十字相乘法专题强势总结

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小升初十字相乘知识点总结

小升初十字相乘知识点总结何为十字相乘十字相乘是指两个两位数相乘时，将两个数的十位和个位用交叉相乘的方法进行运算的一种乘法运算。

它是一种简单且高效的乘法运算方法，可以帮助小学生更快速地完成两个两位数的乘法运算。

如何进行十字相乘当我们需要计算两个两位数的乘法时，可以通过十字相乘的方法来进行运算。

具体步骤如下：1. 将两个两位数分别写在竖式的上方和下方；2. 先将上方的十位数与下方的个位数相乘，将结果写在相应的位置上；3. 然后再将上方的个位数与下方的十位数相乘，同样将结果写在相应的位置上；4. 最后将上述两个结果相加，得到最终的乘法结果。

举例来说，如果要计算23乘以34，我们可以按照上述步骤进行十字相乘运算：```2 3× 3 4-------9 2 (23的十位3乘以34的个位4)8 1 (23的个位3乘以34的十位3)-------7 8 2 (最终结果78+20=82)```通过这种方法，我们可以快速而准确地得到两个两位数的乘法结果。

十字相乘中需要注意的问题在进行十字相乘的过程中，有一些需要特别注意的问题，以避免出现错误。

这些问题包括：1. 注意进位：在十字相乘的过程中，可能会出现进位的情况，需要特别注意，确保每一步的计算都是准确的。

2. 注意交叉相乘：由于十字相乘是通过交叉相乘的方式进行计算的，所以需要确保在写出结果时不要出错，以免影响最终结果的准确性。

3. 注意加法运算：在十字相乘的最后一个步骤中，需要对上述的两个结果进行加法运算，也需要保证计算的准确性。

在小学数学学习中，十字相乘是一个重要的基础知识点，它不仅可以帮助学生更好地理解乘法运算，而且也可以提高他们的计算效率。

通过掌握十字相乘的方法，学生可以更快速、更准确地完成两个两位数的乘法运算，从而在小学数学学习中取得更好的成绩。

除了基本的十字相乘外，还有一些扩展的应用，比如三位数乘以两位数，或者四位数乘以两位数等，这些运算方法都基于十字相乘的基本原理，只是在具体操作时需要更多的步骤和注意事项。

十字相乘法(因式分解)专题讲解及练习

因式分解方法：:十字相乘法知识点一、对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．知识点二、对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．一、二次项系数为1二次三项式的十字相乘例1.分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x=)3)(2(++x x例2.分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x=)6)(1(--x x))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x二、二次项系数不为1的二次三项式的十字相乘例1.分解因式：101132+-x x解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y三．多字母的二次多项式例1.分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

十字相乘法知识点精讲

十字相乘法知识点精讲（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．。

专题04 十字相乘法(解析版).pdf

专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ,则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >,则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即1221a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【参考参考参考答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数,就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ---- ＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【参考参考参考答案】解：原式()()223432x x x x =---+ ()()()()4112x x x x =-+--例3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++-(2)22(33)(34)8x x x x +-++-【参考参考参考答案与解析】解：（1）令21x x t ++=,则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=,原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成2()x y -,第4、5项→3()x y -.【参考参考参考答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc-++（2）225533a b a b--+（3）23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】分解因式：．2242244241a b c ab ac bc ++--+-【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=．()()222121b a c b a c -++-+-类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣ ）•（x﹣ ）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0,且x≠y）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y与x的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故参考参考参考答案为：y；3y（3）原式===﹣,若x=y,原式=﹣2；若x=3y,原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题1.如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).22mx nx --()()32x x p ++A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝3m n p mnp 2. 若,且,则的值为( ).()2230x a b x ab x x +++=--b a <b A.5B.－6C.－5D.63. 将因式分解的结果是( ).()()256x y x y +-+-A. B.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++C.D. ()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )224293x x y y +--A. B.22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-C. D. 22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--6．如果有一个因式为,那么的值是（）3233x x x m +-+()3x +m A. －9 B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式：．2242y xy x --+=8. 分解因式：= ．224202536a ab b -+-9．分解因式的结果是__________.5321x x x -+-10. 如果代数式有一因式,则的值为_________．a 11．若有因式,则另外的因式是_________.3223a a b ab b --+()a b -12. 分解因式：（1）；（2）3)32(2-+-+k x k kx mnm x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知,, 求的值.0x y +=31x y +=2231213x xy y ++14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a （2）32344xy xy x y x y-++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【参考参考参考答案与解析】一.选择题1. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--∴,解得.22,32p p n =-+=-1n =2. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,由,所以.()()23065x x x x --=-+b a <6b =-3. 【参考参考参考答案】C ；【解析】把看成一个整体,分解.()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++4. 【参考参考参考答案】B ；【解析】解：1+a +b +ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【参考参考参考答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均()()2323x y x y +-23x y -无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【参考参考参考答案】A ；【解析】由题意当时,代数式为零,解得.3x =-9m =-二.填空题7. 【参考参考参考答案】．()()22x y x y -+--【解析】解：===．2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--8. 【参考参考参考答案】；()()256256a b a b -+-- 【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【参考参考参考答案】；()()()22111x x x x +--+ 【解析】原式.()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+10.【参考参考参考答案】16；【解析】由题意当时,代数式等于0,解得.4x =16a =11.【参考参考参考答案】；()()a b a b -+ 【解析】.()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+12.【参考参考参考答案】；；()()31kx k x +-+()()x m x m n --+ 【解析】；()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+.()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由,解得0x y +=31x y +=12y =所以,原式.21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14.【解析】解：（1）原式；()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-（2）原式；()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦（3）原式；()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a +b +1）；（2）原式= x 2﹣6x +9-16=（x -3）2﹣16=（x -3+4）（x -3-4）=（x +1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab +4b 2﹣9b 2= （a +2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a +2b +3b ）=（a ﹣b ）（a +5b ）．知识改变命运。

十字相乘法技巧

十字相乘法技巧
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。

十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。

十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。

对于像ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。

那
么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。

在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。

当首项系数为1时，可表达为
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)；当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。

十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧

十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧十字相乘法口诀十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数具体步骤：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数原理：运用了乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字相乘法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。

对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式计算步骤：⑴把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2⑵把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2⑶使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b⑷结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)实质：二项式乘法的逆过程。

当首项系数不是1时，需注意各项系数的符号。

基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

十字相乘顺口溜竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

步骤注释①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式十字相乘法对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

【十字相乘法的方法】十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

【十字相乘法的用处】(1)用十字相乘法来分解因式。

(2)用十字相乘法来解一元二次方程。

因式分解的一般步骤(1) 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2) 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3) 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4) 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。

在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。

以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。

十字相乘公式法

十字相乘公式法
【实用版】
目录
1.十字相乘公式法的概念
2.十字相乘公式法的应用
3.十字相乘公式法的优点和局限性
正文
十字相乘公式法是一种常用的数学方法，主要用于解决二次方程组和线性方程组等问题。

它的基本原理是将两个数相乘，然后通过比较结果与已知数值的大小，来确定未知数的值。

这种方法因为其简单易懂，所以在我国的数学教育中得到了广泛的应用。

十字相乘公式法的应用主要体现在解决线性方程组上。

例如，对于方程组 3x+5y=11 和 2x-3y=7，我们可以通过十字相乘公式法来求解。

首先，我们将方程组写成矩阵的形式，然后通过矩阵的行列式来求解。

具体来说，就是将行列式展开，然后通过比较展开后的数值与已知数值的大小，来确定未知数的值。

十字相乘公式法虽然简单易懂，但也存在一些优点和局限性。

优点在于，它适用于所有的线性方程组，无论方程组的规模有多大，都可以通过这种方法来求解。

局限性则在于，它只适用于线性方程组，对于非线性方程组，十字相乘公式法就无能为力了。

总的来说，十字相乘公式法是一种简单有效的数学方法，它在我国的数学教育中发挥了重要的作用。

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十字相乘法完整版

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十字相乘法完整版
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01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
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02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘

十字相乘法专题强势总结

十字相乘法解数学题首先声明不是本人的就是觉得好所以借用一下感谢王萧乔!十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。

但是，如果使用不对，就会犯错。

（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80 分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。

求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。

男生一人，女生一人，总分160 分，平均分80 分。

男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A,女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A二B,因此男生和女生的比例是1: 1。

方法三：男生：75580女生：855男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A,剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B 有（1-X）。

AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：AC-BCBA-C这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

1．（2006 年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5B．1：3C．1：4D．1：5答案： C 分析：男教练：90%2%82%男运动员：80%8%男教练：男运动员=2%：8%=1：42.（2006年江苏省考）某公司职员25 人，每季度共发放劳保费用15000 元，已知每个男职必每季度发580 元，每个女职员比每个男职员每季度多发50 元，该公司男女职员之比是多少A. 2 :1B. 3 :2C.2:3D. 1 : 2答案： B 分析：职工平均工资男职工工资：58030600女职工工资：63020男职工：女职工=30：20=3：23．（2005年国考）某城市现在有70 万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。

七年级知识点十字相乘法

七年级知识点十字相乘法在初中的数学学习中，我们必须会掌握乘法，而十字相乘法作为乘法的一种常用方法，也需要我们掌握和熟练使用。

一、十字相乘法的定义和原理十字相乘法是一种简便的乘法法则。

具体来说，就是将两个乘数分别的每一位上的数字相乘后在竖式上错位排列，最后再把各项之和就即等于乘积。

具体步骤如下：1. 将被乘数和乘数按照各位数值的大小写成竖式。

2. 将被乘数每一位上的数字与乘数每一位上的数字相乘。

3. 将结果横放在竖式上，错位排列。

4. 将所有交叉相乘的结果相加即可得到乘积。

二、十字相乘法的应用场景一般来说，十字相乘法主要适用于两位数相乘的情况。

但在实际运用中，如果我们熟练掌握了这种方法，也可以用于更多位数相乘的计算。

具体来说，十字相乘法应用于以下情景：1. 两个多位数的乘法计算。

2. 分解多项式的乘法计算。

3. 求解数字因子中的根。

三、十字相乘法的计算步骤1. 将两个乘数分别的每一位数字相乘，将结果写在竖式上。

2. 求出所有竖式中的相乘结果。

3. 每一项的结果相加即可得到最终乘积。

具体计算步骤如下：例如，计算23×17的乘积。

首先，将23和17按照个位、十位分别写于竖式两侧。

23× 17=根据十字相乘法则，计算出每个竖式中的结果，放在竖式中的相应位置。

23× 17=2149最后，将所有交叉相乘的结果相加即可得到最终结果。

23× 17= 391因此，23×17=391。

四、十字相乘法的优点十字相乘法是一种简单又实用的乘法方法，具有以下优点：1. 可以快速计算两位数的积，缩短计算时间。

2. 可以避免手算中的繁琐乘法步骤，降低计算错误率。

3. 可以适用于多项式、因式分解等部分数学题型的计算，拓展应用范围。

五、十字相乘法的练习方法熟练使用十字相乘法需要长时间的练习和掌握。

以下是一些十字相乘法的练习方法：1. 从简单的一位数乘一位数练习起，逐渐提高难度。

可以用练习册、习题集等教材进行练习。

《十字相乘速算技巧解析》

《十字相乘速算技巧解析》关键信息项：1、十字相乘的定义与原理：＿___________________________2、适用范围：＿___________________________3、具体步骤：＿___________________________4、示例与练习：＿___________________________5、注意事项：＿___________________________11 十字相乘的定义与原理十字相乘法是一种用于二次三项式因式分解的方法。

其原理基于乘法分配律，将二次三项式 ax²＋ bx ＋ c （其中a ≠ 0）转化为两个一次二项式的乘积形式（mx ＋ p)（nx ＋ q) 。

111 数学表达式展开（mx ＋ p)（nx ＋ q) 可得： mnx²＋（mq ＋ np)x ＋ pq 。

通过对比系数，我们可以找到 m、n、p、q 之间的关系，从而实现因式分解。

12 适用范围十字相乘法主要适用于以下情况：121 二次项系数 a 可以分解为两个因数之积，且常数项 c 也可以分解为两个因数之积。

122 交叉相乘后的和等于一次项系数 b 。

13 具体步骤131 分解二次项系数 a 和常数项 c ，将它们分别写成两个因数相乘的形式。

132 尝试不同的因数组合，进行交叉相乘，使得交叉相乘后的和等于一次项系数 b 。

133 写出因式分解的结果，即（mx ＋ p)（nx ＋ q) 的形式。

14 示例与练习141 示例 1：分解因式 x²＋ 5x ＋ 6 。

首先，二次项系数 1 只能分解为 1×1，常数项 6 可以分解为 2×3 。

交叉相乘：1×3 ＋ 1×2 ＝ 5 ，恰好等于一次项系数。

所以，原式可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3) 。

142 示例 2：分解因式 2x²＋ 7x ＋ 3 。

二次项系数 2 可以分解为 2×1，常数项 3 可以分解为 1×3 。

初中十字相乘法公式技巧

初中十字相乘法公式技巧
极简学习法——初中十字相乘法
一、什么是十字相乘法？
十字相乘法也叫“初中口算金字塔法”，是十进制乘法的一种快速计算方法。

它的算法可以将一道数学乘法题用及其简洁的文字表示，大大减少了乘法计算量，是算术学习中重要的技巧之一。

二、十字相乘法的算法原理
十字相乘法的算法主要是建立在十进制乘法的原理上的，它用于计算两个数字的乘积，其算法操作可以总结为以下三步：
（1）先进行相乘内层计算：将被乘数每一位与乘数每一位进行相乘；
（2）在进行相加外层计算：将相乘结果的每一位的结果进行叠加。

（3）最后进行进位处理：将叠加结果的每一位的结果与上一位相加，完成整体的进位处理。

三、十字相乘法的实现技巧
（1）使用倒着乘法的方法：当被乘数与乘数的位数不定时，可以采用
倒着乘法的做法，从末位开始，先进行低位相乘，然后依次向前计算；
（2）使用分治法的思想：在计算比较大的数字的乘积时，可以采用分
治法思想，将乘数分成两段，然后分别计算每一段的乘积，最后叠加
即可；
（3）使用原地进位的技巧：对于比较大的乘法题，可以在计算的过程
中进行原地的进位操作，而不再回头重复计算，以提高计算效率。

四、十字相乘法的总结
十字相乘法是一种快速计算乘法题的技巧，它可以快速准确地计算两
个任意位数的数字的乘积，具有很好的实用价值。

但是，由于它的计
算方式略显费力和繁琐，因此在实际的计算过程中，还要学习能快速
高效的使用它的一些技巧。

只有掌握了正确的算法思想，把握好做乘
法的实用技巧，才能够熟练应用十字相乘法，提高乘法计算的效率。

十字相乘法知识点总结

十字相乘法知识点总结1. “哎呀，十字相乘法就是把二次项系数分解成两个数相乘，常数项也分解成两个数相乘，然后交叉相乘再相加，看是不是等于一次项系数呀！”就像妈妈切菜一样，把一个大的任务分成小块来处理。

比如算2x^2+5x+3，2 可以分成 1 和 2，3 可以分成 1 和 3，交叉相乘1×3+2×1 不就正好等于 5 嘛！2. “嘿，用十字相乘法可得细心点哟！要像找宝藏一样仔细去找那些能凑对的数！”就好像在一堆玩具里找自己最喜欢的那个。

比如3x^2+7x+2，3 只能分成 1 和 3，2 只能分成 1 和 2，很快就能发现1×2+3×1 等于 5 啦！3. “你们知道吗，十字相乘法可有意思啦！就像是拼图游戏，要把合适的部分拼在一起。

”比如解 4x^2+8x-5，4 可以分成 2 和 2，-5 可以分成1 和-5，试试就知道怎么组合啦！4. “哇塞，十字相乘法不难呀，就是找对搭配嘛！这多像我们搭配衣服呀，要好看就得搭对。

”像算 5x^2-6x+1，5 分成 1 和 5，1 还是 1，找找就能发现搭配的窍门啦！5. “哈哈，十字相乘法其实很简单呀，只要多试试就能掌握啦，就像骑自行车一样，一开始难，后来就熟练啦！”比如面对 6x^2+5x-6，6 可以有很多分法，慢慢试就找到合适的啦！6. “哎呀呀，十字相乘法不就是那么回事嘛，把数字拆来拆去，总能找到合适的组合呀！”就好像搭积木，要找到合适的那块放上去。

比如算3x^2-4x-4，3 分成 1 和 3，-4 可以分成 2 和-2，找找规律呀！7. “十字相乘法呀，可别小瞧它哦，这可是解决好多问题的好办法呢！就像我们的秘密武器！”就像碰到 2x^2+3x-2，2 分成 1 和 2，-2 分成 1 和-2，动动脑筋就能搞定啦！8. “嘿，学十字相乘法得有点耐心哦，就像钓鱼一样，得等鱼儿上钩。

”比如解 6x^2-7x+2，6 有多种分法，耐心点就能找到啦！9. “哇，十字相乘法可神奇啦，能让那些复杂的式子变简单呢，就像魔法一样！”比如算 4x^2-9x+2，4 分成 2 和 2，2 还是 2，是不是很神奇呀！10. “十字相乘法真的很有用呀，学会了它就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！”就像面对 5x^2+6x-8，5 分成 1 和 5，-8 分成 2 和-4，用十字相乘法不就解开啦！。

高中十字相乘知识点总结

高中十字相乘知识点总结一、引言十字相乘是高中数学中的一个重要知识点，涉及到多项式的乘法和因式分解等内容。

掌握了十字相乘的方法和技巧，可以帮助我们更好地理解和运用代数知识，提高解题效率。

本文将详细总结高中十字相乘的相关知识点，包括基本概念、步骤和应用技巧等内容，希望对广大学生有所帮助。

二、基本概念1. 多项式的乘法在代数中，如果有两个多项式P(x)和Q(x)，它们的乘积可以表示为R(x)=P(x)×Q(x)。

其中R(x)就是P(x)和Q(x)的乘积多项式，它的次数等于P(x)的次数加上Q(x)的次数。

2. 十字相乘十字相乘是指在进行多项式乘法时，利用竖式的乘法法则来进行计算。

首先需要把两个多项式按照次数从高到低的顺序排列，然后逐项相乘，最后将各项的乘积相加即可得到最终的结果。

三、步骤1. 排列对于两个多项式P(x)和Q(x)，首先需要按照次数从高到低的顺序排列。

即将P(x)和Q(x)的各项按照次数从高到低的顺序排列，准备进行逐项相乘的计算。

2. 相乘按照竖式乘法的法则，逐项相乘得到各项的乘积。

即从P(x)的最高次幂项开始，与Q(x)的各项逐一相乘，得到中间结果。

3. 相加将各项的乘积相加，得到最终的结果。

即将中间结果的各项进行合并，得到最终的乘积多项式R(x)。

四、应用技巧1. 注意次数在进行十字相乘的过程中，需要特别注意各项的次数。

乘法过程中，次数的巨大直接影响到最终的结果，因此需要特别细心地计算。

2. 注意系数在进行乘法的过程中，也需要特别注意系数的计算。

有时候系数会出现较大的计算量，需要进行仔细的计算，避免出现错误。

3. 熟练运用通过多练习，熟练掌握十字相乘的方法和技巧，可以提高解题的效率和准确性。

因此，需要不断地进行练习，积累经验。

五、例题分析下面通过一些例题，来具体说明如何使用十字相乘进行多项式的乘法。

例1：计算多项式 (x+2)(x-3)的乘积。

解：首先按照次数从高到低的顺序排列两个多项式：(x+2)(x-3)=x^2 -3x+2x-6=x^2-x-6例2：计算多项式 (2x+1)(3x-5)的乘积。

数学十字相乘知识点总结

数学十字相乘知识点总结一、十字相乘的步骤1. 找出两个乘数的十位数和个位数，并将它们写在相乘的两条直线上。

例如，对于乘数23和45，将2和3写在左侧的直线上，将4和5写在右侧的直线上。

2. 用十位数和个位数两两相乘，将结果写在对应的位置上。

例如，将2和5相乘得到10，将2和4相乘得到8，将3和5相乘得到15，将3和4相乘得到12，将这四个结果分别写在指定的位置上。

3. 对这四个结果进行进位相加。

将10和8相加得到18，将15和12相加得到27，将这两个结果写在结果的上方，并进行进位相加。

4. 最后得到的两个进位相加的结果就是最终的乘积。

在这个例子中，18和27进行进位相加得到45，这就是23和45的乘积。

二、十字相乘的应用十字相乘的方法可以用于计算任意多位数的乘积，无论是整数还是小数。

这种方法能够提高计算的速度，并且减少出错的可能性，因此在实际生活和工作中有广泛的应用。

比如在财务管理、统计学、工程计算等领域都可以使用十字相乘来进行精确的计算。

另外，在数学教学中，教师可以通过讲解十字相乘的方法，帮助学生更好地理解乘法运算的规律和原理，从而提高他们的计算能力和思维能力。

三、相关概念1. 乘数和被乘数：在进行十字相乘时，参与运算的两个数字分别称为乘数和被乘数。

乘数是将要进行相乘的数字，被乘数是要被乘的数字。

2. 乘积：乘积是乘法运算的结果，可以通过十字相乘的方法来计算得到。

乘积的数值大小等于乘数和被乘数相乘的结果。

3. 进位和进位相加：在进行十字相乘时，相乘得到的结果可能会有进位，进位就是将结果中的十位数加到下一位的运算中。

进位相加就是将相乘得到的结果和进位相加，得到最终的乘积。

四、十字相乘的特点1. 十字相乘的方法简单易懂，适合于各个年龄段的学生进行学习和应用。

2. 十字相乘的方法能够帮助学生更好地理解乘法运算的原理和规律，提高他们的数学思维能力和计算能力。

3. 十字相乘的方法能够加深学生对数学知识的掌握，激发学生对数学学习的兴趣。

十字相乘法(精华版)

x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
像这样，我们借助一个十字交叉相乘帮助我们分解因式的方法叫十字相乘法。
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6) （2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2) （3）12= 1× 12 或(-1)×(-12) 或2× 6 或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
结尾
练一练
一、若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数m个数是多少？
-12=1× (-12) 或(-1)×12 或2×(- 6) 或(-2)× 6 或3×(-4) 或(-3)× 4
二、⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6； (3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(4) (x-3)(x-4 ) = x2-7x-12
思考：你有什么快速计算类似以上多项式的方法吗？
类比学习
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
整式乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
思考：将下列多项式进行因式分解 a2+3ab+2b2

十字相乘法万能公式

十字相乘法万能公式一、十字相乘法原理。

1. 对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）- 若能将a分解成a = m× n，c分解成c=p× q，且满足m× q + n× p=b。

- 那么ax^2+bx + c=(mx + p)(nx+q)。

2. 举例说明。

- 例如对于二次三项式x^2+5x + 6。

- 这里a = 1（可分解为1×1），c = 6（可分解为2×3）。

- 并且1×3+1×2 = 5（满足m× q + n× p=b）。

- 所以x^2+5x + 6=(x + 2)(x+3)。

二、十字相乘法的步骤。

1. 分解二次项系数a- 先将二次项系数a分解成两个因数m和n的乘积。

2. 分解常数项c- 再将常数项c分解成两个因数p和q的乘积。

3. 尝试组合。

- 按照十字相乘的形式排列，即begin{array}{ccc}mp nqend{array}，计算m× q + n× p，看是否等于一次项系数b。

- 如果不等于，就重新调整p和q的分解组合，直到满足m× q + n× p=b为止。

三、特殊情况及注意事项。

1. 当a = 1时。

- 对于二次三项式x^2+bx + c，只需要将c分解成两个数p和q，使得p + q=b 即可。

- 例如x^2-3x - 4，c=-4，可分解为-4 = 1×(-4)或者-4=(-1)×4，经过尝试1+(-4)= - 3，所以x^2-3x - 4=(x + 1)(x - 4)。

2. 系数有正负情况。

- 在分解因数时要注意正负号的搭配。

例如对于2x^2-5x - 3。

- a = 2，可分解为2×1；c=-3，可分解为-3 = 1×(-3)。

- 按照十字相乘begin{array}{ccc}21 1-3end{array}，计算2×(-3)+1×1=-5，所以2x^2-5x - 3=(2x + 1)(x - 3)。

十字相乘法的诀窍

十字相乘法的诀窍
十字相乘法是一种用于解决两个数字相乘的算法，它需要将两个数字分别拆分为十位和个位，然后进行相乘和相加，最后得出乘积的结果。

下面是十字相乘法的诀窍：
1. 确定被乘数和乘数
十字相乘法需要确定被乘数和乘数，通常将被乘数放在上方，乘数放在下方。

2. 将数字拆分为十位和个位
将上方的被乘数和下方的乘数分别拆分为十位和个位，并用横线将其分开。

3. 进行十位的相乘和相加
将上方的被乘数的十位与下方的乘数的十位相乘，得到一个结果。

如果结果是两位数，则将这两位数相加得到一个一位数。

将这个一位数写在十位的下方。

4. 进行个位的相乘和相加
将上方的被乘数的个位与下方的乘数的个位相乘，得到一个结果。

如
果结果是两位数，则将这两位数相加得到一个一位数。

将这个一位数写在个位的下方。

5. 完成十字相乘法
将上面得到的结果相加，得到最终的答案，即被乘数和乘数的乘积。

十字相乘法可以方便地进行口算，适合于小学数学学习。

通过掌握十字相乘法的诀窍，孩子们可以更好地理解数学知识，加深对数学的兴趣和热爱。

十字相乘法的运算技巧（精品）

十字相乘法的运算技巧十字相乘法，就是把一个二次三项式化为两个因式相乘的形式，是一元二次方程解法之一。

“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q++【2()x a b x ab+++】的因式分解：即：一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b+++=++．这就是说，对于二次三项式2x Px q++，若能找到两个数a、b，使,, a b p a b q+=⎧⎨⋅=⎩则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b++=+++=++．（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个．．．．．．．．数的积，且其和等于一次项系数，．．．．．．．．．．．．．．．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。

）对于首项系数不是1的二次三项式：十字相乘法相对来说难学一些,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便。

一、十字相乘法的特点：1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。

（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。

②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

二、十字相乘法的应用举例：例1. 十字相乘法的图解及待定系数已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：8-5=3=-m解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20∴-m=3m=-3（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西——像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？)再如例2：把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）请观察比较例题中的各题，你能发现把常数q分解成两个整数a、b之积时的符号规律吗？⑴若q＞0，则a、b同号．当p＞0时a、b同为正，当p＜0时a、b同为负．⑵若q＜0，则a、b异号．当p＞0时a、b中的正数绝对值较大，当p＜0时a、b中的负数绝对值较大．⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解．例3、因式分解与系数的关系若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )A.5个B.6个C.8个D.4个分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n 为整数)因为16=2×8，16=(-2)×(-8)16=4×4，16=(-4)×(-4)16=1×16，16=(-1)×(-16)所以k=±10，±8，±16答案：B(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大) 例4.分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例5.换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C.再如、例6、把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）4y -37y ╳ -1=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）2 -（7y – 1）5 ╳ 4y - 3=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]=（2x -7y +1）（5x +4y -3）说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]=（2x -7y+1）（5x +4y -3）说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)例6.因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12求：x2+y2的值解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。

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把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例2、把 y4-7y2-18 分解因式
例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解因式
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
பைடு நூலகம்
竖分常数交叉乘，横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉乘，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 ax b
二次三项式分解因式使
a p q,b pq
(3x) (5x) 8x
x2-5x+6 X2+5x-6 x2-5x-6 X2+5x+6

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