正弦余弦定理复习课ppt

2.三角形中常用的面积公式
1 1 1 1 (1)S＝ ah(h 表示边 a 上的高)．(2)S＝ bcsin A＝ absin C＝ acsin B. 2 2 2 2
3．三角形中的常见结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
大于 第三边，任意两边 (3)任意两边之和________ 小于 第三边． 之差_______
[解析]
∵2asinB＝ 3b，∴2sinAsinB＝ 3sinB，
3 ∵sinB≠0，∴sinA＝ 2 ， π ∵A 为锐角，∴A＝ . 3
[答案] A
②△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a, b,c.若 B＝2A，a＝1,b＝ 3,则 c＝( A．2 3 C. 2 B．2 D．1 )
知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， a b c ＝ ＝ ＝2R sin A sin B sin C 内容 b2＝a2＋c2－2accos B， (R 为△ABC 外接圆半径) c2＝a2＋b2－2abcos C b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc (1) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a b c a2＋c2－b2 常见变形 (2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ； cos B＝ ； 2R 2R 2R 2ac (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
解析 ③
④得
2
acos A＝bcos B，
由 sin A＋sin B<sin C，
2
由正弦定理，得 sinAcosA=sinBcosB，
sin2A=sin2B， 2A=2B 或 2A+2B= ∴A=B 或 故△ABC 为等腰三角形或 直角三角形．
A+B= 2
得 a2＋b2<c2， a2＋b2－c2 所以 cos C＝ <0， 2ab 所以∠C 为钝角，
(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式
sin(A＋B)＝sinC；
cos(A＋B)＝—cosC A＋B C sin 2 ＝ cos 2 ；
tan(A＋B)＝—tanC；
题型一
正、余弦定理的简单应用
例 1：①在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a， b.若 2asinB＝ 3b，则角 A 等于( π A.3 π C.6 π B.4 π D.12 )
[解析] 依题意及正弦定理得 c＝2 3b，a2＝b2＋ 3bc＝
2 2 2 b ＋ c － a 6b2 3 π 2 7b ，cosA＝ 2bc ＝ .又 0<A<π，因此 A＝6， 2＝ 2 4 3b
[答案] D
思维升华
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理 更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定 理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二 次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都 不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
即△ABC 为钝角三角形．
[方法规律总结]
1.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角 ，利用三角变换 ．．．． 得出三角形内角之间的关系进行判断，角与角之间的关系主 要看有无等角，有无直角或钝角等，还要注意应用 A＋B＋C ＝π 这个结论．
(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边 ，通过代数恒等 ．．．． 变形(如因式分解、配方等)，求出三条边之间的关系进行判 断．边与边之间的关系，主要看是否有等边，是否符合勾股 定理等． 2．注意：在△ABC 中，b2＋c2－a2>0⇔A 为锐角，b2＋c2 －a2＝0⇔A 为直角，b2＋c2－a2<0⇔A 为钝角．
[解析]
1 3 由正弦定理得 ＝ ， sinA sinB
1 3 ∵B＝2A，∴sinA＝2sinAcosA， 即 2sinAcosA＝ 3sinA， 3 π π π 又 sinA>0，∴cosA＝ 2 ，∴A＝6，B＝3，C＝2， ∴c＝2.
[答案] B
③△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比 数列，且 c＝2a，则 cosB＝( 3 A.4 2 C. 4 2 B. 3 1 D.4 )
题型二
判断三角形的形状
例 2①在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c2＝2a2＋2b2＋ab,则△ABC 是( A．钝角三角形 C．锐角三角形 B．直角三角形 D．等边三角形 )
[解析]
2 2
∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，
2
1 ∴a ＋b －c ＝－2ab， a2＋b2－c2 1 ∴cosC＝ ＝－ <0. 2ab 4 则△ABC 是钝角三角形．
[答案] A
②设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为( A．直角三角形 C．钝角三角形 B．锐角三角形 D．不确定 )
[解析]
依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有
sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则 sin(B＋C)＝sin2A，由三角形 π 内角和得 sinA＝sin A，∴sinA＝1，∴A＝ ，选 A. 2
2
[答案] A
③在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C， 则△ABC 的形状是( )．
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
④在△ABC
π π 中,asin2－A＝bsin2－B ,则△ABC
的形状为_____．
[解析]
∵三边 a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac，
又 c＝2a，∴b＝ 2a， a2＋c2－b2 3 ∴cosB＝ ＝ . 2ac 4
[答案] A
④△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b， c， 若 a2－b2＝ 3bc， sinC＝2 3sinB，则 A＝( 5π A. 6 2π B. 3 π C.3 π D.6 )