拓扑学教案5

又由于
B1 B2
故有
xB1 B2

{x} Wx
xB1 B2

Wx B1 B2
B1 B2
xB1 B2

即， B1 B2 可表示为 B 中元素的并，则 B1 B2 。（根据 的定义） （下面证明： A1 , A2 A1 A2 ） 现设 A1 , A2 , 即有 B 1 ， B 1 2 B 使得
B
(1) X
B B
1 1 1
这是重要定理， 说明如 何由基生成一个拓扑。
(2) 若 B1 , B2 B ，则对于任一 x B1 B2 ，存在 Wx B 使得
x Wx B1 B2
则集合 { A 存在 为集合 X 唯一的以
A
B ，使得 A
BB A 1 1 1
★ 下面是几个关于拓扑基的例子。
例 1 例 2 设 X 是任一集合， X 的所有单点子集构成的族是上 X 离散拓扑的一个基。 设 B 为平面上所有圆形域（圆周的内部形成的开集）的族，可以看出， B 满足定理中条 { A 存在 B A B ， A 例 3
件(1)和(2)，则可以利用 B 生成平面上的一个拓扑
U x 的子族 W x 如果满足条件：所有 W x 中任意有限个成员的交构成的集族 {W1 W2 Wn Wi W x , i 1, 2, , n} 为点 x 的局部基，则称 W x 为点 x 的邻域系的子基，或称为点 x 的局部子基。
例：若 X 为度量空间， x X ，则 x 的所有球形邻域构成 X 的子集族，为点 x 的局部基。 定理 4 设 ( X , ) 为拓扑空间， x X 。
定理 3 设 是非空集 X 的子集族，若 X
S
S ，存在 X 的唯一拓扑 以 为子基。如果令
B {S1 S2 Sn Si , i 1, 2, , n}
则
{ B
BB 1
B 1 B }}
证明略（见书）。
四、点的邻域系与局部基
定义： 设 X 为拓扑空间，对于每一 x X ，记 U x 为点 x 的邻域系。若 U x 的子族V x 满足条件： 对于每一 U U x ，存在 V V x 使得 V U ，则称V x 为点 x 的邻域系的基，或称为点 x 的局部基。
拓扑学教案5
§2-4 拓扑基与子基
一、拓扑基概念的背景
(本节重点：一个拓扑可以由特殊集族（基）生成)
我们知道， X 上的一个拓扑 是一个开集族，这些集合之间可以相互包含、重叠，表述起来很 不方便。我们试图寻找另外某种“元素”，使得 中的元素都能由这些元素构成，这就是产生“基” 的思想。 为此，先回顾一下度量空间中开集的一些有用性质。 ◎（1） 设 U 是 ( X , d ) 中的一个开集，则 x U ，都存在一个球形邻域 B ( x, x ) U ，因此， 有
2
A1
从而
B1B 1
B,
1 B1B 1
A2
B2 B 2

B2
A1 A2 ( B1 ) (
B2 B 2

B2 )
百度文库B1B 1 B2 B 2

( B1 B2 )
(其中 B1 B2 是 B 中某些成员的并) 则 A1 A2 可表示为 B 中某些成员的并，故 A1 A2 。
1
B ，使得
Wx
于是，由 x
AB 1 11 1
AB 1 11 1

A，
1

A 知，则至少存在一个 Vx x Vx
B ，使得
AB 1 11 1

A Wx U x
1
() 设定理条件成立。若 A 为 X 的任一开集（即 A ），对于 A 中的每一个 x ， A 是 x 的 邻域，故存在 Vx B ，使得 x Vx A ，于是 A {x} Vx A
x A x A
即A
V
x A
x
，这说明 A 可以表示为
B 中的某些成员的并，故 B 是 X 的基。 证毕。
关于拓扑基的进一步理解。 ▲ 基的定义说： 中元素（开集）可以表示成基 B 中元素的并。 ▲ 定理 1 说：通常邻域是利用 中元素定义的，而完全可以由 B 中元素来定义。
定理2 设 B 为非空集 X 的子集族，若 B 满足条件
U B ( x, x )
xU
即每个开集都能由球形邻域来构成。 ◎（2）球形邻域自身也是开集，所以，任意个球形邻域的并也是开集。
由上述讨论得到启发： X 上的一个拓扑 可以由 X 上的球形邻域来“构成”。 形象比喻：拓扑构件为一片片墙，但它们都是由砖构成的，砖是构成墙的“基”， 而“砖”自身也是“墙”的一部分。
[a, b) {x a x b}
3
构成的集族，可知 B 满足条件(1)和(2)，则由 B 生成的拓扑为 R 的下限拓扑。
三、拓扑空间的子基
定义： 设 ( X , ) 为拓扑空间， 是 的子集族，若 中任意有限个成员的交构成的集族
{s1 s2 sn si , i 1, 2, , n} 为拓扑 的基，则称 为拓扑 的子基，或称为拓扑空间 X 的子基。
c) （下面验证 中任意多元素的并仍属于 ） 若1 （1 是 中一部分元素），对于每一 A 1，存在着 B A B ，使得 A
于是
A1
BB A
B。
( B) B A B B
A
1
B
A
B A A1
由 a ), b), c) ，说明 是 X 上的一个拓扑。（思路1完成） ● 又根据 的定义，则 B 是 的基。下面证明 是唯一以 B 为基的拓扑。 设 ′也是 X 的以 B 为基的拓扑。根据定义，对于任一 A ′,则 A 必为 B 中某些成员的 并，从而 A ，故 ′= 。 ● 最后，证明拓扑基必须满足条件（1）和（2）。 设 B 为 X 的某个拓扑的基。由于 X *,可知 X 必须是 B 中某些成员的并，于是有（1）； 又若 B1 , B2 B ，由于 B *,于是 x B1 B2 * ,即 B1 B2 也是所含 x 的邻域，于是由 定理1，则(2)成立。 证毕。
（1）若 B 为 X 的基，则 B x {B B B , x B} 为点 x 的局部基。 （2）若 为 X 的子基，则
x {S S , x S}
为点 x 的局部基。
【证略】。定理说明：基、子基与局部基、局部子基之间的关系。
4
二、拓扑空间 X 的基及性质
定义： 设 ( X , ) 为拓扑空间， B 是 的子族。若 的每个成员（即 X 的开集）都是 B 中某 些成员的并,即对于每一个 U ，存在 称 B 为拓扑空间 X 的基.
1
B ，使得 U
BB 1 11 1
B ，则称 B
是拓扑 的基，或
注：不同教材上给出的基的定义不一样，但它们是等价的。
●设 X 的子集族 B 满足条件（1）和（2），首先证明 是拓扑。
a ) 由条件（1）知， X ； 又由于 A ，而 B ，故 .
A
b) (提示：先验证若 B1 , B2 B ，有 B1 B2 ；然后再证 A1 , A2 ，有 A1 A2 ) 由条件（2），对任一 x B1 B2 ，则存在 Wx B 使得 x Wx B1 B2

B}
B 为基的拓扑；反之，若 X 的子集族 B 为 X 的某一拓扑基，则 B 必须满
足条件（1）和（2）。
注释：该定理可以作为拓扑基的另一定义，也可以作为判定一个集族是否为拓扑基 的条件。 证明： 思路：1、先证明，若 B 满足条件(1)、(2)，则 是拓扑； 2、其次证明， 是唯一的以 B 为基的拓扑； 3、最后证明，拓扑基必须满足条件(1)和(2)
BB A
B}
设 B 为平面上所有矩形域（矩形内部形成的开集）的族，其中矩形边是平行于两个坐标
轴的，则 B 满足定理中条件(1)和(2)，由 B 生成平面上的一个拓扑 。 Wx B2 B1 Wx 考虑实数集 R ，其上所有开区间
B1
B2
例 4
(a, b) {x a x b}
构成的集族 B 满足条件(1)和(2)，则由 B 生成的拓扑，称为 R 上的标准拓扑。 设 B 是 R 上的所有半开区间
下面的定理是另一种基的定义。我们先介绍定理，然后再详细分析“基”的实例。 定理 1 设 B 为拓扑空间 ( X , )的开集族（即 B ），则 B 为拓扑空间 X 的基 对于 每一 x X ，以及 x 的每一邻域 U x ，存在 Vx B ，使得 x Vx U x . 证明： () 设 B 为拓扑空间 X 的基，则对每一 x X ，以及 x 的每一邻域 U x ，存在 x 的开 邻域 Wx U x .(注： Wx ) 由于 Wx 是开集，则由上述定义，存在
例 实数集 R 的子集族
{(a, ) a R} {(, b) b R}
是 R 的子基。
中任意有限个成员的交集构成的集族， 理由是： 正是 R 的所有开区间构成的集族与 的并 （因
为 中成员自身交仍为半开区间，故 也在有限交集族中）再加上空集 ，即为 R 的基。