求实对称三对角矩阵特征值的递归算法
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0][b1a2b20...0][0b2a3b3...0][00b3a4...0][..................][ 0 0 0 ... bn-1 an ]下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题的分治算法
2002 年第 24 卷第 5 期 Vol 24, No 5, 2002
文章编号: 1007 130X( 2002) 05 0015 03
计算广义实对称三对角矩阵特征值问题 的分治算法
The Divide and Conquer Algorithm for Generalized Symmetric Tridiagonal Eigenvalue Problems
L ) ( x ) = x + n/ (- f ∗( x ) / f ( x ) )
( n - 1) [ ( n - 1) (- f ∗( x ) / f ( x ) ) 2 - n(f +( x ) / f ( x ) ) ] )
其中 f ( x ) 、f ∗( x ) 和 f +( x ) 均采用三项递推式, 且 计算量基本相同。当 x ( i , i + 1) 时, L + ( x ) 比 较接近 i + 1, L_( x ) 比较接近 i 。并且 Laguerre 迭 代是三次收敛的, 割线迭代法的渐进收敛率为 1. 618[ 3] 。显然, 要收敛到相同的精度, Laguerre 迭代 次数比割线迭代法少。但每迭代一次, Laguerre 迭 代算法的计算量显然要比割线法多。那么, 两者 比较, 到底有什么样的关系呢?
T^ - S^ 0
0T
W( )
定义 1[ 4] 对称矩阵 A 的惯性( v, !, ∀) 分别
表示矩阵 A 的小于 0、等于 0 和大于 0 的特征值 个数。
定理 1( Sylvester s 惯性定理[ 1] ) 如果 A Rn # n 是对称的, X Rn# n 是非奇异的, 那么矩阵
16
A 和 XT AX 有相同的惯性。 由引理 1 和定理 1 可得: 定理 2 设 不是( T^ , S^ ) 的特征值, 并令 V
三对角矩阵的特征值公式
三对角矩阵的特征值公式英文回答：The eigenvalue formula for tridiagonal matrices is a useful result in linear algebra. A tridiagonal matrix is a matrix in which the only non-zero elements are on the main diagonal, the diagonal above the main diagonal, and the diagonal below the main diagonal.To find the eigenvalues of a tridiagonal matrix, we can use the Thomas algorithm. The Thomas algorithm is an efficient method for solving tridiagonal systems of equations, but it can also be used to find the eigenvalues of a tridiagonal matrix.The eigenvalue formula for a tridiagonal matrix is given by the following equation:λ = d + 2√(bc)。
where λ is the eigenvalue, and d, b, and c are the elements of the tridiagonal matrix. The elements b and c are the non-zero elements on the diagonal above and below the main diagonal, respectively.This formula can be derived by solving the characteristic equation of the tridiagonal matrix. The characteristic equation is obtained by setting the determinant of the matrix minus λ times t he identity matrix equal to zero. By solving this equation, we can find the eigenvalues of the tridiagonal matrix.中文回答：三对角矩阵的特征值公式是线性代数中的一个重要结果。
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。
QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。
QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。
特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。
关键词：特征值；特征向量；QR分解Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue AndEigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition目录1 绪论 (1)1.1 问题重述 (1)1.2研究方法 (1)2 QR方法 (3)2.1 QR分解的概念 (3)2.2 Givens方法 (3)2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)2.2.2QR算法 (6)3 QR算法C实现过程 (8)3.1主要参数 (8)3.2组成模块 (8)3.3程序改错 (8)4 测试运行 (11)参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
通过这次课程设计实现用QR方法求解实对称三对角矩阵的全部特征值和特征向量。
QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效 方法之一。QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
对矩阵A进行拟上三角化得到A（n」）后，使用带双步位移的QR方法的迭代公式为:
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）
摘要
在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。QR方法是一种变换方法，是计算
一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR方法具有收敛快，算法
稳定等特点•由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它 们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时， 计算量非常大，且不易求其精确解。
2.2.2QR算法.……6
3QR算法C实现过程 ……8
3.1主要参数:••……8
3.2组成模块………..8
3.3程序改错.……..8
4测试运行...11
参考文献
附录
求实对称三ห้องสมุดไป่ตู้角矩阵的特征值和特征向量（一）
1.1问题重述
（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从70到80阶）
一4 11
1 4 1
+ 4■+
Ai =A（n」）
2
Mk二Ak-sAktl
Mk二QkRk（对Mk作QR分解）
Ak1= QkAkQk
Ax八x（1.2）
则■称为矩阵A的一个特征值，x称为矩阵A的属于■的特征向量。
由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确 解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量 非常大，且不易求其精确解。故在工程技术上，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用 数值解法，得到其在某一精度水平上的近似解。常用的算法有：幕法、反幕法、Jacobi
矩阵递归法
矩阵递归法矩阵递归法是一种常用的数学方法，用于解决与矩阵相关的问题。
它通过将问题分解为更小的子问题，并利用递归的思想来解决这些子问题，最终得到原始问题的解决方案。
本文将详细介绍矩阵递归法的原理和应用。
一、矩阵递归法的基本原理矩阵递归法基于递归的思想，通过将一个大问题划分为若干个相同或相似的小问题，并逐步解决这些小问题，最终得到原始问题的解。
在矩阵递归法中，我们将矩阵划分为更小的子矩阵，并利用递归的方式处理这些子矩阵。
具体而言，我们可以将一个n×n的矩阵划分为四个n/2×n/2的子矩阵，然后分别对这四个子矩阵进行处理。
这种划分方式可以不断递归下去，直到子矩阵的规模足够小，可以直接求解为止。
然后，我们将这些子矩阵的解合并起来，得到原始问题的解。
矩阵递归法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 矩阵乘法矩阵乘法是矩阵递归法的一个经典应用。
我们可以将两个矩阵分别划分为四个子矩阵，并对这些子矩阵进行递归计算。
然后，将这些子矩阵的计算结果合并起来，得到最终的乘积矩阵。
2. 矩阵求逆矩阵求逆是矩阵递归法的另一个重要应用。
我们可以将一个矩阵分解为若干个子矩阵，并对这些子矩阵进行递归求逆。
然后，将这些子矩阵的逆矩阵合并起来，得到原始矩阵的逆矩阵。
3. 矩阵分解矩阵分解是矩阵递归法的另一个应用场景。
我们可以将一个矩阵分解为若干个子矩阵，并对这些子矩阵进行递归处理。
然后，将这些子矩阵的分解结果合并起来，得到原始矩阵的分解结果。
三、矩阵递归法的优缺点矩阵递归法具有以下优点：1. 算法简洁：矩阵递归法通过将问题分解为子问题，并利用递归的方式解决子问题，使得算法的表达更加简洁清晰。
2. 可扩展性强：矩阵递归法可以根据问题的规模，灵活地划分矩阵，从而适应不同规模的问题求解。
然而，矩阵递归法也存在一些缺点：1. 时间复杂度较高：由于矩阵递归法需要多次递归求解子问题，因此其时间复杂度较高，特别是在处理大规模矩阵时。
对称矩阵的特征值问题
4 分而治之法
分而治之法由 Cuppen 于 1981 年首次提出, 但直到 1995 年才出现稳定的 实现方式, 是目前计算 所有特征值和特征向量 的最快算法.
考虑不可约对称三对角矩阵
a1 b1
T
= b1
... ...
...
am−1 bm−1
bm−1 am bm
假定 T1 和 T2 的特征值分解已经计算出来
即 T1 = Q1Λ1Q⊺1 , T2 = Q2Λ2Q⊺2 , 下面考虑 T 的特征值分解.
[]
[
]
T=
T1 0 0 T2
+
bmvv⊺
=
Q1Λ1Q⊺1
0
[
0
]
Q2Λ2 ([
17/93
Wilkinson 位移:
[
]
取
a(nk−)1 b(nk−)1 b(nk−)1 a(nk)
的最接近 a(nk) 的特征值作为位移.
通过计算可得 Wilkinson 位移为
σ
=
a(nk)
+
δ
−
√ sign(δ) δ2
+
(b(nk−)1)2,
其中
δ
=
1 2
(a(nk−)1
− a(nk)).
出于稳定性方面的考虑, 我们通常用下面的计算公式
σ
3;
(b√(nk−)1)2 sign(δ) δ2 +
(b(nk−)1)2 .
定理 采用 Wilkinson 位移的 QR 迭代是整体收敛的, 且至少是线性收 敛. 事实上, 几乎对所有的矩阵都是渐进三次收敛的.
18/93
例 带 Wilkinson 位移的隐式 QR 迭代算法收敛性演示. Matlab 代码: Eig_TriQR.m
HouseholderQR法求实对称矩阵特征值和特
Householder QR法求实对称矩阵特征值和特Householder+QR法求实对称矩阵特征值和特征向量(C程序代码)2010-12-01 10：29嗯，上一个雅可比法求n xn实对称矩阵的特征值和特征向量，是很有限制的。
虽然这个方法可靠，精度好，但是对于高于十几阶的矩阵，它就显得力不从心了，因为收敛速度比较慢。
所以对于高阶的实对称阵的特征值和特征向量的求解，目前用得比较多的还是先Householder法把对称阵变成"三对角阵"，再用QR法求取特征值。
因为赶工的原因，这两个程序我没有亲自动手写(众：怎么每次都这么多理由捏)。
这里就顺便推荐一本书：《常用算法程序集(C语言描述)》，清华大学出版社出版。
这本书的内容比较广，虽然原理上讲得不详细，但是对于赶工的程序员来说那是一条不错的捷径。
有点可惜的是此书的代码写得比较凌乱，可读性极其糟糕，有空的话(又要等"有空")某U很想把里面的代码再改写封装一下…因为实在是太实用了…为了表示对作者的尊敬，这里贴出来的代码除了函数名之外，对内容就不作修改了。
#include stdlib.h#include math.h typedef double mydouble；int qr(int n,mydouble*b,mydouble*c,mydouble*q,mydouble eps,int l){int i,j,k,m,it,u,v；mydouble d,f,h,g,p,r,e,s；c[n-1]=0.0；d=0.0；f=0.0；for(j=0；j=n-1；j++){it=0；h=eps*(fabs(b[j])+fabs(c[j]))；if(h d)d=h；m=j；while((m=n-1)&&(fabs(c[m])d))m++；if(m！=j){do{if(it==l)return 1；it=it+1；g=b[j]；p=(b[j+1]-g)/(2.0*c[j])；r=sqrt(p*p+1.0)；if(p=0.0)b[j]=c[j]/(p+r)；else b[j]=c[j]/(p-r)；h=g-b[j]；for(i=j+1；i=n-1；i++)b[i]=b[i]-h；f=f+h；p=b[m]；e=1.0；s=0.0；for(i=m-1；i=j；i--){g=e*c[i]；h=e*p；if(fabs(p)=fabs(c[i])){e=c[i]/p；r=sqrt(e*e+1.0)；c[i+1]=s*p*r；s=e/r；e=1.0/r；}else{e=p/c[i]；r=sqrt(e*e+1.0)；c[i+1]=s*c[i]*r；s=1.0/r；e=e/r；}p=e*b[i]-s*g；b[i+1]=h+s*(e*g+s*b[i])；for(k=0；k=n-1；k++){u=k*n+i+1；v=u-1；h=q[u]；q[u]=s*q[v]+e*h；q[v]=e*q[v]-s*h；}}c[j]=s*p；b[j]=e*p；}while(fabs(c[j])d)；}b[j]=b[j]+f；}for(i=0；i=n-1；i++){k=i；p=b[i]；if(i+1=n-1){j=i+1；while((j=n-1)&&(b[j]=p)){ k=j；p=b[j]；j=j+1；}}if(k！=i){b[k]=b[i]；b[i]=p；for(j=0；j=n-1；j++){u=j*n+i；v=j*n+k；p=q[u]；q[u]=q[v]；q[v]=p；}}}return 0；}void householder(mydouble*a,int n,mydouble*q,mydouble*b,mydouble*c){int i,j,k,u；mydouble h,f,g,h2；for(i=0；i=n-1；i++){for(j=0；j=n-1；j++){u=i*n+j；q[u]=a[u]；}}for(i=n-1；i=1；i--){h=0.0；if(i 1){for(k=0；k=i-1；k++){u=i*n+k；h=h+q[u]*q[u]；}}if(h+1.0==1.0){c[i]=0.0；if(i==1)c[i]=q[i*n+i-1]；b[i]=0.0；}else{c[i]=sqrt(h)；u=i*n+i-1；if(q[u]0.0)c[i]=-c[i]；h=h-q[u]*c[i]；q[u]=q[u]-c[i]；f=0.0；for(j=0；j=i-1；j++){q[j*n+i]=q[i*n+j]/h；g=0.0；for(k=0；k=j；k++)g=g+q[j*n+k]*q[i*n+k]；if(j+1=i-1){for(k=j+1；k=i-1；k++)g=g+q[k*n+j]*q[i*n+k]；}c[j]=g/h；f=f+g*q[j*n+i]；}h2=f/(h+h)；for(j=0；j=i-1；j++){f=q[i*n+j]；g=c[j]-h2*f；c[j]=g；for(k=0；k=j；k++){u=j*n+k；q[u]=q[u]-f*c[k]-g*q[i*n+k]；}}b[i]=h；}}for(i=0；i=n-2；i++)c[i]=c[i+1]；c[n-1]=0.0；b[0]=0.0；for(i=0；i=n-1；i++){if((b[i]！=0.0)&&(i-1=0)){for(j=0；j=i-1；j++){g=0.0；for(k=0；k=i-1；k++)g=g+q[i*n+k]*q[k*n+j]；for(k=0；k=i-1；k++){u=k*n+j；q[u]=q[u]-g*q[k*n+i]；}}}u=i*n+i；b[i]=q[u]；q[u]=1.0；if(i-1=0){for(j=0；j=i-1；j++){q[i*n+j]=0.0；q[j*n+i]=0.0；}}}}参数说明：void householder(mydouble*a,intn,mydouble*q,mydouble*b,mydouble*c)；a-n xn实对称矩阵，用线性的方法存储(嗯，其实静态数组就是这样的)。
三阶矩阵特征值计算公式
三阶矩阵特征值计算公式好的，以下是为您生成的关于“三阶矩阵特征值计算公式”的文章：咱来说说这三阶矩阵特征值的计算公式，这玩意儿在数学的世界里，那可是相当重要！还记得我当年读大学的时候，有一次上线性代数课，老师在讲台上激情澎湃地讲解着三阶矩阵特征值的计算。
那时候，我坐在下面，眼睛紧紧盯着黑板，心里却有点犯嘀咕，这到底是个啥呀？咱先来讲讲这三阶矩阵到底是个啥。
简单说，就是一个 3 行 3 列的数字表格。
比如说，像这样：\[\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\]那这特征值又是啥呢？您就把它想象成是这个矩阵的一种特殊属性，能反映出这个矩阵的一些本质特点。
计算三阶矩阵特征值的公式呢，是这样的：对于一个三阶矩阵 A ，特征值λ满足方程 |A - λI| = 0 ，其中 I 是 3 阶单位矩阵。
这听起来是不是有点晕乎？别着急，咱们来一步步拆解。
\[\begin{vmatrix}a_{11} - λ & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} - λ & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} - λ\end{vmatrix} = 0\]接下来就是展开这个行列式，算起来可有点复杂。
\[(a_{11} - λ)(a_{22} - λ)(a_{33} - λ) + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}(a_{22} - λ)a_{31} - a_{12}a_{21}(a_{33} - λ) - (a_{11} - λ)a_{23}a_{32} = 0\]然后把这个式子展开、整理，就能得到一个关于λ的三次方程，解这个方程就能得到特征值啦。
三对角行列式计算公式推导
三对角行列式计算公式推导三对角矩阵指的是只有主对角线和相邻的次对角线和超过它们一格的次对角线上有非零元素的方阵。
计算这种矩阵的行列式有一个特别简单的公式，即Cramer公式的变形：$$|A|=\prod_{i=1}^n a_i,$$其中$a_1, a_n$ 为矩阵 $A$ 的主对角线元素，$a_i, a_{i-1}$ 和 $a_{i+1}$ 分别为它的第 $i$ 个、第 $i-1$ 个、第$i+1$ 个次对角线上的元素。
我们可以采用数学归纳法来证明这个公式。
如果 $n=1$，那么$|A|=a_1$，这满足公式。
如果 $n=2$，那么 $|A|$ 的表达式可以用主对角线元素和第 $1$ 个次对角线元素表示，即：$$|A|=\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 \\a_3 &a_4\end{matrix}\right|=a_1a_4-a_2a_3.$$根据公式可知，$|A|=a_1a_4-a_2a_3$，这满足公式。
假设$n=k$ 时公式成立，考虑 $n=k+1$ 的情况，即：$$|A|=\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & & & \\a_3 & a_4 & \ddots & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots & a_{n-1} & a_n \\& & & a_{n+1} & a_{n+2}\end{matrix}\right|.$$将矩阵 $A$ 按行 $n$ 进行展开，可得：$$|A|=a_{n+1}\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & & & \\a_3 & a_4 & \ddots & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots & a_{n-1} & a_n \\a_1/a_{n+1} & a_2/a_{n+1} & \cdots & a_{n-1}/a_{n+1} & 1 \end{matrix}\right|-a_n\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & & & \\a_3 & a_4 & \ddots & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots & a_{n-1} & a_{n+1} \\a_1/a_n & a_2/a_n & \cdots & 1 & a_{n+1}/a_n\end{matrix}\right|.$$根据归纳假设，我们有：$$|A|=a_{n+1}\prod_{i=1}^{n} a_i-a_n\prod_{i=1}^{n-1} a_i,$$可见这满足公式。
对称三对角矩阵特征值
对称三对角矩阵特征值下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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三对角矩阵的快速算法
三对角矩阵的快速算法三对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非零元素只在主对角线和其相邻的两条对角线上。
由于其特殊性，我们可以采用一些特殊的算法来加速其求解。
下面就介绍三对角矩阵的快速算法。
1. Thomas算法Thomas算法是最常用的三对角矩阵求解算法。
该算法的基本思想是将原始矩阵转化为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式，在此基础上使用迭代求解的方法。
具体实现过程如下：设三对角矩阵为A，向量b为待求解的线性方程组右端项，向量x为解向量，则原始的线性方程组可以表示为：Ax = b将A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式：则有：令y = Ux，可以得到：这是一个下三角矩阵和向量的乘积，可以使用前代法求解。
然后，再使用后代法求解Ux = y即可得到解向量x。
2. Sherman-Morrison算法设当前矩阵为A，其逆矩阵为A-1，将A作出如下形式的修正：A' = A + uvT其中u和v是向量，T表示向量的转置。
则有：A'-1 = A-1 - A-1uvTA-1 / (1 + vTA-1u)将上式表示为如下形式：显然，如果u和v分别为e1和en，即：u = [1, 0, …, 0]T这个式子就是Sherman-Morrison算法的核心推导。
然后，可以递归地使用这个式子进行修正即可。
3. Doolittle算法Doolittle算法是一种用于求解三对角矩阵的LU分解的算法，与一般的LU分解算法类似，其也将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式。
总结三对角矩阵是一种特殊的矩阵，其求解具有一些特殊性质，例如可以使用Thomas算法、Sherman-Morrison算法和Doolittle算法等算法进行快速求解。
由于其特殊性，这些算法都比一般的矩阵求解算法具有更高的效率，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
用割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题
用割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题割线法是一种用于求解对称三对角矩阵特征值问题的迭代方法，它有效利用矩阵的对称性，以及三对角结构，大大减少了计算量。
割线法的原理是将对称三对角矩阵A按照行(或列)分解为无关子矩阵，通过改变矩阵A中的某些元素使之满足一定条件，然后再将矩阵A求解。
割线法的关键在于如何改变矩阵A中的元素。
割线法的思想是用一条割线将三对角矩阵A分割为上下两部分，并将矩阵A中的元素分别改变。
改变的方式是在矩阵A的上半部分中，将每一行中的元素加上割线处元素的值；在矩阵A的下半部分中，将每一行中的元素减去割线处元素的值，这样矩阵A就满足了一定的条件。
割线法的步骤是：1、将原来的对称三对角矩阵A分割为上下两部分，并将矩阵A中的元素分别改变；2、在矩阵A的上半部分中，将每一行中的元素加上割线处元素的值；3、在矩阵A的下半部分中，将每一行中的元素减去割线处元素的值；4、用新生成的矩阵替换原来的矩阵，计算新矩阵的特征值；5、如果计算出来的特征值满足要求，则停止求解；如果不满足要求，则重复步骤1-4，直到求得满足要求的特征值为止。
以上是割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题的基本步骤，但如何选择割线位置，以及如何改变矩阵A中的元素才能使矩阵A满足一定的条件，就是割线法的关键问题了。
一般而言，割线位置的选择应该尽可能在矩阵A的主对角线上，这样可以简化计算量，提高计算效率。
而在改变矩阵A中的元素时，应注意保持矩阵A的对称性，以及尽可能使主对角线上的元素不变。
割线法迭代求解对称三对角矩阵特征值问题，其优点在于：一是它有效利用了矩阵的对称性，以及三对角结构，大大减少了计算量；二是它可以在每一次迭代后返回一个新的特征值，从而可以更快地收敛。
但割线法也有缺点，如：一是即使矩阵A在每一次迭代后都满足割线法的要求，也不能保证从这个新矩阵中求出的特征值是最精确的，这可能会导致最终求出的特征值和实际的特征值存在一定的差距；二是由于割线法需要迭代，当矩阵A较大时，可能会耗费较多时间。
三对角矩阵的特征值及其应用
（ Z, A ）的数量,Y ' 表示Y 对时间 t 的导数, nn 是中子的数量密度, nnvσ n r (Z , A) 是 热平均中子俘获率, λm (Z , A) 是光致分裂率, λ0 (Z , A) 、 λ1(Z , A) 、 λ2 (Z , A) 、 λ3 (Z, A) 分别表示释放 0、1、2、3 个中子的 β 裂变,又 λ = λ0 (Z , A) + λ1(Z , A) + λ2 (Z , A) + λ3 (Z , A)
二次方程 y2 + qy − p3 = 0 的两个根． 27
解二次方程得：
u3 = − q + q2 + p3 , v3 = − q − q2 + p3 ．
2 4 27
2 4 27
(3-5)
且满足：
uv = − p 3
(3-6)
设 u1 是(3-5)的任意一个解,则 u 的另外两个解分别为：u2 = u1w , u3 = u1w2 ,这里 w 是
在过去十年中,人们对 R 过程的认识有了重要进展.文献[3]总结了针对 R 过程的 参变量研究、天体物理学模型和观测研究方面的最新研究结果. 强调核物理和天体 物理学之间的相互影响,并就 R 过程的进一步理论研究、实验研究和观测研究提出了 建议.文中给出了 R 过程中的主方程为：
Y '(Z , A) = nnvσ n r (Z , A −1)Y (Z , A −1) + λm (Z , A +1)Y (Z , A +1) +
当 bc < 0 时： λ1 = a , λ2 = a + i 2bc , λ3 = a − i 2bc ． 1.2.4 一般的三对角阵
一个可扩展的特征值求解对称三对角矩阵
Proc.Sixth SIAM科学计算的并行处理会议，pp.602- 609，诺福克，弗吉尼亚州，1993年3月一个可扩展的特征值求解对称三对角矩阵基督教trefftz 菲利普k.麦金利李天岩曾忠刚摘要本文介绍了并行求解对称三对角矩阵特征值，在一个2立方体超立方体多计算机上实施。
该算法是基于分裂合并的技术，它采用拉盖尔的迭代，并利用分离的属性，以创造能够独立解决的子任务。
由于高方差拉盖尔的方法所需的迭代次数，初始算法的并行执行性能受到处理器间负载不平衡的不利影响。
另一种负载均衡算法的开发，从而大大提高了效率和算法的速度。
分裂合并算法的负载均衡和高效的通信技术的应用从以往的贡献区分这种方式。
1、绪论由于在科学和工程上定量分析变得越来越重要，更快和更有效的方法来解决特征值问题的需求增长。
大的特征值问题存在一个广泛的应用，包括大尺度结构的动态分析如飞机和船只，在固体和土力学上结构响应的预测，太阳能对流，电子电路的模态分析，和数据统计分析研究。
作为计算数学的最根本的问题之一，对称三对角特征值在文献接收中相当重视。
在发展中有几个并行算法来解决这个问题，如分而治之，二分或多分。
在连续的计算机中最广泛使用的算法QR，也正在适应并行机。
由于在伦延续的方法中达到近期的甚至在串行模式成效并有更高效的算法被预期的显著进步。
并行计算机可以减少时间来解决许多数值应用。
并行计算机的发展趋势已走向可扩展的在性能上提供相应增加如处理器数量增加的趋势。
许多这样的系统，也称为大规模并行计算机（储值卡），其特点是一个集合的节点之间的内存，每一个与自己的处理器，本地内存，及其他辅助设备的分布。
节点通常由点到点，或直接与网络相互关联。
由于在系统中节点数量的增加，总的通信带宽，内存带宽和处理能力也在增加。
为了充分利用可扩展的硬件，应用软件还必须具有可扩展性：在对更多的处理器重新编译软件中应该允许它采取增加计算能力的优势。
在论文中，我们报告了最初由李、曾等设计的并行算法的结果[1]，采用被称为拉格朗日快速迭代的方法。
三对角形 行列式 递推法
三对角形行列式递推法引言在线性代数中，行列式是一种重要的概念，它可以用来描述线性方程组的解、矩阵的特征值等。
本文将介绍一种特殊类型的矩阵——三对角矩阵，并介绍使用递推法计算三对角矩阵的行列式。
什么是三对角矩阵三对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零或者具有某种规律。
一个n×n的三对角矩阵可以表示为：[a1b100⋯0 c2a2b20⋯0 0c3a3b3⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮0⋯⋯c n−1a n−1b n−1 0⋯⋯0c n a n]其中a i,b i,c i为实数。
计算三对角矩阵行列式的递推法计算一个普通矩阵的行列式通常需要使用展开定理，时间复杂度为O(n!)，非常耗时。
而对于三对角矩阵，我们可以使用递推法来计算其行列式，时间复杂度为O(n)。
递推关系设D n表示一个n×n的三对角矩阵的行列式，则有以下递推关系：D1=a1D2=a2D1−c2b1D i=a i D i−1−c i b i−1D i−2 (3≤i≤n)其中i表示矩阵的维度。
证明递推关系为了证明上述递推关系，我们可以使用数学归纳法。
当n=1时，显然有D1=a1，递推关系成立。
假设当n=k时递推关系成立，即D k=a k D k−1−c k b k−1D k−2。
那么当n=k+1时：由此可见，递推关系对于任意的n都成立。
递推法计算行列式根据上述递推关系，我们可以通过迭代计算的方式，从小到大依次求解D1,D2,...,D n。
具体算法如下：输入：三对角矩阵A，维度n// 初始化边界条件d_prev = a[0]d_curr = a[0]*a[1] - c[0]*b[0]for i = 3 to n do:d_next = a[i]*d_curr - c[i-1]*b[i-2]*d_prevd_prev = d_currd_curr = d_next返回：d_curr总结本文介绍了三对角矩阵和使用递推法计算三对角矩阵行列式的方法。
基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的MPI
㊀第52卷第1期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.1㊀2020年3月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Mar.2020收稿日期:2019-01-14基金项目:国家重点研发计划项目(2017YFB0202202,2016YFB0201302);国家自然科学基金重点项目(91430214);中国科学院 十三五 信息化建设专项项目(XXH13506-405)㊂作者简介:朱京乔(1993 ),男,安徽安庆人,硕士研究生,主要从事并行和分布式计算研究,E-mail:zjqucas@.;通信作者:赵永华(1966 ),男,山东德州人,研究员,主要从事高性能计算和软件㊁并行与分布式处理与算法研究,E-mail:yhzhao@㊂基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的MPI /Cilk 混合并行算法朱京乔1,2,㊀赵永华1(1.中国科学院计算机网络信息中心高性能部㊀北京100190;2.中国科学院大学计算与控制学院㊀北京100049)摘要:对称稠密矩阵特征问题的求解通常转化为三对角矩阵特征问题的求解,基于对称三对角矩阵特征求解的分而治之方法,提出了一种基于消息传递接口(message passing interface,MPI)+Cilk 多任务并行模型的混合求解算法,采用进程间数据并行和进程内多线程任务并行的方法,实现了对分而治之算法中分治阶段和合并阶段的多任务划分和动态调度㊂进程内利用Cilk 任务执行的有向无环图模型,解决了线程级并行的数据依赖和饥饿等待等问题,提高了程序的并行性;进程间通过粗粒度计算任务的划分,优化了MPI 部分的数据通信流程和负载均衡问题㊂数值实验表明,混合并行算法在计算性能和可扩展性方面都要优于纯MPI 并行算法㊂关键词:三对角矩阵;对称特征问题;并行计算;分治算法;Cilk;MPI 中图分类号:TP391㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)01-0033-06DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20190140㊀引言科学计算和工程问题中经常涉及稠密对称矩阵的特征求解问题,通常的处理方法是先通过正交变换把原矩阵化为三对角矩阵,如Householder 或Givens 方法,再求解三对角阵的特征值和特征向量㊂三对角阵的特征求解算法有很多种,常用的有QR 法㊁二分法㊁分而治之方法和多近似健壮表示(multiple relatively robust representations,MRRR)方法等等,本文工作基于分治法展开㊂对称三对角阵特征求解的分治算法,最早由文献[1]提出,文献[2]作出了改进,提高了该算法的求解精度和特征向量的正交性㊂分治算法采用分而治之思想,将原矩阵划分为若干小的子矩阵,先求出子矩阵的特征分解,接着通过修正计算,逐级合并子矩阵的结果,回代得到原矩阵的特征分解㊂分治法具有很强的灵活性,对于大规模三对角矩阵特征问题的并行求解是一种比较理想的算法㊂现有很多模型都实现了针对分治算法的并行化,如基于分布式存储的消息传递接口(message passing in-terface,MPI)进程级并行[3],基于共享内存的openMP 线程级并行,还有基于对称多处理结构(symmetrical multi procession,SMP)的MPI /openMP 混合并行模型[4]等㊂以openMP 为代表的线程级并行模型主要基于数据并行的考量,通过把数据划分到多个核上实现并行,该模型在计算负载均衡的条件下能取得较好的效果㊂但对于分治和递归类的场景,当数据依赖呈复杂网状结构时,则不能很好地实现负载均衡㊂Cilk 是一个基于任务的并行编程模型,为串行程序的并行化提供了向量化㊁视图等机制(http:ʊ /cilk /manual-5.4.6.pdf),通过关键字来声明操作,改造后的代码具有语义化㊁可读性强的特点㊂Cilk 为共享内存系统提供了一个高效的任务窃取调度器,适合用来实现高效的多核任务并行㊂1㊀三对角矩阵特征求解分治算法的基本原理1.1㊀三对角矩阵的划分对任意n 阶实对称三对角矩阵T ,基于秩1修正作如下划分㊂郑州大学学报(理学版)第52卷T =α1β1β1α2β2β2α3⋱⋱⋱βn βnαn éëêêêêêêêùûúúúúúúú⇨T =T 100T 2éëêêùûúú+ββββéëêêùûúú,其中:T 1㊁T 2是三对角子矩阵块,β元素所在矩阵构成原矩阵的修正矩阵㊂为使修正矩阵元素一致,T 1的末位元素和T 2的首元素都减去相同的β㊂经过划分原矩阵变为T =T ᶄ+βzz T ,其中Z =(0, ,0,1,1,0, ,0)T ㊂1的索引代表对原矩阵进行划分的位置㊂对于划分后的矩阵T ᶄ,若规模未达到指定阈值,则继续划分㊂1.2㊀分治法求解过程若划分后的子矩阵规模达到设定阈值,调用QR 或者其他算法,得到子矩阵T 1㊁T 2的特征值分解为T 1=Q 1D 1Q T 1;T 2=Q 2D 2Q T 2,(1)此时T 可以表示为T =Q 1Q 2éëêêùûúú(D +βxx T )[Q T 1Q T 2],(2)其中:D =D 1D 2éëêêùûúú;x T =(q T 1,q T 2),q 1㊁q 2分别是Q 1的最后一行和Q 2的第一行元素构成的向量㊂要求T 的特征分解T =Q ΛQ T ,先求D +βxx T 的特征分解,使得D +βxx T =P ΛP T ,再令Q =Q 1Q 2éëêêùûúú,即可求得T 的特征分解㊂对于D +βxx T 的特征分解,需要根据划分后矩阵的特征值和原矩阵特征值的间隔性[5],通过求解对应的secular 方程1+βði x 2i d i -λ=0,d i =D ii ,(3)得到相应的特征值λ㊂文献[5]讨论了方程(3)根的分布特性和解法,在特征区间内使用牛顿法或拉格朗日法迭代逼近区间内的特征值,线性时间内即可收敛㊂解出所有的特征值后,再通过式(D -λI )-1x [1]求得每个特征值对应的特征向量,回代到式(1)中得到T 的特征分解㊂图1㊀分治算法结构Figure 1㊀The structure of divide and conquer method整个求解过程可看作逻辑上的树型结构,如图1所示㊂在叶子结点进行特征求解,在非叶子结点上进行特征合并㊂1.3㊀求解注意事项降阶:合并过程中如果D 的主对角线上出现了相同的元素或者X 向量中出现0元素时,文献[6]中提出要先进行de-flation 操作,通过Givens 正交旋转变换进行迭代逼近前的预处理,部分特征值和特征向量就能原地得到,从而避免了特征区间内迭代不收敛的情况㊂正交性:如果特征值前后间隔过小,使用原公式求解得到的特征向量会逐渐丢失正交性㊂文献[2]给出了特征向量的改进求法,引入了新的计算方式来修正计算过程中结果的正交性㊂2㊀基于Cilk 的节点内并行2.1㊀节点内并行算法对于单节点内的三对角矩阵块,使用分治法求解主要包含两个过程:调用特征求解算法求出最小划分矩阵的特征分解,逐步合并特征值和特征向量㊂由于每个子矩阵的特征计算以及同级子矩阵之间的合并过程是相互43㊀第1期朱京乔,等:基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的MPI /Cilk 混合并行算法独立的,下面结合Cilk 任务并行机制,给出分治算法在节点内多核环境下的并行化递归实现㊂㊀㊀算法1㊀分治算法基于Cilk 的节点内并行㊂dc _solver(T ):if (size T ==threshold):㊀exec _solve(T );㊀return result;else:㊀cilk _spawn ㊀dc _solver(T 1);㊀cilk _spawn ㊀dc _solver(T 2);㊀cilk _sync;㊀exec _merge();㊀return result;end㊀㊀先判断输入矩阵的规模,如果矩阵规模小于等于指定阈值,调用QR 或其他算法进行特征求解,返回结果;否则执行Cilk 任务划分,划分矩阵T 得子矩阵T 1㊁T 2,并行对T 1㊁T 2递归调用算法1,求出子矩阵的特征分解后,进行排序和迭代逼近等操作,合并子矩阵的特征值和特征向量,得到T 的特征分解,返回结果㊂Cilk 在程序递归执行过程中不断划分新的任务,产生Cilk 线程去处理,并把其分配到空闲的核上,和父线程并行执行㊂Cilk 通过任务窃取(Work-Stealing)的方式来执行调度:当一个核完成自己的任务而其他核还有很多任务未完成,此时会将忙的核上的任务重新分配给空闲的核㊂算法1计算过程中涉及矩阵乘法㊁排序㊁迭代逼近等操作,可以利用Cilk 提供的数据并行机制加速,Cilk 通过数据划分形成一个个可供调度的线程级任务并行执行㊂空闲线程通过工作密取从其他线程获取一部分工作量,Cilk 利用贪心策略来进行任务调度分配,能够避免单核上出现任务过载和饥饿等待的问题,同时能将密取的次数控制在最低水平,减少密取带来的性能开销㊂图2㊀节点内任务并行流程Figure 2㊀Task flow of divide and conquer method inside nodes2.2㊀算法分析一个Cilk 线程可看作在同步㊁生成新线程或返回结果之前所能执行的最长序列化指令集(http:ʊ /cilk-documentation-full)㊂根据此定义,求解过程中,递归调用T 1之前的过程可以看作一个Cilk 线程,记为任务A,递归调用T 2的过程可以看作任务B,同步及合并过程可以看作任务C㊂现假设程序只进行了4次嵌套调用,则全局任务划分后生成的任务流程如图2所示㊂程序从有向无环图的最上面开始执行,对应递归的最外层㊂每一个出度大于1的结点都会派生出新的Cilk 线程,执行新的任务㊂设程序执行过程产生的所有的Cilk 线程数为W (图2中节点数),关键路径长度为S (图2中虚线部分路径长度)㊂则程序的并行性Parallelism 可表示为Parallelism =W /S ㊂(4)㊀㊀程序的执行时间Time 满足Time >max(T (W /P ),T (S )),(5)其中:P 是处理器核数;T (W /P )表示所有任务平均到每个核上运行的时间;T (S )表示关键路径上的任务运行花费的总时间㊂3㊀基于MPI /Cilk 的多节点混合并行3.1㊀混合并行算法实现分治算法的MPI 多节点并行,需要把原始矩阵按图1结构划分成小的子矩阵分发到叶子结点上进行初步计算,然后通过MPI 通信,每棵子树的父结点收集子结点的计算结果后进行汇总,把整理后的结果重新发送到子结点进行合并操作,重复此过程,直到返回到图1中的根结点㊂为了减少进程间通信,充分利用5363郑州大学学报(理学版)第52卷Cilk任务并行机制,需要对原矩阵进行较粗粒度的划分,以榨取单节点处理器的计算性能㊂并且在消息传递时,只使用一个线程作为主控线程,以减少通信开销㊂对于n阶对称三对角矩阵T在N个进程上的特征求解,假设N=2q,n=2p,算法初始时把原矩阵划分为N个子矩阵,每个子矩阵阶数为2p-q,设为2k,下面给出分治算法的在多进程间的混合并行实现㊂算法2㊀分治算法基于MPI/Cilk的节点间并行㊂第一步,对于划分到N个进程上的每个初始子矩阵,调用算法1求出各部分特征值和特征向量㊂第二步,进行p次循环(p对应图1中树的深度),每次循环先把进程分组并确定主控进程来进行结果收发㊂对每个MPI进程,需要根据自己的进程类别,按序选择执行下列步骤:1)组内进程向主控进程发送本进程求得的所有局部特征值,如果本进程是上一轮循环的主控进程,则还要向本轮主控进程发送上一轮计算得到的特征向量矩阵㊂2)主控进程收集属于同一组进程中所有求得的局部特征值和特征向量,对特征值进行排序,并保留排序后的位置索引数组㊂按照1.2节的过程拼接Z1㊁Z2成一个新向量X,根据位置索引将X排序,将排好序的特征值均匀地划发到组内各进程,同时也把向量X传到组内各进程㊂3)组内进程接收主控进程发送过来的排好序的部分特征值和向量X,求解secular方程和特征向量,并发送结果给主控进程㊂4)主控进程更新当前循环的特征向量矩阵,接着执行下一轮循环㊂3.2㊀算法分析在对特征值进行排序后,同时记录排序后各位置元素的原来位置的索引,避免对特征向量重复排序,方便下一轮特征向量的计算㊂算法2中步骤3)和4)中涉及大量计算密集型操作,占据程序执行的主要时间,同样可以通过Cilk数据并行机制划分多个线程级子任务并行执行㊂在第p轮循环中,从0号进程开始,每2p+1个进程分为一组,每隔2p+1个进程被选为主控线程,每个小组内共进行3(2p+1-1)次通信,每轮循环的通信次数是3N(2p+1-1)/2p+1㊂分治算法总的时间复杂度介于O(n2)~O(n3)之间,空间复杂度为O(n2),误差和矩阵规模的关系为O(nε)㊂若单节点内划分的数据粒度适当粗时,就能利用Cilk机制充分发挥多核处理器的计算和调度能力,得到较好的计算性能,同时减少进程间通信次数,降低通信开销㊂4㊀实验结果与分析我们在中科院 元 级超算上针对该混合模型进行了数值实验,实验运行在CPU II计算队列上,节点上搭载的是Intel E5-2680V3芯片,每块芯片包含12个主频为2.5GHz的计算核心㊂MPI程序使用Intel mpi-icpc编译器编译,编译时链接Cilk Plus运行,计算过程中使用了部分MKL库中的函数㊂实验对象是30000阶实对称三对角矩阵,矩阵划分求解的规模阈值设为200阶,最终求出全部特征值和特征向量㊂实验通过环境变量设置使用4和8个线程进行实验,为方便对比,已测出实验在单节点单线程环境下平均串行时间为882.53s㊂表1是纯MPI方法和MPI/Cilk方法在4~64个核参与计算下所用时间比较㊂从表1可以看出,对于同一矩阵,使用相同数目的核参与计算时,MPI/Cilk混合方法所用时间要少于纯MPI方法,性能要优于纯MPI 方法,而8线程的MPI/Cilk方法性能要优于4线程的,这表明8线程的混合模型有更好的负载均衡㊂在较少节点参与计算时,获得加速效果较为明显,这说明对数据进行粗粒度划分时能取得较好性能㊂表2是MPI模型和MPI/Cilk模型程序的加速比对比㊂表2数据表明,MPI/Cilk方法具有比纯MPI方法更高的加速比,而8线程MPI/Cilk方法的加速比开始时和4线程接近,随着可供调度的核数增多,加速效果逐渐超过了4线程方法㊂MPI/Cilk方法的加速比在一开始上升较快,随着进程数的增加,加速效果随之下降,但仍比纯MPI方法变缓更慢,拥有更好的扩展性㊂对于给定规模的矩阵,当参与计算的核数超过一定数量时,计算效果的提升越来越有限,出现这种现象主要是因为计算任务粒度变细和进程间通信开销增加导致的㊂㊀第1期朱京乔,等:基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的MPI/Cilk混合并行算法表3和表4分别给出了Cilk和openMP这两种模型的计算时间和加速比的比较,其中openMP模型采用数据并行方式,通过指导语句对涉及计算的部分进行了并行化㊂从结果可以看出,在参与计算的核数较少时,openMP模型的效果要优于Cilk模型,原因是计算粒度较大时,数据并行占主导地位㊂而随着参与计算的核数增多,Cilk模型的效果逐渐超过openMP模型,此时可供调度的核数增多,Cilk动态调度的优势逐渐体现㊂表1㊀MPI模型和MPI/Cilk模型程序的时间Table1㊀Time of pure MPI method and MPI/Cilk method核数时间/sMPI/Cilk(8线程)MPI/Cilk(4线程)纯MPI4 232.62245.31 8135.91144.26155.62 1674.3681.4392.47 3251.2358.2967.54 6444.7650.5858.87表2㊀MPI模型和MPI/Cilk模型程序的加速比Table2㊀Speedup of pure MPI method and MPI/Cilk 核数加速比MPI/Cilk(8线程)MPI/Cilk(4线程)纯MPI 4 3.79 3.59 8 6.49 6.11 5.67 1611.8610.849.54 3217.2215.1413.07 6419.7117.4414.99表3㊀MPI/openMP模型和MPI/Cilk模型程序的时间Table3㊀Time of MPI/openMP method and MPI/Cilk method核数时间/sMPI/Cilk(8线程)MPI/openMP(8线程)MPI/Cilk(4线程)MPI/openMP(4线程)4 232.62223.15 8135.91124.86144.26138.37 1674.3669.3081.4377.21 3251.2355.1358.2962.43 6444.7648.5750.5855.28表4㊀MPI/openMP模型和MPI/Cilk模型程序的加速比Table4㊀Speedup of MPI/openMP method and MPI/Cilk method核数加速比MPI/Cilk(8线程)MPI/openMP(8线程)MPI/Cilk(4线程)MPI/openMP(4线程)4 3.79 3.958 6.497.07 6.11 6.381611.8612.7310.8411.433217.2216.0115.1414.146419.7118.1717.4415.965㊀总结本文针对实对称三对角矩阵特征求解的分治算法,提出了一种基于MPI/Cilk的混合并行实现算法㊂在节点间,通过粗粒度计算任务的划分,在相同的求解效率下减少了所需要的计算进程和进程间的通信次数㊂在节点内,利用Cilk的任务并行机制提高CPU的利用率,改善了负载均衡,提高了并行度㊂实验结果体现了该算法的性能㊂该算法还可进一步研究,如运用数据并行机制加速特征合并过程,研究Cilk线程启动数和数据划分粒度对性能的影响以及同openMP的任务并行机制对比等㊂参考文献:[1]㊀CUPPEN J J M.A divide and conquer method for the symmetric tridiagonal eigenproblem[J].Numerische mathematik,1980,7383郑州大学学报(理学版)第52卷36(2):177-195.[2]㊀GU M,EISENSTAT S C.A stable and efficient algorithm for the rank-one modification of the symmetric eigenproblem[J].SI-AM journal on matrix analysis and applications,1994,15(4):1266-1276.[3]㊀TISSEUR F,DONGARRA J.A parallel divide and conquer algorithm for the symmetric eigenvalue problem on distributed mem-ory architectures[J].SIAM journal on scientific computing,1999,20(6):2223-2236.[4]㊀ZHAO Y H,CHEN J,CHI X B.Solving the symmetric tridiagonal eigenproblem using MPI/OpenMP hybrid parallelization[M].Heidelberg:Springer,2005:164-173.[5]㊀AMMAR G S,REICHEL L,SORENSEN D C.An implementation of a divide and conquer algorithm for the unitary eigen prob-lem[J].ACM transactions on mathematical software,1992,18(3):292-307.[6]㊀MELMAN A.Numerical solution of a secular equation[J].Numerische mathematik,1995,69(4):483-493.[7]㊀王进,晏世凯,高延雨,等.基于MPI的ML-kNN算法并行[J].郑州大学学报(理学版),2018,50(3):34-38.WANG J,YAN S K,GAO Y Y,et al.Parallelization of ML-kNN based on MPI[J].Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2018,50(3):34-38.A Hybrid Parallel Algorithm Based on Divided and Conquer MethodUsing MPI/Cilk for the Symmetric Tridiagonal EigenproblemZHU Jingqiao1,2,ZHAO Yonghua1(1.Department of High Performance Computing,Computer Network Information Center,ChineseAcademy of Sciences,Beijing100190,China;2.School of Computer Science and Technology,University of Chinese Academy of Sciences,Beijing100049,China) Abstract:Divide and conquer method was a good algorithm with high performance used for solving tridi-agonal matrix eigenproblems,while with the enlargement of the scale,computing efficiency and storage limitation became the bottleneck.A new eigenproblem solver algorithm based on a hybrid parallel para-digm with MPI/Cilk was proposed to optimize the divide and conquer algorithm both at data and task lev-els.In order to take good advantage of multi-core CPU,task-based parallelization mechanism was intro-duced inside computing nodes,which solved the problem in data dependence and thread starvation by di-rected acyclic graph model.The overhead of data communication among MPI nodes was optimized by coarse-grained partition of tasks,which also improved load balance.The numerical test was carried out and the result was compared with the pure MPI and MPI/openMP parallel algorithm,which showed the performance and efficiency of the algorithm.Key words:tridiagonal matrix;symmetric eigenproblem;parallel computing;DC method;Cilk;MPI(责任编辑:方惠敏)。
递推法求三对角行列式
递推法求三对角行列式摘要：1.递推法的概念和基本原理2.三对角行列式的定义和性质3.递推法在求三对角行列式中的应用4.递推法求三对角行列式的具体步骤和示例正文：一、递推法的概念和基本原理递推法是一种数学求解方法，它是通过已知的前几项来推导出后面的项，从而得到整个数列的通项公式。
递推法的基本原理是从已知条件出发，逐步推导出更深层次的关系，以达到解决问题的目的。
二、三对角行列式的定义和性质三对角行列式是指一个n 阶行列式，其对角线元素和非对角线元素满足特定的关系。
具体来说，如果一个n 阶行列式的形式为：$$D = begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & cdots & a_{1n}a_{21} & a_{22} & a_{23} & cdots & a_{2n}a_{31} & a_{32} & a_{33} & cdots & a_{3n}vdots & vdots & vdots & ddots & vdotsa_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & cdots & a_{nn}end{bmatrix}$$其中，主对角线元素为$a_{ii}$，副对角线元素为$a_{i+1,i}$和$a_{i,i+1}$，非对角线元素为$a_{ij}$（$ieq j$）。
如果满足以下性质：$$a_{ij} = a_{i+1,j} + a_{i,j+1} - a_{i+1,i+1} - a_{i,i}$$那么，这个行列式就是一个三对角行列式。
三、递推法在求三对角行列式中的应用递推法在求三对角行列式中的应用主要体现在，可以通过已知的前几项来递推出后面的项，从而得到整个三对角行列式的值。
具体来说，设三对角行列式的前$k$项为：$$D_k = begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & cdots & a_{1k}a_{21} & a_{22} & a_{23} & cdots & a_{2k}a_{31} & a_{32} & a_{33} & cdots & a_{3k}vdots & vdots & vdots & ddots & vdotsa_{k1} & a_{k2} & a_{k3} & cdots & a_{kk}end{bmatrix}$$根据三对角行列式的性质，可以得到：$$D_{k+1} = D_k + E_{k+1}$$其中，$E_{k+1}$表示一个元素全为1 的三对角行列式。
矩阵递归法
矩阵递归法矩阵递归法是一种常用的数学计算方法，特别适用于处理矩阵相关的问题。
它的核心思想是将一个大的问题分解为若干个相同但规模较小的子问题，然后通过递归的方式解决这些子问题，最终得到原问题的解。
在矩阵递归法中，一个矩阵通常被表示为一个二维的数值数组。
每个元素都可以通过行和列的索引来访问。
矩阵递归法可以用于各种不同的数学计算问题，包括矩阵运算、线性代数、图论等。
在使用矩阵递归法解决问题时，首先需要确定递归的终止条件。
这个条件通常是当矩阵的规模变得足够小，无法再继续分解时，递归终止。
然后，根据问题的性质，确定递归的分解方式和计算规则。
最后，通过递归调用解决子问题，并将子问题的解合并得到原问题的解。
例如，考虑矩阵乘法问题。
给定两个矩阵A和B，要求计算它们的乘积C。
矩阵乘法的定义是，C的第(i,j)个元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
使用矩阵递归法解决这个问题的思路是，将矩阵A和B分解为四个子矩阵，然后通过递归调用解决子问题。
具体而言，假设A是一个n×n的矩阵，B是一个n×n的矩阵。
将A 分解为四个n/2×n/2的子矩阵：A11、A12、A21、A22。
将B分解为四个n/2×n/2的子矩阵：B11、B12、B21、B22。
则C的计算规则如下：C11 = A11×B11 + A12×B21C12 = A11×B12 + A12×B22C21 = A21×B11 + A22×B21C22 = A21×B12 + A22×B22其中，A11、A12、A21、A22、B11、B12、B21、B22和C11、C12、C21、C22都是n/2×n/2的矩阵。
可以通过递归调用矩阵乘法解决这些子问题，然后将子问题的解合并得到C的解。
矩阵递归法的优点是能够将一个复杂的问题分解为若干个简单的子问题，从而降低了问题的复杂度。