微分方程求解

x 1
x 1
e P(x)dx
e 2ln( x1)

1 (x 1)2
，
Q(x)e P(x)dx dx
(x 1)dx 1 (x 1)2 ， 2
通解为：
y

(x
1) 2

1 2
(x
1) 2

C


1 2
(x
1) 4

C(x
1) 2
（
C
为任意常数）。
要点：求解线性一阶微分方程：
方程： y P(x) y Q(x) （必须写成这种标准形式）
通解：
y

e
P( x)dx

Q(
x)e

P
(
x)
dx
dx

C

。
注意： Q(x) 0 时，通解公式为： y Ce P(x)dx 。
4. 求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
1 ln 1 x2 2
1 ln(1 y 2 ) 1 ln C
2
2
（
C

0
来自百度文库
1
），通解为：
1
y2 x2
C （ C 0 ）。
⑸ 分离变量，得： ln x dx ln y dy 0 ，两边积分，得： 1 (ln x)2 1 (ln y)2 1 C ，
x
y
2
2
2
通解为： (ln x)2 (ln y)2 C （ C 0 ）。
u

y
x
x
代回变量 y 即可。
推导法有助于了解换元的作用，公式法则能更快地得到结果。
3. 求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
⑴
y
y yx
；
⑵ (x y)dx xdy 0 ；
⑶ xy y x2 y 2 0 ；
⑷ xy 2dy (x3 y3 )dx 。
9C1e3x 16C2e4x 21C1e3x 28C2e4x 12C1e3x 12C2e4x 0 右边。
⑶ 对所给函数 xy C1e x C2ex 两边分别对 x 求导两次，得：
y xy C1e x C2ex ， 2 y xy C1e x C2ex ，
⑵ 方程变形为： dy 1 y ，令 y xu ，得： u x du 1 u ，
dx x
dx
即： du dx （ u 1 ），积分，得： 1 ln 1 2u ln x 1 ln C ，
1 2u x
2
2
2
即： (1 2u)x2 C ，又 C 0 对应的函数 u 1 或 y 1 x 也是原方程的解，
⑸ y ln xdx x ln ydy 0 ；
⑹
dx y

dy x

0
，
y
x3

4；
⑺
x 1
y
dx
y 1 x
dy

0，
y
x0
1。
解：⑴ 将方程化做变量分离的形式： (1 y)dx (1 x)dy 0
dx
1 x

dy 1 y
（
x

1，
y

1 ），两边积分，得：
2C1 x

4C2

2C1 x

2C2

0

右边。
⑵ ∵ y C1e3x C2e4x ，∴ y 3C1e3x 4C2e4x ， y 9 C 1 e 3 x 16 C 2 e 4 x ，于是
左边 9C1e3x 16C2e4x 7(3C1e3x 4C2e4x ) 12(C1e3x C2e4x )
通解为： Cx 2 y x2 y 2 （ C 为任意常数）。
⑷
方程变形为：
y
x y

2

y x
，令
y

xu ，得：
y
f (u)
1 u2
u ，
采用公式法，得： Cx

e u 2du

1u3
e3
，
1 y 3
y 3
通解为： Cx e 3 x 或 (Cx)3 e x （ C 为任意常数）。
e2ln x

1 x2
，
Q(x)e P(x)dx dx
e xdx e x ，
通解为： y x2 (e x C) ，代入初始条件： x 1 ， y 0 ，得： C e ，
故所求特解为： y x2 (e x e) 。 要点：求解可降阶微分方程：
方程特点：缺 x 或缺 y 。 缺 y 型：令 p(x) y ，得： p y ，方程化做函数 p(x) 的一阶方程。
4 x 2 dx

4 3
x3
，通解为：
y

1 1 x2

4 3
x3

C
（C
为任意常数）。
⑸ ∵ P(x) 2x ， Q(x) xex2 ，∴ P(x)dx 2xdx x2 ，
e P(x)dx ex2 ， Q(x)e P(x)dx dx xe2x2 dx 1 e2x2 ，
x 2 u(2 u)
即 2 ln x ln C ln u(2 u) ，得： x2 1 x2 ， C u(2 u) y(2x y)
所以通解为： y(2x y) C （ C 为任意常数）。
其中 C 0 对应的函数 y 0 和 y 2x 都是方程的解。
4
⑴ dy y ex ； dx
⑶ dy 2 y (x 1)3 ； dx x 1
⑸ dy 2xy xex2 ； dx
解：⑴ ∵ P(x) 1， Q(x) ex ，
⑵ dy ny e x xn ； dx x
⑷ (x2 1) dy 2xy 4x2 ； dx
x
x
e P(x)dx enln x x n ， Q(x)e P(x)dx dx e x dx e x ，
通解为： y xn (e x C) （ C 为任意常数）。
⑶ ∵ P(x) 2 ， Q(x) (x 1)3 ，∴ P(x)dx 2 dx 2 ln(x 1) ，
两边积分，得： 1
2
d (1 x2 ) 1 x2
dy ，得： y
1 x2 ln y ln C1 （ C1 0 ），
通解为： y Ce 1x2 （ C 为任意常数）。
⑶
xdx
分离变量，得：
1 x2
dy 1 2y
（1 2y

0 ），
两边积分，得： 1 ln(1 2
⑶ xy 2 y xy 0 ， xy C1e x C2ex 。
解：⑴ ∵ y C1x C2 x2 ，∴ y C1 2C2 x ， y 2C2 ，代入方程后，得：
左边

2C2

2 x
(C1

2C2 x)

2 x2
(C1 x
C2x2 )

2C2

4
通解为： y e x2 1 e2x2 C （ C 为任意常数）。
4

5
⑹ 方程标准化： dy 2 y x2e x ，得： P(x) 2 ， Q(x) x2e x ，
dx x
x
∴
P(x)dx
2 dx x

2 ln x ， e P(x)dx
⑷
先是标准化：
dy dx

2xy x2 1

4x2 x2
1
，得：
P(
x)
2x 1 x2
， Q(x)
4x2 1 x2
，
∴
P(x)dx
2x 1 x2
dx
ln(1 x 2 ) ， e P(x)dx
eln(1 x2 )
1
x2 ，
Q(x)e P(x)dxdx
⑹
x
dy dx

2y

x3e x
，
y
x 1

0
。
∴ P(x)dx dx x ， e P(x)dx e x ， Q(x)e P(x)dxdx dx x ，
通解为： y ex (x C) （ C 为任意常数）。
⑵ ∵ P(x) n ， Q(x) ex xn ，∴ P(x)dx n 1 dx n ln x ，
dx 1 x
dy
，
1 y
得： ln 1 x ln 1 y ln C （ C 0 ），
化简： ln (1 y)(1 x) ln C ，得通解： (1 y)(1 x) C （ C 为任意常数）。
⑵ 分离变量，得： xdx dy （ y 0 ）， 1 x2 y
解：⑴、⑵采用代换法求解；⑶、⑷采用公式法求解。
y
⑴
方程变形为： y
y
x 1
，令
y

xu
，得：
u

xu

u u 1
，即
x
du dx
u(2 u) ， u 1
x
3
分离变量，得： dx u 1 du ，积分，得： dx 1 u (2 u) du ，
x u(2 u)
缺 x 型：令 p( y) y ，得： p p dp ，方程化做函数 p( y) 的一阶方程。 dy
5. 求下列各微分方程的通解：
⑴ y e2x ；
⑵ y y x ；
意常数 C 的范围而包含到通解 y y(x, C) 中。
2. 求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
⑴ (1 y)dx (1 x)dy 0 ；
⑵ xydx 1 x2 dy 0 ；
⑶ (1 2 y)xdx (1 x 2 )dy 0 ；
⑷ (xy 2 x)dx ( y x2 y)dy 0 ；
要点：齐次方程的两种解法： 推导法：引入 u y ，结合 y u xu 来消去 y 及 y ，化为 u(x) 的可分离变量方程并求得解函数 x
u(x) 后，再代回原变量 y(x) 。
公式法：对形为 y
f
y

的方程，直接利用推出的通解公式
Cx

e
f
du (u)u
，完成积分后，利用
微分方程
要点：如何验证微分方程的解：
求出 y(x) 的导数 y(x) 、 y(x) 等，代入到微分方程中，当等式两边相同时，即说明 y(x) 是该方程的
解。
1. 验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：
⑴
y
2 x
y
2 x2
y
0，
y
C1x C2 x2 ；
⑵ y 7 y 12 y 0 ， y C1e3x C2e4x ；
⑴ 写做 C1 适合于积分后无需化简情形； ⑵ 写做 ln C （ C 0 ），适合于积分后出现对数的情形；虽然限制 C 0 ，但 ln C 仍可取到任何实
数。
防止掉解：在寻求以 y 为因变量的解函数时，如果在分离过程中，进行了“两边同时除以(x, y) ”
1
的变形，则应要求(x, y) 0 ，并且要讨论(x, y) 0 所对应的解函数。有时候这些解可以通过扩大任
⑹ 两边积分，得： x2 y 2 C ，代入初始条件 y x3 4 ，得： x2 y 2 25 。
⑺ 方程变形为： x(1 x)dx y(1 y)dy ，两边积分，得：
1 3
x3

1 2
x2

1 3
y3

1 2
y2

C
，代入初始条件
y
x0
1，得： C


5 6
，
故所求特解为： 2x3 3x2 2 y3 3y 2 5 。
x2)

1 ln1 2 y 2

1 2
ln
C1
（ C1

0 ），
即 (1 x2 )1 2 y C1 ，通解为： (1 x2 )(1 2 y) C （ C 为任意常数）。
其中 C 0 对应着特解： y 1 。 2
2
⑷ 分离变量，得： xdx ydy ，两边积分，得： 1 x2 1 y2
2
2
故得通解为： x2 2xy C （ C 为任意常数）。
⑶ 方程变形为： y y 1 y 2 ，令 y xu ，得： y f (u) u 1 u 2 ，
x
x
采用公式法，得： Cx e
du 1u 2

ln
e
u
1u 2
u
1u2 ，
注意到 C1e x C2ex xy ，上面右边的关系式便说明： xy 2 y xy 成立，
即所给的函数满足微分方程。
注意：此题也可单独计算 y ， y ，再代入微分方程中验证，但计算量较大。
要点：使用分离变量法注意问题：
积分常数处理：变量可分离方程是通过积分与微分互抵而得出解函数的，为了使计算式简洁，积分常 数可写成如下形式：