拓扑学教案9

AA
B
A
，存在 A A ，使得 B B ，所以 B A 。因此，我们可以选定一个
AB A ，使得 B AB 。记
A 1 { AB B B 1}
提示：下面的内容是： 即 B B 1 ，可找到一个 AB A ，使得 AB B ； 又
BB 1
A B X ，则 B
（说明：有的教材成为正则的） U V 。
T4 公理 —— 任何两个不相交的闭集，有不相交的开邻域。 （说明：有的教材成为正规的）
U
x
y
V
U x
V y
U
V
U
V
x
A
A T4 公理
B
T1 公理
T2 公理
T3 公理
定义： （1）满足 T0 公理的拓扑空间 X 称为 T0 空间。 （2）满足 T1 公理的拓扑空间 X 称为 T1 空间。 （3）满足 T2 公理的拓扑空间 X 称为 Hausdorff 空间。 （4）满足 T1 公理同时满足 T3 公理的拓扑空间 X 称为正则空间。 （5）满足 T1 公理同时满足 T4 公理的拓扑空间 X 称为正规空间。 ● 先分析各个分离公理的关系： 显然有：
BB A
B。
B1
AA
B
A
（注： B A 是并成 A 的 B 中成员族，于是， B 1 是覆盖 A 中所有成员在基 B 中的组成元素） 而 B 1 是 B 的子集族，而 B 是可数的，则 B 1 也是可数的，且有
BB 1
A X B A
A
即 B 1 也是 X 的覆盖。 对于每一 B B 1 （注：B 1 是 B 的子集族， 而不是 A 的子集族， 于是， 下面证明： 存在 A 的可数子集族覆盖 X ）
Lindelöf
度量
§ 3-3 分离性公理
分离公理是关于两个点或两个闭集能否用邻域来分隔的性质，它们也是对拓扑空间的附加要求。
T0 公理 —— 任何两个不相同的点 x, y X ，或 x 有开邻域 U ，使得 y U ，或者 y 有开邻域
V ，使得 x V 。
T1 公理 —— 任何两个不相同的点 x, y X ， x 有开邻域不含 y ，且 y 有开邻域不含 x 。 T2 公理 —— 任何两个不相同的点 x, y X ，有不相交的开邻域。 T3 公理 —— 若任一点 x X 及 X 的闭集 A ，且 x A ，则 x 与 A 分别有开邻域 U , V ，使得
B
1
B
X
A 1 是 A 的子族，且
AA

1
A
BB 1
A
B

BB 1
BX
故A
1是
A 的子覆盖。又由于 B 1 可数，则 A 1 也可数。于是 A 有可数子覆盖 A 1 。
证毕。 利用拓扑遗传性质，我们不难得出如下结论： 推论 1 C2 空间的子空间也是 Lindelöf 空间。 推论 2
C
● 下面几个定理不加以证明的给出，理解其含义即可。 定理 2 定理 3 定理 4 聚点。 推论 3 Lindelöf 的度量空间是 C2 空间。 Lindelöf 空间的每一闭子空间都是 Lindelöf 空间。 若拓扑空间 X 的每一子空间都是 Lindelöf 空间，则 X 的每一不可数子集 A 都有 A 的
在 ( R, ) 中，开集 ( , a ) 的余集 ( , a ) [ a, ) 是闭集。可知，对于拓扑空间 R 上任给两
C
个闭集 A [ a, ), B [b, ) ，若 A, B 均非空，则 A B 。 如果 A, B 中有一个空集，此时， A, B 不相交，并且开集 R 和 分别是 A 和 B 的不相交的开邻 域，这说明 ( R, ) 是满足 T4 公理的。 但是，可以证明 ( R, ) 不满足 T1 ， T2 和 T3 公理。 （其中，不满足 T3 公理的结论同学练习着证明，提示： ( R, ) 上的邻域形式都是 ( , x) ） ● 为使各个分离公理具有蕴含关系，我们对 T3 和 T4 公理补充条件，其中，下述结论很重要。
1
也是 B 的覆盖，则称 A
1
是覆盖 A 关于 B 的子
下面几个定理都是描述 Lindelöf 空间性质的。 定理 1 （Lindelöf 定理） C2 空间都是 Lindelöf 空间。 （即， C2 空间的每一开覆盖，都有可数子覆盖） 证明：设拓扑空间 X 为 C2 空间（具有可数基），令 B 为 X 的可数基。 的并，即存在 B B ，使得 A 令 又设 A 是 X 的一个开覆盖，即对于 A A ， A 是开集（即 A ），则 A 为 B 中某些成员
C
且 A { A} 覆盖 A 。
C
对于 x A ，选取 Ax A { A} ，有 { Ax x A } { A} 为 X 的开覆盖，而 { Ax x A } 是
C C C
可数开覆盖，于是 { Ax x A } { A} 是 A 的可数子覆盖。故 X 是 Lindelöf 空间。
x U , y V ，且 y U , x V 。故 X 是 T1 空间。 但是， U V ，故 X 不是 T2 空间。
● 下面我们关心的是：是否有如下关系？
T4 T3 T2
结论是，上述关系不成立。 例如：考虑拓扑空间 ( R, ) ，其中 {( , a ) a }
拓扑学教案 9
§ 3-2 林德勒夫（Lindelöf）空间
先引入几个概念。 定义 1 设 A 为集族， B 为集合。如果 B
AA
A ，则称集族 A
为集合 B 的覆盖；当 A 为可
数集或有限集时，分别称 A 为 B 的可数或有限覆盖， 若集族 A 为集合 B 的覆盖，且 A 的子族 A 覆盖。 拓扑空间 X 的开（闭）集族 A 是 X 的子集 B 的覆盖，则称 A 为 B 的开（闭）覆盖。 ▲ 在数学分析中知： “实数空间中， A 为有界闭集的充要条件是 A 的每一开覆盖都有有限子覆盖”。 这种利用有限覆盖描述闭集以及收敛问题的方法，对于拓扑空间极为有用（以后讨论紧性用 到）。但是，我们也看到，有限覆盖性质对于实数空间 R 也不能成立。故而，人们考虑对“有限” 性加以放宽，引入了 Lindelöf 空间概念。 定义 2 设 X 为拓扑空间，如果 X 的每一开覆盖都有可数的子覆盖，则称 X 为 Lindelöf 空间。
C2 空间 X 的每一不可数子集 A 都有 A 的聚点。（由定理 4 及 C2 空间的遗传性） 推论 4 n 维欧氏空间的任意不可数子集 A 都有 A 的聚点。（由定理 4 和推论 2）
● 本章讨论的各类型空间之间的关系如下图：
En
可分 度量 空间
度量
C1 空间
可分的空间
C2 空间
Lindelöf ຫໍສະໝຸດ 间命题 1 同样， {x} X {x} 也是 y 的不含 x 的开邻域。即 X 是 T1 空间。
C
由命题 1，得到如下的蕴含关系： 如果 X 满足 T1 公理时，有
T4 T3 T2
● 解释上述关系成立的理由： 由于 T1 空间的每一独立点集都是闭集，此时， T4 空间必是 T3 空间，而 T3 空间也必是 T2 空间。 于是，我们有 正规空间 正则空间 Hausdorff 空间 T1 空间 T0 空间
X 满足 T1 公理 X 的有限子集是闭集。 证明： () 若 x X ， 由于 X 是 T1 空间， 则对任意 y X , y x ，y 有开邻域 V ， 使得 x V ， 即 V {x} ，即 y {x} （闭包） 。 上述说明，只要 y x ，则 y 就不是 x 的聚点，则 {x} {x} （即点 x 的闭包就是自身） ，即独 立点集是 {x} 闭集。所以， X 的有限子集也是闭集。(参见右图) () 设 y x 。因为 { y} 是闭集，所以 { y}C X { y} 是 x 的开邻域，且它不 x y 含y；
n 维欧氏空间的每一子空间都是 Lindelöf 空间。
★ 注：定理 1 的逆命题不成立，即 Lindelöf 空间不一定是 C2 空间。 下面来求证： （见本章§3-1 节，例 2） 设 X 为不可数无穷集， C 为余可数拓扑。我们已经证明了 X 不是 C1 空间，因此，也推出 X 不 是 C2 空间（因为 C2 C1 ；则不是 C1 不是 C2 ）。但是，能证明 ( X , C ) 是 Lindelöf 空间。理由 如下： 因为，若 A 是 X 的开覆盖，任取 A A （即 A 是开集， A C ）， A ，则 A 为可数集，
T2 公理 T1 公理 T0 公理
反之不成立。 例如： ① X {a, b, c} ， {, X ,{a},{a, b},{a, c}} ，则 X 满足 T0 公理，即 a, b X ，存在 a 的 开邻域 {a} U , b U 。 但是 X 不满足 T1 公理。因为不存在 b 的开邻域 V ，使得 a V 。 （即说明 T0 ⇏ T1 ） ② ( R, f ) 是余有限拓扑，下面验证满足 T1 公理。 因 为 任 给 x y ， 记 U R { y}, V R {x} 。 显 然 ， U , V f ， 即 U , V 是 开 集 ， 有