高数考试试卷及答案

东 北 大 学
课程名称：高等数学 试卷： A 答案 考试形式： 闭卷 试卷：共2页
授课专业： 管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境
考试日期：2009年12月29日
一、填空题（每题4分，共24分） 1、极限222
121
lim[
]______122
n n n n n n →∞
+++=+++L 2
、已知1,x x
→= 则3
__2a =
3、曲线2
2arctan 3
23ln(1)
x t t y t t =-+⎧⎨
=-++⎩ 在0t =处的切线方程为__5_______x y += 4、已知函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则'
()0f x =的实根个数为__2__ 5、曲线y =_(0,0)_
6、定积分
1
sin )_
__2
x dx π
-+=⎰
二、选择题（每题3分，共21分）
1、极限sin 0
lim x
x x +
→=[ B ]
(A). 0 (B)1 (C)e (D)1
e -
2、函数1,0,()10,
x x
x f x e ⎧≠⎪
=⎨+⎪
⎩其它. 在0x =处 [ B ]
(A) 极限不存在 (B) 连续不可导 (C) 极限存在不连续 (D) 可导
3、设0x 是()f x 的极值点，则[ C ]
(A) '0()0f x = (B) '0()f x 不存在 (C) '0()0f x =或不存在 (D) '
0()(0)f x c c =≠
4、函数1
y x x
=+
的单调减区间为[ B ] (A) (,0)-∞ (B) [1,0)(0,1]-U (C) (,1][1)-∞-+∞U ， (D) [1)+∞， 5、曲线x
y xe -=[ B ]
(A)在(,2)-∞是凹的，在(2,)+∞是凸的 (B) 在(,2)-∞是凸的，在(2,)+∞是凹的 (C)在(,)-∞+∞是凸的 (D) 在(,)-∞+∞是凹的 6、设()F x 为()f x 的一个原函数，则下列正确的是[ D ]
(A) ()()()d
f x dx F x =⎰ (B)'
()()F x dx f x c =+⎰
(C) '
()()F x dx f x =⎰ (D)()()()d
f x dx f x dx =⎰
7、已知
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
，其中,01()0,
x ce x f x ⎧≤≤=⎨⎩，
其它. 则c =[ B ]
(A) 1
e - (B)1
1
e - (C) 1 (D) 1e -
三、计算题（39分）
1、（8分）讨论函数221()lim 1n
n
n x f x x →∞-=+的连续性，若有间断点，判别其类型.
装
订
线
装 订 线 内 不 要 答 题
学 号
姓 名
班 级
解：22,1,
1()lim
0,1,1, 1.
n
n
n x x x f x x x x x →∞⎧->-⎪===⎨+⎪<⎩
，-------------4分 在1x =-处，11
lim ()lim ()1,x x f x x --→-→-=-=
11lim ()lim 1,x x f x x +
+→-→-==-
1
1
lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠---------------------6分
所以1x =-为第一类跳跃间断点. 在1x =处，1
1
lim ()lim 1,x x f x x --
→→== 11
lim ()lim()1,x x f x x +
+
→→=-=- 1
1
lim ()lim ()x x f x f x -+
→→≠ 所以1x =为第一类跳跃间断点.---------------------------8分
2、（7分）求由方程00
cos 0xy
x
t e dt tdt +=⎰
⎰所确定的隐函数的导数
dy
dx
. 解：对方程
cos 0xy
x
t e dt tdt +=⎰
⎰左右两边同时对x 求导得
'()cos 0xy e y xy x ++= ----------------5分
即cos xy xy
dy ye x
dx xe +=- ----------------7分 3、（8
分）计算不定积分⎰
解：
2
,,2t x t dx tdt ===则即，从而 -----------2分
2222
2
2
22
22
2arctan arctan 4arctan arctan arctan 111arctan arctan arctan 61(8t tdt t dt t t t d t
t t t dt t t t t dt t t t t C t
x C ==-----=-=-++-=-=-++---+=+-----------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰分
分分
4、（8分）求
2
(1)f x dx -⎰
，其中2
2
1
,0,1(),x x x f x xe ⎧≥⎪+=⎨⎪⎩
其它.
解：设1,x t dx dt -==则，从而
2
101
1
1
(1)()()()f x dx f t dt f t dt f t dt ---==+⎰
⎰⎰⎰ ---------4分
2
1
2
1
01
1t te dt dt t -=++⎰⎰
20
11arctan 102
t e t =+- ------------------------6分
124
e π
-=
+ ------------------------8分 5、（8分）求常数k 的值使得曲线2
y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围图形的面积最小。

解: 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2
dA x dx =,所求面积为
()()2
2 k k
A k x dx k +=-∞<<+∞⎰
,----------------4分
要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故
()()2
2241dA k k k dk
=+-=+,令0dA dk =,解得驻点1k =-, -------------------6分
因为2240d A
dk
=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积
最小. -----------------8分
四、证明题（16分）
1、（8分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明存在(,)a b ξ∈，使得'
'
()()()0f f g ξξξ+=. 证明：做辅助函数()()()g x F x f x e
=，则 -------------4分
()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()F a F b =，---- 6分
由罗尔中值定理得存在(,)a b ξ∈，使得'
'
()
'()()()()()0g g F f e f g e ξξξξξξ=+=.
而()
0g e ξ≠，从而''()()()0f f g ξξξ+= ------8分
2、（8分）设函数0
()(2)()x
F x x t f t dt =-⎰
，其中()f x 在(,)-∞+∞上连续，且单调减
少，证明
()F x 单调增加.
证明：0
()()2(),x
x
F x x
f t dt tf t dt =-⎰
⎰则----------2分
'
()()()2()5()()[()()]7[()()]0(0)8x
x x
F x f t dt xf x xf x f t dt xf x f t f x dt x f f x x ξξ=+------=-=----=-><<-------⎰⎰⎰分
分分
故()F x 单调增加.。