第二讲微积分基本公式

x
xt
ò ò ò 例 2 设 f (x) 为连续函数，证明： f (t)(x - t)dt = ( f (u)du)dt 。
0
00
ò ò ò 证：设 F (x) =
x f (t)( x - t)dt ， G( x) =
xt
( f (u)du)dt
0
00
ò ò ò F¢(x) = d
x
d
f (t)(x - t)dt =
=
S (t2
)
-
S ( t1 )
。
此计算方法是否具有一般性？
由此引入新课。
二、新课讲授 （一）积分上限函数及其导数 1．积分上限函数
ò 设函数 f ( x) 在[a, b]上可积，x Î[a,b] ，则函数 f ( x) 在[a, x]上可积。定积分 x f (t)dt 对 a
每一个取定的 x 值都有一个对应确定的值。记
( ) ò ò F(x) = x f (t)dt 在点 x 处可导，且它的导数为 F¢( x) = x f (t)dt ¢ = f ( x) 。
a
a
ò 证：当上限 x 获得增量 Dx 时，积分上限函数 F(x) = x f (t)dt 的相应增量为 a
x+ Dx
x
ò ò DF = F(x + Dx) - F(x) = f (t)dt - f (t)dt
一、复习引导 1．定积分的定义、几何意义及性质； 2．指出由定义进行定积分计算是相当困难的；需寻找新的计算方法；
3．设物体以速度 V=V（t）（V (t) ³ 0 ）作直线运动，物体从时刻 t = t1 到 t = t2 这段时间
ò 所经过的路程为 S (t1, t2 ) =
V t 2
t1
(t)dt
a
a
x + Dx
= òx f (t)dt
ò 因为 f (t) 在 [x, x + Dx] 上连续，根据定积分中值定理，有 DF =
x + Dx
f (t)dt = f (x )Dx
x
其中，x Î[x, x + Dx] ，这时 DF = f (x ) ，令 Dx ® 0 ，则x ® x ，从而 Dx
即 F¢( x) = f ( x) 。
dx 0 0
0
0
故 F¢( x) = G¢(x) 所以 F (x) = G( x) + c （c 为常数），而 F (0) = G(0) = 0 ，用 x = 0
代入 F (x) = G( x) + c ，得 0=0+c，c=0，所以 F(x)=G(x)原式成立。
ò1 e-t2 dt
例 3 求 lim cos x x®0 sin x tan x
lim DF = lim f (x ) = f ( x) Dx®0 Dx x ®x
[这个定理表明，如果 f ( x) 在[a, b]上连续，则积分上限函数是可导函数，而且是 f ( x) 的
一个原函数，从而得到连续函数必存在原函数的结论。另外，上述定理初步揭示了积分学中
定积分与原函数之间的联系]。
由积分上限求导公式及复合函数求导的链式法则，有
解：这是一个 0 型的不定式，应用 L’Hospital 法则计算。因为当 x ® 0 时，sinx～tanx～ 0
x，所以
ò ò lim
1 e-t2 dt
cos x
= lim
1 e-t2 dt
cos x
= lim
-e- cos2 x (- sin x)
推论：若j( x) ，y (x) 是 x 的可导数， f ( x) 是[a, b]上的连续函数，且 a £ j( x) £ b ，
a £y ( x) £ b ，则有
ò ① d j ( x) f (t)dt = f (j ( x))j ¢(x) ； dx a
ò ②
d
j(x)
f (t)dt = f (j ( x))j ¢(x) - f (y (x))y ¢(x)
ò ò ò ò d x2 x2 sin t2dt = d (x2 x2 sin t2dt) = x2 ( x2 sin t2dt)¢ + ( x2 )¢ x2 sin t2dt
dx 0
dx 0
0
0
（3）
ò = x2 sin x4 × 2x + 2x x2 sin t2dt 0
ò = 2x3 sin x4 + 2x x2 sin t2dt 0
x
d
xf (t)dt -
x
tf (t)dt
dx 0
dx 0
= [x f (t)dt] - tf (t)dt
dx 0
dx 0
x
x
ò ò = xf ( x) + f (t)dt - xf ( x) = f (t)dt
0
0
ò ò ò ò G¢(x) = d
xt
x
x
( f (u)du)dt = f (u)du = f (t)dt
òx
F(x) = f (t)dt
（a £ x £b）
a
称 F( x) 是积分上限 x 的函数，简称关于 f ( x) 的积分上限函数，也称变上限的函数或变
上限的定积分。
2．积分上限函数的可导性及求导公式 定理 1 如果函数 f ( x) 在区间[a, b]上连续， x Î[a,b] ，则积分上限函数
dx y (x)
ò 证：令 F(x) = j( x) f (t)dt ， u = j( x) ，则有 a
从而①得证：
dF( x) = dF × du = f (u) ×j ¢(x) = f (j (x))j ¢( x) dx du dx
ò ò ò 又因为
j(x)
j ( x)
y (x)
f (t)dt = f (t)dt - f (t)dt
y (x)
a
a
再由①式，可证得②。
例 1 求下列函数的导数：
ò ò ò （1） x 1 + t2 dt ；（2） cos x et2dt ；（3） x2 x2 sin t2dt
0
sin x
0
ò 解：（1） d x 1 + t2 dt = 1 + x2 dx 0
ò （2） d cos x et2 dt = ecos2 x × (- sin x) - esin2 x cos x dx sin x
第二讲 微积分基本公式
教学目的与要求：理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼 兹公式。
知识点：变上限定积分及其导数求法；微积分基本公式。 教学重点：变上限定积分及其导数求法；微积分基本公式。 教学难点：变上限定积分及其导数求法。 教学方式：讲授、练习 教学思路：由变速直线运动路程问题及用定义计算定积分的困难引入新课，循序渐进讲 授微积分基本公式。 教学过程：