一般实系数四次方程的谢国芳公式-绝对准确可靠又最简明快捷的求根公式
一元四次方程的求根公式知乎
一元四次方程的求根公式知乎四次方程是指次数最高为4的方程，一元四次方程可以表示为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，其中a、b、c、d、e都是已知常数，x表示未知数。
求解一元四次方程的根可以使用求根公式来完成。
然而，与一元二次方程和一元三次方程不同，一元四次方程没有通用的求根公式，也就是说，不存在一个类似于一元二次方程的公式可以直接给出方程的根。
然而，我们可以利用一些特殊的方法来求解一元四次方程的根。
其中一种常用的方法是将一元四次方程转化为一元二次方程的形式，然后再求解一元二次方程的根。
为了将一元四次方程转化为一元二次方程，我们可以采用变量代换的方法。
假设我们将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0中的x的二次项的系数设为1，即将方程变为y^2+px^2+qx+r=0，其中y=x^2。
然后，我们可以利用一些代数运算的方法，将一元四次方程转化为一元二次方程的形式。
具体的转化方法是：首先，将一元四次方程的常数项e移到方程的左边，即ax^4+bx^3+cx^2+dx=-e。
然后，我们可以令y=x^2，这样方程可以写成ax^2y^2+bxy^2+cxy+dxy=-e。
接下来，我们可以提取出y的系数，得到ay^2+by^2+cy+dy=-e。
接下来，我们可以继续对一元四次方程进行变量代换。
假设我们令z=y+u，其中u是一个待定系数，那么方程可以进一步写成a(z-u)^2+b(z-u)^2+c(z-u)+d(z-u)=-e。
将这个方程展开并整理，得到az^2+(2au+b)z+(au^2+bu+cu+du+e-au^2)=0。
现在，我们得到了一个一元二次方程az^2+(2au+b)z+(au^2+bu+cu+du+e-au^2)=0。
我们可以使用一元二次方程的求根公式来求解这个方程，得到z的两个解。
然后，我们可以将z的解代回到之前的变量代换中，得到y的解。
最后，我们再将y的解代回到y=x^2的关系式中，得到x的解。
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及
其推导
实系数四次方程的一般形式为 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$。
首先，我们考虑实系数四次方程的求根公式。
实系数四次方程的求根公式：
实系数四次方程的求根公式可以通过使用拉格朗日插值法或泰勒级数展开等方法来推导。
具体来说，对于给定的实系数四次方程 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$，其求根公式可以表示为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$其中 $a, b, c, d, e$ 是方程的系数，并且 $a \neq 0$。
根的判别法则：
实系数四次方程的根的判别法则可以通过判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 来确定。
如果 $\Delta > 0$，则方程有两个不相等的实根；
如果 $\Delta = 0$，则方程有两个相等的实根；
如果 $\Delta < 0$，则方程没有实根，但可能有复数根。
推导过程：
实系数四次方程的求根公式和根的判别法则可以通过因式分解、配方法、二次公式等方法来推导。
具体推导过程可以参考数学教材或相关文献。
三次方程与四次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式一、历史背景：在数学发展的早期，人们已经研究了一、二次方程的解法。
但是，对于三次方程和四次方程的解法却一直困扰着数学家们。
直到16世纪末，意大利数学家卡尔达诺通过一系列的探索和实践，才找到了求解三次方程的方法。
而求解四次方程更是摆在数学家们面前的一个难题，直到16世纪末，法国天文学家费尔马提出了一个通解。
二、解题思路与方法：对于三次方程和四次方程，我们首先需要将其化为特定的形式。
三次方程可以表示为a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，四次方程可以表示为a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0。
接下来，我们需要找到合适的变量代换，使得原方程可以转化为形如y^3+p*y+q=0或y^4+p*y^2+q=0的方程。
这个变量代换的选取很关键，可以利用一些特殊的性质或条件来进行选取。
然后，我们需要通过一些代数方法，如因式分解、配方法、全平方法等，将原方程转化为一个关于新变量的方程，并进一步进行变量代换。
最后，我们可以采用牛顿迭代、套公式等方法，求得方程的根。
三、三次方程的求根公式：我们首先进行变量代换y=x+p/3，将三次方程转化为y^3+p*y+q=0的形式。
根据维埃塗公式的推导，我们可以得到：y1=C+u+vy2=C+ωu+ω^2vy3=C+ω^2u+ωv其中，C和ω是与p和q相关的常数，u和v是根据原方程的系数经过一些运算得到的。
最后，我们再将y1、y2、y3代入变量代换，即可得到原方程的三个实根。
四、四次方程的求根公式：我们先进行变量代换y = x - b/(4a)，将四次方程转化为y^4 + py^2 + q = 0的形式。
根据费尔马的推导，我们可以得到：y1 = sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y2 = -sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q))y3 = sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))y4 = -sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q))然后，我们再将y1、y2、y3、y4代入变量代换，即可得到原方程的四个实根。
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一般实系数四次方程可以写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a, b, c, d, e均为实数且a \neq 0。
解这种四次方程是一个相对复杂且困难的问题，因为不像二次方程有求根公式那样简单。
我们可以通过一些方法来解决这个问题。
我们来看一种求根公式的推导过程。
假设我们已经知道了四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的根为x_1, x_2, x_3, x_4，我们可以将它写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)我们可以将右边展开得到：a(x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + \cdots + x_1x_2x_3x_4) = 0比较两边系数可得：\begin{cases}b = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\\d = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)\\e = x_1x_2x_3x_4\end{cases}这些方程可以用来求解四次方程的根。
虽然这种方法比直接解四次方程要复杂一些，但是它可以帮助我们推导出四次方程的求根公式。
接下来，我们来看一下如何判别四次方程的根的情况。
根据代数基本定理，一个次数为n的多项式方程有n个复数根（包括重根）。
但是对于四次方程，通常我们更感兴趣的是它的实根情况。
我们可以通过计算四次方程的判别式来判断它的实根个数。
对于一般的四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的判别式可以表示为：\Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 16ab^4e - 4ab^3cd - 8abc^3e +4abcd^2 + b^2c^2e^2 - b^2d^2e - 4bc^3d如果判别式\Delta > 0，则四次方程有两对不相等的实根。
一元四次方程求根公式
方程的求根公式范文
方程的求根公式范文方程是数学中一个重要的概念，它帮助我们解决各种各样的问题，例如求解未知数、找出等式成立的条件等。
方程的求根公式是一种用于求解一元二次方程的方法。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
下面我将详细介绍方程的求根公式。
求根公式起源于古希腊，但它的完整形式是由16世纪意大利数学家乔瓦尼·毕达哥拉斯提出的。
求根公式可以解决任何一元二次方程，而且其结果可以分为三种情况：实根、重根和虚根。
下面我将逐一阐述这三种情况。
首先，考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的情况。
利用求根公式，我可以得出方程的两个根x1和x2的表达式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是方程的求根公式。
下面我们来看一些具体的例子。
例1：求解方程x^2+2x-3=0。
首先，我们可以将方程与我们的求根公式进行比较。
我们可以看出a=1，b=2，c=-3、将这些值代入求根公式，我们可以计算出方程的两个根：x1=(-2+√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2+√(4+12))/2=(-2+√16)/2=(-2+4)/2=2/2=1x2=(-2-√(2^2-4*1*(-3)))/(2*1)=(-2-√(4+12))/2=(-2-√16)/2=(-2-4)/2=-6/2=-3所以，方程x^2+2x-3=0的两个根分别是1和-3接下来，我们来看一种特殊情况，即方程的判别式D = b^2 - 4ac等于0的情况。
这种情况下，方程只有一个根，称为重根。
例2：求解方程4x^2-8x+4=0。
来看一下方程的判别式D的值：D=(-8)^2-4*4*4=64-64=0我们可以看到判别式D等于0。
那么，我们应用求根公式计算方程的根。
x1=(-(-8)+√((-8)^2-4*4*4))/(2*4)=(8+0)/8=8/8=1所以，方程4x^2-8x+4=0只有一个根1最后，我们来看一种判别式D小于0的情况。
一元四次方程求根公式(精度高)
目录前言一·一元三次方程求根公式二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式附录三·43x x 取第一种算法的证明过程附录四·费拉里配方法的详细计算过程前言该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。
一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。
两种解法都需要求解一元三次方程。
因此先介绍一元三次方程的解法。
在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件：将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +，b a d +：1·0≥ab0=+b a i ，b a d +=12·0<ab⎩⎨⎧≠+-+=+-=+0))),(int(lg(max int(lg 015b a b a b a b a i b a b a b a d b a ++=+计算出b a i +，b a d +后，再判断a+b 是否发生相近数相减。
判定标准如下：1·0=+b a i 或者1-=+b a i 并且31≥+b a d ，a+b 不发生相近数相减。
2·1-<+b a i 或者1-=+b a i 并且31<+b a d ，a+b 发生相近数相减。
下面推导一元三次方程和一元四次方程的求根公式。
一·一元三次方程求根公式一·一 求根公式一元三次方程)0,0,,,(023≠≠∈=+++d a R d c b a d cx bx ax ，求根公式由塔塔利亚首次提出，由卡尔丹诺于1545年在《重要的艺术》上第一次发表。
四次方程的谢国芳求根公式-最准确可靠和简明快捷的求根公式
四次方程的谢国芳求根公式-最准确可靠和简明快捷
的求根公式
四次方程的求根公式称为“费拉里公式”
（Ferrari'sFormula）。
对于一般形式的四次方程
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，其求根公式较为复杂，但可以通过以下步骤求解：
1.将方程利用代数方法化简为形如y^4+py^2+qy+r=0的形式，其中y=x^2。
2.计算一个中间参数S和T，其中S和T是使得S^3和T^3可以消去中间项q的两个实数。
可以通过求解以下方程得到S和T的值：
S^3+T^3=-p
S^3T^3=r
3.计算两个截距参数u和v，其中u和v是使得u^4+v^4可以得到根式解的两个实数。
可以通过求解以下方程得到u和v的值：u^2+v^2=S
u^2v^2=T
4.根据以上参数，可以得到四个根式解：
x1=sqrt(u)+sqrt(v)
x2=-sqrt(u)+sqrt(v)
x3=sqrt(u)-sqrt(v)
x4=-sqrt(u)-sqrt(v)
需要注意的是，费拉里公式较为复杂，求解四次方程的根可能需要复杂的计算和推导。
实际应用中，常常利用数值计算方法或计算机程序来求解四次方程的根。
一元四次方程怎么解
一元四次方程怎么解
一元四次方程是一类常见的方程，其求根难度较高，但掌握其解法可以比较有效地求解曲线。
以下是一元四次方程求根的常见方法：
1、完全平方因式法：首先将一元四次方程化为完全平方式，如1 2x^4+3x^3+5x^2+7x+6=0可以化为(2x^2+x+3)^2-10x-15=0，然后采用完全平方因式法计算，此时此方程的根为：
x1=1+√2(-3+√3)，x2=1+√2(-3-√3)，x3=1-√2(-3+√3)，x4=1-√2(-3-√3)。
2、求根公式：对于一元四次方程，可以设置一个求根公式，如aX^4+bX^3+cX^2+dX+e=0，其求根公式为：X1=[2(2d-b^2)+√(-4(2d -b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X2=[2(2d-
b^2)-√(-4(2d -b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X3=[-2(2d-b^2)+√(-4(2d -
b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X4=[-2(2d-b^2)-√(-4(2d -b^2)^2+4(b^3-3bd+18c))]/6，X1∙X2∙X3∙X4=e-cd+bd^2-4ac。
3、分解因式法：将一元四次方程分解为两个二次方程求解，如x4+4x3+4x2+4x+2=0可以
化为(x2+2x+1)=(x2+2x+2)，然后将两个二次方程独立求解，其根为：x1=-1+i，x2=-1-i，x3=1+i，x4=1-i。
以上就是求解一元四次方程的常见方法，读者可以结合不同的实例进行实践，从而掌握解
决四次方程的技巧。
一元四次方程求根公式
费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1) 移项可得x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为(x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可得[(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) （4）式中的y是一个参数。
当（4）式中的x 为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。
特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即(1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5) 这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。
解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。
费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。
一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法
一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和判别法作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@【摘要】本文给出了远比卡丹公式和盛金公式简明快捷的求解一般实系数三次方程320ax bx cx d +++= 的新求根公式及相应的根的判别法则。
【资料来源】 同作者已发表的学术论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》（2012年第21期《数学学习与研究》）和网页专题研究论文集《三次方程研究》一般实系数三次方程的谢国芳求根公式（形式1）和根的判别法则对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，定义第一判别式（first discriminant ） 23D b ac =-,关键比（key ratio ）32 =r ,则有如下根的判别法则和求根公式：（一）当230D b ac =-<时，方程有一个实根和两个共轭虚根：12,31)3111(2233b K K x a b K K K K x i a a ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪--+⎪=±⎪⎩))（1.1）其中K =（二）当230D b ac=->，1r>时，方程也有一个实根和两个共轭虚根：12,31)3111(2233bxabx ia aκκκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-+-⎪=±⎪⎩))（1.2）其中κ=（三）当230D b ac=->，1r=时，方程有两个相等的实根（即一个两重实根）和另一个与之不等的实根，此时仍可用求根公式（1.2）求解.当1r=时，1κ==，代入式（1.2）即得1x=,23x x==.当1r=-时，1κ==-，代入式（1.2）即得13bxa--=,233bx xa-==.（四）当230D b ac=->，1r<时，方程有三个互异的实根：1232cos 3322cos()33322cos()333b x ab x ab x aθθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（1.3）其中1cos r q -=.以上求根公式的推导参见2012年第21期《数学学习与研究》上同作者的论文《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》。
三次方程和四次方程求根公式
三次方程和四次方程求根公式一、卡丹方法（求解三次方程）卡丹方法，又称卡丹公式，用于解三次方程。
设三次方程为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
1. 将三次方程进行配方，得到一个完全立方的形式，即将bx^2 + cx转化为一个平方。
2. 平方完成后，将方程表示为一个完全立方，即将bx^2 + cx表示为(y + p)^3的形式。
3.计算出p的值，并将y表示为x+q的形式。
4.将计算得到的p和q的值代入原方程，同时考虑到y+p=x+q，得到一个关于x的二次方程。
5.解这个二次方程，得到两个解。
6.将解代回y=x+q和y+p=x+q，得到x的两个值。
7.解得的两个x值即为原三次方程的两个实数根，余下的一个虚根可利用降次法进一步确认。
二、胡克定理（求解四次方程）胡克定理，又称为迪利克雷定理，用于解四次方程。
设四次方程为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。
1.先观察方程是否能够进行因式分解，即是否可以因式分解成两个二次因式的乘积，如(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)=0。
若能够进行因式分解，则直接求得解。
2.若无法进行因式分解，通过变量代换，令x=y-(b/4a)。
这个变量代换可以将四次方程转化为一个简化了常数项的新方程。
3. 将变量代换后得到的方程进行化简，可以得到新的形式为y^4 + py^2 + qy + r = 0的方程。
4.如果新方程的前三项的系数满足特定的关系，即p^2-4r<0和q^2-4p^3-27r^2>0，则求出新方程的一个实数根z。
5.将这个实数根代入原方程，并求解出两个实数根，同时也可以得到两个复数根。
6.综上所述，根据实数根和复数根的不同情况，利用解得的z和降次法可以得出四次方程的所有根。
卡丹方法和胡克定理虽然给出了求解三次方程和四次方程的公式，但它们的应用范围不如二次方程的公式广泛。
在实际问题中，一般采用数值方法或者计算机算法求解高阶方程的根。
4次方程求根公式
4次方程求根公式4次方程求根公式无论是在高中数学教学还是在实际工作的数学模型中，4次方程求根都是一个非常重要的问题。
这篇文章将详细阐述4次方程求根公式。
文章按照以下五个部分逐条论述。
一、4次方程的一般式4次方程的一般式为：$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$，其中$a\neq0$。
这里的$a,b,c,d,e$都是已知的实数，$x$为未知数。
二、4次方程解的判别式对于4次方程$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$，设$y=x+\dfrac{b}{4a}$，于是原方程可以化为：$ay^4+py^2+qy+r=0$。
其中$p=c-\dfrac{3b^2}{8a^2}, q=d-\dfrac{bc}{2a}+\dfrac{b^3}{8a^3},r=-\dfrac{3b^4}{256a^4}+ \dfrac{b^2c}{16a^3}-\dfrac{bd}{4a^2}+\dfrac{ae}{a}$。
针对上面得到的$ay^4+py^2+qy+r=0$，我们可以求出解的判别式：$\Delta=q^2+4ap^3-4ar^2-27a^2\Delta_0^2$。
其中$\Delta_0=b^2-3ac$。
三、4次方程根式解关于4次方程根式解的求法，我们可以得到如下公式：（1）当$\Delta>0$时，4次方程的四个实根为：$x_1=\dfrac{-\omega_1}{4a}-\dfrac{1}{4a}\sqrt[3]{\omega_1^2-4\omega_2+\dfrac{2\omega_1(2\omega_2- \omega_1^2)}{\sqrt[3]{-2\omega_1^3+9\omega_1\omega_2-27\omega_3+3\sqrt{3}\sqrt{4\omega_1^3\omega_3-16\omega_1^2\omega_2+18\omega_1\omega_2^2- 4\omega_2^3-27\omega_1^4\Delta}}}}$$x_2=\dfrac{-\omega_1}{4a}+\dfrac{1}{4a}\sqrt[3]{\omega_1^2-4\omega_2+\dfrac{2\omega_1(2\omega_2- \omega_1^2)}{\sqrt[3]{-2\omega_1^3+9\omega_1\omega_2-27\omega_3+3\sqrt{3}\sqrt{4\omega_1^3\omega_3-16\omega_1^2\omega_2+18\omega_1\omega_2^2- 4\omega_2^3-27\omega_1^4\Delta}}}}$$x_3=\dfrac{-\omega_1}{4a}-\dfrac{1}{4a}\sqrt[3]{\omega_1^2-4\omega_2-\dfrac{2\omega_1(2\omega_2- \omega_1^2)}{\sqrt[3]{-2\omega_1^3+9\omega_1\omega_2-27\omega_3+3\sqrt{3}\sqrt{4\omega_1^3\omega_3-16\omega_1^2\omega_2+18\omega_1\omega_2^2- 4\omega_2^3-27\omega_1^4\Delta}}}}$$x_4=\dfrac{-\omega_1}{4a}+\dfrac{1}{4a}\sqrt[3]{\omega_1^2-4\omega_2-\dfrac{2\omega_1(2\omega_2- \omega_1^2)}{\sqrt[3]{-2\omega_1^3+9\omega_1\omega_2-27\omega_3+3\sqrt{3}\sqrt{4\omega_1^3\omega_3-16\omega_1^2\omega_2+18\omega_1\omega_2^2-4\omega_2^3-27\omega_1^4\Delta}}}}$其中，$\omega_1=\dfrac{3qp-p^2}{3a^2}$, $\omega_2=\dfrac{2p^3-9pq+27a^2r}{27a^3}$, $\omega_3=\dfrac{\sqrt{4\omega_1^3\omega_3-16\omega_1^2\omega_2+18\omega_1\omega_2^2-4\omega_2^3-27\omega_1^4\Delta}}{54a}$。
一元四次求根公式
一元四次求根公式
哎呀呀，让我来给你讲讲一元四次求根公式吧！
一元四次方程的一般形式是：ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0。
那求根公式可复杂啦，就像一个神秘的宝藏，很难一下子就找到打开它的钥匙呢！
比如说，有个方程 x^4+2x^3-3x^2-4x+4=0，这就像一个谜题等着我们去解开呀！要是没有求根公式，那可真是让人头疼呢！
哎呀，你想想，数学世界里的这些公式就像是一个个神奇的工具，能帮我们解决各种难题，是不是很厉害呢？我们就像是探险家，拿着这些工具去探索数学的奥秘呢！
咱可别小瞧了这一元四次求根公式呀，它可是能在很多地方大显身手的哟！比如在解决一些复杂的实际问题中，它就能帮我们找到关键的答案呢！
好啦，这就是关于一元四次求根公式的一些小知识啦，你是不是对它更感兴趣了呢？。
解实数根的公式
解实数根的公式嘿，咱们今天来聊聊解实数根的公式。
在数学的世界里，解实数根的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开那些看似复杂的方程之门。
先来说说一元二次方程，它的一般形式是 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），而解这个方程的公式就是大家熟悉的“求根公式”：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
就拿我曾经教过的一个学生小明来说吧。
有一次课堂上，我出了一道题：x² + 2x - 3 = 0 ，让大家用求根公式来求解。
小明一开始有点懵，不知道从哪里下手。
我就引导他，先确定 a = 1，b = 2 ，c = -3 ，然后把这些值代入求根公式。
小明认真地算着，嘴里还念念有词：“先算 b²- 4ac ，2² - 4×1×(-3) = 16 。
”算出判别式的值后，他的眼睛一下子亮了起来，接着往下算：“x = [-2 ± √16] / （2×1），那就是 [-2 ± 4] / 2 。
”最后得出两个根，x₁ = 1 ，x₂ = -3 。
小明兴奋地喊着：“老师，我算出来啦！”看着他那开心的样子，我也感到特别欣慰。
这个求根公式可不简单，它能帮我们解决各种各样的一元二次方程。
不管方程的系数是整数、分数，还是小数，只要符合一元二次方程的形式，都能通过这个公式找到实数根。
比如说，3x² - 5x + 2 = 0 ，同样代入求根公式，a = 3 ，b = -5 ，c = 2 ，先算判别式 b² - 4ac = （-5）² - 4×3×2 = 1 ，然后x = [5 ± √1] /（2×3），就能算出 x₁ = 1 ，x₂ = 2 / 3 。
但是要注意哦，如果 b² - 4ac < 0 ，方程就没有实数根。
一般三次方程谢国芳求根公式的推导方法1(利用复三角函数的方法)
一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则—— 谢国芳 Email: roixie@【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。
【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法1 一般三次方程的简化对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程320b c dx x x a a a+++=, 然后作变量代换3bx y a =-,（1） 可消去二次项，将它化为下面的形式：30y py q ++=, （2） 其中2233b ac p a -=-, 323922727abc b a dq a --=-.（3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1]2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式在方程（2）中作变量代换[2]y z =, （4） 利用三倍角公式3cos34cos 3cos z z z =-,方程（2）即化为cos3z =, （5）定义参数χ=, （6）称之为三次方程30y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即cos3z χ=. （7）当χ为实数且1χ≤时，令1cos θχ-=，可得其一般解为32z n θπ=±+, 即 233n z θπ=±+()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值：22, , 33333z θθπθπ=±±+±-但cos z 只取下面这三个值：22cos cos , cos(), cos()33333z θθπθπ=+-代入式（4），即得方程30y py q ++=的三个根：12332cos()332)33y y y θθπθπ⎧=⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩（8） 其中1cos θχ-=, χ=(, 1)c c 危.当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解.根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：cos 2iz ize e z -+=, （9）方程（7）等价于332iz ize e χ-+=, 它可以化为一个以3iz e 为元的二次方程：323()2()10iz iz e e χ-+=,解得3iz e χ=±（10）定义参数 W χ=+ （11）注意到恒等式( 1χχ-+=, （12）由式（10）可解得ize =或代入式（9），再由式（4）即得方程30y py q ++=的根为y =+, （13） 其中W χ=+,χ=. （14）三个值正好对应于方程的三个根. [3]3 简约三次方程的另一个求根公式定义参数λ （15）亦称之为三次方程30y py q ++=的关键比，对比关键比χ的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注2和附录1）= （16）则i χλ=, 于是(W i i i χλλλ=+=+=+=+定义参数Z λ=+, 则W iZ =, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）/6i e π=,代入求根公式（13）可得/2/6/62/3( i i i i y e e e e ππππ-===-因为2/3i e π乘以的三个值，所以上式即y =, （17） 其中Z λ=+,l =（18）的三个值亦正好对应于方程的三个根.4 一般三次方程的两个求根公式为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程320ax bx cx d +++=，只需把相应的简约三次方程30y py q ++=的关键比χ和l 直接用系数,,,a b c d 表出即可.将由式（3）给出的,p q 值代入χ和l 的定义式（参见式（6）、（15））可得[4]323239227abc b a dχ--32λ.定义23D b ac =-, 则有32χ=,32λ=. （19）我们可以把它们称为三次方程320ax bx cx d +++=的关键比. 分别根据求根公式（13）和求根公式（17），并注意到23D p a =-和3b x y a=-（参见式（1）、（3）），我们就得到了下面的结果.定理1（一般三次方程的求根公式Ⅰ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32χ=,W χ=+（20）则当0D ≠时它的根为[5]x =（21）设i W W e β=，W 为复数W 的模，arg W β=为其幅角主值（πβπ-<≤），的三个值为/3i β,(2)/3i βπ+,(2)/3i βπ-.代入式（21），即得方程的三个根：123x x x ⎧⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎩定义实参数ρ=并利用欧拉公式cos sin i e i q q q =+，可将它们改写为12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a ββρρρρβπβπρρρρβπβπρρρρ⎧-+++-⎪=⎪⎪⎪-++++-+⎪⎪=⎨⎪⎪-++-+--⎪⎪=⎪⎪⎩（22）其中ρ=arg W β=, W χ=+定理2（一般三次方程的求根公式Ⅱ）对于三次方程320ax bx cx d +++=, 定义参数23D b ac =-,32λ=Z λ=+, （23）则当0D ≠时它的根为x =（24）设i Z Z e α=，Z 为复数Z 的模，arg Z α=为其幅角主值（παπ-<≤），的三个值为/3i α,(2)/3i απ+,(2)/3i απ-.代入式（24），同样利用欧拉公式，并定义实参数σ=，可得方程的三个根：12311)cos ()sin )3331212)cos()()sin())333331212)cos()()sin())33333b i x a b i x a b i x a αασσσσαπαπσσσσαπαπσσσσ⎧-+-++⎪=⎪⎪⎪-+-++++⎪=⎨⎪⎪-+--++-⎪=⎪⎪⎩（25）其中σ=arg Z α=, Z λ=+.注意求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ是完全等价的，它们的区别仅在于关键比χ和l 的定义式中D 前面的符号不同一个为正一个为负（这导致χ和l 相差一个因子i ），从而也使得参数W 和Z 的定义式中出现了一个符号的差别（参见式（20）、（23））.在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.例题1 解复系数三次方程 320x ix x i ++-=.解法1 （用求根公式Ⅰ求解）：1a =, b i =, 1c =, d i =-,223()3114D b ac i =-=-⨯⨯=-,323198χ===-, 198W χ=+=-+=arg W βπ==, 0.604401892838194ρ==≈, 代入式（22），即得方程的三个根：111)cos ()sin)33311)cos0.6062907292071990.4()sin )33319643377607081 ,b i x ai i i ββρρρρππρρρρ-+++-=-++++-=≈21212)cos()()sin())333331.839286755214,161i i x i ππππρρρρ-++++-+=≈-31212)cos()()sin()0.60629)3333307292071990.41964337760708 ,1 i i x i ππππρρρρ-++-+--=≈-+解法2（用求根公式Ⅱ求解）：323198i λ===,198Z i λ=+=+=, arg 2Z πα==,1.654528239983047σ==≈,代入式（25），即得方程的三个根：111)cos ()sin )33311)cos0.6062907292071990.419643()sin )663377607081,b i x ai i i αασσσσππσσσσ-+-++=-+-+≈++=21212)cos()()sin())0.6062907292071990.4196433776076363081,3i i x i ππππσσσσ-+-+++=≈-++31212)cos()()sin()) 636 1.83928673355214161.i ii x ππππσσσσ-+---++-=≈和前面解法1用求根公式Ⅰ求解所得结果的差别只是后两个根的编号不同.对于实系数的三次方程，当然亦完全可以直接用求根公式Ⅰ或求根公式Ⅱ求解，但为了尽可能地简化计算，特别是避免复数运算，下面我们将推导出一组更简单的专门适用于实系数三次方程的求根公式.5 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（D c -判别法）对于实系数三次方程320ax bx cx d +++=，我们可以根据参数23D b ac =-的值，选择使用求根公式Ⅰ和求根公式Ⅱ中较方便的一个求解，进而判定根的情况.5.1 0D <的情形当230D b ac =-<时，显然用求根公式Ⅱ求解比较方便，因为这时关键比λ为实数（参见式（23）），Z λ=+亦为实数，设其实立方根为K ，三个值为K , 2/3i e K π,2/3i e K π-，代入式（24）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b K K x a b K K K K x i a a ππ⎧-+-⎪=⎪⎪⎨⎪-+-+⎪=±⎪⎩))（26）其中K =32λ=（λ∈ , K ∈ ）.显然1x 为实根，2x , 3x 为共轭虚根.5.2 0D >的情形当230D b ac =->时，显然用求根公式Ⅰ求解比较方便，因为这时关键比χ为实数（参见式（20）），参数W χ=+1χ≥和1χ<这二种情形.（一）若1χ≥，则W χ=+κ三个值为κ, 2/3i e πκ, 2/3i e πκ-，代入式（21）即得方程的三个根为12,31)31212cos sin3333b x ab x i a a κκππκκκκ⎧-++⎪=⎪⎪⎨⎪-++-⎪=±⎪⎩))（27）其中κ=χ∈ , 1χ≥, κ∈ ）.易见1x 为实根. 当1χ>时2x ,3x 为共轭虚根. 当1χ=，即1χ=±时，1κ=±，2x ,3x 为两个相等的实根.（二）若1χ<，设cos χθ=（0q p <<），即1cos θχ-=，于是有cos cos sin i W i e θχθθθ=+=+=+=,三个值为/3i e θ, (2)/3i e θπ+, (2)/3i e θπ-，代入式（21）即得方程的三个根为[6]1232cos 3322cos()33322cos()333b x a b x a b x a θθπθπ⎧-+⎪=⎪⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-+-⎪=⎪⎪⎩（28） 其中1cos θχ-=（χ∈ , 1χ<）.显然1x ,2x ,3x 全都是实根，且易证它们互不相等.实际上可证当0a >时132x x x >>，当0a <时132x x x <<. 由0q p <<可知033θπ<<,22333πθππ<+<, 223333πθππ-<-<-. 因此1cos 123θ<<, 211cos()332θπ-<+<-, 121cos()2332θπ-<-<. 根据式（28），当0a >时即可判定各根的范围如下：133b b x a a -+-+<<,333b b x a a---+<<, 233b b x a a----<<. 显然132x x x >>；当0a <时上面三个不等式中的不等号反向，即132x x x <<.5.3 0D =的情形当230D b ac =-=（即关键比的分母为0）时，方程320ax bx cx d +++=可以配成完全立方求解，两边同除以a ，再利用23b c a=可将它改写为33()()33b b d x a a a+=-. 解得123x x x ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（29） 其中w为三次单位根（122w =-+，2122ω==--）. 易见当3227b a d ≠时，1x 为实根. 2x ,3x 为共轭虚根. 当3227b a d =时，1233b x x x a ===-，即方程有一个三重实根3ba-.5.4 一般实系数三次方程的根的判别法则（D c -判别法）综合上面三小节所述，我们就得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们可以把它称为D c -判别法，参数23D b ac =-（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为第一判别式（first discriminant ），它和关键比32χ合在一起就能简单快捷地判定实系数三次方程320ax bx cx d +++=的根的情况，并决定相应的最便捷的求根公式：(1) 当230D b ac =-<时[7]，方程有一个实根和两个共轭虚根.可用求根公式（26）求解.(2) 当230D b ac =->，1χ>时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根. 可用求根公式（27）求解.(3) 当230D b ac =->，1χ=时，方程有一个两重实根和一个单重实根.仍可用求根公式（27）求解，也可以用三角求根公式（28）求解[8]. (4) 当230D b ac =->，1χ<时，方程有三个互异的实根.可用三角求根公式（28）求解.(5) 当230D b ac =-=，3227b a d ≠时[9]，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.可配成完全立方或用式（29）求解.(6) 当230D b ac =-=，3227b a d =时[10]，方程有一个三重实根3b a-.例题2 判别方程32272840x x x -+-=根的情况并求解. 解：27a =, 2b =-, 8c =, 4d =-,223(2)3278644D b ac =-=--⨯⨯=-,由0D < 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（26）求解.3232 ,2.290292896392045λ≈1.685620470846232K =≈,111)2)33270.366928020961414,b K K K K x a-+-+-==≈⨯2,31112()223273270.146426973443670 0.618313639592 831 .K K K K x i i -+--+=±⨯⨯≈)例题3 判别方程320.2760.01360.000430 x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.276)30.00.035376136D b ac =-=--⨯=,3231.49366201124 5,549χ≈由0D >，1χ> 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（27）求解.1.375628929048766κ=≈,111)0.276)0.223820634031594,33b x aκκκκ-+++==≈2,31110.276()0.0260896829842030.0352208697227033190.x i i κκκκ-+-=±+≈)例题4 判别方程320.58560.0720.0020x x x -+-=根的情况并求解. 解：223(0.5856)30.0720.12692736D b ac =-=--⨯=,323 0.84218618343,1575χ≈由0D >, 1χ<可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（28）求解.10.56947125co 8305s 003θχ-=≈,12cos 0.58562cos0.4284461259031433333,b x aθθ-++==≈220.58562cos()3330.039765810249773,x θπ++=≈320.58562cos()3330.117388063847084.x θπ+-=≈【注解】【1】当0p =时它退化为平凡的三次方程30y q +=值.【2】注意复数的平方根有二个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其两个值中的任意一个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可以称为方根取值的自由性原则，它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）. 【3】将χ=代入，并利用恒等式（12）即可得到著名的卡丹（J. Cardan ）公式.【4】对于任意非零复数a ，我们总可以选取平方根=（因为2223()9b aca -=-，所以，参见附录1和注2. 【5】 当0D =时方程的根由式（29）给出（其中的系数可取复数值）. 【6】式（28）也可以从前面简约三次方程的三角求根公式（式（8））导出. 【7】即当关键比χ为虚数时.【8】当1χ=时，1κ==，1cos 10θ-==，代入式（27）和式（28）都得到13b x a -+=，233b x x a-==；当1χ=-时，1κ==-，1cos (1)θπ-=-=，代入式（27）得到13b x a --=, 233b x x a-+==，代入式（28）得到133b x x a-+==，23b x a --=，两者的差别只是根的编号不同.【9】即当关键比c 的分母为0而分子不为0时.【10】即当关键比c 的分母和分子都为0时.附录1 复数的方根及其性质满足n w z =的复数w 称为复数z 的n 次方根，和实数的方根一样用符号w =.设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤），则其n 的一般值由下式给出：(2)/22)sin())i k n k k i nnθπθπθπ+++==+ , （30）其中k 为任意整数，当0,1,2, ..., 1k n =-时，上式正好给出n 个不同的值，等价地说，是一个多值函数，共有n 个值，我们可以把0k =/i n θ的主值.特别地，在式（30）中取2n =,0,1k =，即得平方根的两个值为/2i θ,iθ，前者为主值./2易见复数的方根有下面的性质：=（31）鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边的值的集合相同，更具体地说，我们可以对它作如下更精细的解释：(1) .(2) 的一个值，（共有n个）时，的所有值（亦共有n个）.(3) .参考文献[1]（美）迪克森（L.E.Dickson）著；黄缘芳译.代数方程式论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.3.。
一般四次方程的求根公式
一般四次方程的求根公式求解一般四次方程的根是一个相当复杂的过程，也是一个有着相当多数学理论和技巧的领域。
在这篇文章中，我们将探索四次方程及其解决方法的一些基本概念。
首先，我们来定义一个一般的四次方程：\[ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a ≠ 0\]其中，a、b、c、d、e是实数系数。
我们的目标是找到方程的根x，使得它满足上述等式。
要解四次方程并获得其根，我们可以使用一些特殊的求根公式和技巧。
下面是几种广为人知的方法。
一、直接因式分解法：在一些特定情况下，四次方程可以通过直接因式分解的方法得到解。
例如，当系数满足一些特殊的条件时，我们可以通过找到因式来求解方程。
二、维埃特定理：维埃特定理是通过变量替换法将四次方程转化为较易解的一次方程来求根。
考虑一般四次方程 \(x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0\)令 \(x = y - \frac{p}{4}\)，将该式代入原方程，并展开得：\[y^4+Ay^2+By+C=0\]其中，\(A = q - \frac{3p^2}{8}\)，\(B = \frac{p^3}{8} -\frac{pq}{4} + r\)，\(C = \frac{3p^4}{256} - \frac{pr}{16} +\frac{p^2q}{64} - \frac{q^2}{16} + s\)。
通过这种变量替换法，我们可以将原来的四次方程转换成简单的一次方程。
三、Ferrari方法：Ferrari方法是求解四次方程的一种传统方法，它是由意大利数学家Ludovico Ferrari在16世纪提出的。
对于一般的四次方程\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)，Ferrari方法的主要思想是将方程转化为一个含二次项的方程，然后通过求解二次方程来得到根。
Ferrari方法的详细步骤非常复杂1.首先，通过平方公式将方程转化为含二次项的方程。
四次方程判别式
四次方程判别式四次方程判别式四次方程是由一个四次项、一个三次项、一个二次项、一个一次项和一个常数项组成的代数方程，其一般形式为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0。
在解四次方程时，我们需要先判断其根的个数和性质，这就需要用到四次方程的判别式。
一、四次方程的判别式四次方程的判别式是指通过计算得出的D=b^2-4ac来判断该方程有几个实根和几个虚根。
其中，b、a、c分别是该四次方程中x^3、x^2和x的系数。
1. D>0时，该四次方程有两个不相等实根和两个不相等虚根。
2. D=0时，该四次方程有两个相等实根和两个相等虚根。
3. D<0时，该四次方程有四个不相等虚根。
二、使用公式求解四次方程在已知D的情况下，我们可以使用公式求解出该四次方程的实根或虚根。
其中，当D>0时，可以使用如下公式：x1=(-b+√D)/(2a) x2=(-b-√D)/(2a) x3=i(-b+√|D|)/(2a) x4=i(-b-√|D|)/(2a)当D=0时，可以使用如下公式：x1=x2=(-b)/(2a) x3=i√(c/a) x4=-i√(c/a)当D<0时，可以使用如下公式：x1=(√|D|)/(2a)+i(-b)/(2a) x2=-(√|D|)/(2a)+i(-b)/(2a)x3=(√|D|)/(2a)-i(-b)/(2a) x4=-(√|D|)/(2a)-i(-b)/(2a)三、使用Vieta定理求解四次方程除了使用公式求解四次方程外，我们还可以使用Vieta定理来求解该方程的根。
Vieta定理是指通过四次方程中系数的和与积之间的关系来求解该方程的根。
对于四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，其根为x1、x2、x3、x4，则有以下关系：1. x1+x2+x3+x4=-b/a2. x1*x2+x1*x3+x1*x4+x2*x3+x2*x4+x3*x4=c/a3. x1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=-d/a4. x1*x2*x3*x4=e/a通过这些关系式，我们就可以通过已知的系数来求解出该四次方程的根。
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一般实系数四次方程的谢国芳求根公式作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@【摘要】本文给出了一个绝对准确可靠又最简明快捷的一般实系数四次方程的求根公式，其中涉及的运算全部为实数运算，可以在普通的科学计算器上进行。
以下把一般四次方程的形式设为4324640ax bx cx dx e ++++=在系数中引入数字因子4, 6, 4是为了使后面各参数的表达式尽可能地简洁，注意五个系数的数字因子1, 4, 6, 4, 1恰好是二项式系数（ 4432(1)4641x x x x x +=++++ ）.一般实系数四次方程的谢国芳求根公式对于实系数四次方程 4324640a x b x c x d x e ++++= (0)a > , 定义参数2H b ac =-, 243I ae bd c =-+, 2332G a d abc b =-+, 32234H a H I GJ a--=,3227I J ∆=-,称0G ≠,220I J +≠（即, I J 不同时为0）的情形为一般情形，又可以分为下面这两种情况[1]：（一）一般情形的求根公式Ⅰ当32270I J∆=-<时，方程的四个根为1,23,4(sgn(/(sgn(/x b G ax b G a⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩其中sgn()G为G的符号（sign）,1 (0)sgn()1 (0)GGG>⎧=⎨-<⎩2at H=+.（二）一般情形的求根公式Ⅱ当32270I J∆=-≥时，方程的四个根为1234(/(/(/(/x b ax b ax b ax b a⎧=-+++⎪⎪=-+⎪⎨=--+-⎪⎪=---+⎪⎩其中1)3y Hθ=+,2,32)33y Hθπ=±+,1cosJθ--=.s是一个符号因子（sign factor），等于1或1-，视实数123,,y y y的符号而定：当123,,y y y全为正数时sgn()Gs=-，否则sgn()Gs=.（三）特殊情形的求根公式(Ⅰ) 当0G ¹, 0I J ==时,方程有一个三重实根(sgn(/b G a -+和另一个实根(3sgn(/b G a --.(Ⅱ) 当0G =时, 方程的四个根为1234(/(/(/(/x b a x b a x b ax b a ⎧=-+⎪⎪=-+⎪⎨⎪=--⎪⎪=--⎩【注1】规定各求根公式中的平方根全部取主值（设z 为复数z 的模，θ为其幅角主值（πθπ-<≤）/2i θ, /2i θ，称前者为主值），实际上，除了特殊情形Ⅱ之外，各平方根号内的数全都是实数，当它是正数时平方根主值就是普通的实平方根，而当它是负数时则等于其绝对值的实平方根乘以i 。
例题例题1 解四次方程 4322121030x x x x +---=.解：21121051, , 2, , 342642a b c d e --=======-=-2219()(2)24H b ac =-=--=22154334()()3(2)1422I ae bd c =-+=---+-=233511332()3()(2)2()2224G a d abc b =-+=---+=32329932744()()14()4442J H H I G =--=-⨯-=3232278707271427()24I J∆=-=-=-因为0∆<，所以用 一般情形的求根公式Ⅰ 求解：2190.01211672491861742250724a t H =++=++≈30, sgn ()14G G =>=11(sgn(/23.0711409009234886169x b G a =--±=--+≈21 4.29129289313448290572x =--≈-3,4120.389924003894502855570.27493870736756802215x i=--±≈-±例题2 解四次方程 43231418810x x x x ++++=.解：1471883, , 3, 2, 14264a b c d e ========22713()3324H b ac =-=-⨯=2274331423322I ae bd c =-+=⨯-⨯⨯+⨯=2323773732323332()224G a d abc b =-+=⨯-⨯⨯⨯+⨯=322322331313374()3()2()4144443H a HI GJ a⨯-⨯⨯---===-3232110127(2)27()416I J∆=-=--=因为0∆>，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解：11()1cos cos 1.0936126008583018847Jθ---==≈弧度113)) 5.5385306812982778167334y H θθ=+=+≈2213) 1.3494473524579513276334y θπ=++≈2213) 2.8620219662437708557334y θπ=-+≈因为123, , y y y 全为正数，sgn () =1G s =-- 37(0, sgn ()1)4G G =>=17(/(/3 1 2x b a =-++=--+=-27(/3 2.90227220776028929072x =---≈-37(/30.558895228078820053052x =-++-≈-47(/30.205499230827557322952x =-+-+≈-例题3 解四次方程 432183571962400x x x x -+-+=.解：1893571191961, , , 49, 24042624a b c d e --===-====-=229119157()224H b ac =-=--=-22911939915432404()(49)3()224I ae bd c =-+=---+=2339119932(49)3()()2()572222G a d abc b =-+=---+-= 3223215715739915141909144()()572 4448J H a H I G=--=⨯---⨯-=-323239915141909127()27()14405853431748I J∆=-=--=因为0∆>，所以用 一般情形的求根公式Ⅱ 求解：11cos cos 0.39062182774728867633 ()θ--==≈弧度15157o s ()c o s ()17.935443512405450943334y H θθ=+=-≈22157+)74.327803692239770745334y θπ-≈-32157)61.357639820165680199334y θπ--≈-因为123, , y y y 不全为正数，sgn () =1G s = (5720, s g n (G G =>=1,2(/9 2 8.735025798316398797416.454469174310768933x b a i i=-+±+=+±+≈±3,4(/9 2 0.264974201683601202550.78824565743655318750x b a i i =-+=+±-≈±作者简介： 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。
已发表的数学和物理方面的论文有：4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》 （2012年第21期《数学学习与研究》）。