等差数列前n项和练习题
等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)
《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
等差数列的前n项和习题及答案
等差数列的前n项和习题及答案一、基础过关1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于() A．7 B．8 C．9 D．172．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为() A．91 B．152 C．218 D．2793．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于()A．1 B．－1 C．2 D.124．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310B.13C.18D.195．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n(n∈N*)，则通项an＝________.6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．7．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值．8．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．二、能力提升9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为() A．9 B．8 C．7 D．610．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是() A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值11．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.三、探究与拓展12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．答案1．A 2.B 3.A 4.A 5.2n－2 6．4或57．解(1)∵Sn＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.∴an＝4n－32，n∈N＋.(2)∵an＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，an>0.∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.8．解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2，所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋n－12d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．9．B10.C11．解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2•(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.∴Sn＝9n－n2≤5－9n＋4012．解(1)根据题意，得12a1＋12×112d>0，13a1＋13×122d<0，a1＋2d＝12，整理得：2a1＋11d>0，a1＋6d<0，a1＋2d＝12.解得：－247<d<－3.(2)∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…，而S13＝13＋a13＝13a7<0，∴a7<0.又S12＝12＋a12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．。
巩固练习_提高_等差数列及其前n项和
【巩固练习】一、选择题1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．22．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，172a -,3，则该数列中第一次出现负值的项为( ) A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项 3.已知{a n }是等差数列，a 3＋a 11＝40，则a 6－a 7＋a 8等于( ) A ．20B ．48C ．60D ．72 4. 等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( ) A.34B ．34-C ．67-D ．－1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ） A ． 172 B ．192C ．10D ．12 6. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 8．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则1212a ab b --＝________. 9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.10.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.11.（2016 南通模拟）等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则其前n 项和n S 的最小值为 。
(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
人教版高二数学《等差数列的前n项和公式》练习含答案解析
4．2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式[A级 基础巩固]1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )A．49 B．42C．35 D．28解析：选B 2a6－a8＝a4＝6，S7＝72(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )A．4 D．1 4C．－4 D．－1 4解析：选A 由S5＝5(a1＋a5)2＝5×2a32＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝15－114－3＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663解析：选B ∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )A．1 B．－1C．2 D．1 2解析：选A S9S5＝92(a1＋a9)52(a1＋a5)＝92·2a552·2a3＝9a55a3＝95·a5a3＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A．9 B．10C．19 D．29解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝1 2 .答案：1 27．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，可知数列{a n}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.答案：27n＝11．已知命题：“在等差数列{a n}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A．15 B．24C．18 D．28解析：选C 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以n＋126＝5，解得n＝18.12．(多选)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则( ) A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0 C．S3＝S4 D．S4＝S5解析：选BC 由S7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.13．在等差数列{a n}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m－a1＝14，则m＝________，a100＝________.解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{a n}的公差为d，则S奇－S偶＝2a1＋(m－1)d2＝72－63＝9.又∵a m＝a1＋d(m－1)，∴a1＋a m2＝9，∵a m－a1＝14，∴a1＝2，a m＝16.∵m(a1＋a m)2＝135，∴m＝15，∴d＝14m－1＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.答案：15 10114．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.[C级 拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得Error!(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67×662×12＝27 135.。
等差数列的前n项和练习题及答案解析
1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A ．360B ．370C ．380D ．390答案：C2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( )A ．25B ．26C ．27D ．28答案：D3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.解析：由已知⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝123a 1＋3d ＝12?⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n . 答案：2n4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5.解：d ＝a 7－a 57－5＝20－142＝3， a 1＝a 5－4d ＝14－12＝2，所以S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?2＋14?2＝40. 一、选择题1．(2011年杭州质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( )A ．12B ．10C ．8D ．6 解析：选＝a 3－a 2＝2，a 1＝－1，S 4＝4a 1＋4×32×2＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( )A ．24B ．27C ．29D ．48解析：选C.由已知⎩⎨⎧ 2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29. 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选＝10?a 1＋a 10?2＝5(a 2＋a 9)＝120.∴a 2＋a 9＝24. 4．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( )A ．99B ．66C ．33D ．0解析：选B.由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×982＝99. ∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列．∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3＝33(48－46)＝66.5．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选A.∵a 1＋a 2＋a 3＝34，①a n ＋a n －1＋a n －2＝146，②又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴①＋②得3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.③S n ＝?a1＋a n ?·n 2＝390.④将③代入④中得n ＝13.6．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于() A ．9 B ．10C ．11D ．12解析：选B.由等差数列前n 项和的性质知S 偶S 奇＝nn ＋1，即150165＝nn ＋1，∴n ＝10.二、填空题7．设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________. 解析：由题意得a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是一个首项a 1＝－7，公差d ＝2的等差数列．∴a 1＋a 2＋…＋a 17＝S 17＝17×(－7)＋17×162×2＝153.答案：1538．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝__________.解析：a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6.①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10.②由①②得a 1＝1，d ＝12.答案：129．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.解析：由等差数列的性质知S 9＝9a 5＝－9，∴a 5＝－1.又∵a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝－9，∴S 16＝16?a 1＋a 16?2＝8(a 1＋a 16)＝－72.答案：－72三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n －2(n ∈N *)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．解：(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.(2)n ＝1时，a 1＝S 1＝－24，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24，即a n ＝⎩⎨⎧ －24，n ＝1，2n －24，n ≥2，由题设得2n －24＝74(n ≥2)，解得n ＝49.∴74在该数列中．11．(2010年高考课标全国卷)设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n ?n －1?2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n .解：(1)由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.所以a 1＋a n ＝884＝22. 因为S n ＝n ?a 1＋a n ?2＝286，所以n ＝26. (2)因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，所以S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.。
等差数列的前n项和练习题
等差数列前n 项和一．选择题：1.已知等差数列{n a }中，1a ＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252.已知等差数列{n a }的公差为正数，且73a a ⋅=－12，64a a +=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－903.将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2. 则第2008层正方体的个数是（ ）.A ．4011B ．4009C ．2017036D ．2009010 4.若数列{n a }的前n 项和S n ＝n 2－1，则4a 等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．17 5.已知数列{n a }的前n 项和S n ＝n 3，则65a a +的值为 ( ) A ．91B ．152C ．218D ．279 6.设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，若9535=a a ，则59S S 等于( )A ．1B ．－1C ．2D.217.设等差数列{n a }的前n 项和为Sn,若S 3=9,S 6=36,则 987a a a ++ ( ) A.63 B.45 C.36 D.279.在等差数列{n a }中,已知公差d=21,且99531......a a a a ++++=60,则100642......a a a a ++++= ( ) A.85 B.145 C.110 D.9010.某乡建设线路，有48根电线杆，最近一根竖直离电线杆堆放处1000m ，以后每隔50m 竖一根，如果一辆车一次能运6根，全部运完返回，这辆车共走了（ ）. A ．18400m B ．18450m C ．36800m D ．36900m 二．填空题：11.等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d ． 12.设S n 为等差数列{}n a 前n 项和，若4a ＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．…… ……13.等差数列{}n a 中,已知1a ＝25,S 9＝S 17,则当S n 取得最大值时,n 的值为_____． 14.若数列{}n a 是等差数列，首项1a ＞0，2003a +2004a ＞0，2003a ⋅2004a ＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．15,。
等差数列前N项和测试训练题(含答案)
等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。
等差数列的前n项和公式专项练习
等差数列求和练习[A 组 基础巩固]1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎨⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.答案：D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2 解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.答案：C3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 答案：C4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.答案：B6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 答案：277．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.答案：178．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，又a 2＋a 7＋a 12＝24，所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. 答案：1049．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .解析：(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组 能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．答案：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0， 知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，解得m ＝5.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________． 解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59， ∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 答案：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. 答案：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ，当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502， 所以T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。
等差数列的前n项和习题(含答案)
[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n＝2n ＋3， 当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( ) A.1315B ．2335 C.1117 D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600， 所以n 2＋n －1 200≥0，记f (n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12(n ≥2)，化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1. (2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎫12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c 的值． 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。
等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据 得到 ， ，计算得到答案.
【详解】
； ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用 来求 的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设 为等差数列， ， 为其前n项和，若 ，则公差 （）
A． B． C．1D．2
8．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则当 取最大值时 的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （）．
A．72B．88C．92D．98
10．设 为等差数列 的前 项的和 ， ，则数列 的前2017项和为（ ）
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据 是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出 ，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由 得 ，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.
等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）
等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最⼤值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最⼩值为．7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成⽴．数列{a n}满⾜a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在⼀个⾮零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，⼜a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等⽐数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等⽐数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.⼜ q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满⾜ a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最⼤正整数 n 的值为．8解析由等⽐数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等⽐数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最⼩值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，⼜ a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，⼜∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是⽅程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最⼩值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从⽽ d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从⽽当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最⼩的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成⽴？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公⽐为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，⽽ 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴．因此，存在最⼩的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满⾜a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，⼜a2·a4＝65，所以a2，a4是⽅程x2－18x＋65＝0 的两个根．⼜公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成⽴，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等⽐数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .⼜∵a 1，a 3，a 6 成等⽐数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(1＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等⽐数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，⼜∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为⾸项，以4 为公⽐的等⽐数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满⾜|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为⾸项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等⽐数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公⽐q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等⽐数列，数列{T n}满⾜条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等⽐数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.⼜a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案⼆、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 1 1－q n ＝4(1－3n )．n n 1－q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn ＝b ＝2，公⽐q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等⽐数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为⽆理数⽭盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从⽽可得r＝s＝t，这与r综上可知，不存在满⾜题意的三项a r，a s，a t.。
等差等比数列及其前n项和作业及答案
等差等比数列及其前n 项和作业及答案一、选择题：1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b≠2. 答案：B 2.(2009·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12＝2. 答案：C 3．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)－10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152<k <9，又∵k ∈N *，∴k ＝8. 答案：B 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于 ( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：由{a n }是等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．由2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案：B5.设数列{a n }是等差数列，且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 6解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5. 答案：C6.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，123，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5＋12或5－12解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0， ∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52，a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：A 7.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C.2 D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6a 5＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 答案：B 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 又∵S 6∶S 3＝1∶2，∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C 9.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2np (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”． 甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{a n }是等比数列则a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1a 2n＝q 2，则{a n }为“等方比数列”．当{a n }为“等方比数列”时，则a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，当n ≥1时a n ＋1a n ＝±p ，所以此数列{a n }并不一定是等比数列． 答案：B10.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：∵q 3＝a 5a 2＝18∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C. 答案：C11. 在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当S n 取得最小值时，n 等于A ．10B ．11C ．9或10D ．10或11解析：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×(9－1)d ＝12a 1＋12×12×(12－1)d ， 即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d . ∵a 1<0，∴d >0. ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－441d 8∴S n 有最小值，又n ∈N *， ∴n ＝10，或n ＝11时，S n 取最小值． 答案：D12.在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n n 最大时，n 的值等于 ( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，而a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ， b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n＜0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S n n 最大． 答案：C 二、填空题：13．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.解析：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52. 答案：52 14．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，所以a 4＝13. 答案：1315．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________. 解析：a 4＝a 1(12)3＝181，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1， ∴S 4a 4＝15. 答案：15 16．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝－3或q ＝2. ∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152三、解答题：17．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2－，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n 2－＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n＋1. 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋22， 故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 19．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n ＋1＞b n 成立．解：(1)∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝6n ＋(－1)n －1·λ·22n －1，要使得对任意n ∈N *都有b n ＋1＞b n 恒成立， ∴b n ＋1－b n ＝6n ＋1＋(－1)n ·λ·22n ＋1－6n －(－1)n －1·λ·22n －1＝5·6n －5λ·(－1)n －1·22n －1＞0恒成立， 即12λ·(－1)n －1＜(32)n . 当n 为奇数时， 即λ＜2·(32)n ，而(32)n 的最小值为32， ∴λ＜3. 当n 为偶数时，λ＞－2(32)n ， 而－2(32)n 的最大值为－92，∴λ＞－92.由上式可得－92＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2. 20．(2010·株州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，满足f (0)＝f (12)＝0，且f (x )的最小值是－18.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点(n ，S n )在函数f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过b n ＝S n n ＋c 构造一个新的数列{b n }，是否存在非零常数c ，使得{b n }为等差数列； (3)令c n ＝S n ＋n n，设数列{c n ·2c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为f (0)＝f (12)＝0，所以f (x )的对称轴为x ＝0＋122＝14，又因为f (x )的最小值是－18，由二次函数图象的对称性可设f (x )＝a (x －14)2－18. 又f (0)＝0，所以a ＝2，所以f (x )＝2(x －14)2－18＝2x 2－x . 因为点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3(n ＝1时也成立)，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)因为b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c c ＝－12(c ≠0)，即得b n ＝2n ，此时数列{b n }为等差数列，所以存在非零常数c ＝－12{b n }为等差数列． (3)c n ＝S n ＋n n ＝2n 2－n ＋n n＝2n ，则c n ·2c n ＝2n ×22n ＝n ×22n ＋1. 所以T n ＝1×23＋2×25＋…＋(n －1)22n －1＋n ×22n ＋1，4T n ＝1×25＋2×27＋…＋(n －1)22n ＋1＋n ×22n ＋3，两式相减得：－3T n ＝23＋25＋…＋22n ＋1－n ×22n ＋3＝23(1－4n )1－4n ·22n ＋3， T n ＝23(1－4n )9＋n ·22n ＋33＝(3n －1)22n ＋3＋89. 21．已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *)②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ， 在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n (n ∈N *)． 由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， 法一：迭代法得：b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．法二：可用累加法，即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， … b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)． (2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ， 设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增． 且f (4)＝1， ∴当k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0， ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．22.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝24，a 2＝5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)试问a 11是数列{b n }的第几项；(3)是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5， ∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.(2)依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023， 1023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．(3)依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ， a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1， 故数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010， 而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个， 即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010.。
等差数列的前n项和-练习
A.第6项
B.第7项
C.第12项
D.第13项
解析 由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋ a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.(多选)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围. 解 由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d，Sn＝n（n－2 9）d. 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0， 解得 1≤n≤10. 所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}.
2.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( A )
A.4
B.5
C.4或5
D.5或6
解析 由aann＋≤1≥0，0 解得27≤n≤92，故 n＝4，所以数列{an}的前 4 项为负，以后各 项均为正，故前 4 项和最小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则( D )
等差数列的前n项和
索引
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( C )
A.36பைடு நூலகம்
B.35
C.34
D.33
解析 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝(182－2×18)－ (172－2×17)＝33，a2＋a18＝34.
等差数列前n项和练习题
等差数列前n 项和（一）1、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ） A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n2、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a【3、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）A. 12B. 24C. 36D. 484、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，则99963a a a a ++++ 的值为（ ）A. 78B. 82C. 148D. 1825、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）A. 5或7B. 3或5C. 7或1-D. 3或1-6、设数列{}n a 是递增的等差数列，前三项之和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87、一个三角形的三个内角C B A ,,的度数成等差数列，则B 的度数为 （ ）A. 30B. 45C. 60D. 908、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）A. 11B. 9C. 9或18D. 189、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ）A. C Bn An S n ++=2B. Bn An S n +=2C. C Bn An S n ++=2()0≠aD. Bn An S n +=2()0≠a\10、=+++++1008642 。
11、等差数列{}n a 中，1011=a ，则=21S 。
12、等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 。
2.3.1等差数列前n项和公式试题含答案
2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和公式题型一 等差数列前n 项和公式的基本运算例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .跟踪训练1 在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .题型二 由数列{a n }的前n 项和S n 求a n例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .题型三 等差数列在实际生活中的应用例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【课堂练习】1．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于( )A ．2300B ．2400C ．2600D ．25002．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知数列{a n }是等差数列，S n 是它的前n 项和．若S 4＝20，a 4＝8，则S 8＝________.5．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝________.1．求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)；若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m ，n ，p ∈N ＋)．3．由S n 与a n 的关系求a n 主要使用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 【巩固提升】一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．452．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．703．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n -1＋12(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的前9项和等于( ) A ．27 B.632C ．45D ．－9 4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10000B ．8000C ．9000D ．110005．在等差数列{a n }中，若S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12 B ．2 C.14D ．4 6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6637．在等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－158．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n (n ∈N ＋)，则a 2＋a 18等于( )A ．36B ．35C ．34D ．33二、填空题9．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，n ∈N ＋，前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，则a －b ＋c ＝________. 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200·OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.12．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．三、解答题13．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8；(2)已知a 2＋a 4＝485，求S 5.14．已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34(n ∈N ＋)． (1)证明：{a n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c .2.3.1答案例1解 (1)方法一 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. 方法二 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58，a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510.∴n ＝20.跟踪训练1 解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝7，a 1＝－1.例2 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)2＋12(n －1) ＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N ＋. ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－⎝⎛⎭⎪⎫2n －12＝2， 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列． 引申探究若将本例中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)2＋12(n －1)＋1 ＝2n －12. ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N ＋. 跟踪训练2 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n －3n -1＝2·3n -1.当n ＝1时，代入a n ＝2·3n -1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2·3n -1，n ≥2，n ∈N ＋.例3 解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则a 1＝50＋1000×1%＝60，a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，…a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1105， 即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数． 跟踪训练3解 (1)设n 分钟后两人第1次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，由题意，得2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解得n ＝15，n ＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.课堂练习 DB 190 72 3ｎ＋３ 巩固提升１—８CBAAABDC9.-310.10011.1512.1013. 解 (1)方法一 ∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16.方法二 ∵S 6＝S 5＋a 6＝15，∴15＝6(a 1＋a 6)2，即3(a 1＋10)＝15. ∴a 1＝－5，d ＝a 6－a 15＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝16.(2)方法一 ∵a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝485， ∴a 1＋2d ＝245. ∴S 5＝5a 1＋10d ＝5(a 1＋2d )＝5×245＝24. 方法二 ∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝485， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝52×485＝24. 14．(1)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝14(a 2n ＋2a n －3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3)． 所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n -1， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n ＋a n -1>0，所以a n －a n -1＝2(n ≥2)． 所以数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，n ∈N ＋. 15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3，n ∈N ＋.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)． 经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。
等差数列的前n项和公式习题
【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3 若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d① 前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数． 【例5】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=24，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ． 解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11 由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例6】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和． 解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d ＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例7】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝【例8】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于[ ] A 1B C D ．．．．23199299200301解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b nn n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++【例9】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例10】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证 设这个数列的第n 项为a n ，前n 项和为S n ．当n ≥2时，a n ＝S n －S n-1∴a n ＝(4n 2＋3n)－[4(n －1)2＋3(n －1)]=8n －1当n=1时，a 1=S 1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n ，都有a n =8n －1又a n+1－a n ＝[8(n ＋1)－1]－(8n －1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．【例11】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例12】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S 13=169最大．解法四 根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列前n项和基础练习题(附答案)
等差数列的前n 项和基础练习题一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9B ．－11C ．－13D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －18．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) 311111．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2 D.1212．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.14．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．15．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．16．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题17．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .18．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .19．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数为？20．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．21．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n. 22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．参考答案与解析一、选择题1．C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12. 3．D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 4．B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 6．B解析 由⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.7． D8． B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10；由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.10．A解析 方法一S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ， S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．A解析 由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 12．C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题13．15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.14．6512解析a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.15．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.三、解答题17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.18．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .19．解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1 ＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1， ∴n ＝1,2,3,5,11.20．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．21．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).22．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
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等差数列前n 项和练习题
一、
填空题
1. 等差数列{a n }中，若a 6=a 3
+a 8
，则S 9= 。
2. 等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d 。
3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 。
4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。
5. 已知{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a = 。
6. 已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________。
7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d = 。
8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d = 。
9. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246,30,S S ==则6S = 。
10. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知57684,2a a a a +=+=-，则当n S 取最大值时n 的值是 。
11. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则
111213a a a ++= 。
12. 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 的值为 。
13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求=n a 。
14. 设等差数列的前项和为，若则。
15. 设等差数列的前项和为，若,则= 。
二、
计算题
1． 已知等差数列{a n }中，
a 1
＝１，d=1，求该数列前10项和S
10。
2． 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝ －12，a 4+a 6=－4，求S 20 。
3． 等差数列{a n }中，S 10 = 100，求a 1+
a
10
的值。
4． 已知等差数列{a n }中，a 3··+a 6+a 8··+a 11= 60 ，求S 13 。
{}n a n n S 535a a =9
5
S S ={}n a n n S 972S =249a a a ++
5． 等差数列{a n }的前m 项的和为 30 ，2m 项的和为 100 ，求它的前3m 项的和 。
6． 在等差数列{a n }中，a 2= 6 ，a 8= 6 ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，写出a 3 、
a
4
、a 5和a 6的大小关系。
7． 一个等差数列前3项和为 34 ，后3项和为 146 ，所有项和为390，求这个数列的项数。
8． 在小于 100 的正整数中，求被3除余2的数的和。
9． 已知等差数列{a n }的公差是正整数，且a 2·a 8=12，a 2+a 8=4，求其 前10项和S 10。
10. 已知数列{a n }，若a n = 2n + 13 ，求S n 达到最大值时n 的值，并求S n 的最大值。
11. 全国统一鞋号中成年男鞋共有14种尺码，其中最小的尺码是2
1
23cm ，相
邻的两个尺码都相差2
1
cm ，把全部尺码从小到大列出，并求出它们的和 。
12. 由下列等差数列的通项公式，求出首项、公差和前n 项和。
(1). a n = 3n + 6; (2).
a
n
=－2n + 7.
13. 如果等差数列{a n }的前4项的和是2，前9项的和是－6，求其前n 项和的公式。
14.由数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…前4项的值，推测第n 项a n =1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果，并给出证明。
15. (1) 设等差数列{a n }的通项公式是3n －2，求它的前n 项和公式； (2) 设等差数列{a n }的前n 项和公式是S n =5n 2+3n ，求它的前3项，并
求它的通项公式。