互补律 ： A∪A′ = U , A∩A′ = ∅ . 排中律(互补律 互补律)： ∪ ′ ′
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
2024/7/20
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例2 设模糊集A和B的隶属函数为
模糊集合及其运算
模糊集合及其运算
模糊理论 模糊集合 模糊函数 模糊逻辑与推论 模糊规则库 模糊控制
模糊概念的感性认识
何谓模糊? Ex：今天气温如何?那位女孩正吗?
什么是模糊系统? Ex：
模糊规则库
模糊集合U
模糊推论
引擎
哪里可看見模糊控制的系統?
Ex:冷气机、洗衣机等等…
模糊集合V
用模糊来调和对立
180公分 179公分 高的程度
6、同一律
A X X A X A A A A
7、达.摩根律
(A B) A B
8、双重否定律
(A B) A B
A A
模糊集合运算的基本性质
提问： 为什么在模糊集合里排中律不成立？
9、其它运算类型 见板书
模糊关系
定义：n元模糊关系R是定义在直积X1×X2×... ×Xn上的模糊集合，它可以表示为
O
(x,0)
0
x
50
x,
1
(
1 5 x 50
)2
50
x
200
O
0
[1 ( 5 ) 2 ]1 x 50
x 0 x50
50 x200
x
Y
(x,1) 0
x
25
x,
连
续
变
化
。
模糊集合的定义及表示方法
若我们用A来表示模糊集合“大苹果”，用 来表示隶属度函数，A中的元素用x来表示， 则 A(x)便表示x属于A的隶属度，对于上面 的例子就可以写成
模糊理论 模糊集合 模糊函数 模糊逻辑与推论 模糊规则库 模糊控制
模糊概念的感性认识
何谓模糊? Ex：今天气温如何?那位女孩正吗?
什么是模糊系统? Ex：
模糊规则库
模糊集合U
模糊推论
引擎
哪里可看見模糊控制的系統?
Ex:冷气机、洗衣机等等…
模糊集合V
用模糊来调和对立
180公分 179公分 高的程度
6、同一律
A X X A X A A A A
7、达.摩根律
(A B) A B
8、双重否定律
(A B) A B
A A
模糊集合运算的基本性质
提问： 为什么在模糊集合里排中律不成立？
9、其它运算类型 见板书
模糊关系
定义：n元模糊关系R是定义在直积X1×X2×... ×Xn上的模糊集合，它可以表示为
O
(x,0)
0
x
50
x,
1
(
1 5 x 50
)2
50
x
200
O
0
[1 ( 5 ) 2 ]1 x 50
x 0 x50
50 x200
x
Y
(x,1) 0
x
25
x,
连
续
变
化
。
模糊集合的定义及表示方法
若我们用A来表示模糊集合“大苹果”，用 来表示隶属度函数，A中的元素用x来表示， 则 A(x)便表示x属于A的隶属度，对于上面 的例子就可以写成
模糊数学 (第二讲)
11
1.4.3 分解定理
(Ⅰ) 数与模糊集的截积运算 Ⅰ 定义1.4.3 设λ∈ λ∈[0,1], A∈ F( U ), 定义 ∈ 的截积(记作 则λ与A的截积 记作λA)定义为 的截积 记作λ 定义为 (λA)(u)=λ∧A(u),∀u∈U. λ λ ∀ ∈ 其中 λ ∧ A (u ) = λ
9
目录
1.4.2 正规模糊集 在实际应用中, 这两个截集很有用, 在实际应用中 A1和AS0这两个截集很有用 我 们分别称A 支集, 们分别称 1和AS0为A的核和支集 分别记作 的 kerA={u∈U | A(u)=1} ∈ 和 suppA={u∈U | A(u)＞0} ∈ ＞ 而称A 而称 S0－A1为A的边界 记作 的边界,记作 bonA={u∈U | A(u)＞0且A(u)≠1} ∈ ＞ 且
第一章 模糊集合及其运算
第二讲 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理(1) 复习有关内容: 复习有关内容 经典集合与特征函数; 模糊集合与隶属函数; 经典集合与特征函数 模糊集合与隶属函数 模糊集合的运算,运算律 运算律, 模糊集合的运算 运算律 一族模糊集合的 运算. 运算
4
目录
定理1.4.2 设A,B∈ F( U ), λ∈ λ∈[0,1],则有 定理 ∈ 则有 (1) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ; (2) (A∩B)λ=Aλ∩Bλ; ∪ (3) (A∪B)Sλ=ASλ∪BSλ; (4) (A∩B)Sλ=ASλ∩BSλ. ∪ λ λ λ λ λ λ 证明:(1) ∵ ∀u∈U , u∈(A∪B)λ 当且仅当(A∪B)(u)≥λ 证明 ∈ ∈ ∪ ∪ λ 当且仅当 A(u)∨B(u)≥λ当且仅当 ∨ λ当且仅当A(u) ≥λ or B(u)≥λ λ λ 当且仅当u∈ 当且仅当 ∈Aλ 或 u∈Bλ 当且仅当u∈Aλ ∪Bλ ∈ ∈ ∴(A∪B)λ=Aλ∪Bλ. ∪ 同理可证(2)~(4). 同理可证 定理1.4.2中的 与(4)对于无限个模糊集的情形不成立 一 中的(1)与 对于无限个模糊集的情形不成立 对于无限个模糊集的情形不成立. 定理 中的 般地,我们有 般地 我们有
1.4.3 分解定理
(Ⅰ) 数与模糊集的截积运算 Ⅰ 定义1.4.3 设λ∈ λ∈[0,1], A∈ F( U ), 定义 ∈ 的截积(记作 则λ与A的截积 记作λA)定义为 的截积 记作λ 定义为 (λA)(u)=λ∧A(u),∀u∈U. λ λ ∀ ∈ 其中 λ ∧ A (u ) = λ
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目录
1.4.2 正规模糊集 在实际应用中, 这两个截集很有用, 在实际应用中 A1和AS0这两个截集很有用 我 们分别称A 支集, 们分别称 1和AS0为A的核和支集 分别记作 的 kerA={u∈U | A(u)=1} ∈ 和 suppA={u∈U | A(u)＞0} ∈ ＞ 而称A 而称 S0－A1为A的边界 记作 的边界,记作 bonA={u∈U | A(u)＞0且A(u)≠1} ∈ ＞ 且
第一章 模糊集合及其运算
第二讲 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理(1) 复习有关内容: 复习有关内容 经典集合与特征函数; 模糊集合与隶属函数; 经典集合与特征函数 模糊集合与隶属函数 模糊集合的运算,运算律 运算律, 模糊集合的运算 运算律 一族模糊集合的 运算. 运算
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目录
定理1.4.2 设A,B∈ F( U ), λ∈ λ∈[0,1],则有 定理 ∈ 则有 (1) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ; (2) (A∩B)λ=Aλ∩Bλ; ∪ (3) (A∪B)Sλ=ASλ∪BSλ; (4) (A∩B)Sλ=ASλ∩BSλ. ∪ λ λ λ λ λ λ 证明:(1) ∵ ∀u∈U , u∈(A∪B)λ 当且仅当(A∪B)(u)≥λ 证明 ∈ ∈ ∪ ∪ λ 当且仅当 A(u)∨B(u)≥λ当且仅当 ∨ λ当且仅当A(u) ≥λ or B(u)≥λ λ λ 当且仅当u∈ 当且仅当 ∈Aλ 或 u∈Bλ 当且仅当u∈Aλ ∪Bλ ∈ ∈ ∴(A∪B)λ=Aλ∪Bλ. ∪ 同理可证(2)~(4). 同理可证 定理1.4.2中的 与(4)对于无限个模糊集的情形不成立 一 中的(1)与 对于无限个模糊集的情形不成立 对于无限个模糊集的情形不成立. 定理 中的 般地,我们有 般地 我们有
模糊数学整理
（3）有界算子：
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
模糊数学-模糊集的基本运算61页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模糊数学-模糊集的基本运算
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
模糊集的基本运算讲解共40页文档
ENDBiblioteka 模糊集的基本运算讲解56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
模糊数学-模糊集的基本运算
2.3 模糊集的运算性质
• (6) 对合律(复原律): (A)=A;
• (7) 两极律(同一律): A∩X=A, A∪X=X,
•
A∩=, A∪=A;
• (8) De Morgan对偶律: (A∪B)=A∩B,
•
(A∩B)=A∪B;
• (9) 排中律(互补律): A∪A=X, A∩A=.
• 注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只 取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合). • 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函 数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。
或ba成立, 则称P为线性序集或全序集。
2.4 L型模糊集
• 设(P, )为偏序集, 若存在aP使得对任意bP 都有ab, 则称a为P的最小元。若存在aP使得 对任意bP都有ba, 则称a为P的最大元。
• 易知, 如果偏序集有最小元或最大元, 则最小元 或最大元是惟一的。为此, 记0为最小元素, 1为 最大元素。
Ai (x), xX.
iI
iI
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 例 设论域X={x1, x2, x3, x4}为一个4人集合, X上 的模糊集合A表示“高个子”: A={ (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) }. 模糊集合B表示“胖子”: B= { (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) }.
模糊数学
模糊集概念：一个在区间[0,1]上取值的隶属函数µA (u)所刻画的集合A ，称为论域U 上的一个模糊子集，称为模糊集。
模糊集的表示方法：✧ 向量表示法 A=(µ1, µ2, µ3,µ4,µ5，…, µn )✧ 札德符号表示法 A=(µ1/u 1, µ2/u 2, µ3/u 3,…, µn /u n )✧ 序偶表示法 A={(µ1,u 1), (µ2/u 2), (µ3/u 3),…, (µn /u n )}模糊集合的运算法则✧ 札德算子(∨,∧)µA ∪B =max(µA (u), µB (u))= µA (u)∨µB (u)µA ∩B =min(µA (u), µB (u))= µA (u)∧µB (u)✧ (∨,·)算子µA ∪B =max(µA (u), µB (u))= µA (u)∨µB (u)µA ∩B = µA (u)·µB (u)✧ 概率算子✧ 有界算子(⊕,☉)µA ∪B =min(1,µA (u)+ µB (u))= µA (u)⊕µB (u)µA ∩B =max(0,µA (u)+µB (u)-1)= µA (u)☉µB (u)✧ 其它模糊识别✧ 最大隶属度识别原则设A 1,A 2 ,A 3 …A n 是论域U 上的n 个模糊子集（代表n 种类型），其隶属函数分别为µA1(u), µA2(u), µA3(u),…, µAn (u), u 0是U 中的一个元素，若µAk (u 0)=max(µA1(u 0), µA2(u 0), µA3(u 0),…, µAn (u 0)),则认为u 0相对归属于A k 。
模糊数学——第3次课模糊集合运算
课前复习：
举例说明对模糊子集的理解， 然后熟悉模糊子集表示法。
2014年6月26日
1
模糊集合及其运算
2、模糊集的运算
注意：举一个实际 模糊子集正确理解 这些运算
设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等：A B A ( x) B ( x), x U
包含： A B A ( x) B ( x), x U
例如：在论域 U {1,2,,9} 中，确定A=“靠近5的 数”的隶属函数。
2014年6月26日
19
模糊集合及其运算
可以选取柯西分布的隶属函数 1 A( x ) 1 ( x a ) 先确定一个简单的，比如令 = 1， = 2， a = 5 1 A( x) 1 ( x 5)2
0.06 0.1 0.2 0.5 1 此时有 A 1 2 3 4 5 0.5 0.2 0.1 0.06 , 6 7 8 9 A(4) A(6) 0.5，不太合理，故改变α
2014年6月26日
20
模糊集合及其运算
取 A( x )
1 ,
1 2 1 ( x 5) 5 0.24 0.36 0.56 0.83 1 此时有 A 1 2 3 4 5 0.83 0.56 0.36 0.24 , 6 7 8 9
0.77 0.78 100 110
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
则认为27对应的隶属度认为是0.78
2014年6月26日
18
模糊集合及其运算
2、指派方法
举例说明对模糊子集的理解， 然后熟悉模糊子集表示法。
2014年6月26日
1
模糊集合及其运算
2、模糊集的运算
注意：举一个实际 模糊子集正确理解 这些运算
设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等：A B A ( x) B ( x), x U
包含： A B A ( x) B ( x), x U
例如：在论域 U {1,2,,9} 中，确定A=“靠近5的 数”的隶属函数。
2014年6月26日
19
模糊集合及其运算
可以选取柯西分布的隶属函数 1 A( x ) 1 ( x a ) 先确定一个简单的，比如令 = 1， = 2， a = 5 1 A( x) 1 ( x 5)2
0.06 0.1 0.2 0.5 1 此时有 A 1 2 3 4 5 0.5 0.2 0.1 0.06 , 6 7 8 9 A(4) A(6) 0.5，不太合理，故改变α
2014年6月26日
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模糊集合及其运算
取 A( x )
1 ,
1 2 1 ( x 5) 5 0.24 0.36 0.56 0.83 1 此时有 A 1 2 3 4 5 0.83 0.56 0.36 0.24 , 6 7 8 9
0.77 0.78 100 110
隶属次数
隶属频率
62
0.78
68
0.76
76
85
95
0.79
101
0.78
0.76 0.75
则认为27对应的隶属度认为是0.78
2014年6月26日
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模糊集合及其运算
2、指派方法