拓扑学教案4

2.3 拓扑空间中几个平行于分析数学的基本概念
本节为教材 2.3，2.4 和 2.5 三节合并在一起，主要目的是将数学分析（度量空间）中的基本概 念与拓扑学中的概念作以比较。
一、 度量空间中的几个基本概念
⑴ 邻域（开球） B ( x, ) ：在实分析中，邻域是有半径的开集。它在分析学中起着重要的作用， 许多分析学的概念都有它来定义。 下面给出一个度量空间球形邻域的例子。 例
2.3.2 的性质的(1)-(4)出发, 定义
另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理
2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续的函数之复
合仍是点连续的. 定义 2.2.4 与定义 2.3.2 所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的. 定理 2.3.5 证 设 f : X Y 则 f 连续 f 在每一 x X 连续. “ ”若 U 是 f(x)的邻域,
一般的，任意 n 维开球是 R n 中的开集（但开集未必是开球）。此外，整个 R n 当然 是 R n 中的开集。 约定：空集也是开集。
⑼ 闭集 —— 若 A X A 是 X 中的开集，则称 A 是 X 中的闭集。
C
⑽ 聚点 —— 设 A 是 ( X , d ) 的一个子集， x X ，若 0 ，有

U int A .
又，若 x int A ，则必有一个开集 U ，使得 x U .故对 int A 中的所有 x ，有

U int A ,
思考题： ① 余有限拓扑 ( R, f ) 是可分的。
注释： x Q （有理数），有 {x}C ，且 {x}C 是 Q 中任何非 x 的点的邻域。 ② 余可数拓扑 ( R, C ) 是不可分的。 注释：C 中的开集是可数集的余，即可数集是闭集，它的闭包是自身，则不是 稠密的。
三、 拓扑空间上集合的一些重要性质
任意 y V ，由于 V ，则 V U y .
由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定理 2.3.1)导出开集, 从
{U X x U ,U Ux } , 则 ( X , ) 是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 Ux. 详
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▲性质 1（关于闭集的性质） 拓扑空间的闭集满足 （1） X 与 是闭集； （2） 任意多个闭集的交是闭集； （3） 有限多个闭集的并是闭集。 证明： （1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。 ▲性质 2（关于内点的性质） 设 A, B 是拓扑空间的子集，有 ① 若 A B ，则 int A int B ； ② int A 是包含在 A 中的所有开集的并集，因此，是包含在 A 中的最大开集； ③ int A A A 是开集； ④ int( A B ) int A int B ； ⑤ int( A B ) int A int B . 证明：① (提示：只要证明 A 的内点一定是 B 的内点) 设 x 是 A 的内点，则存在开集 U ，使得
C[a, b] 表示区间 [a, b] 上的连续函数全体， f , g C[a, b] ，定义两个函数 f 和 g 的距离 d ( f , g ) max f ( x) g ( x)
a x b
令 h( x) k ( x [ a, b]) ，则关于 h( x) 的 球形邻域 B ( h, ) 如下图所示。 Y K+ε K K- ε 0 a b X
见定理 2.3.3. 定义 2.3.2(点连续) 映射 f : X Y 称为在点 x X 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻域, 则 f-1(U)是 x 在 X 中的邻域. 定理 2.1.4 保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致 .
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Ux (x X ) 具有定理
（4）内点 —— A 是 ( X , ) 的子集， x A ，若存在开集 U （即 中元素）使得 x U A ， 则称 x 是 A 的一个内点。 （5）内部 —— A 的所有内点的集合，记为 int A 或 i ( A) 。 （6）聚点 —— A 是 ( X , ) 的子集， x X ，若 x 的每一邻域 U 中都含有 A {x} 中的点， 则称 x 是 A 的一个聚点（或极限点）。
例如，有理数集在 R 上稠密。
⒁ 疏子集(疏朗集) —— 若 int A ，称 A 为 ( X , d ) 的疏子集。
例如，设 A {1,1 2,1 3, ,1 n,} ，有 0 A ，但是，0 是 A 的聚点，又 Int A ， 则 A 是 E1 的疏子集。
⒂ 孤立点 —— 若 x A ，但不是 A 的聚点，即存在使得
③ 若 U , V U x ，则 U V U x ；
解释：由定义给出。
解释：若 U , V U x ，则存在 u x ,且 u x U ，同时存在 vx ,且 vx V ，于是有 u x vx U V ，根据拓扑公理（2），有 u x vx ，故 U V U x .
B ( x, ) A {x}
则称 x 是 A 的孤立点。
思考：1） x A ，也不是 A 的聚点， x 是 A 的什么点？（答：外点） 2）孤立点与边界点关系？（答：是边界点）
⒃ 完全集 —— 若 A 是无孤立点的闭集，则称 A 为 ( X , d ) 的完全集。
二、 拓扑空间中的相关概念的定义
x 的邻域。
证明： （必要性）由邻域的定义，这是显然的。
（充分性）设 U 为其每一点的邻域，于是， x U ，存在开集 Vx 使得 x Vx U 。 (注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明 U 是开集) 由 Vx U ，有 U Vx 。因为 Vx 是开集，故 U 是开集.
开集 V 使 f ( x) V U , x
1
x f
1
(V ) f
1
(U )
“ ”若 U 是 Y 的开集, X 中开.
x f
(U ) , U 是 f(x)的邻域, f-1 (U)是 x 的邻域, 所以 f-1 (U)在
（3）闭集—— 拓扑空间 X 的一个子集 A 称为闭集，若 A 是开集。
⑾ 导集 —— A 的所有聚点全体之集合，称为 A 的导集，记为 d ( A) 。 ⑿ 闭包 —— A A d ( A) 称为 A 的闭包。
例如：直线上 (a, b) 的闭包是 [a, b] 。
⒀ 稠密子集 —— 若 A X ，则称 A 为 ( X , d ) 的稠密子集，或称 A 在 ( X , d ) 中是稠密的。
（1）开集 —— 在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑 中的元素称为开集，这是 公理性定义。 我们在邻域概念中回避半径 （度量），将含点 x 的集合称为 x 的邻域。于是有如下定义： （2） 邻域 ——设 ( X , )为拓扑空间， x X , U 为 X 的子集。 若存在一个包含 x 的开集 V（注：
xU
重点理解该定理的意义：对于 ( X , )中的子集 U ，有 U 是非空开集 U 是其每一点的邻域
下面关于邻域的结论是明显的（定理 2.3.2）。
X 是拓扑空间， x X ， U x 为 x 的邻域系： ① x X , U x ；
解释：至少 X 是 x 的邻域。 ② 若 U U x ，则 x U ；
C C
说明： A 的外点 x 自身不属于 A ，而且它存在一个邻域的也不属于 A ，它是 A 的内点。 ⑷ 边界点 —— 若 x X , x 既非 A 的内点，也非 A 的外点。 或 者说，对于任何 0 ， B ( x, ) 与 A 和 A 的交均非空，则称 x 是 A
C
C
的一个边界点。 ⑸ 内部 —— A 中所有内点的全体称为 A 的内部，记为 int A 或 内点 A
x U A ；
又 A B ,则必有 U B ，于是， x 也是 B 的内点。
int A int B . ② 设 {U } 是包含在 A 中的所有开集构成的子集族。
故 提示：我们只要证明
int A U 即可 (等式两侧互相包含)

首先， , U A ，于是，对于 x U A ， x 是 A 的内点，即 U 中所有点 x 均是 A 的内点。故有 U int A , 于是
⑵ 内点 ——设 A 是 ( X , d ) 的一个子集， 若 x A 且存在点 x 的一个邻域 B ( x, ) A ， 则称 x 是 A 的一个内点。 说明：内点 x 是这样的点，它自身属于 A ，并且它“近旁”的一切点都属于 A 。 ⑶ 外点 —— 若 x A ，且存在一个邻域 B ( x, ) A ，则称 x 是 A 的一个外点。
V 是 中的元素），且 x V U ，则称 U 为 x 的邻域。
注：由定义知，开集（即拓扑中的元素）本身也是所含元素的邻域。 邻域可以不是开集，即邻域 U 可以不在拓扑 中，但它要含有开集。
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▲ 定义：凡是包含 x 的开集（ 中的元素）均为 x 的邻域，称为点 x 的开邻域。 （注意：开邻域与邻域的区别） ▲ 定义：点 x 的所有邻域构成 X 的子集族，称为点 x 的邻域系。 定理 1（2.3.1）： 拓扑空间 X 的子集 U 是开集 U 为其每一点的邻域。即 x U ，有 U 为
（注：用 x 的邻域而不是开集,因为 {x} 也是开集）
（7）导集 —— A 的所有聚点的集合，称为 A 的导集，记为 d ( A) 或 A 。 （8）闭包 —— 称 A wk.baidu.com A d ( A) 为 A 的闭包。 （9）稠密集 —— 若 A X ，则称 A 关于 X 是稠密的。
▲ 如果 X 有可数的稠密子集，称 X 是可分的拓扑空间。 注：实数集 R 是可分的，因为存在可数的有理数集 Q ，且 Q R .( Q 关于 R 是稠密 的)
C
注释：ⅰ、由于 X C , C X ，则 X , 也是闭集； 平凡拓扑空间 { X , } 也是闭集构成的。 ⅱ、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。 上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。 拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。
B ( x, ) ( A {x})
则称 x 是 A 的一个聚点（或极限点）。
说明：①注意，聚点本身可能属于 A ，亦可能不属于 A 。 ② A 的内点一定是 A 的聚点， A 的外点一定不是聚点。 ③如果 x 是 A 的一个聚点，那么必存在一列 xn A （n = 1，2，…）， xn x ， 使 xn x ，这表明在 A 内存在一列点积聚在 x 周围，即谓之“聚”也。 问题： A 的边界点是不是 A 的聚点呢？（不一定，有可能是孤立点）
外点
i ( A) .
⑹ 外部 —— A 的外点全体。 ⑺ 边界 —— A 的所有边界点全体，记为 b( A) 或 A 。 ⑻ 开集 —— 如果 A 中的每一点都是 A 的内点，即 A int A 。
边 界 点
例如：开区间 (a, b) 是 R 中的一个开集； 开圆盘是 R 2 中的一个开集；
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④ 若 U U x ，且 U V ，则 V U x ； ⑤ 如果 U U x ，则存在 V U x 满足：
解释：由定义给出。
a ). V U b) . 对于任一 y V , V U y .
解释：若 U U x ，则由定义，存在 x u x ，有 u x U ，只要取 V u x 即可。于是对于